4.2正切（同步课件）数学湘教版九年级上册

4.2 正切 主讲： 湘教版数学九年级上册 第4章 锐角三角函数 学习目标 目标 1 目标 2 1.会利用相似直角三角形，探索并认识正切的定义.会求锐角的正切值. 2.会求特殊角30°，45°，60°的正切值并熟记这些值. 自学指导 阅读教材P117-119。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： （1）看教材P117的“探究”，思考在直角三角形中，当锐角的度数一定时，它的对边与邻边的比是不是一个常数，这与三角形的大小有没有关系？正切的定义是怎样的？怎样标记？ （2）看教材P118的“动脑筋”和“做一做”，学会求锐角的正切值，并熟记300、450、600的三角函数值; （3）看教材P119，了解锐角三角函数的概念。 探究新知 探究 如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C =∠F =90°， 则 成立吗？为什么？ ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF. ∴ 即 BC·DF = AC·EF ， ∴ ∠A=∠D = ，∠C =∠F = 90°， ∵ 归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比也是一个固定值． 在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作 tanα，即 正切定义： 角 的对边 角α邻边 tanA= tanB= 思考：tanA和tanB是什么关系？ tanA和tanB互为倒数 动脑筋 探究新知 如何求tan 30°，tan60°的值呢？ 如图，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°. 于是 BC= AB， 从而AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2. 由此得出AC= BC． ∠B=60°． 因此tan30°= . tan60°= . 做一做 探究新知 求tan 45°值. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°. ∴ ∠B = 45°. ∴ AC = BC. ∴tan 45°= 45° 锐角A的正切值可以等于1，也可以大于1. 角α 值 30° 45° 60° sinα cosα tan α 归纳 探究新知 对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的正切值， 我们可以利用计算器来求. 1.已知角的度数，求正切值： 例：求25°角的余弦值:在计算器上依次按键， 的显示结果为0.6427…. 2.如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角. 例如，已知tanα = 0.391，依次按键， ，显示结果为40.000…，表示角α 约等于40°. tan 2 = 5 2ndF tan 0.8391 = 探究新知 9 利用计算器计算： （1） tan 21°15 ′ ≈ （精确到0.0001）； （2） tan 89° 27 ′≈ （精确到0.0001）； （3） 若tan α = 1.2862， 则α ≈ (精确到0.1°）； （4） 若tan α = 108.5729， 则α ≈ （精确到0.1°）. 0.3889 104.1709 52.1 89.5 由于计算器的型号与功能的不同，按相应的说明书使用。 探究新知 对于锐角A的每一个确定的值，sin A、cos A、tan A都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦和正切统称为∠A的锐角三角函数. 例 例题讲解 计算：tan45°+ tan230°tan260°. 通常我们把 (tan30°)2 简记为tan230° 解： tan45°+ tan230°tan260°. 基础检测 1.在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍, tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 C 2.如图，P 是∠α 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为(12,5),则tan α=_______. 记得构造直角三角形哦！ M 基础检测 B C A (1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AC=12,tanA=( ). (2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AB=13,tanA=( ),tanB=( ). (3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA= , AC=( ). 3.完成下列填空： 基础检测 4、 在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（ ）. A. B. C. D. 解 ∵ AC=3，BC=4，AB=5,而32+42=52， ∴ AC2+BC2=AB2. ∴ △ ABC为直角三角形， ∴ 故应选择A. A 基础检测 5、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△ ，则 的值为( ) 6.下列各式中一定成立的是（ ） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°<sin15° A 一展身手 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7， BC=5，求 tan A，tan B 的值． A B C 解： 2.用计算器求下列锐角的正切值（精确到0.0001）： （1） 35°； （2） 68°12′； （3） 9°42′. 解：（1）tan35°≈ 0.7002； （2）tan68°12′≈ 2.5002； （3）tan9°42′≈ 0.1709. 一展身手 3.已知下列正切值，用计算器求对应的锐角（精确到0.1°）. （1）tan α=0.1087； （2）tan α=89.7081. 解：（1）α ≈ 6.2°； （2）α ≈ 89.4°； 4.计算： （1）1+ tan260°； （2） tan30°cos30°. 解：1+ tan260° 解：tan30°cos30° 一展身手 5、计算： 2tan45°sin30°+3tan²30°+tan²60°·cos30° 解：原式=2×1×+3×（）²+× =1+3×+3× =1+1+× =2+ 有关特殊角的三角函数值的计算，先直接写出三角函数值，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算． 6.在等腰△ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，求 tan B. 提示：过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D. 求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的. A C B ┌ D 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D， ∴在 Rt△ABD 中， 易知 BD = 5，AD = 12. ∴tan B==. 挑战自我 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90 °,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c. 求证: A B C ┌ 挑战自我 2.如图，某楼梯踏板的宽度为30cm，一个台 阶的高度为15cm，求楼梯的倾斜角α的正切值。 30cm 15cm α 解 课堂小结 正切 正切的概念：在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫做角α的正切 正切的性质：α确定的情况下，tanα为定值，与三角形的大小无关 用计算器解决正切问题 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级上册 $$