第三章 一次方程（组）（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（湘教版2024）

第三章 一次方程（组）（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（23-24七年级下·全国·单元测试）下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）（七年级上·四川达州·期末）解为的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（本题3分）（23-24七年级下·河南濮阳·期中）若是二元一次方程组的解，则这个方程组是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）（23-24七年级上·安徽六安·期末）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去分母得 C．由，去括号得 D．把中的分母化为整数得 6．（本题3分）（2024·湖北·模拟预测）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ 　 ） A． B． C． D． 7．（本题3分）（23-24七年级下·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 8．（本题3分）（23-24七年级下·全国·期末）已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 9．（本题3分）（2024·贵州贵阳·一模）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 10．（本题3分）（24-25八年级上·重庆渝北·开学考试）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2024 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（2024七年级上·江苏·专题练习）在方程中用含的式子表示，则 ． 12．（本题3分）（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 13．（本题3分）（22-23七年级上·广东广州·期中）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列出方程来 ． 14．（本题3分）（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 15．（本题3分）（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程组解是，则 ． 16．（本题3分）（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分． 17．（本题3分）（七年级下·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 18．（本题3分）（24-25七年级上·全国·单元测试）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（23-24七年级上·河南漯河·期中）解方程： (1) (2) 20．（本题6分）（23-24七年级下·全国·期末）解方程组： (1) (2) 21．（本题8分）（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋风送爽、金秋九月，为了让学生更好增强身体素质，我校计划组织全校秋季运动会往返时要坐车．小明发现：七年级若租用座的客车若干辆，则有人没有座位；若租用座的客车，则可以少租辆，且有一辆空了个座位，求此次秋游的人数． 22．（本题8分）（2024·广西贺州·一模）如图，由12块一样大小的长方形木板拼成一个矩形图案，且宽度为厘米，求这种长方形木块的长和宽． 23．（本题9分）（七年级下·湖南常德·阶段练习）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值． 24．（本题9分）（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 25．（本题10分）（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 26．（本题10分）（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，． (1)点A对应的数是 ，  点B对应的数是 ． (2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数是什么？ (3)动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组）（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（23-24七年级下·全国·单元测试）下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解定义中的“共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程”是解答的关键．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，符合题意； C、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； D、该方程组中含有三个未知数，故不是二元一次方程组，不符合题意． 故选：B． 2．（本题3分）（七年级上·四川达州·期末）解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，注意掌握方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值． 将代入各方程，能满足左边=右边的，即是正确选项． 【详解】解：A、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； B、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； C、将代入，左边，右边，左边=右边，故本选项正确； D、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； 故选：C． 3．（本题3分）（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 4．（本题3分）（23-24七年级下·河南濮阳·期中）若是二元一次方程组的解，则这个方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义． 在解题的时候只需要把分别代入每个方程组中看哪个方程组中两个方程都成立即可． 【详解】把代入选项A得 ，故错误； 把 代入选项B得，故错误； 把代入选项C得，故正确； 把代入选项D得， 故错误． 故选：C． 5．（本题3分）（23-24七年级上·安徽六安·期末）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去分母得 C．由，去括号得 D．把中的分母化为整数得 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，常用步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1． 根据解一元一次方程的步骤计算，并判断． 【详解】解：A、由，移项得：，不符合题意； B、由，去分母得：，不符合题意； C、由，去括号得：，不符合题意； D、把中的分母化为整数得，符合题意， 故选：D． 6．（本题3分）（2024·湖北·模拟预测）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题列二元一次方程，设清酒x斗，醑酒y斗，根据“现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设清酒x斗，醑酒y斗， 由题意得：， 故选：A． 7．（本题3分）（23-24七年级下·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、以及两个方程同解的问题．先通过移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解，再将x的值代入方程可得一个关于m的方程，求解即可． 【详解】解： ， 关于x的方程与的解相同， ，即， 解得：， 故选：D． 8．（本题3分）（23-24七年级下·全国·期末）已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数性质，即互为相反数的两个数相加等于0；二元一次方程组的解，方程组的解即能使方程组中两方程成立的未知数的值．将k看作已知数，表示出，利用列出方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵ ∴得：，即， ∵x，y互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 9．（本题3分）（2024·贵州贵阳·一模）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， ， ； 故选：D． 10．（本题3分）（24-25八年级上·重庆渝北·开学考试）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．利用关于，的二元一次方程组的解为得到，，据此求解即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解为， ， ，即， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（2024七年级上·江苏·专题练习）在方程中用含的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则进行变形即可． 【详解】解：， 方程两边同时加上，得：，即， 方程两边再同时减去2，得：，即． 故答案为：． 12．（本题3分）（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是掌握一元一次方程的概念，只含有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程． 根据一元一次方程的概念，可得且，求解即可． 【详解】解：由题意可得且， 由可得， 由可得或 综上： 故答案为： 13．（本题3分）（22-23七年级上·广东广州·期中）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列出方程来 ． 【答案】 【分析】根据x的3倍与5的和比x的多2表示减去等于2，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为： 14．（本题3分）（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解题关键．两个二元一次方程相加可得，两边同时除以4即可得到结果． 【详解】解：， 两式相加可得，即， ， 故答案为：5． 15．（本题3分）（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程组解是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程租的求解以及二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解方法．将代入方程组，得到关于的方程组，然后求解即可． 【详解】解：将代入方程组，得 ①②，得，解得 将代入得，，解得 ∴ 故答案为： 16．（本题3分）（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先求出最低分做对的题目数，再推理第一名做对的题目数即可． 【详解】设最低分做对的题目数题，则做错题， 由题意得，， 解得， ∴低分做对的题目数10题， ∵每个人的得分都不相同， ∴所有另外9个同学的对题数最少是：11、12、13、14、15、16、17、18、19， 因此第一名至少得：（分）， 故答案为：． 17．（本题3分）（七年级下·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解题关键．利用和得到二元一次方程组，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将和代入得：， 解得：， 不等式组的解为， 故答案为：． 18．（本题3分）（24-25七年级上·全国·单元测试）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，由方程得，设，则方程可转化为，即可得，据此即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则方程可转化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴方程， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（23-24七年级上·河南漯河·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键： （1）运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出y的值即可； （2）运用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出x的值即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 20．（本题6分）（23-24七年级下·全国·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1） 解：（1）， 把①代入②得：， 去括号得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2） 解： ， 由①得：③， 把③代入②得：， 去分母得：， 移项合并得：，即， 把代入③得：， 则方程组的解为． 21．（本题8分）（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋风送爽、金秋九月，为了让学生更好增强身体素质，我校计划组织全校秋季运动会往返时要坐车．小明发现：七年级若租用座的客车若干辆，则有人没有座位；若租用座的客车，则可以少租辆，且有一辆空了个座位，求此次秋游的人数． 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设此次秋游人数为人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设此次秋游人数为人， 由题意得，， 解得， 答：此次秋游人数为人． 22．（本题8分）（2024·广西贺州·一模）如图，由12块一样大小的长方形木板拼成一个矩形图案，且宽度为厘米，求这种长方形木块的长和宽． 【答案】这种长方形木块的长为30厘米，宽为10厘米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设这种长方形木块的长为x厘米，宽为y厘米，由题意：由12块一样大小的长方形木板拼成一个矩形图案，且宽度为40厘米，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】设这种长方形木块的长为x厘米，宽为y厘米， 由题意得：， 解得：， 答：这种长方形木块的长为30厘米，宽为10厘米． 23．（本题9分）（七年级下·湖南常德·阶段练习）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值． 【答案】， 【分析】由于甲看错了①，但甲的解仍满足②；乙看错了②，但乙的解仍满足①，分别代入即可求出． 【详解】解：把，代入②，得 ， ∴ 把，代入①，得 ， ∴， ∴，． 24．（本题9分）（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不对，理由见解析 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （3）解：将代入，得： ， 化简得：， 该说法错误． 25．（本题10分）（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 (2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆 (3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车4辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元． 26．（本题10分）（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，． (1)点A对应的数是 ，  点B对应的数是 ． (2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数是什么？ (3)动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)4或或12 【分析】本题考查了数轴以及两点间的距离、一元一次方程的几何应用，解题的关键是找出对应点，熟练应用两点间距离公式； （1）由，的长度结合点C对应的数及点A，B，C的位置关系，可得出点A，B对应的数； （2）根据两点间的距离公式求解； （3）由点P，Q的出发点、运动方向及速度，可得出运动时间为t秒时点P，Q对应的数；结合，可得出关于t的含绝对值符号的方程，解答，再根据当点P到达C点而Q未到达时继续运动时，列式解之即可得出结论． 【详解】（1）解：，点C对应的数是10，点A在点B左侧，点B在点C左侧， ∴点B对应的数为，点A对应的数为， 故答案为：，； （2）点D在数轴上，点B对应的数为，， 点D可以在点B的左侧或右侧， 点D表示的数为或； （3）当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是 ． ， ， 或， 解得或． 当点P到达C点而Q未到达时继续运动时 即 解得：， 综上所述：t的值为4或或12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$