专题01 集合（考点清单，8考点6题型解读）高一数学上学期北师大版必修第一册

专题01 集合（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】元素和集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． 【清单02】集合元素的特征 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 【清单03】元素和集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 【清单04】常见数集 自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 【清单05】集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【清单06】子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 【清单07】空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 【清单08】集合的基本运算 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2） 【考点题型一】元素与集合的概念 【例1】.（1）（贵州省遵义市2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．中国著名的数学家 B．高一（2）班个子比较高的学生 C．不大于5的自然数 D．约等于3的实数 【答案】C 【详解】A：著名数学家的标准不明确，不能构成集合； B：个子比较高的标准不明确，不能构成集合； C：不大于5的自然数有，能构成集合； D：约等于3的实数的精度不明确，不能构成集合. 故选：C （2）（安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）（多选）设是一个数集，若对任意的，且，都有，，，，则称是一个数域，例如实数集是一个数域，则下列结论正确的是（  ） A．数域中必含有0，1两个数 B．集合是一个数域 C．有理数集是一个数域 D．数域中必含有 【答案】ACD 【详解】对于A，数域中必须有一个非零元素，令，则， 所以任何数域中均含有两个数，所以选项A正确； 对于B，由，而任何数域中均含有两个数，所以选项B错误； 对于C，由任何数域中均含有两个数，数域对加法封闭，所以， 所以所有的正整数都在数域中，再由数域对减法封闭，所以， 所以所有负整数都在数域中，即所有整数都在数域中； 再由数域对除法封闭，整数之间作除法，能得到所有有理数在数域中， 即有理数是最小的数域，任何数域都必须包含所有有理数，所以选项C正确； 对于D，由任何数域都必须包含所有有理数，而，所以数域中必含有，所以选项D正确. 故选：ACD 【变式1-1】.（24-25高一上·四川绵阳·期中考试）下列说法正确的是（    ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性， 所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性， 所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B 【变式1-2】.（24-25高一上·重庆·期中考试）（多选）下列各对象中，能够组成一个集合的是（    ） A．所有矮个子的人 B．接近1的有理数 C．小于0的实数 D．一次项系数为3的二次三项式 【答案】CD 【详解】对A，所有矮个子的人，因为矮的标准不确定，不能组成集合，故A错误； 对B，接近于1的数，因为接近的标准不确定，故不能组成集合，故B错误； 对C，小于0的实数，可以组成集合，故C正确； 对D，一次项系数为3的二次三项式，也可组成集合，故D正确； 故选：CD. 【变式1-3】（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.已知，集合.，则的最小值是 . 【答案】9 【详解】不妨设集合. 由题意，要使最小，则； 要使最小，则. 当时，不妨设，则，故. 当时，不妨设，则，故. 当时，不妨设，则，，故. 当时，不妨设，则，故. 当时，不妨设，则，故. 综上，的最小值是9. 故答案为：9. 【考点题型二】元素与集合的关系 【例2】.（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知集合，，，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】依题意，， 所以且. 故选：C 【变式2-1】.（24-25高一上·江苏南通·阶段复习）（多选）设集合，则下列元素满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，；当时，；当时，； 6不能表示为两个整数的平方差. 故选：ABD. 【变式2-2】.（22-23高一上·福建福州·阶段练习）给出下列关系：（1）;（2）;（3）;（4）;（5），其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】（1）因为是有理数，所以； （2）因为是无理数，所以； （3）因为是整数，所以； （4）因为是自然数，所以， （5）因为是有理数，所以， 所以正确的个数有2个. 故选：B. 【变式2-3】.（24-25高一上·重庆·期中）（多选）设，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 【变式2-4】.（23-24高一上·海南·期中）（多选）已知，且，，，则取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意得，解得， 又，故，故CD正确，AB错误. 故选：CD 【变式2-5】.（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 【答案】2 【详解】依题意，，，，，，， 因此①④正确，②③⑤⑥错误， 所以正确命题的个数是2. 故答案为：2 【变式2-6】.（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有6个，，试确定集合. 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性. (2) (3)，，，或. 【详解】（1）集合中的， 所以集合不具有“包容”性. 集合中的任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性. （2）若集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知无解， 故. 综上，. （3）因为集合中共有6个元素，且，又，且中既有正数也有负数， 不妨设， 其中， 根据题意， 且， 所以，或. ①当时，， 并且由，得， 由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得. 综上，中有6个元素，且时，符合条件的集合有5个， 分别是，或. 【考点题型三】集合间的基本关系 【例3】.（贵州省遵义市2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）已知集合，则集合的真子集的个数是（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【详解】因为， 所以集合的真子集的个数是个. 故选：C 【变式3-1】.（24-25高一上·河北沧州·期中）已知集合有16个子集，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合有16个子集， 所以集合中有4个元素，分别为0，1，2，3， 所以. 故选:A 【变式3-2】.（24-25高一上·湖北·阶段练习）集合满足，则集合的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为， 则集合可以为共7个， 故选：C. 【变式3-3】.（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，若关系如图所示，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合， 由给定关系图，可得，所以. 故选：D. 【变式3-4】.（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，，，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ， . 故选：B. 【变式3-5】.（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合，，若．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知或，，由，可得，所以． 故选：B. 【变式3-6】.（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知集合集合，若集合满足，则这样的集合共有 个． 【答案】3 【详解】解：因为集合，所以集合中包含2，3，5，8且至少包含11，12中的一个元素， 所以或或 所以满足条件的个数为3． 故答案为：3 【变式3-7】.（24-25高一上·全国·期中）已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 【答案】(1)B A (2)或． 【详解】（1）当时，集合，故B A． （2）①当时，集合，由得，解得； ②当时，集合，此时，解得． 综上所述，或． 【考点题型四】集合间的基本运算 【例4】.（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）已知集合． (1)当时，求； (2)若是的子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，化简可得，解得或，所以或； 当时，，故． （2）由于是的子集，当时，则，解得，满足是的子集； 当时，则满足，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 【变式4-1】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）集合，且，实数的值为（   ） A．1 B． C．1或-1 D．0或1或-1 【答案】D 【详解】由，解得或， 所以， 因为，故 当时，满足，此时 当时，即，则， 因为，所以， 所以或， 解得或， 综上，，或，或， 所以实数的取值集合为， 故选:D 【变式4-2】.（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）已知集合，则的非空真子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为， 所以， 故其非空真子集的个数为． 故选：B. 【变式4-3】.（安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又， 所以解得： 故选：D 【变式4-4】.（24-25高三上·云南楚雄·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，所以. 故选：C. 【变式4-5】.（24-25高三上·江西·阶段练习）已知集合，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】，解得，， 又，， 的非空真子集的个数为个. 故选：. 【变式4-6】.（24-25高一上·山东·阶段练习）（多选）若非空集合满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由得，由得，所以 ，B正确； ，A正确； ，C错误； ，D正确． 故选:ABD． 【变式4-7】.（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）记全集，集合，或． (1)若，求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）当时，，则或， 因此或或或. （2）若，则，解得， 故的取值范围为. （3）若，则， 当时，，解得， 当时，，或， 解得，或， 综上知，的取值范围为. 【变式4-8】.（24-25高一上·山东济南·阶段练习）设集合． (1)求； (2)当时，求的非空真子集个数； 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由，， 则， . （2）当时，， 则的非空真子集有共2个. 【变式4-9】.（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，，其中实数. (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）当时，集合，{或}， 又集合，所以. （2）因为，所以，则集合非空， 因为，所以或， 解得或，又，所以， 故实数的取值范围是. 【变式4-10】．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知集合． (1)当集合A变为时，写出A的所有非空真子集； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）， 则A的所有非空真子集有：； （2）由，则， 当时，即，解得； 当时，即有，解得； 综上所述：； （3）若当时，符合要求，即，解得； 当时，则有或， 不等式组无解，不等式组解得； 综上所述，或. 【考点题型五】集合中veen应用 【例5】．（1）（贵州省遵义市2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有（    ） A．5名 B．4名 C．3名 D．2名 【答案】B 【详解】设三个小组都参加的人数为，只参加音乐科学的人数为，只参加音乐体育的人数为，只参加体育科学的人数为，作出韦恩图，如图， 由题意，， 即， 因为有12名学生只参加了2个兴趣小组，所以， 代入解得，即三个兴趣小组都参加的有5人， 所以参加兴趣小组的一共有人， 所以不参加所有兴趣小组的有人. 故选：B （2）（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】根据题意由可得，即； 解方程可得或，解得或或或， 即可得； 因此可得集合有交集，但没有包含关系. 故选：A 【变式5-1】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为． 又因为集合，所以集合， 则，故，共有3个元素． 故选：C 【变式5-2】．（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）时下，新质生产力成为人们茶余饭后的热门话题．为了解学生在这方面的兴趣情况，某校选取高一（1）班全班学生进行了关于对人工智能、新能源汽车、绿色能源是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项．经统计，有41人对人工智能感兴趣，27人对新能源汽车感兴趣，20人对绿色能源感兴趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有20人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的有4人．那么该班级学生的人数为（    ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】A 【详解】因为同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有20人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的有4人， 所以同时对人工智能和新能源汽车感兴趣但对绿色能源不感兴趣的有人， 同时对人工智能和绿色能源感兴趣但对新能源汽车不感兴趣的有人， 同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣但对人工智能不感兴趣的有人， 因为有41人对人工智能感兴趣，27人对新能源汽车感兴趣，20人对绿色能源感兴趣， 所以只对人工智能感兴趣的有人， 只对新能源汽车感兴趣人， 只对绿色能源感兴趣人， 所以所求该班级学生的人数为． 故选：A 【变式5-3】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题意得，其中， 所以阴影部分表示的集合为，其元素个数为3． 故选：B 【变式5-4】．（24-25高一上·全国·课后作业）如图中是全集，，是的两个子集，则图中阴影部分表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，表示的部分为②和④，A错误； B选项，表示的部分为①和④，B错误； C选项，表示的部分为①，③和④，C错误； D选项，表示的部分为①，D正确. 故选：D 【变式5-5】．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多 ． 【答案】21 【详解】如图，设该班学生中同时参加三个小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 所以只参加其中一个小组的人数最多为21. 故答案为：21. 【变式5-6】．（24-25高一上·上海·开学考试）某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购 张车票. 【答案】27 【详解】由题意可得韦恩图，如图所示， 参加数理化竞赛的学生有人， 所以需预购27张车票.    故答案为：27 【变式5-7】．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .    【答案】 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分， 所以可以表示为. 故答案为：. 【考点题型六】集合的新颖题型 【例6】． 【变式6-1】．（22-23高一上·海南·阶段练习）（多选）设集合是实数集的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（    ） A． B． C． D．自然数集 【答案】AC 【详解】对于A，因为集合中的元素是极限为0的数列， 所以对于任意，都存在，使得成立， 所以0为集合的聚点，故A正确； 对于B.，因为集合中的元素是极限为1的数列， 除第一项外，其余项都至少比0大，所以对于时，不存在满足的， 所以0不为集合的聚点，故B错误； 对于C，对任意，都存在，使得成立， 所以0为集合的聚点，故C正确； 对于D，对任意，如，对任意的自然数，都有或成立， 不可能有成立，所以0不是集合自然集的聚点，故D错误. 故选：AC. 【变式6-2】．（24-25高一上·浙江·阶段练习）（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二．五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对A，，满足的描述，所以，符合； 对B，，不满足的描述，则，不符合； 对C，，满足的描述，，符合； 对D，，不满足的描述，则，不符合. 故选：AC 【变式6-3】．（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）（多选）给定非空集合，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有，，，则称集合是一个闭集合．则（    ） A．集合是闭集合 B．已知集合是闭集合，若，则 C．存在只含有101个元素的闭集合 D．若集合是闭集合，且，则 【答案】ABD 【详解】由两个偶数的和、差、积都是偶数，得集合是闭集合，故A正确； 集合为闭集合，则必有，若，则有，，故B正确； 设集合中有101个元素，则除了0外还有非零元素，由B选项可知，显然集合必定有无数个元素，故C错误； 由C选项可知，若，则必有，可得，故D正确． 故选：ABD 【变式6-4】．（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合. (1)判断3，20，25是否是集合中的元素，并说明理由； (2)若，，证明：； (3)证明：存在无穷多个完全平方数属于集合（若一个数能表示成某个整数的平方的形式.则称这个数为完全平方数）. 【答案】(1)3不是集合中的元素，20，25是集合中的元素，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，知5是集合中最小的元素，故3不是集合中的元素； 由，，知20，25是集合中的元素. （2）由，， 设，，，，，，，， 则 ， ①若，有，，可得； ②若，有 ， 又由，有，有， 可得，，可得， 由上知，若，，则. （3）设，且， 由. 又，， ， 假设，有，又由，有，可得， 又由，，得为有理数， 又由为无理数，与矛盾，故有， 由上可知， 又因为为完全平方数，且有无数多个，所以存在无穷多个完全平方数属于集合. 【变式6-5】．（24-25高一上·吉林白城·阶段练习）设非空数集，对于任意，下列4个条件：①属于；②属于；③属于；④（分母不为零）也属于，定义：满足条件①②③的数集为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足条件④的数环为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集、整数集、有理数集、实数集是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若是一个数环，是一个数域，证明：，； (3)设，证明：是数域. 【答案】(1)自然数集不是数环，整数集是数环，不是数域， 有理数集、实数集是数环也是数域. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）自然数集不是数环，例如； 整数集是数环，不是数域，例如 有理数集、实数集是数环也是数域. （2）若，则，即； 若，，则，即. （3）设，则，， 则， 因为，所以，， 所以，满足条件①. ， 因为， 所以，，所以，满足条件②. ，因为， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，所以，， 所以，满足条件④.综上所述，是数域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】元素和集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． 【清单02】集合元素的特征 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 【清单03】元素和集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 【清单04】常见数集 自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 【清单05】集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【清单06】子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 【清单07】空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 【清单08】集合的基本运算 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2） 【考点题型一】元素与集合的概念 【例1】.（1）（贵州省遵义市2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．中国著名的数学家 B．高一（2）班个子比较高的学生 C．不大于5的自然数 D．约等于3的实数 （2）（安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）（多选）设是一个数集，若对任意的，且，都有，，，，则称是一个数域，例如实数集是一个数域，则下列结论正确的是（  ） A．数域中必含有0，1两个数 B．集合是一个数域 C．有理数集是一个数域 D．数域中必含有 【变式1-1】.（24-25高一上·四川绵阳·期中考试）下列说法正确的是（    ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【变式1-2】.（24-25高一上·重庆·期中考试）（多选）下列各对象中，能够组成一个集合的是（    ） A．所有矮个子的人 B．接近1的有理数 C．小于0的实数 D．一次项系数为3的二次三项式 【变式1-3】（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.已知，集合.，则的最小值是 . 【考点题型二】元素与集合的关系 【例2】.（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知集合，，，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式2-1】.（24-25高一上·江苏南通·阶段复习）（多选）设集合，则下列元素满足的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（22-23高一上·福建福州·阶段练习）给出下列关系：（1）;（2）;（3）;（4）;（5），其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】.（24-25高一上·重庆·期中）（多选）设，则（      ） A． B． C． D． 【变式2-4】.（23-24高一上·海南·期中）（多选）已知，且，，，则取值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】.（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 【变式2-6】.（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有6个，，试确定集合. 【考点题型三】集合间的基本关系 【例3】.（贵州省遵义市2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）已知集合，则集合的真子集的个数是（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【变式3-1】.（24-25高一上·河北沧州·期中）已知集合有16个子集，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（24-25高一上·湖北·阶段练习）集合满足，则集合的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【变式3-3】.（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，若关系如图所示，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】.（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，，，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】.（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合，，若．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-6】.（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知集合集合，若集合满足，则这样的集合共有 个． 【变式3-7】.（24-25高一上·全国·期中）已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 【考点题型四】集合间的基本运算 【例4】.（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）已知集合． (1)当时，求； (2)若是的子集，求的取值范围． 【变式4-1】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）集合，且，实数的值为（   ） A．1 B． C．1或-1 D．0或1或-1 【变式4-2】.（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）已知集合，则的非空真子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】.（安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式4-4】.（24-25高三上·云南楚雄·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】.（24-25高三上·江西·阶段练习）已知集合，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式4-6】.（24-25高一上·山东·阶段练习）（多选）若非空集合满足：，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-7】.（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）记全集，集合，或． (1)若，求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【变式4-8】.（24-25高一上·山东济南·阶段练习）设集合． (1)求； (2)当时，求的非空真子集个数； 【变式4-9】.（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，，其中实数. (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【变式4-10】．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知集合． (1)当集合A变为时，写出A的所有非空真子集； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【考点题型五】集合中veen应用 【例5】．（1）（贵州省遵义市2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有（    ） A．5名 B．4名 C．3名 D．2名 （2）（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-1】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】．（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）时下，新质生产力成为人们茶余饭后的热门话题．为了解学生在这方面的兴趣情况，某校选取高一（1）班全班学生进行了关于对人工智能、新能源汽车、绿色能源是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项．经统计，有41人对人工智能感兴趣，27人对新能源汽车感兴趣，20人对绿色能源感兴趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有20人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的有4人．那么该班级学生的人数为（    ） A．50 B．51 C．52 D．53 【变式5-3】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-4】．（24-25高一上·全国·课后作业）如图中是全集，，是的两个子集，则图中阴影部分表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多 ． 【变式5-6】．（24-25高一上·上海·开学考试）某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购 张车票. 【变式5-7】．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .    【考点题型六】集合的新颖题型 【例6】． 【变式6-1】．（22-23高一上·海南·阶段练习）（多选）设集合是实数集的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（    ） A． B． C． D．自然数集 【变式6-2】．（24-25高一上·浙江·阶段练习）（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二．五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】．（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）（多选）给定非空集合，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有，，，则称集合是一个闭集合．则（    ） A．集合是闭集合 B．已知集合是闭集合，若，则 C．存在只含有101个元素的闭集合 D．若集合是闭集合，且，则 【变式6-4】．（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合. (1)判断3，20，25是否是集合中的元素，并说明理由； (2)若，，证明：； (3)证明：存在无穷多个完全平方数属于集合（若一个数能表示成某个整数的平方的形式.则称这个数为完全平方数）. 【变式6-5】．（24-25高一上·吉林白城·阶段练习）设非空数集，对于任意，下列4个条件：①属于；②属于；③属于；④（分母不为零）也属于，定义：满足条件①②③的数集为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足条件④的数环为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集、整数集、有理数集、实数集是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若是一个数环，是一个数域，证明：，； (3)设，证明：是数域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$