第13讲 函数（7个知识点+7种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第13讲 函数（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 题型强化 题型一．常量与变量 1．（2024春•项城市校级期中）在中，常量和变量分别是　　 A．常量是4；变量是 B．常量是；变量是 C．常量是3；变量是， D．常量是；变量是， 2．（2023春•普宁市期中）饮食店里快餐每盒5元，买盒需付元，则其中常量是　　，变量是　　． 3．（2024•榆林校级开学）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度 105 100 95 90 85 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当蚊香的燃烧时间为时，蚊香长度为多少？ 题型二．函数的概念 4．（2024春•长沙期中）下列各图能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 5．（2021秋•高邮市期末）变量，有如下关系：①；②．其中是的函数的是 　　．（填序号） 6．在计算器上按照下面的程序进行操作： 填表： 1 3 0 101 　7　 　　 　　 　　 　　 显示的数是输入的数的函数吗？为什么？ 题型三．函数关系式 7．（2024春•鄄城县期末）我们要节约用水，平时要关好水龙头．没有关好水龙头，每滴水约0.05毫升，每分钟滴60滴．如果小明忘记关水龙头，则分钟后，小明浪费的水（毫升）与时间（分钟）之间的函数关系是　　 A． B． C． D． 8．（2024春•金凤区校级期中）若一个长方形的周长为，一条边长为 ，面积为 ，则与之间满足的关系式为 　　． 9．（2024春•广饶县期末）已知一个圆柱的底面半径是，当圆柱的高变化时，圆柱的体积也随之变化． （1）在这个变化过程中，自变量是　　，因变量是　　． （2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积与高之间的关系式； （3）当由变化到时，是怎样变化的？ 题型四．函数自变量的取值范围 10．（2024春•衡山县月考）函数的自变量的取值范围是　　 A． B．，且 C． D． 11．（2024•道里区二模）在函数中，自变量的取值范围是 　　． 12．（2023秋•昭平县期中）已知，把它改写为的形式，并写出其自变量的取值范围． 题型五．函数值 13．（2023秋•茂南区校级期中）在直线中，当时，的值为　　 A．3 B． C．9 D． 14．（2024春•娄星区期末）已知变量与的关系式是，则当时，　　． 15．（2023春•港南区期末）已知一个长方体的体积是，它底面的两条边长分别是和，高是． （1）写出与之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）当时，求的值． 题型六．函数的图象 16．（2024春•德城区校级期中）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程（米与时间（分之间的关系．下列说法错误的是　　 A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 17．（2024春•芝罘区期末）某复印店复印收费（元与复印面数面的函数图象如图所示，从图象中可以看出，复印超过100面的部分，每面收费 　　元． 18．（2024春•吉水县期末）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离（千米）与时间（小时）的关系，则： （1）摩托车每小时走　　千米，自行车每小时走　　千米； （2）自行车出发后多少小时，它们相遇？ （3）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？ 题型七．函数的表示方法 19．（2023秋•郑州期中）某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是　　 A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 20．（2024春•栾城区期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表） 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 当空气温度为时，声音经过可以传播的路程是 　　米． 21．（2022春•栖霞市期末）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间有如表所示的关系： 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 （1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？ （3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？ 分层练习 一、单选题 1．函数y＝的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞6 B．x＜6 C．x≥6 D．x≤6 2．在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x≠0 C．x＞1 D．x≠1 3．一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为（    ） A．10 B． C． D．9 4．某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（    ） A．修车花了25分钟 B．小明家距离学校1000米 C．修好车后骑行的速度是200米/分钟 D．修好车后花了15分钟到达学校 5．甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）    A．当温度为时，甲、乙两种物质的溶解度相等 B．当温度为时，甲、乙两种物质的溶解度都小于 C．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 D．当温度升高至时，甲物质的溶解度比乙物质的溶解度大 6．今年端午假期，小明一家驾车从家出发前往五常凤凰山森林公园游玩，在行驶的过程中，汽车离凤凰山森林公园的路程与所用时间之间的函数图象大致用图中的两条线段表示，下列结论正确的是（    ） A．小明家离凤凰山森林公园的路程为 B．小明从家出发第1小时的平均速度为 C．小明从家出发2小时离凤凰山森林公园的路程为 D．小明从家到凤凰山森林公园共用了3h 7．如图，在四边形中，，，，E为的中点，F是的中点，P是一动点，从点A开始沿匀速运动，到达点C即停止，记点P运动的时间为x，四边形的面积为y，y与x关系所反映的图象可能是（　　）    A．   B．    C．     D．   8．某次物理实验中，测得变量和的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（     ） 1 2 3 4 5 6 2.41 4.9 10.33 17.21 25.93 37.02 A． B． C． D．． 9．为增强师生体质，提高师生的运动积极性，某校举办了“缤纷越野跑”比赛，在越野赛中，甲、乙两同学的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．起跑后1小时内，甲在乙的前面 B．第1小时两人都跑了10千米 C．甲比乙先到达终点 D．两人都跑了20千米 10．如图，半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，线段OP的垂直平分线分别交OP、半圆O于B、C两点，射线PC交半圆O于点D．设PA＝x，CD＝y，则能表示y与x的函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．请写出一个函数表达式，其图像经过原点，这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可）． 12．如记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，根据图象可知，在这一天中，时和 的温度是．    13．函数中，自变量x的取值范围是 14．函数的定义域是 ． 15．函数的自变量x的取值范围是 ． 16．在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是 ，y是x的 ． 17．汾酒是山西省汾阳县杏花村的大曲清香型酒，有着悠久的历史，汾酒在唐代已有盛名，唐代诗人杜牧的《清明》里写道：“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．借问酒家何处有？牧童遥指杏花村．”某商店销售一种汾酒，标价为每瓶元，店里有个团购优惠，团购汾酒瓶以上，超过瓶的部分可享受折优惠．若小明和朋友一起团购了（）瓶汾酒，共付款元，则与的函数关系式为 ．    18．如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，运动到点时停止．设动点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为．请分别写出当，时，与之间的函数表达式： ． 三、解答题 19．某校生物小组学生准备在校内一空地围一个长方形苗圃．苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米；苗圃的另一边与墙垂直，长为米．试写出苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式以及函数的定义域．画出这个函数的图像． 20．我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收的所得税，如某人月收入3860元，他应缴个人工资、薪金所得税为（元）． (1)当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式； (2)某人月收入4200元，他应缴所得税多少元？ (3)如果某人本月缴所得税24元，那么此人本月工资、薪金多少元？ 21．用“描点法”画出函数y=x2的图象． x … 0 1 2 3 … y … … 22．如图，一个无水的长方体玻璃缸，长60厘米、宽25厘米、高30厘米．一个水龙头是从10：00开始向这个玻璃缸内注水，水的流量为6立方分米/分．关闭水管停止注水．接着在玻璃缸内放入一个高20厘米的圆柱铁块，全部浸没于水中．玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示．    (1)图中点________的位置表示停止注水．（从A、B、C中选择） (2)时玻璃缸水面高度为________厘米． (3)请列式计算，求出圆柱铁块的体积． 23．某班级同学从学校出发去白鹿原研学旅行，一部分坐大客车先出发，余下的几人后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，后小轿车赶了上来，大客车随即开动，以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变，最终两车相继到达了景点入口，两车距学校的路程单位：和行驶时间单位：之间的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题． (1)求大客车在途中等候时距学校的路程有多远？ (2)在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ 24．如图1，在中，，是的中点是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于． （1）如图2，如果点与点重合，求证：； （2）如图3，如果，求的长； （3）设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 25．我们知道：当弹簧受到外力的作用时会伸长，某学习小组利用一根弹簧，通过实验的方式研究弹簧的长度与所挂物体重量之间的关系，并对每组数据进行了记录：    物体的重量x/kg 0 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度y/cm 8 10 12 14 16 18 … (1)上表所表示的变量之间的关系中，自变量是_______________，因变量是_______________； (2)直接写出y与x的关系式：_______________； (3)当所挂物重为时，弹簧的长度为_______________； (4)这根弹簧的弹性限度（即弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性）为，则在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂多重的物体？ 26．为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下： 衣物类别P含量 浸泡时长 甲类 乙类 0 80 79 2 37 32 4 31 25 6 29 21 8 28 18 10 27 17 12 27 16 (1)设浸泡时长为x，甲，乙类衣物中P的含量分别为，，在平面角坐标系中，描出表中各组数值所对应的．点，，并画出函数，的图象； (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为______（精确到）； (3)根据衣物中P的含量（单位：）将衣物分为A级（含量）、B级（含量）和C类（含量）．若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为____（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____（精确到）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 函数（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 题型强化 题型一．常量与变量 1．（2024春•项城市校级期中）在中，常量和变量分别是　　 A．常量是4；变量是 B．常量是；变量是 C．常量是3；变量是， D．常量是；变量是， 【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案． 【解答】解：在中，常量是；变量是，， 故选：． 【点评】本题考查变量和常量的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2023春•普宁市期中）饮食店里快餐每盒5元，买盒需付元，则其中常量是　5　，变量是　　． 【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 【解答】解：单价5元固定，是常量， 付费元随着盒数的变化而变化，是变量， 故常量是5，变量是，； 故答案为：5；，； 【点评】主要考查了常量与变量，在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 3．（2024•榆林校级开学）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度 105 100 95 90 85 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当蚊香的燃烧时间为时，蚊香长度为多少？ 【分析】（1）根据自变量、因变量定义解答即可； （2）根据表格数据求出解析式，将代入解析式计算出即可． 【解答】解：（1）自变量是蚊香燃烧的时间，因变量是蚊香长度； （2）根据题意和表格数据可得：， 当时，． 【点评】本题考查了常量与变量，熟练掌握相关定义是关键． 题型二．函数的概念 4．（2024春•长沙期中）下列各图能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的概念可直接进行排除选项． 【解答】解：、、都不是函数，因为一个的值对应有多个的值，选项符合函数的概念， 故选：． 【点评】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 5．（2021秋•高邮市期末）变量，有如下关系：①；②．其中是的函数的是 　①　．（填序号） 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的定义判断即可． 【解答】解：①，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意； ②，任意给一个正数，都有两个值与对应，不符合函数的定义，不符合题意； 故答案为：①． 【点评】本题考查了函数的概念，关键是对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即一一对应． 6．在计算器上按照下面的程序进行操作： 填表： 1 3 0 101 　7　 　　 　　 　　 　　 显示的数是输入的数的函数吗？为什么？ 【分析】根据题意可以将表格中的数据补充完整，然后根据函数的定义即可解答本题． 【解答】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：7、11、3、5、207； 显示的是的函数，因为给任意的的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数关系式，故是的函数． 【点评】本题考查函数的概念，解答本题的关键是明确函数的定义． 题型三．函数关系式 7．（2024春•鄄城县期末）我们要节约用水，平时要关好水龙头．没有关好水龙头，每滴水约0.05毫升，每分钟滴60滴．如果小明忘记关水龙头，则分钟后，小明浪费的水（毫升）与时间（分钟）之间的函数关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可得等量关系：水龙头滴出的水量毫升水龙头每分钟滴出60滴水毫升滴水时间，根据等量关系列出函数关系式． 【解答】解：由题意得：， 故选：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 8．（2024春•金凤区校级期中）若一个长方形的周长为，一条边长为 ，面积为 ，则与之间满足的关系式为 　　． 【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积长宽列出函数关系式． 【解答】解：一个长方形的周长为，一条边长为 ， 长方形的另一边长为：， 根据题意可得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查列二次函数关系式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9．（2024春•广饶县期末）已知一个圆柱的底面半径是，当圆柱的高变化时，圆柱的体积也随之变化． （1）在这个变化过程中，自变量是　　，因变量是　　． （2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积与高之间的关系式； （3）当由变化到时，是怎样变化的？ 【分析】（1）利用函数的概念进行回答； （2）利用圆柱的体积公式求解； （3）分别计算出和6对应的函数值可得到的变化情况． 【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是，因变量是； 故答案为，； （2）； （3）当时，；当时，； 所以当由变化到时，是由变化到． 【点评】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．函数解析式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式． 题型四．函数自变量的取值范围 10．（2024春•衡山县月考）函数的自变量的取值范围是　　 A． B．，且 C． D． 【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案． 【解答】解：由题意，得 且， 解得且， 故选：． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数，分母不能为零是解题关键． 11．（2024•道里区二模）在函数中，自变量的取值范围是 　　． 【分析】根据函数表达式是整式时，自变量可取全体实数解答． 【解答】解：当，即时，函数有意义． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 12．（2023秋•昭平县期中）已知，把它改写为的形式，并写出其自变量的取值范围． 【分析】根据等式的性质把函数解析式变形，再根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意可知：， ， ， 其自变量的取值范围为：，即． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为0是解题的关键． 题型五．函数值 13．（2023秋•茂南区校级期中）在直线中，当时，的值为　　 A．3 B． C．9 D． 【分析】把代入中，可得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把代入中，得：， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14．（2024春•娄星区期末）已知变量与的关系式是，则当时，　　． 【分析】将代入与的关系式中求解即可． 【解答】解：将代入， 可得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数值的知识，关键搞清当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值． 15．（2023春•港南区期末）已知一个长方体的体积是，它底面的两条边长分别是和，高是． （1）写出与之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）当时，求的值． 【分析】（1）根据长方体体积公式即可得到答案； （2）把代入即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得：， ； （2）把代入得： ． 【点评】本题考查列函数关系式及求函数值，解题的关键是掌握长方体体积公式． 题型六．函数的图象 16．（2024春•德城区校级期中）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程（米与时间（分之间的关系．下列说法错误的是　　 A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 【分析】依据题意，根据函数的图象逐个进行分析判断可以得解． 【解答】解：由题意，结合图象可得，他家与学校的距离为1000米，从家出发到学校，王老师共用了25分钟，故错误；王老师从家出发10分钟后开始用早餐，花了：（分钟），故正确；王老师用早餐前步行的速度是：（米分），用完早餐以后的速度是：（米分），故、正确． 综上，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能结合函数的图象进行分析是关键． 17．（2024春•芝罘区期末）某复印店复印收费（元与复印面数面的函数图象如图所示，从图象中可以看出，复印超过100面的部分，每面收费 　0.4　元． 【分析】由图象可知，不超过100面时，每面收费元，超过100面的部分每面收费（元． 【解答】解：超过100面部分每面收费（元， 故答案为：0.4． 【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是仔细观察图象，并从图象中整理出进一步解题的有关信息． 18．（2024春•吉水县期末）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离（千米）与时间（小时）的关系，则： （1）摩托车每小时走　40　千米，自行车每小时走　　千米； （2）自行车出发后多少小时，它们相遇？ （3）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？ 【分析】（1）用总路程除以各自用的时间即是各自的速度； （2）设自行车出发后小时，它们相遇，根据等量关系“自行车小时走的路程摩托车用小时走的路程”列方程解答即可； （3）分三种情形讨论即可； 【解答】解：（1）摩托车每小时走：（千米）， 自行车每小时走：（千米）． 故答案为：40，10； （2）设自行车出发后小时，它们相遇， 解得． （3）设摩托车出发后小时，他们相距10千米； ①相遇前：， 解得； ②相遇后：， 解得：， ③摩托车到达终点，解得 答：摩托车出发后或4小时，他们相距10千米． 【点评】本题考查了函数的图象，学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题． 题型七．函数的表示方法 19．（2023秋•郑州期中）某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是　　 A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 【分析】根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．从而可得答案． 【解答】解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的表示方法，解题的关键是理解图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律． 20．（2024春•栾城区期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表） 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 当空气温度为时，声音经过可以传播的路程是 　1620　米． 【分析】根据表格求出即可空气温度为时的声速，再计算即可． 【解答】解：由表格可知，当空气温度为时，声速， 声音经过可以传播的路程是米， 故答案为：1620． 【点评】本题考查变量之间的关系，函数的表示方法；能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算声速是解题的关键． 21．（2022春•栖霞市期末）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间有如表所示的关系： 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 （1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？ （3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？ 【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案； （2）根据表格中两个变量变化数据得出答案； （3）提供变化情况得出结论． 【解答】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量； （2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9； （3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱． 【点评】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键． 分层练习 一、单选题 1．函数y＝的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞6 B．x＜6 C．x≥6 D．x≤6 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】解：由被开方数是非负数，得 x﹣6≥0， 解得x≥6， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围， 利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键 ． 2．在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x≠0 C．x＞1 D．x≠1 【答案】B 【知识点】求自变量的取值范围 【详解】试题分析：根据分母不等于0列式计算即可得解． 解：根据题意得，x≠0． 故选B． 点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3．一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为（    ） A．10 B． C． D．9 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解． 【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为升/分钟， 3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完， 则排水速度为升/分钟， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键． 4．某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（    ） A．修车花了25分钟 B．小明家距离学校1000米 C．修好车后骑行的速度是200米/分钟 D．修好车后花了15分钟到达学校 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图像的纵坐标，可得路程． 【详解】解：A．由横坐标看出，小明修车时间为25-10=15（分钟），故本选项不符合题意； B．由纵坐标看出，小明家离学校的距离2000米，故本选项不合题意； C．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2000-1000）÷5=200（米/分钟），故本选项符合题意； D．由横坐标看出，小明修好车后花了30-25=5（分钟）到达学校，故本选项不合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图像，观察函数图像得出相应的时间，函数图像的纵坐标得出路程是解题关键． 5．甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）    A．当温度为时，甲、乙两种物质的溶解度相等 B．当温度为时，甲、乙两种物质的溶解度都小于 C．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 D．当温度升高至时，甲物质的溶解度比乙物质的溶解度大 【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】利用函数图象的意义可得答案． 【详解】解：由图象可知、、都正确， 当温度为时，甲、乙的溶解度都为，故A错误， 故选：． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键． 6．今年端午假期，小明一家驾车从家出发前往五常凤凰山森林公园游玩，在行驶的过程中，汽车离凤凰山森林公园的路程与所用时间之间的函数图象大致用图中的两条线段表示，下列结论正确的是（    ） A．小明家离凤凰山森林公园的路程为 B．小明从家出发第1小时的平均速度为 C．小明从家出发2小时离凤凰山森林公园的路程为 D．小明从家到凤凰山森林公园共用了3h 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象．根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可． 【详解】解：时，，因此小明家离凤凰山森林公园的路程为，故A选项错误，不合题意； 时，，因此小明从家出发第1小时的平均速度为，故B选项错误，不合题意； 时，，因此小明从家出发2小时离景点的路程为，故C选项错误，不合题意； 小明离家1小时后的行驶速度为， ∴从家出发2小时离景点的路程为，还需要行驶1小时， 因此小明从家到凤凰山森林公园的时间共用了，故D选项正确，符合题意； 故选D． 7．如图，在四边形中，，，，E为的中点，F是的中点，P是一动点，从点A开始沿匀速运动，到达点C即停止，记点P运动的时间为x，四边形的面积为y，y与x关系所反映的图象可能是（　　）    A．   B．    C．     D．   【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】连接，四边形的面积＝的面积+的面积，设的面积为m，分两种情形讨论y与x的关系即可，用排除法即可． 【详解】解：连接，如图， 点P在上时，因为不一定平行，故B可以排除． 当点P在上时，设的面积为m，，由题意得是定值，是x的一次函数，故C，D可以排除，           故选：A． 【点睛】本题考查函数与图象的关系、四边形面积与点P运动的位置关系，分类讨论，学会用排除法解决函数图象问题． 8．某次物理实验中，测得变量和的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（     ） 1 2 3 4 5 6 2.41 4.9 10.33 17.21 25.93 37.02 A． B． C． D．． 【答案】A 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出与之相近的关系式． 【详解】解：有四组数据可找出规律，2.41-1=1.41，接近12； 4.9-1=3.9，接近22； 10.33-1=9.33，接近32； 17.21-1=16.21，接近42； 25.931=24.93，接近52； 37.021=36.02，接近62； 故m与v之间的关系最接近于v=m2+1． 故选：A． 【点睛】本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的律，然后再答案中找出与之相近的关系式． 9．为增强师生体质，提高师生的运动积极性，某校举办了“缤纷越野跑”比赛，在越野赛中，甲、乙两同学的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．起跑后1小时内，甲在乙的前面 B．第1小时两人都跑了10千米 C．甲比乙先到达终点 D．两人都跑了20千米 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据函数图象中已知的数据，运用公式：路程÷时间=速度，速度×时间=路程，路程÷速度=时间，进行计算即可得到正确结论． 【详解】解：A、根据函数图象，起跑后1小时内，甲的图象在上方，所以甲在乙的前面，正确，故此选项不符合题意； B、根据函数图象的交点坐标，可得第1小时两人都跑了10千米，正确，故此选项不符合题意； C、根据函数图象乙比甲先到达终点，甲比乙先到达终点错误，故此选项符合题意； D、根据函数图象两人都跑完了全程20千米，所以两人都跑了20千米正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，从函数图象获取信息是解题的关键． 10．如图，半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，线段OP的垂直平分线分别交OP、半圆O于B、C两点，射线PC交半圆O于点D．设PA＝x，CD＝y，则能表示y与x的函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象 【详解】试题解析：作OE⊥CD，垂足为E，如图1， 则CE=CD=y， ∵∠P=∠P，∠PBC=∠PEO=90°， ∴△PBC∽△PEO， ∴， 而PB=OP=（x+4），PE=PC+CE=4+y， ∴， ∴y=x2+2x-4（4-4＜x＜4）； 故选A. 二、填空题 11．请写出一个函数表达式，其图像经过原点，这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】函数解析式 【分析】根据函数的性质，函数图象过点，写出一个符合题意的函数表达式即可． 【详解】解：函数图象过点， 函数表达式可以是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了函数的图象及性质，掌握函数不同表示方式之间的联系是本题的关键． 12．如记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，根据图象可知，在这一天中，时和 的温度是．    【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象．理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，读懂图意是解题的关键． 根据横轴表示时间，纵轴表示温度．由此可找具体的时刻相对应的时间和温度，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，时和的温度是， 故答案为：． 13．函数中，自变量x的取值范围是 【答案】． 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 14．函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】此题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，二次根式被开方数为非负数进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得：， 故答案为：． 15．函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≤3 【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件 【详解】由题意可得，3-x≥0， 解得x≤3． 故答案为：x≤3． 16．在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是 ，y是x的 ． 【答案】 自变量 函数 【知识点】函数的概念 【解析】略 17．汾酒是山西省汾阳县杏花村的大曲清香型酒，有着悠久的历史，汾酒在唐代已有盛名，唐代诗人杜牧的《清明》里写道：“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．借问酒家何处有？牧童遥指杏花村．”某商店销售一种汾酒，标价为每瓶元，店里有个团购优惠，团购汾酒瓶以上，超过瓶的部分可享受折优惠．若小明和朋友一起团购了（）瓶汾酒，共付款元，则与的函数关系式为 ．    【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】根据题意，5瓶不打折的价格加上瓶8折的价格，即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列函数关系式，理解题意是解题的关键． 18．如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，运动到点时停止．设动点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为．请分别写出当，时，与之间的函数表达式： ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】根据动点从点A出发，当，从B运动到C，此时y随x的增加而增大，当点M在DA上运动时，y随着x的增大而减小，据此分别求出三角形的面积即可. 【详解】当时，， 即； 当时，， 即； 综上，， 故答案为：. 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势. 三、解答题 19．某校生物小组学生准备在校内一空地围一个长方形苗圃．苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米；苗圃的另一边与墙垂直，长为米．试写出苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式以及函数的定义域．画出这个函数的图像． 【答案】函数解析式为，函数的定义域为，图见解析 【知识点】函数的三种表示方法、用描点法画函数图象、函数解析式 【分析】本题考查了函数的实际应用，理解题意、正确得出函数解析式以及函数的定义域、掌握描点法画函数图像是解题的关键． 根据“长方形苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米，苗圃的另一边与墙垂直，长为米”，得出苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式以及函数的定义域，根据函数解析式以及函数的定义域，取点（实际取不到）、、、、、、、、，顺次连接画出函数的图像即可． 【详解】解：∵长方形苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米，苗圃的另一边与墙垂直，长为米， ∴苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式为，函数的定义域为， 如图，画出函数的图像， ． 20．我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收的所得税，如某人月收入3860元，他应缴个人工资、薪金所得税为（元）． (1)当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式； (2)某人月收入4200元，他应缴所得税多少元？ (3)如果某人本月缴所得税24元，那么此人本月工资、薪金多少元？ 【答案】(1) (2)21元 (3)4300元 【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值和自变量的值： （1）根据所得税的计算方法，超过3500元的部分乘以，即可写出函数解析式； （2）把代入函数解析式即可求得； （3）把代入函数解析式即可求得x的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式为； （2）解：当时，， 即他应缴所得税21元； （3）解：当时，， ∴， 当时，， 解得：， 即此人本月工资、薪金4300元． 21．用“描点法”画出函数y=x2的图象． x … 0 1 2 3 … y … … 【答案】画图见解析 【知识点】用描点法画函数图象 【分析】先把表格中的每对对应数值填好，再把的值作为点的横坐标，的值作为点的纵坐标，在平面直角坐标系内描点，最后用光滑的曲线连接，从而可得答案. 【详解】解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … 描点： 连线：用光滑的曲线连接， 【点睛】本题考查的是利用描点法画函数的图象，掌握描点法画函数图象的步骤是解题的关键. 22．如图，一个无水的长方体玻璃缸，长60厘米、宽25厘米、高30厘米．一个水龙头是从10：00开始向这个玻璃缸内注水，水的流量为6立方分米/分．关闭水管停止注水．接着在玻璃缸内放入一个高20厘米的圆柱铁块，全部浸没于水中．玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示．    (1)图中点________的位置表示停止注水．（从A、B、C中选择） (2)时玻璃缸水面高度为________厘米． (3)请列式计算，求出圆柱铁块的体积． 【答案】(1)B (2)20 (3)圆柱体铁块的体积是9000立方厘米 【知识点】从函数的图象获取信息、 圆柱的体积 【分析】（1）根据题意并通过观察折线统计图可知，B点的位置表示停止注水； （2）先求出注水的时间，再根据注水的体积，根据长方体的体积（容积）公式：,那么，把数据代入公式求出时玻璃缸内水面的高度； （3）铁块的体积等于上升部分水的体积，根据体积公式把数据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：如图中，B点的位置表示停止注水． （2）解：（分） （立方分米） 30立方分米=30000立方厘米 （厘米）． 答：时玻璃缸内水面的高度为20厘米． （3）解： ， ， （立方厘米） 答：圆柱体铁块的体积是9000立方厘米． 【点睛】本题主要考查长方体的体积（容积）公式、圆柱的体积公式、等知识点，牢记相关公式是解答本题的关键． 23．某班级同学从学校出发去白鹿原研学旅行，一部分坐大客车先出发，余下的几人后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，后小轿车赶了上来，大客车随即开动，以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变，最终两车相继到达了景点入口，两车距学校的路程单位：和行驶时间单位：之间的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题． (1)求大客车在途中等候时距学校的路程有多远？ (2)在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ 【答案】(1) (2) 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查从函数图象中提取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小轿车的速度，然后即可得到的值，从而可以得到大客车在途中等候时距学校的路程有多远； （2）根据题意，可以计算出大客车开始的速度和后来的速度，从而可以计算出在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有多远． 【详解】（1）解：由图象可得， 小轿车的速度为：， ， 即大客车在途中等候时距学校的路程有； （2）解：大客车开始的速度为：， 大客车后来的速度为：， ， 即在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有． 24．如图1，在中，，是的中点是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于． （1）如图2，如果点与点重合，求证：； （2）如图3，如果，求的长； （3）设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】（1）证明见详解；（2）PQ=；（3），， 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、根据三角形中线求长度、用勾股定理解三角形 【分析】（1）在中，，是的中点可得DC=AD=BD，可求∠DCB=∠DBC=30°，由外角性质∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，由QB⊥DB， 可求∠DQB=90°-∠QDB=30°，可得DQ=2DB=2DC，由D与P重合，可证PQ=2PC； （2）过B作BH⊥PQ于H，由AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，可求AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，由∠HCB=30°，∠CHB=90°，可求CB=2BH= 可得BH=，由∠PBQ=90°，BP=BQ，可求PQ=2BH=； （3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，由勾股定理求出CH=，当CP≤9时PH=9-PC=9-x，当CP时PH=PC-9=x-9，分两种情况，在RtRt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2即可求出。 【详解】解：（1）在中，，是的中点， ∴DC=AD=BD， ∴∠DCB=∠DBC=30°， 又∵∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°， ∵QB⊥DB， ∴∠DQB=90°-∠QDB=30°， ∴DQ=2DB=2DC， ∵D与P重合， PQ=2PC； （2）过B作BH⊥PQ于H， ∵AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴AB=2AC=12， 在Rt△ACB中由勾股定理BC=， 又因为∠HCB=30°，∠CHB=90°， ∴CB=2BH=， ∴BH=， ∵∠PBQ=90°，BP=BQ， ∴PQ=2BH=； （3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，CH=， 当CP≤9时PH=9-PC=9-x， 在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2， y2=(9-x)2+27， 即， 当CP时PH=PC-9=x-9， 在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2， y2=(x-9)2+27， 即， 【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质函数关系，掌握直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质函数关系，解题关键是在Rt△PBH中利用勾股定理构造等式求出函数关系． 25．我们知道：当弹簧受到外力的作用时会伸长，某学习小组利用一根弹簧，通过实验的方式研究弹簧的长度与所挂物体重量之间的关系，并对每组数据进行了记录：    物体的重量x/kg 0 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度y/cm 8 10 12 14 16 18 … (1)上表所表示的变量之间的关系中，自变量是_______________，因变量是_______________； (2)直接写出y与x的关系式：_______________； (3)当所挂物重为时，弹簧的长度为_______________； (4)这根弹簧的弹性限度（即弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性）为，则在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂多重的物体？ 【答案】(1)所挂物体的重量，弹簧的长度； (2) (3)21 (4)最多可以挂重的物体 【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系： （1）直接根据表格作答即可； （2）根据弹簧的长度等于原长加上增加的长度，列出关系式即可； （3）令，求出的值即可； （4）求出时的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知：自变量为物体的重量，因变量为弹簧的长度； （2）由表格可知：重量每增加，弹簧伸长， ∴； （3）当时，则：； 故答案为：21； （4）当时，， ∴， 即：该弹簧最多可以挂重的物体． 26．为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下： 衣物类别P含量 浸泡时长 甲类 乙类 0 80 79 2 37 32 4 31 25 6 29 21 8 28 18 10 27 17 12 27 16 (1)设浸泡时长为x，甲，乙类衣物中P的含量分别为，，在平面角坐标系中，描出表中各组数值所对应的．点，，并画出函数，的图象； (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为______（精确到）； (3)根据衣物中P的含量（单位：）将衣物分为A级（含量）、B级（含量）和C类（含量）．若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为____（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)乙； 【知识点】用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息： （1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：由函数图象可知当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为， 故答案为：； （3）解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过时，甲含P的最低量大于20，乙的最低含量可以小于20， ∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙， 观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡， 故答案为：乙；． 学科网（北京）股份有限公司 $$