专题06分式方程及应用（精选真题25道）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（江苏专用）

专题06分式方程及应用（精选真题25道） 一、单选题 1．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【详解】解：， ， ， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解， 故选：A． 2．（2022·江苏苏州·二模）方程的解是（　　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解分式方程的基本步骤进行求解即可．先两边同时乘最简公分母，化为一元一次方程；然后按常规方法，解一元一次方程；最后检验所得一元一次方程的解是否为分式方程的解． 【详解】解：方程两边都乘，得 解这个方程，得 检验：将代入原方程，得 左边，右边，左边=右边． 所以，是原方程的根． 故选：A． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤和验根是解题的关键． 二、填空题 3．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 4．（2023·江苏·中考真题）方程的解是 ． 【答案】 【分析】将分式方程转化为整式方程，求解即可． 【详解】解：由可得： 解得 经检验是原分式方程的解， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法． 5．（2023·江苏无锡·中考真题）方程的解是： ． 【答案】 【分析】首先方程两边乘以最简公分母去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，最后一定要检验． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：把代入最简公分母中：， ∴原分式方程的解为： ， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误． 6．（2023·江苏苏州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程验根即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 7．（15-16九年级下·天津津南·期中）方程的解是 . 【答案】 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程求解，注意结果要检验． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键． 8．（12-13九年级下·江苏无锡·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 即原方程的解是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 9．（2022·江苏盐城·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】方程两边同时乘以2x-1，然后求出方程的解，最后验根． 【详解】解：方程两边同乘得 解得， 经检验，是原分式方程的根， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程的知识，解答本题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意要验根． 三、解答题 10．（2024·江苏南通·中考真题）（1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案； （2）根据解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ∴ 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为 11．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：；     （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握它们的解法是解题的关键． （1）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出其公共部分即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以， 得． ． 检验：当时，， 所以是原方程的解； （2）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集是． 12．（2023·江苏泰州·中考真题）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键． 13．（2021·江苏南通·中考真题）（1）化简求值：，其中； （2）解方程． 【答案】（1）原式=4；（2）． 【分析】（1）先用完全平方差公式与多项式乘法公式将原式化简为，再将已知条件代入即可； （2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可． 【详解】解：（1） = = 当时，原式==； （2）， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 则原方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意分式方程要检验． 14．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 15．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是 【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∵与的比是， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴上、下、左、右边衬的宽度分别是． 16．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？ 【答案】B型机器每天处理60吨垃圾 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解． 答：B型机器每天处理60吨垃圾． 17．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． (1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． (2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元 (2)乙商店硬面笔记本的原价18元 【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 故甲商店硬面笔记本的单价为16元； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元， 由题意可得， 解得， 根据题意得， 解得， 为正整数， ，，，，，分别代入， 可得，，，，， 由单价均为整数可得， 故乙商店硬面笔记本的原价18元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程． 18．（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可． 本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则； 在中， ， 则 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：无人机在C处时离地面． 19．（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 【答案】(1)x的值为600 (2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元 【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可； （2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意列方程，得． 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：x的值为600． （2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元． 则． ， ． 1400>0， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为56800． 答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．（2023·江苏徐州·中考真题）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间．    【答案】甲路线的行驶时间为． 【分析】设甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶事件为，根据“甲路线的平均速度为乙路线的倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶事件为，由题意可得， ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴甲路线的行驶时间为， 答：甲路线的行驶时间为． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系列出相应的分式方程． 21．（2023·江苏扬州·中考真题）甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度． 【答案】 【分析】根据甲、乙同学步行和骑自行车的速度之间的数量关系设未知数，再根据所走时间之间的数量关系列方程即可． 【详解】解：设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车速度为，     ，由题意得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，也符合实际． ， 答：乙同学骑自行车的速度为． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决问题时需注意时间单位的统一，同时解分式方程需检验． 22．（2022·江苏南京·中考真题）某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，他们的最大容量均为，原有水量分别为、，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止，已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水，设注水第时，甲、乙水池的水量分别为、． (1)若每分钟向甲注水，分别写出、与之间的函数表达式； (2)若每分钟向甲注水，画出与之间的函数图像； (3)若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题目列函数表达式即可； （2）根据给出的每分钟向甲注水，可计算出甲36分钟先注满，乙需要54分钟，所以在甲注满后，乙的注水速度将改变； （3）根据甲注水的时间=乙注水的时间（乙多注水三分钟的量减掉）列分式方程，从而求得结果． 【详解】（1）解：由题意可得：若每分钟向甲注水，则每分钟向乙注水，， 两个水池同时注满．， （2）解：若每分钟向甲注水，则每分钟向乙注水， ，所以此种情况，甲先注满，然后单独向乙注水， ， 图像如图所示： （3）解：由于甲比乙提前注满，所以后，乙每分钟注入，所以在甲注满时，乙只注入到，所以， 解得， 经检验，符合题意，是方程的解， 所以． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一次函数的图像、分式方程等，通过给定的条件列出一次函数，通过给定的点来列出对应的函数图像． 23．（2022·江苏盐城·中考真题）【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上． (1)【分析问题】 小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________． (2)【解决问题】 请帮助小明验证他的猜想是否成立． (3)【深度思考】 小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或 (2)成立，理由见解析 (3)存在，4 【分析】（1）先画出图形，再结合实际操作可得再利用勾股定理求解AC，BC，从而可得答案； （2）解法1：设半径为的圆与直线的交点为．利用勾股定理可得，即，可得，可得上，从而验证猜想； 解法2：设半径为的圆与直线交点为，可得，解方程可得．则，再消去，可得，从而验证猜想； （3）如图，设所描的点在上，由， 建立方程，整理得结合，都是正整数，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图， ∴ ∴ 故答案为：或 （2）小明的猜想成立． 解法1：如图，设半径为的圆与直线的交点为． 因为，所以，即， 所以， 所以上，小明的猜想成立． 解法2：设半径为的圆与直线交点为， 因为，所以，解得，所以． ，消去，得， 点在抛物线上，小明的猜想成立． （3）存在所描的点在上，理由： 如图，设所描的点在上， 则，因为， 所以， 整理得， 因为，都是正整数， 所以只有，满足要求． 因此，存在唯一满足要求的，其值是4． 【点睛】本题考查的是切线的性质，垂径定理的应用，坐标与图形，二次函数的图像与性质，勾股定理的应用，方程的正整数解问题，理解题意，建立几何模型与函数模型是解本题的关键． 24．（2022·江苏扬州·中考真题）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？ 【答案】每个小组有学生10名． 【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设每个小组有学生x名， 根据题意，得， 解这个方程，得x＝10， 经检验，x＝10是原方程的根， ∴每个小组有学生10名． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 25．（19-20九年级下·福建泉州·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】方程两边同时乘以x﹣2，再解整式方程得x＝4，经检验x＝4是原方程的根． 【详解】解：方程两边同时乘以x﹣2得， ， 解得： 检验：当时，， ∴是原方程的解， ∴原方程的解为x＝4． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键． 试卷第4页，共26页 20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06分式方程及应用（精选真题25道） 一、单选题 1．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·江苏苏州·二模）方程的解是（　　　）． A． B． C． D． 二、填空题 3．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 4．（2023·江苏·中考真题）方程的解是 ． 5．（2023·江苏无锡·中考真题）方程的解是： ． 6．（2023·江苏苏州·中考真题）分式方程的解为 ． 7．（15-16九年级下·天津津南·期中）方程的解是 . 8．（12-13九年级下·江苏无锡·期中）方程的解是 ． 9．（2022·江苏盐城·中考真题）分式方程的解为 ． 三、解答题 10．（2024·江苏南通·中考真题）（1）计算：； （2）解方程． 11．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：；     （2）解不等式组： 12．（2023·江苏泰州·中考真题）（1）计算：； （2）解方程：． 13．（2021·江苏南通·中考真题）（1）化简求值：，其中； （2）解方程． 14．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 15．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 16．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？ 17．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． (1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． (2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 18．（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 19．（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 20．（2023·江苏徐州·中考真题）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间．    21．（2023·江苏扬州·中考真题）甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度． 22．（2022·江苏南京·中考真题）某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，他们的最大容量均为，原有水量分别为、，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止，已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水，设注水第时，甲、乙水池的水量分别为、． (1)若每分钟向甲注水，分别写出、与之间的函数表达式； (2)若每分钟向甲注水，画出与之间的函数图像； (3)若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，求的值． 23．（2022·江苏盐城·中考真题）【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上． (1)【分析问题】 小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________． (2)【解决问题】 请帮助小明验证他的猜想是否成立． (3)【深度思考】 小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 24．（2022·江苏扬州·中考真题）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？ 25．（19-20九年级下·福建泉州·阶段练习）解方程：． 试卷第4页，共26页 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$