专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.对角互补模型（相似模型） 1 7 模型1.对角互补模型（相似模型） 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，点M，N，E分别为边上一点，且，．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，当时，求的值；(3)在（2）的条件下，连接，当最小时，则的值为________．    例2．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践 【问题情境】在中，，，，在直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【问题解决】如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长．      例3．（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O． (1)如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号） ①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③． (2)应用提升:如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明． (3)类比拓展:如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由． 例4．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 例5．（2024九年级·重庆·专题练习）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 例6．（2023·上海普陀·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 例7．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 1．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为 ．    2．（2023重庆九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为 ；当时，为 ．（用含的式子表示） 3．（23-24九年级上·上海·课后作业）如图，是等边三角形，是边的中点，以为顶点作一个的角，角的两边分别交直线，于，两点，以点为中心旋转（的度数不变），若与垂直时（如图（1）所示）证． （1）如图（2），若与不垂直，点在边上，点在边上，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图（3），若与不垂直时，点在边上，点在边的延长线上，上述结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，不用证明． 4．（23-24九年级上·广东·期末）已知，是的平分线，将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合． (1)如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；(2)如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值； (3)若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长． 5．（2023秋·河南商丘·九年级校联考期末）综合与实践 问题情境：在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N， 猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； 6．（23-24九年级·河南·期中）如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N． （1）操作发现：如图2，固定点P，使△PEF绕点P旋转，当PM⊥BC时，四边形PMCN是正方形．填空：①当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是_________；②当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是__________． （2）猜想论证 如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使△PEF绕点P旋转，则=_______． （3）拓展探究 如图4，当四边形ABCD满足条件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD时，点P在AC上，PE、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使△PEF绕点P旋转，请探究的值，并说明理由． 7．（23-24九年级下·山东德州·开学考试）【模型建立】（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．①求证：；②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．       8．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图①，在中，，于点，点是边上一点，连接并交于．交边于点．    (1)求证：； (2)如图②，当O为边的中点，时，求的值． 9．（2024·河南鹤壁·九年级统考期末）已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、． （1）当为的中点，且、时，如图1，_______： （2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______； （3）若改变点到图3的位置，且时，求的值． 10．（2023·浙江台州·九年级校考阶段练习）【问题情境】如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ． 【探索发现】如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______． 11．（2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 12．（2023广东中考模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； （2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由； （3）应用拓展； 如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积． 13．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值；(2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值． 14．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理：（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．    问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：．（3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 15．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形的边长为，的顶点在正方形两条对角线的交点处，．将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化； 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 ． （2）【类比探究】①如图2，矩形中，，，点是边的中点，．点在上，点在上，则四边形的面积为 ； ； ②如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为的菱形，其他条件不变，当”时，四边形的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由； ③如图4，在②的条件下，当点在对角线上运动，顶点与点的距离为，且旋转至时，的长度为 ． 16．（2023山东中考模拟）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　； （2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.对角互补模型（相似模型） 1 17 模型1.对角互补模型（相似模型） 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，点M，N，E分别为边上一点，且，．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，当时，求的值；(3)在（2）的条件下，连接，当最小时，则的值为________．    【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）连接，过点作，先证明四边形为正方形，得到，再证明，即可得出结论；（2）过点作，证明，得到，根据锐角三角函数得到，证明，得到，即可得出结果；（3）先证明为等腰直角三角形，得到，得到当最小时，最小，根据垂线段最短，得到当时，最小，根据锐角三角函数求出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：当时，，∴， 连接，过点作，垂足分别为G，H，则：平分，          ∴，∵，，∴四边形为矩形， ∵，∴四边形为正方形，∴，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：过点作， 同（1）可知四边形为矩形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：连接，由（2）知：，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴当最小时，最小， ∵点在上，∴当时，最小，此时，如图： ∵，∴，∴，，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 例2．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践 【问题情境】在中，，，，在直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【问题解决】如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长．      【答案】[猜想证明]四边形是矩形，理由见解析；[问题解决]． 【分析】[猜想证明]由三角形中位线定理可得，可证，即可求解； [问题解决]由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解． 【详解】[猜想证明]四边形是矩形，理由如下： 如图，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，，， ，，， ，四边形是矩形； [问题解决]过点作于，如图：    ，，，， 点是的中点，，， ，，，，， 又，，，，． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 例3．（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O． (1)如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号） ①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③． (2)应用提升:如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明． (3)类比拓展:如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由． 【答案】(1)①②③(2)关系为，证明见解析 (3)①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．证明①的过程见解析 【详解】（1）如图，在图1中，过点O作于点H,于点G ∵于点H, 于点G∴ ∵四边形和都是正方形∴∴ ∵,∴ 在和中∴∴故①正确 ∵∴∴故②正确 ∵四边形是正方形∴ ∴故③正确 （2）关系为，证明如下：如图，在图2中，过点O作于点H,于点G ∵于点H, 于点G∴ ∵四边形和都是矩形∴ ∵,∴ 在和中∴∴ （3）（1）中结论，①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．现证明①如下： 如图，在图3中，过点O作于点H,于点G ∵于点H, 于点G∴ ∵四边形和都是菱形∴∴ ∵,∴ 在和中∴∴ 例4．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】解：当时，即：， ，， ，，， ，， 即，∽，， ，，∽，， ，，，，， ，， 即，∽，， ，，∽，， 成立如图3， ，，又，，， ，， 即，∽，， ，，∽，，． 由有，∽， ，，， 如图4图5图6，连接EF．在中，，，， 如图4，当E在线段AC上时，在中，，， 根据勾股定理得，，，或舍 如图5，当E在AC延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，，，，或舍， ③如图6，当E在CA延长线上时，在中，，， 根据勾股定理得，，， ，或（舍），综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 例5．（2024九年级·重庆·专题练习）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或 【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF； （2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题； （3）证明△EBD∽△DCF，推出，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高， ∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF； （2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF， ∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4； （3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°， ∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m， ∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C， ∴△EBD∽△DCF，∴，∴，整理得，m2﹣5m+1＝0， 解得m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得， ∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF， ∴，∴解得，m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解．综上所述，满足条件的AF的值为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 例6．（2023·上海普陀·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB，然后由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果； （2）结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后得证结果． (1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°， ∵∠DAE=45°，∴ ∴ ∴∠DAC=∠EAB， ∵PC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=∠B=45°，∴△ADC∽△AEB， ∴，即，∵∠DAE=∠BAC=45°，∴△ADE∽△ACB． (2)证明：∵∠ACD=45°，∠ACB=90°，∴∠CDE+∠CED=180°-90°-45°=45°， ∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=22.5°，∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB=90°， ∴∠CAD=180°-∠ADE-∠CDE-∠ACD=180°-90°-22.5°-45°=22.5°，∴∠CAD=∠CDE， 又∵∠OCD=∠DCA，∴△OCD∽△DCA，∴，∴CD2=CO•CA． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似． 例7．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①；②；(3) 【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，根据等边三角形的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； ②根据含30度角的直角三角形的性质，得出，根据全等三角形的性质得出，则，即可得出； （2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到；②分类讨论，根据①的方法证明即可； （3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度，进而即可求解． 【详解】（1）证明：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵是等边三角形，∴，∵， ∴，， 又∵，∴，， ∴，∴， ∴，即， 在中，，∴，∴； ②证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，    当时，，即，是的中点，，， ，，， ，是等边三角形，， ，根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； ②解：如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点， 同①，可得，，，，， 同①可得，， 即线段之间数量关系为； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点， 当与重合时，，则，∴是等边三角形， 当与重合时，同理可得是等边三角形， ∵，∴，∴， ∵分别为的中点，∴则 ∴，则 又∵∴∴ ∴是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积， ， ，，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，，如图所示，过点作于点， ∴∵是等边三角形，∴， ∴，∴，过点作于点，则， ∴，∴， 即线段扫过的图形的面积为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 1．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为 ．    【答案】 【分析】由菱形的性质及可证，得，；由得，，于是，可得，进而求得答案． 【详解】∵ ∴∴ ∵四边形是菱形，∴， ∴∴∴， 又∵∴．， ∵∴， ∴． 设，则，， ；故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用全等及相似得到线段间的数量关系是解题的关键． 2．（2023重庆九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为 ；当时，为 ．（用含的式子表示） 【答案】 , 【详解】如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论． 解答：解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°． ∵∠ACB=90°，∴四边形HCGO为矩形， ∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴． ∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x． 在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案为． 3．（23-24九年级上·上海·课后作业）如图，是等边三角形，是边的中点，以为顶点作一个的角，角的两边分别交直线，于，两点，以点为中心旋转（的度数不变），若与垂直时（如图（1）所示）证． （1）如图（2），若与不垂直，点在边上，点在边上，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图（3），若与不垂直时，点在边上，点在边的延长线上，上述结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，不用证明． 【答案】（1）结论成立，理由详见解析；（2）上述结论不成立，，，之间的数量关系为 【分析】（1）过点作，由平行线和正三角形性质，推导出和，从而证明；再结合是边的中点，通过DE是中位线且为正三角形的性质，推导出，最后结合BE和ME的关系，从而完成的证明； （2）过点作，由平行线和正三角形性质，推导出和，从而证明；再结合是边的中点，通过DE是中位线且为正三角形的性质，推导出，最后结合BE和EM的关系，从而完成的推导． 【详解】（1）如图（1），过点作，交于点 ∵∴ 且 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵是边的中点∴ ∵∴DE是中位线 ∴且 ∴∴ ∴ ∴ （2）如图（2），过点作交于点 ∵是等边三角形∴∴ ∵∴且 ∴且 ∵ ∴ 又∵∴∴∴ ∵且是边的中点∴且 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴上述结论不成立，． 【点睛】本题考查了平行线、三角形中位线、相似三角形的性质，求解本题的关键在于熟练掌握平行线和相似三角形的知识求解出 EM和CN的比例关系，从而得到问题求解． 4．（23-24九年级上·广东·期末）已知，是的平分线，将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合． (1)如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；(2)如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值； (3)若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长． 【答案】(1)与的数量关系是相等，证明见解析(2)(3)示意图见解析，或 【分析】（1）与的数量关系是相等．如图，过点作，，垂足分别为点、，根据是的平分线可以得到，又，易得，由此得到，最后得到，现在可以证明，然后根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据（1）可以得到，而，所以，然后根据相似三角形的性质和已知条件就可以求出的值；（3）分两种情况讨论即可．①如图1所示，若与射线相交，交点与点在点的同侧，②如图2所示，若与射线相交，交点与点在点的两侧． 【详解】（1）解： 与的数量关系是相等． 证明：过点作，，垂足分别为点、，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∵是的平分线， ∴，， 在和中，， 又∵，∴，∴； （2）解：∵，，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴； （3）解：①如图1所示，若与射线相交，交点与点在点的同侧， ∵，，∴，∴，即，， ∵以、、为顶点的三角形与相似，， ∴，即，∴， ∵即，∴，∵，，∴； ②如图2所示，若与射线相交，交点与点在点的两侧，过点作，，垂足分别为点、，∴， ∵是的平分线，∴，，∵， 又∵以、、为顶点的三角形与相似，， ∴，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴，∴， ∴，∴， ∴，∴，设， ∵，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，设边长为，∴， ∴，即，∴或（舍去），∴， ∵，∴， ∵，∴，解得：，即， 综上所述，或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（2023秋·河南商丘·九年级校联考期末）综合与实践 问题情境：在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N， 猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； 【答案】(1)四边形为矩形，理由见解析(2) 【分析】（1）利用三角形的中位线定理，得到：，得到，再根据和，即可得到四边形为矩形； （2）连接，证明，即可得解． 【详解】（1）解：四边形为矩形，理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴． ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形． （2）解：连接． 在中，， ∴， ． ∵点为的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即：， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线，以及直角三角形斜边上的中线和勾股定理．熟练掌握三角形的中位线定理，以及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，是解题的关键． 6．（23-24九年级·河南·期中）如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N． （1）操作发现：如图2，固定点P，使△PEF绕点P旋转，当PM⊥BC时，四边形PMCN是正方形．填空：①当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是_________；②当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是__________． （2）猜想论证 如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使△PEF绕点P旋转，则=_______． （3）拓展探究 如图4，当四边形ABCD满足条件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD时，点P在AC上，PE、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使△PEF绕点P旋转，请探究的值，并说明理由． 【答案】（1）①a；②；（2）；（3）见解析． 【详解】解：（1）①如图2，∵PM⊥BC，AB⊥BC，∴△PMC∽△ABC，∴ ，又∵AP=2PC，∴，即，∴PM=a，即正方形PMCN的边长是a； ②当AP=nPC时（n是正实数），，∴PM=a， ∴四边形PMCN的面积=（a）2=； （2）如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°， ∵Rt△PEF中，∠FPE=90°，∴∠GPM=∠HPN，∴△PGM∽△PHN，∴， 由PG∥AB，PH∥AD可得，， ∵AB=a，BC=b，∴，即，∴； （3）如图4，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，则∠HPG=∠DAB，∵∠EPF=∠BAD，∴∠EPF=∠GPH，即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM，∴∠HPN=∠GPM， ∵∠B+∠D=180°，∴∠PGC+∠PHC=180°，又∵∠PHN+∠PHC=180°，∴∠PGC=∠PHN， ∴△PGM∽△PHN，∴①， 由PG∥AB，PH∥AD可得，=，即②， ∴由①②可得，． 7．（23-24九年级下·山东德州·开学考试）【模型建立】（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．①求证：；②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．       【答案】（1）①证明见详解；②（2） 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，深入理解题意是解决问题的关键. （1）①根据和都是等边三角形推出判定和全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证；②根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段，，的数量关系； （2）过点作于，根据等腰直角三角形的性质推出判定，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段，，的数量关系； 【详解】（1）①解：和都是等边三角形， ，，，， ，， ②；是等边三角形，， 点和点关于的对称，，，， （2），理由如下：如图，过点作于，    点和点关于的对称，，，， ，是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形， ，，， ，，，， 是等腰直角三角形，， ，即： 8．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图①，在中，，于点，点是边上一点，连接并交于．交边于点．    (1)求证：； (2)如图②，当O为边的中点，时，求的值． 【答案】(1)见解析(2)． 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，，即可证明； （2）作，交的延长线于，推出，证明．再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴∴． ∵，∴， ∵，∴，∴； （2）解：作，交的延长线于．    ∵，即，是边的中点，∴． 由（1）有，∴，∴． ∵，，∴． 又，．∴，∴． ∵，∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（2024·河南鹤壁·九年级统考期末）已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、． （1）当为的中点，且、时，如图1，_______： （2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______； （3）若改变点到图3的位置，且时，求的值． 【答案】（1）2；（2）2；（3） 【分析】（1）由为的中点，结合三角形的中位线的性质得到 从而可得答案；（2）如图，过作于 过作于结合（1）求解再证明利用相似三角形的性质可得答案；（3）过点分别作于点，于点，证明,可得 再证明，利用相似三角形的性质求解 同法求解 从而可得答案． 【详解】解：（1）为的中点， 故答案为： （2）如图，过作于 过作于 由（1）同理可得 ： 故答案为： （3）过点分别作于点，于点， ∵，∴． ∵，∴． ∴．∴．∴． ∵，，∴．∴∴． ∵，∴．∵，∴．∴． 同理可得：．∴． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 10．（2023·浙江台州·九年级校考阶段练习）【问题情境】如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ． 【探索发现】如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______． 【答案】问题情境：；探索发现：成立，见解析；类比迁移：或 【分析】问题情境：根据等腰直角三角形的性质，证明即可得； 探索发现：与图①类似，证明即可；类比迁移：根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=60°，求得∠BDF=∠AED，设CE=x，则CF=2x，分两种情况讨论：点E在线段AC上，点E在AC的延长线上，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】问题情境：，证明如下： ∵在中，，，点为中点， ∴，∴ ∵∴∴ 在和中，∴∴ 探索发现：成立， 理由：∵在中，为中点，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴ ∵，∴，∴，∴， 在和中，∴∴ 类比迁移：当点E在线段AC上时，如图③， ∵是等边三角形，，点是中点， ∴，， 设，则，， ∵是的外角，，∴ 即∴ 又∵∴∴ ∴∴ 解得，（大于4，不符合题意，舍去） 当点E在线段AC的延长线时，如图： 设，则，， 同理可得∴ 解得，（不符合题意，舍去） 综上所述，或．故答案为：或． 【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形的综合问题，运用等腰直角三角形的性质寻找全等条件，熟练掌握相似三角形中的一线三等角模型是解题的关键． 11．（2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论； （2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形． 理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°， ∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四边形AMDN为矩形； （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点，∴CD=BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC． 过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．∴CG=CD=． ∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴，即，∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中点，∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°， ∴∠MBH=90°，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x， 在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴线段AN的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 12．（2023广东中考模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； （2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由； （3）应用拓展； 如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积． 【答案】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10 或12﹣． 【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件； （2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可． 【详解】（1）矩形或正方形； （2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示： ∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线， ∴PA=PD，PC=PB， ∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC， 即∠PAD=∠PBC， ∴∠APC=∠DPB， ∴△APC≌△DPB（SAS）， ∴AC=BD； （3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E， 如图3（i）所示， ∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′， 设EB=ED′=x， 由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2， 解得：x=4.5， 过点D′作D′F⊥CE于F， ∴D′F∥AC， ∴△ED′F∽△EAC， ∴，即，解得：D′F=， ∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=， 则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10； （ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E， 如图3（ii）所示， ∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3， 在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE=， ∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3， 则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题． 13．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值；(2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】(1)4，(2)是，(3)或4 【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题；（2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）； （3）连接交于，在中，，代入数据求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：作于交于． 四边形是矩形，，，， ． 在中，，，，， ，，， ，，， ，，故答案为4，． （2）结论：的值为定值．理由：由，可得．，，， ，； （3）连接交于． ，所以只能，， ，，，垂直平分线段， 在中，，，， ，．综上所述，的值为． 【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大． 14．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理：（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．    问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：．（3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）首先求出，证明，得到，即可求出结果； （2）连接，过D作于M，作于N，根据证明，再根据全等三角形的性质可得；（3）过点分别作于，于，根据勾股定理及中位线的性质可得，，根据矩形的性质可得，最后由相似三角形的判定与性质可得答案． 【详解】解：（1）∵在等边中，，，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，即，∴； （2）如图，连接，过D作于M，作于N， ∵是等边三角形，D为的中点， ∴是的平分线，，∴，， 又∵，∴，∴， ∴在与中，，∴，∴；    （3）过点分别作于，于， 在中，，是的中点，， ，，，，， 是的中点，是的中位线，是的中位线，，， 四边形为矩形，，， ，， ，，． 【点睛】本题考查了三角形综合题．需要掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，关键是找到图中关键的相似和全等三角形，比较典型，但有点难度． 15．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形的边长为，的顶点在正方形两条对角线的交点处，．将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化； 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 ． （2）【类比探究】①如图2，矩形中，，，点是边的中点，．点在上，点在上，则四边形的面积为 ； ； ②如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为的菱形，其他条件不变，当”时，四边形的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由； ③如图4，在②的条件下，当点在对角线上运动，顶点与点的距离为，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1），；（2）①，；②是定值，定值为；③或 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①过作于点，证四边形是正方形，则，再证，得，，即可解决问题；②过作交于点，证是等边三角形和是等边三角形，得，，再证，得，则，然后证，即可解决问题；③连接交于点，分两种情况，、点在上时，、点在上时，由等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可； 【详解】解：（1）浩浩：四边形是正方形，边长为， ，，，，，， ，，， ，，， ，； 小航：，，， ，四边形是矩形，，，， 四边形是正方形，边长为，，， ，，是的中位线，， 同理：，，，四边形是正方形， ，， ， ；故答案为：，； （2）①如图2，过点作于点， 则，四边形是矩形，， 四边形是矩形，，，， ，点是边的中点，，， 四边形是正方形，，，， ，，，，， ，，故答案为：，； ②当时，四边形的面积还是一个定值，理由如下： 如图3，过点作交于点， 四边形是菱形，边长为，， ，，，，，，是等边三角形，，， ，， ，，， ，是等边三角形，， ，，， ，，， ，，，， 即当时，四边形的面积还是一个定值； ③连接交于点，分两种情况 a、点在上时，如图4，四边形是菱形，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，过点作交于点， 同②得：都是等边三角形，，，， ，，，； b、点在上时，如图4﹣1，过点作交于点， 同理得：，是等边三角形，， ，； 综上所述，的长为或，故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 16．（2023山东中考模拟）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　； （2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）变化.证明见解析. 【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值即可； （2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值.与（1）（2）问相比较，的值发生了变化. 【详解】（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC. ∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC.∴∠APE=∠PCF. ∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB.∴∠PAE=∠CPF. ∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF， ∴△APE≌△PCF（ASA）.∴PE=CF. 在Rt△PCF中，，∴； （2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN. ∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN. 又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF. ∴.由（1）知，，∴. （3）变化.证明如下： 如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB. ∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN.∴△APM∽△PCN. ∴，得CN=2PM. 在Rt△PCN中，，∴. ∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN. 又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF. ∴.∴的值发生变化. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$