24.1 一元二次方程（教学课件）数学冀教版九年级上册

24.1 一元二次方程 数学（冀教版） 九年级 上册 第二十四章 一元二次方程 学习目标 1.理解一元二次方程的概念. 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 　 温故知新 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 类比一元一次方程的定义，想一想：什么样的方程叫一元二次方程呢？ 　 导入新课 解：设竹竿的长为x尺,则门的宽度为 尺, 长为 尺, 依题意得方程： 化简得 从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． (x－4)2＋ (x－2)2＝ x2 4尺 2尺 x x－4 x－2 数学化 (x－2) (x－4) x2-12x+20=0 讲授新课 知识点一 一元二次方程的定义 思考： 把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长. 设正方形的边长为x，可列出方程 x x x 3 x2+3x=4 讲授新课 思考： 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3000 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100 cm 50cm 3600 cm2 x 解：设切去的正方形的边长为 x cm， 则盒底的长为 (100 − 2x) cm， 化简，得 3000 500 讲授新课 思考： 以下三个方程有什么共同点？ (1) 方程的两边都是整式； (2) 都只含一个未知数； (3) 未知数的最高次数都是 2. x2-12x+20=0 x2+3x=4 500 讲授新课 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. ※一元二次方程的概念 ※一元二次方程的一般形式 讲授新课 思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 讲授新课 思考： 判断下列方程是一元二次方程吗? (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) √ √ √ √ √ × × × × × 讲授新课 典例精析 【例1】若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值. 解： 是一元二次方程， 讲授新课 练一练 1、a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0， ∴当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由+1 =2，且a－1≠0得， 当a=－1时，原方程是一元二次方程. 讲授新课 常数项是 . 一次项系数是 ， 2、已知关于x的方程(m-2)x2+mx-1=0 ⑴当m取什么值时，这个方程是一元一次方程？ ⑵当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？这时它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？ 解： ⑴当m-2=0，即m=2时，这个方程是一元一次方程. ⑵当m-2≠0, 即m≠2时，这个方程是一元二次方程， 它的二次项系数是 , m-2 m -1 ⑶若关于x的方程(m-2)x2+mx-1=0的一个根是 2，你能求出m的值吗？ 讲授新课 知识点二 一元二次方程的一般形式 思考：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 二次项是3x2，系数是3；一次项是-8x，系数是-8；常数项是-10. 讲授新课 确定一元二次方程各项及其系数的“两点注意”: (1)一定要先把方程化为一般形式； (2)确定各项及其系数时，不能忽略前面的符号. 讲授新课 思考： 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方　　程 一般形式 二次项 系　数 一次项 系　数 常数项 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6 4-7x2=0 3x2－5x＋1＝0 x2 ＋ x－8＝0 3 1 3 －5 1 1 1 －8 －7 0 4 －7x2 ＋4＝0 讲授新课 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 【练习】下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 讲授新课 典例精析 【点睛】求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 【例2】已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 解：由题意得 讲授新课 下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2， 0． 解：将x=-4代入原方程， 不是 将x=-3代入原方程， 是 将x=-2代入原方程， 是 将x=0代入原方程， 不是 讲授新课 练一练 1、已知关于x的一元二次方程 的一个根是x=0，则a的值为_________ 解：把x=0代入原方程得， -1 2、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0） (1)满足a+b+c=0 时，有根x=_________. (2)满足a-b+c=0 时，有根x=_________. (3)满足c=0 时，有根x=_________. 1 -1 0 当堂检测 1. 下列哪些是一元二次方程？ (1)3x+2=5x-2 (2)x2=0 (3)(x+3)(2x-4)=x2 (4)3y2=(3y+1)(y-2) (5)x2=x3+x2-1 (6)3x2=5x-1       当堂检测 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 当堂检测 3. 一元二次方程 <m></m> 的二次项系数、一次项系数及常数项分别是( ) A. 2，5，6 B. 5，2，6 C. 2，5，－6 D. 5，2，－6 C 当堂检测 4. 某小区准备在每两幢楼房之间开辟一块面积为300平方米的矩形绿地，且长比宽多7米.设矩形绿地的宽为x米，则可列方程为_______________. x(x＋7)＝300 5.关于x的一元二次方程(m－1)x2＋(m2－1)x＋3＝0的一次项系数为0，则m的值为 ( ) A．±1 B．1 C．－1 D．0 C 当堂检测 6.把下列一元二次方程转化成一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项. (1)(x+1)(x－2)=4； (2)2(x－3)(x+4)=x2－10； (3)(2x+1)(x－2)=5－3x. 当堂检测 解：(1)整理方程，得x2－x－6=0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6. (2)整理方程，得x2+2x－14=0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14. (3)整理方程，得2x2－7=0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7. 当堂检测 7.如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 根据题意有， 200cm 150cm 当堂检测 8、如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x. 整理，得 根据题意有， 当堂检测 9.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0，有一个根为0，求m的值. 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 当堂检测 10、有一条长为 16 m 的绳子，你能否用它围出一个面积为 15 m2 的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？ 解: 设矩形的宽为 x m． x(8－x) ＝ 15． x ＝ 3 或5 所以，矩形的宽为 3 m，长为 5 m． 课堂小结 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ※一元二次方程的概念 ※一元二次方程的一般形式 ※一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 谢 谢~ $$