专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.对角互补模型（相似模型） 1 16 模型1.对角互补模型（相似模型） 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、． 问题发现（1）如图1，当为的中点，且，时，______； （2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______； 类比探究（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程； 问题解决（4）如图3，连接，当______时，与相似．    【答案】（1）2；（2）2；（3）；（4）或 【分析】（1）由题意知，是三角形的中位线，据此得出，，从而得出答案； （2）作，，证得，根据（1）所得结论可得答案； （3）作，，可得，，从而得，，知，，同（2）的方法知，知，； （4）分和两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1），，，，， 点是的中点，，是的中位线， ，，则，故答案为：2； （2）如图2，过点作于点，作于点，          则，，即， ，，即， ，，，由（1）知，，，故答案为：2； （3）如图3，过点作于点，于点， ，，， 四边形是矩形，，，，，， ，，，，，， ，，同（2）的方法知，知，； （4）如图3，连接，在中，由勾股定理得：， ，与相似有如下两种情况： （Ⅰ），则，由（3）可知，，整理，得：，即，， （Ⅱ），则，由（3）可知，，整理，得：，； 综上，当或时，与相似；故答案为： 或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、旋转的性质、矩形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 例2．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，． ∵点 E 是的中点，． ，．是等边三角形．， ．． 又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）若点E是 的中点，则点F也是 的中点，理由见解；（2）成立，理由见解；（3）若点E是上任意一点，（2）中的结论仍然成立，理由见解． 【分析】（1）由题意得，根据直角三角的性质和等腰三角形的性质即可得出结论； （2）证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可得出结论； （3）由题意证明，，，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）于点D，， ∵点E是的中点，，， ，，， 又，， ，，即点F是的中点； （2）旋转过程中，若，那么等式成立． 理由如下：，∴四边形是矩形， ，，，； （3）若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论仍然成立． 理由如下：，， ，，同理证得， 则，，同理证得， 则，，即． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 例3．（2023·广东深圳·一模）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．    【答案】（1）证明见解析（2）（3） 【分析】（1）根据正方形的性质证明三角形全等即可； （2）过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，构造相似三角形，对应边成比例求，然后根计算即可； （3）过点O作的垂线交于点H，用勾股定理求出，证、，结合与重叠部分的面积是的面积的，设列出方程求出m，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点 ，，， ，即， 在和中，； （2）如图，过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，      四边形和四边形都是矩形，，，， ，，， ， ，， ，，，即，，； （3）如图，过点作的垂线交于点， 设，则，设，则， ，，， 又，， ，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形 ∴，(有公共角且都有直角)， ，∴，∵，即， ∴，，设，则， ∵，即，∴， 与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ，即， ∴，即，∴，∴， ∴． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的证明、勾股定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、正方形）的性质、相似三角形，综合性强，熟练掌握相关知识、结合图象分析是解题的关键． 例4．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3） 【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON； （3）设AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代数式分别表示再利用比例的性质可得答案． 【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E， ∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°， 在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB， ∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°， ∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON， 在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON． （2）如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E， 由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，∴， 由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON， ∴，∴ON＝k•OM． （3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k•OA， ∴OB＝•a，OA＝•a，∴OE＝OB＝a， ∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝•a， ∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋•a， 由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30° ∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°， ∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋•a， 设AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM， ∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本题的难点是条件得出k＞1． 例5．（2023浙江校考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或 【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF； （2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题； （3）证明△EBD∽△DCF，推出，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高， ∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF； （2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF， ∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4； （3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°， ∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m， ∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°， ∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴， ∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解． 当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得， ∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴ 解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 综上所述，满足条件的AF的值为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 例6．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB； （2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证． 【详解】解：（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴，，∴； （2）证明：∵∴，即， ∵，∴； （3）∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴∴， 又∵，∴，∴，∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似． 例7．（23-24九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）PD=PE，证明见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【分析】（1）PD=PE，过点P作PE∥AC交AB于点F，易证得△BPF为等边三角形，可得FP=BP，进而证明△PDF≌△PEC，即可得出结论；（2）过点P作PE∥AC交AB于点F，同（1），易证得△PDF∽△PEC，则有，由即可证得结论；（3）在图②中连接AP，过点A作AO⊥BC于O，利用等边三角形性质求得BO、AO，进而求得PO、BP、PC，由（2）中知△PDF∽△PEC, 由即可解得CE的长，同理，如备用图，解得CE另一解． 【详解】（1）PD=PE 证明：过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°， ∴△BPF为等边三角形，∴FP=BP，∵BP=CP，∴FP=CP ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF≌△PEC，∴PD=PE． 图① 图② （2） 过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°，∴△BPF为等边三角形， ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF∽△PEC， ∴，又∵，∴，∴． （3）在图②中，连接AP，过点A作AO⊥BC于O， ∵∠B=60º，∴∠BAO=30º∵AB=8，∴BO=4， 在Rt△APO中，AP=7，∴BP=3，PC=5， 由（2）知△PDF∽△PEC，BP=BF=PF=3∴，又BD=2，∴，解得：， 同理，如备用图，BP=5，PC=3，由得：，解得：，故CE的长为 图② 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解得的关键是认真审题，找出相关信息，通过作辅助线找到联系点，进而推理、计算． 1．（2024·江苏·九年级期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ//BC，可得AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x＋3x＝6，求出x即可解决问题． 【详解】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R． ∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF， ∴△QPE∽△RPF，∴，∴PQ＝2PR＝2BQ， ∵PQ//BC，∴△AQP∽△ABC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5， 设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝6，∴x＝，∴AP＝5x＝6．故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 2．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 【答案】 【分析】过D作DG∥BC交AB于G，则DG为△ABC的中位线，根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝∠CDE，易证得△GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值． 【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图， ∵D是AC的中点，∴DG为△ABC的中位线， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°， 又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形， ∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE， ∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF， 设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x， ∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；也考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用各性质进行推理计算是解题关键． 3．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：（1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    【答案】 /度 【分析】（1）连接，根据为的中点，可得，，则，根据，，易得四点在同一个圆上，根据圆周角定理，则有； （2）过点分别作于点，作于点 ，易证，可得 ，即 ，根据，有， ，即；根据，得到 ，即，可得，即有 ，即． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵为的中点，∴，∴，∴， ∵，，∴四点在同一个圆上，∴；       （2）如图2，过点分别作于点，作于点 ， 则有： ， ∴，∴， ∵∴，∴，∵，，∴ 又∵，∴，则有 ，即． ∵，∴，即，∵，∴，即． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，三角形的内角和，平角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，平行线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 4．（2024·山东·九年级期末）如图1，将直角三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点． （1）求证：；（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）2 【分析】(1)利用同角的余角相等，证即可， (2)成立．过点作于，过点作于，由四边形为正方形，知平分，利用角平分线性质，。推出四边形是正方形， ，利用同角的余角相等，证出即可， (3)过点作于，过点作于，垂足分别为、，则，，．可得，，得，， ∴，即，再证即可． 【详解】(1)证明：∵，，∴， 在和中，，∴，∴； (2)解：成立．证明：如图，过点作于，过点作于， ∵四边形为正方形，∴平分， 又∵，，∴，∴四边形是正方形，∴， ∵，， ∴，∴，∴； ． (3)解：如图，过点作于，过点作于，垂足分别为、，则， ∴，．∴，， ∴，，∴，即， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查正方形中的探究问题，掌握探究问题的研究方法，试题研究，类比，应用型进行发展和提高，考查学生的应变能力，及综合运用的能力，难度较大，基础知识要过硬是解题关键． 5．（23-24·河南驻马店·一模）如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°． （1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则=　 　，请证明你的结论； （2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则=　 　； （3）如图3，若=k，BC=m，AC=n，请直接写出的值．（用k，m，n表示） 【答案】（1）1，证明见解析；（2）；（3） . 【分析】（1）如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，只需证明△PHM∽△PGN，根据相似三角形对应边成比例即可得；（2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H通过证明△PHM∽△PGN，可得，再根据△PHC∽△ACB，PG=HC，即可得；（3）如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，易证△PMH∽△PGN，可得，由，得出，再根据DT∥PG，DK∥PH，可得，从而可推导得出，据此问题得解决. 【详解】（1）如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H， ∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点，∴CD平分∠ACB， ∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∴PG=PH， ∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG， ∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM∽△PGN，∴=1，故答案为：1； （2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H， ∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG， ∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM∽△PGN，∴， ∵PG=HC，∴∵D为AB中点，∴DC=DB，∴∠DBC=∠DCB，∴△PHC∽△ACB， ∴，∴故答案为：； （3）如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K， 同（2）可得△PMH∽△PGN，∴，∵，∴， ∵DT∥PG，DK∥PH，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所知识、添加辅助线构造直角三角形解决问题. 6．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）已知，是的平分线，按以下要求解答问题： (1)将三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角边分别与边交于点C，D． ①在图中，证明：；②在图中，点G是CD与OP的交点，且，求与的面积之比；(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，并求OP的长． 【答案】(1)①见解析，②，(2)或 【分析】（1）①通过证明即可得出结论，②通过证明，得出相似比，再根据相似三角形面积比是相似比的平方即可求解； （2）分两种情况进行讨论，①当与射线交于点C，与延长线交于点E时， ②当与延长线交于点C，与射线交于点E时． 【详解】（1）①证明：过点P作垂足为点M和点N， ∵是的平分线，，∴， ∵，，∴， ∵，∴，即， 在和中，，∴，∴． ②∵，，∴，∵是的平分线，，∴， ∵，∴，∵，∴，∴． （2）①当与射线交于点C，与延长线交于点E时， ∵使以P，D，E为顶点的三角形与相似，且，∴，∴， ∵，∴点O为中点，∵，∴， ②当与延长线交于点C，与射线交于点E时，过点P作，垂足为点M和点N，在和中，，∴，∴， ∵使以P，D，E为顶点的三角形与相似，且，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，则， ∴，∴，设，根据勾股定理得：， ∵，，∴，解得：，∴，综上：或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，相似三角形的性质，角平分线的 7．（23-24九年级下·吉林长春·自主招生）在菱形中，P是对角线上一点． 【感知】如图①，过点P作交于点M，作交于点N．易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点E、F（E、F不与菱形顶点重合），连结．（1）判断的形状，并说明理由． （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图③，，的两边分别交边所在直线于点E、F，连结，当，，且时，线段的长为______． 【答案】【应用】（1）等边三角形，见解析；（2）；【拓展】或 【分析】应用：（1）可推出点、、、共圆，从而，，从而得出是等边三角形；（2）可证得，进一步得出结果； 拓展：分两种情况，可推出，进而得出，解：作于，作于，进一步得出结果． 【详解】解：应用：（1）是等边三角形，理由如下： 四边形是菱形，，， ，点、、、共圆， ，，是等边三角形； （2）当时，的边长最小，则面积最小，此时， 四边形是菱形，， ，是等边三角形，， ，，，，故答案为：； 拓展：如图，当点E在点B左侧时， 同理（1）可得：是等腰三角形，四边形是菱形，， ，是等腰三角形，， ，，，， ，，，作于，作于， 可得，可得，， ，， 当点E在点B右侧时，同理：； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关接触知识． 8．（2023·河南周口·一模）（1）问题发现：如图1，四边形为矩形，，，点在矩形的对角线上，的两条直角边、分别交、于点、，当，时，__________（用含、的代数式表示）； （2）拓展探究：在（1）中，固定点，使绕点旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证明； （3）问题解决：如图3，四边形为正方形，，点在对角线上，、分别在、上，，当时（是正实数），直接写出四边形的面积是__________（用含，的代数式表示）．    【答案】（1）；（2）的大小没有变化，证明见解析；（3） 【分析】（1）先判断出，得出，再判断出四边形是矩形，即可得出结论； （2）先过作于点，于点，判定，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可； （3）过作于点，于点，证明，得出四边形是正方形，，再计算其面积． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∵，， ∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，故答案为：；． （2）的大小没有变化．证明如下：过作于点，于点， 则，，， 又，，， ，，，，， 又，，，即，．    （3）解：过作于点，于点， 则，，， 又，，，，， ，，，又，，即， 四边形是正方形，， 当时（n是正实数），，∴， ∴四边形的面积，故答案为：． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 9．（23-24九年级下·浙江·课后作业）如图1，点在正方形的对角线上，正方形的边长是，的两条直角边分别交边于点．    （1）操作发现：如图2，固定点，使绕点旋转，当时，四边形是正方形． 填空：①当时，四边形的边长是_____； ②当（是正实数）时，四边形的面积是______； （2）猜想论证：如图3，将四边形的形状改变为矩形，，，点在矩形的对角线，的两条直角边分别交边于点，固定点，使绕点旋转，则______； （3）拓展探究：如图4，当四边形满足条件：，，时，点在对角线上，分别交边于点，固定点，使绕点旋转，请探究的值，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）①先判定△PMC∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例进行求解；②先用①中的方法求得正方形PMCN的边长；（2）先过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可； （3）先过P作PG∥AB，作PH∥AD，并结合条件∠B+∠D=180°，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可． 【详解】（1）① ，，，，，，，，即，， ∵四边形是正方形，∴四边形的边长是． ② 当时，，，，∴四边形的面积为． （2） 如图，    过点作于点，于点，则，，又，，，．由，，得，，，，即，． （3）．理由如下：    如图，过点作交于点，交于点，则， ，，即，， ，，又，， ，．由，，得，， ，即，． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 10．（2023·江西九年级期末）【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点． 【问题探究】（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ的数量关系是（　　） A、DP＜DQ       B、DP＝DQ      C、DP＞DQ      D、无法确定 ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为　　（直接写出结论，不必证明）。（2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①B；②DP＝2DQ，理由见解析；③DP＝nDQ；（2）存在，，最小值是5，最大值为10，理由见解析． 【分析】（1）①首先利用等腰直角三角形的性质得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案； ②首先得出△DPM∽△DQN，则＝，求出△AMD∽△BND，进而得出答案； ③根据已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，则＝＝，则AD＝nBD，求出即可； （2）当DP⊥AC时，x最小，最小值是5，此时，S有最小值；当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，S有最大值分别求出即可． 【详解】解：（1）①DP＝DQ，理由：如图2，连接CD，∵AC＝BC，△ABC是等腰直角三角形， ∴AD＝CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°， ∴∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ， 在△ADP和△CDQ中，，∴△ADP≌△CDQ（ASA），∴DP＝DQ； ②DP＝2DQ，理由：如图3，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为：M，N， 则∠DMP＝∠DNQ＝90°，∴∠MDP＝∠NDQ，∴△DPM∽△DQN，∴＝， ∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，∴△AMD∽△BND，∴＝， ∴＝＝＝2，∴DP＝2DQ； ③如图1，过D点作DM⊥CB于点M，作DN⊥AC于点N， ∵∠C＝∠PDQ＝90°，∴∠ADP+∠QDB＝90°，可得：∠MDN＝90°，∴∠QDM＝∠NDP， 又∵∠DNP＝∠DMQ，∴Rt△DNP∽Rt△DMQ，∴＝， ∵由（1）知，△ADN∽△BDM，∴＝＝， ∵AD＝nBD，∴＝＝＝n，∴DP与DQ满足的数量关系式为：DP＝nDQ；故答案为：DP＝nDQ； （2）存在，设DQ＝x，由（1）①知，DP＝x，∴S＝x•x＝x2， ∵AB＝20，∴AC＝BC＝10，AD＝BD＝10， 当DP⊥AC时，x最小，最小值是5，此时，S有最小值，S最小＝×（5）2＝25， 当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，此时，S有最大值，S最大＝×102＝50． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质以及求最值等知识，熟练利用相似三角形的性质得出对应边关系是解题关键． 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试） 四边形的对角线和交于点 E， 且，． (1)如图1， 求证：平分；(2)如图1， 求证：；(3)如图2，在（2）的条件下，点F在上，连接，， ，的面积为6，求线段的长度． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）过点作，，易得四边形为矩形，证明，得到，即可得证；（2）证明四边形为正方形，进而得到，即可得证； （3）过点作，延长交于点，过点作，为等腰直角三角形，得到，平行线分线段成比例，得到，进而得到，证明，得到，设，则：，求出，得到，根据，求出的值，进而求出的长，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：过点作，，则：， ∵，∴四边形为矩形， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，，∴平分； （2）由（1）知：，，四边形为矩形，∴四边形为正方形，， ∴为等腰直角三角形，∴， ∵，∴； （3）过点作，延长交于点，过点作， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∵， ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵平分，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，设，则：， ∵，∴，， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 12．（2023·河南信阳·一模）数学综合与实践课上，同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图，小东同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线，相交于点，边与相交于点． (1)如图①，当时，线段与的数量关系是______； (2)将图①中的旋转到如图②所示的位置，请判断线段与的数量关系是否发生变化，并说明理由．(3)在（2）的情况下，若绕点旋转时，边与的交点始终在线段上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)(2)不变，见解析(3) 【分析】（1）由题意可知CG和CH为中位线，即得出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得出；（2）分别取，的中点，，连接，．由作图结合中位线性质可知，，即可得出，从而可得，即可证明，得出．由（1）知，即得出； （3）由（2）中结论知，结合三角形面积公式，即可求出．由中位线性质可得，再由勾股定理可求出，最后由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，最后分类讨论当点在点左下侧时，和当点在点右上侧时，． 【详解】（1）∵，∴． ∵点C为EF中点，∴CG为中位线，∴．∵，∴． ∵点C为EF中点，∴CH为中位线，∴点H为DE中点，∴∴． ∵，∴，即； （2） 理由：如图，分别取，的中点，，连接，． ∵，，分别为，，的中点，∴，，，． 又∵，∴，，∴， ∴，∴，∴． 又∵，∴∴．由（1）可知，∴； （3）由（2）中结论知∴，∴． ∵，∴．又易知， 如（2）图，当点在点左下侧时，， 如图，当点在点右上侧时， 综上可知线段的长度为． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定和性质，平行线的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理和三角形相似的判定和性质．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 13．（2019·内蒙古·中考真题）（1）【探究发现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）．则之间满足的数量关系是　 　． （2）【类比应用】 如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】 如图3，，，，平分，，且，点是上一点，，求的长． 【答案】（1）（2）结论不成立．（3） 【分析】（1）结论：．根据正方形性质，证，根据全等三角形性质可得结论；（2）结论不成立．．连接，在上截取，连接．根据菱形性质，证，四点共圆，分别证是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形性质证，根据全等三角形性质可得结论；（3）由可知是钝角三角形，，作于，设．根据勾股定理，可得到，由，得四点共圆，再证是等边三角形，由（2）可知：，故可得． 【详解】（1）如图1中，结论：．理由如下： ∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴，∴， ∴，∴．故答案为． （2）如图2中，结论不成立．． 理由：连接，在上截取，连接． ∵四边形是菱形，，∴， ∵，∴四点共圆，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，，∴是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴，∴， （3）如图3中，由可知是钝角三角形，，作于，设． 在中，，∵，∴，解得（舍弃）或，∴， ∵，∴四点共圆， ∵平分，∴，∴， ∵，∴是等边三角形，由（2）可知：，∴． 【点睛】考核知识点：正方形性质，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，圆的性质.综合运用各个几何性质定理是关键；此题比较综合. 14．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形的边长为，的顶点在正方形两条对角线的交点处，．将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化； 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 ． （2）【类比探究】①如图2，矩形中，，，点是边的中点，．点在上，点在上，则四边形的面积为 ； ； ②如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为的菱形，其他条件不变，当”时，四边形的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由； ③如图4，在②的条件下，当点在对角线上运动，顶点与点的距离为，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1），；（2）①，；②是定值，定值为；③或 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①过作于点，证四边形是正方形，则，再证，得，，即可解决问题；②过作交于点，证是等边三角形和是等边三角形，得，，再证，得，则，然后证，即可解决问题；③连接交于点，分两种情况，、点在上时，、点在上时，由等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可； 【详解】解：（1）浩浩：四边形是正方形，边长为， ，，，，，， ，，， ，，， ，； 小航：，，， ，四边形是矩形，，，， 四边形是正方形，边长为，，， ，，是的中位线，， 同理：，，，四边形是正方形， ，， ， ；故答案为：，； （2）①如图2，过点作于点， 则，四边形是矩形，， 四边形是矩形，，，， ，点是边的中点，，， 四边形是正方形，，，， ，，，，， ，，故答案为：，； ②当时，四边形的面积还是一个定值，理由如下： 如图3，过点作交于点， 四边形是菱形，边长为，， ，，，，，，是等边三角形，，， ，， ，，， ，是等边三角形，， ，，， ，，， ，，，， 即当时，四边形的面积还是一个定值； ③连接交于点，分两种情况 a、点在上时，如图4，四边形是菱形，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，过点作交于点， 同②得：都是等边三角形，，，， ，，，； b、点在上时，如图4﹣1，过点作交于点， 同理得：，是等边三角形，， ，； 综上所述，的长为或，故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 15．（2024·贵州铜仁·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【答案】（1）证明如下（2）（3）当点在射线上时，，当点在延长线上时， 【分析】（1）由题意可证,可得 ，即可求解； （2）先证出和是等腰直角三角形，可得，，可求，通过证明,可求，即可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：连接, ,,, ,，, ,, （2），理由如下：过点作于，于， ,, ,和是等腰直角三角形， ,， ,设, ,,, 四边形是矩形，,, 又，， , （3）如图，当点在射线上时，过点作于于， ,, 和是等腰直角三角形， ， ，, 设,,, ，四边形是矩形，， 又,， ,     当点在的延长线上时，如图 ,, 和是等腰直角三角形， ，， ,设, ，， ，四边形是矩形， ， 又，， ，    综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.对角互补模型（相似模型） 1 7 模型1.对角互补模型（相似模型） 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、． 问题发现（1）如图1，当为的中点，且，时，______； （2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______； 类比探究（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程； 问题解决（4）如图3，连接，当______时，与相似．    例2．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，． ∵点 E 是的中点，． ，．是等边三角形．， ．． 又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 例3．（2023·广东深圳·一模）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．    例4．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 例5．（2023浙江校考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 例6．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：． 例7．（23-24九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 1．（2024·江苏·九年级期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（    ） A．4 B．6 C． D． 2．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 3．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：（1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    4．（2024·山东·九年级期末）如图1，将直角三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点． （1）求证：；（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，则______． 5．（23-24·河南驻马店·一模）如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°． （1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则=　 　，请证明你的结论； （2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则=　 　； （3）如图3，若=k，BC=m，AC=n，请直接写出的值．（用k，m，n表示） 6．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）已知，是的平分线，按以下要求解答问题： (1)将三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角边分别与边交于点C，D． ①在图中，证明：；②在图中，点G是CD与OP的交点，且，求与的面积之比；(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，并求OP的长． 7．（23-24九年级下·吉林长春·自主招生）在菱形中，P是对角线上一点． 【感知】如图①，过点P作交于点M，作交于点N．易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点E、F（E、F不与菱形顶点重合），连结．（1）判断的形状，并说明理由． （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图③，，的两边分别交边所在直线于点E、F，连结，当，，且时，线段的长为______． 8．（2023·河南周口·一模）（1）问题发现：如图1，四边形为矩形，，，点在矩形的对角线上，的两条直角边、分别交、于点、，当，时，__________（用含、的代数式表示）； （2）拓展探究：在（1）中，固定点，使绕点旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证明； （3）问题解决：如图3，四边形为正方形，，点在对角线上，、分别在、上，，当时（是正实数），直接写出四边形的面积是__________（用含，的代数式表示）．    9．（23-24九年级下·浙江·课后作业）如图1，点在正方形的对角线上，正方形的边长是，的两条直角边分别交边于点．    （1）操作发现：如图2，固定点，使绕点旋转，当时，四边形是正方形． 填空：①当时，四边形的边长是_____； ②当（是正实数）时，四边形的面积是______； （2）猜想论证：如图3，将四边形的形状改变为矩形，，，点在矩形的对角线，的两条直角边分别交边于点，固定点，使绕点旋转，则______； （3）拓展探究：如图4，当四边形满足条件：，，时，点在对角线上，分别交边于点，固定点，使绕点旋转，请探究的值，并说明理由． 10．（2023·江西九年级期末）【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点． 【问题探究】（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ的数量关系是（　　） A、DP＜DQ       B、DP＝DQ      C、DP＞DQ      D、无法确定 ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为　　（直接写出结论，不必证明）。（2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由． 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试） 四边形的对角线和交于点 E， 且，． (1)如图1， 求证：平分；(2)如图1， 求证：；(3)如图2，在（2）的条件下，点F在上，连接，， ，的面积为6，求线段的长度． 12．（2023·河南信阳·一模）数学综合与实践课上，同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图，小东同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线，相交于点，边与相交于点． (1)如图①，当时，线段与的数量关系是______； (2)将图①中的旋转到如图②所示的位置，请判断线段与的数量关系是否发生变化，并说明理由．(3)在（2）的情况下，若绕点旋转时，边与的交点始终在线段上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 13．（2019·内蒙古·中考真题）（1）【探究发现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）．则之间满足的数量关系是　 　． （2）【类比应用】 如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】 如图3，，，，平分，，且，点是上一点，，求的长． 14．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形的边长为，的顶点在正方形两条对角线的交点处，．将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化； 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 ． （2）【类比探究】①如图2，矩形中，，，点是边的中点，．点在上，点在上，则四边形的面积为 ； ； ②如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为的菱形，其他条件不变，当”时，四边形的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由； ③如图4，在②的条件下，当点在对角线上运动，顶点与点的距离为，且旋转至时，的长度为 ． 15．（2024·贵州铜仁·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$