高二数学期中考试模拟试卷（A卷）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

2024-2025学年度第一学期期中考试模拟试卷（A卷） 高二数学 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。 1．在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 2．已知点，则点A关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 5．已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 6．已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 7．“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 9．如图①，在中，分别为上的点，.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 10．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ） A．     B．     C．     D． 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 12．圆的方程为：，则圆心的坐标为 ，半径为 ． 13．如图，已知四棱锥的各棱长均为，则 ．    14．已知向量，，，若，则 ，若共面，则 . 15．如图，是圆柱底面圆的直径，是圆柱的母线，点为底面圆上一点，为线段的中点，，且，点在直线上，则下列说法正确的有    ①．当为的中点时，平面平面 ②．当为的中点时，直线与平面所成角为 ③．不存在点，使得平面 ④．当时，使得平面 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．已知点，，： (1)求过点且与平行的直线方程； (2)若中点为，求过点与的直线方程； (3)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程. 17．已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 18．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)若，二面角的大小为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求的长. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 19．为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为6海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）. (1)以为坐标原点，1海里为单位长度，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围. 20．如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且．    (1)证明:平面． (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．已知两个定点，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)若Q是直线上的动点，过Q作曲线E的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线是否过定点，若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中考试模拟试卷（A卷） 高二数学 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。 1．在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算求解. 【详解】. 故选：B 2．已知点，则点A关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间坐标系的概念可解. 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为. 故选：C 3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得直线的方向向量为与平面的法向量垂直，由向量垂直的坐标运算即可求解． 【详解】，则有直线的方向向量为与平面的法向量垂直， 即， 解得． 故选：B． 4．直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将直线的方程化为，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可. 【详解】直线：化为， 又直线：，所以， 所以直线与直线的距离是. 故选：A. 5．已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】圆与圆相减得 ，化简为， 两圆的公共弦所在直线方程为. 故选：B 6．已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 7．“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】圆的圆心，半径为， 若直线和圆相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 8．已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据圆上的点到一条直线距离的最大值等于圆心到此直线距离与半径和，根据恒过的定点，过圆心作直线的垂线，垂足为，得知点的轨迹为以为直径的圆，则求解. 【详解】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为， 则点到直线的距离为，所以， 又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆， 则，所以 故选：B 9．如图①，在中，分别为上的点，.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得四棱锥体积最大时，平面和，再建立如图所示坐标系，求出平面的法向量，最后利用向量法结合点到平面的距离公式计算即可. 【详解】当四棱锥的体积最大时， 平面，由题意得，. 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    所以， 则， 设平面的法向量为， 则即 令，则， 则点到平面的距离为． 故选：B. 10．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ） A．     B．     C．     D． 【答案】A 【分析】连接，得出点在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点关于直线到直线的距离，从而可得结果. 【详解】 如上图示，连接则，点在平面中，且，，， 在△中，以为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，如下图示，则，，， 设点关于直线的对称点为，而直线为①， 所以，故直线为 ②， 联立①②，解得，故直线与的交点， 所以对称点，则，最小值为到直线的距离为. 故选：A. 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率. 【详解】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 12．圆的方程为：，则圆心的坐标为 ，半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程可得答案. 【详解】由可得， 所以圆心的坐标为，半径为， 故答案为：， 13．如图，已知四棱锥的各棱长均为，则 ．    【答案】2 【分析】根据题意得到底面四边形ABCD为正方形，为边长为2的正三角形，从而得到. 【详解】因为四棱锥的各棱长均为2，则四棱锥为正四棱锥， 所以底面四边形ABCD为正方形，为边长为2的正三角形， 所以，且， 故， 因为， 所以， 故答案为：2. 14．已知向量，，，若，则 ，若共面，则 . 【答案】 【分析】由，可得，列方程可求出的值；由可知存在一对实数，使，从而可求出的值 【详解】解：因为，所以， 即，解得， 因为，， 所以不共线， 因为共面，所以存在一对实数，使， 所以 所以，解得， 故答案为：； 15．如图，是圆柱底面圆的直径，是圆柱的母线，点为底面圆上一点，为线段的中点，，且，点在直线上，则下列说法正确的是（    ）    ①．当为的中点时，平面平面 ②．当为的中点时，直线与平面所成角为 ③．不存在点，使得平面 ④．当时，使得平面 【答案】①②③ 【分析】根据证明平面，平面即可判断①，证明平面，即可得到为直线与平面所成角，即可判断②，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，表示出，利用向量法推出矛盾，即可判断③、④. 【详解】当为的中点时，因为为线段的中点，所以， 平面，平面，所以平面， 又，同理可证平面，又，平面， 所以平面平面，故①正确； 因为是圆柱的母线，所以平面，所以平面，平面， 所以，又，所以， 又，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 又，所以，所以， 所以直线与平面所成角为，故②正确； 如图建立空间直角坐标系，不妨设， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取， 又点在直线上，设， 所以， 假设平面，所以， 则，显然方程组无解，故不存在点，使得平面，故③正确，④错误. 故选：①②③    三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．已知点，，： (1)求过点且与平行的直线方程； (2)若中点为，求过点与的直线方程； (3)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由题意知，所求直线的斜率与斜率相等，可得直线的点斜式方程； （2）由题意知，由中点坐标公式可得点坐标，可得直线的两点式方程； （3）可将直线设为截距式，由直线在坐标轴上的截距相等，且点在直线上，可求直线的截距式方程. 【详解】（1）设所求直线的斜率为，则有，又直线过点， ∴直线方程为：， 即：. （2）∵为中点，∴，即， ∴直线的方程为：， 即：. （3）当所求直线在轴和轴上的截距都为0时，即直线经过点和坐标原点，此时直线方程为：，即：； 当所求直线在轴和轴上的截距都不为0时，设直线方程为：，， 由题意有：，解得：，所以直线方程为：， 即：, 综上：所求直线方程为：或. 17．已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【详解】（1）首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 18．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)若，二面角的大小为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求的长. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意可建立以为坐标原点的空间直角坐标系，设分别求出平面和平面的法向量，由二面角公式代入解方程即可求出，进而求出的长. 【详解】（1）取中点，连接.    在中，分别为的中点，所以. 在菱形中，因为， 所以. 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面平面， 所以平面. （2）选择条件①： 因为平面平面， 所以. 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以， 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    连接，因为，所以，又为中点，所以， 所以为正三角形.因为，所以. 设， 则， 根据条件，可得平面的法向量为. 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则，所以， 由题意，二面角的大小为， 所以，解得（舍负）. 因为是的中点，所以的长为12. 经检验符合题意. 选择条件②： 因为平面平面， 所以. 连接，因为，且， 所以，在菱形中，，即为正三角形. 又因为为中点，所以， 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    又因为. 因为为正三角形且，所以. 设， 则， 根据条件，可得平面的法向量为. 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则，所以， 由题意，二面角的大小为， 所以，解得（舍负）. 因为是的中点，所以的长为12. 经检验符合题意. 19．为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为6海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）. (1)以为坐标原点，1海里为单位长度，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围. 【答案】(1)曲线的方程为： (2)的取值范围为 【分析】利用已知条件结合两点间距离公式列出方程并化简求得曲线方程.，利用直线与圆相切确定取值范围. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有， 是以为圆心，为半径的圆.， 所以曲线的方程为：. （2） ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，临界情况下直线与圆相切，圆心到直线距离为圆的半径4， 且，解得， 所以综上可知的取值范围为. 20．如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且．    (1)证明:平面． (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是. 【分析】（1）由题设，根据线面垂直的判定得平面，再由线面垂直的性质有，并由勾股定理证，最后应用线面垂直的判定证结论； （2）取棱的中点，连接，构建空间直角坐标系，写出相关点的坐标，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求参数，即可判断存在性. 【详解】（1）    因为四边形是菱形，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以，即. 因为平面，且，所以平面. （2）    取棱的中点，连接，易证两两垂直， 故以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系． 设，则， 故， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得． 平面的一个法向量为,设面与面所成的锐二面角为， 则，整理得，解得(舍去)． 故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是． 21．已知两个定点，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)若Q是直线上的动点，过Q作曲线E的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线是否过定点，若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）由列方程化简即可得到曲线的方程； （2）先求出圆的方程，再和曲线E的方程联立可得直线的方程，从而可得定点坐标. 【详解】（1）设点，因为，所以， 所以， 化简得：, 曲线E表示以原点为圆心，以2为半径的圆. （2）由题意得：，， 所以在以为直径的圆上， 设，则圆的圆心的坐标为， 且圆经过原点，即圆的方程为：， 联立得：， 因为是曲线和圆的交点， 所以直线的方程为：， ， 令，得， 所以直线恒过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$