3.1 函数的概念及其表示（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

3.1函数的概念及其表示 【考点1：区间的表示】 【考点2：函数的判断】 【考点3：函数的定义域】 【考点4：函数表示方法】 【考点5：两个函数相等】 【考点6：函数值】 【考点7：分段函数】 知识点1 函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.记作：，． 2函数的三要素：（1）对应关系：，．（2）定义域：x的取值范围A （3）值域.：与x的值相对应函数值的集合， 【注意】： （1） A、B集合的非空性； （2） 对应关系的存在性、唯一性、确定性； （3） A中元素的无剩余性； （4） （4）B中元素的可剩余性。 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示 区间表示： ；； ； ； . 【注意】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点2 函数的表示法 1.函数的三种表示方法： （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值. （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. （3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2.分段函数 概念：一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应关系的函数 定义域值域：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集 知识点3 函数定义域的求法 确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑（1）分母不为零，（2）偶次根号的被开方数、式大于或等于零，（3）零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 【注意】：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 【考点1：区间的表示】 【典例1】已知集合，则（    ） A． B．(-1，2 C． D． 【变式1-1】区间等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】集合表示成区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【考点2：函数的判断】 【典例2】在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A．B．C． D． 【变式2-1】下列对应关系中是A到B的函数的是（   ） A．，， B．，，对应关系如图：    C．，，f： D．，，f： 【变式2-2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 【变式2-3】（多选）下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的是（    ） A．B．C．D． 【考点3：函数的定义域】 【典例3】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】函数定义域为（ ） A． B． C． D． 【考点4：函数表示方法】 【典例4】已知函数，则函数（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若函数，则（    ）． A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数，． (1)求，，，； (2)求． 【考点5：两个函数相等】 【典例5】多选题下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-1】下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C． 与 D．与 【变式5-2】下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-3】多选题下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点6：函数值】 【典例6】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】函数的值域为 【考点7：分段函数】 【典例7】已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 【变式7-1】已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【变式7-2】设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【变式7-3】已知函数. (1)求； (2)若，求； (3)画出函数的图象 一、单选题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．设函数，则（ ） A． B． C． D． 3．下列表示同一个集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，若，则x的取值可以是（    ） A．3 B．20 C． D．5 第II卷（非选择题） 三、填空题 8．已知，则 . 9．若函数，则 10．已知，则 ； ． 11．已知，则 ． 四、解答题 12．已如函数 (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图像． 13．当时，函数，图象经过点；当时，函数，且图象经过点． (1)求的解析式； (2)求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1函数的概念及其表示 【考点1：区间的表示】 【考点2：函数的判断】 【考点3：函数的定义域】 【考点4：函数表示方法】 【考点5：两个函数相等】 【考点6：函数值】 【考点7：分段函数】 知识点1 函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.记作：，． 2函数的三要素：（1）对应关系：，．（2）定义域：x的取值范围A （3）值域.：与x的值相对应函数值的集合， 【注意】： （1） A、B集合的非空性； （2） 对应关系的存在性、唯一性、确定性； （3） A中元素的无剩余性； （4） （4）B中元素的可剩余性。 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示 区间表示： ；； ； ； . 【注意】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点2 函数的表示法 1.函数的三种表示方法： （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值. （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. （3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2.分段函数 概念：一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应关系的函数 定义域值域：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集 知识点3 函数定义域的求法 确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑（1）分母不为零，（2）偶次根号的被开方数、式大于或等于零，（3）零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 【注意】：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 【考点1：区间的表示】 【典例1】已知集合，则（    ） A． B．(-1，2 C． D． 【答案】A 【分析】利用并集运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以 . 故选：A 【变式1-1】区间等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间的定义判断即可. 【详解】根据区间的定义可知， 而. 故选：C 【变式1-2】集合表示成区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式可得答案. 【详解】由得，表示成区间是. 故选：B． 【变式1-3】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】由，得，用区间来表示. 故选：B. 【考点2：函数的判断】 【典例2】在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义一一判定选项即可. 【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应， 显然A、B、C符合题意， 而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义. 故选：D 【变式2-1】下列对应关系中是A到B的函数的是（   ） A．，， B．，，对应关系如图：    C．，，f： D．，，f： 【答案】B 【分析】利用函数的定义求解即可. 【详解】对于A，，一个可以对应两个，不满足函数定义，故A错误； 对于B，集合中每一个在集合中都有唯一对应的，符合函数的定义，故B正确； 对于C，中，，而 ，故集合中的元素2在集合中没有对应的值，故C错误； 对于D，，所以，集合，故集合中有的元素（比如0）在集合中没有对应的值，故D错误. 故选：B 【变式2-2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义即可判断求解． 【详解】函数的定义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 对于A，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故A不符合题意； 对于B，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故B不符合题意； 对于C，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故C不符合题意； 对于D，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象有两个交点，故D符合题意； 故选：D． 【变式2-3】（多选）下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的是（    ） A．B．C．D． 【答案】BC 【分析】根据函数的知识求得正确答案. 【详解】函数是一一对应或多对一对应关系，所以AD选项错误，BC选项正确. 故选：BC 【考点3：函数的定义域】 【典例3】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 【变式3-1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，列不等式组求解即可. 【详解】由题意可得解得或. 所以函数的定义域为. 故选：A 【变式3-2】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出定义域. 【详解】令，即， 其中的两根为， 故的解集为. 故选：A 【变式3-3】函数定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据具体函数的解析式列不等式，解不等式可得解. 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为， 故选：C. 【考点4：函数表示方法】 【典例4】已知函数，则函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合换元法，即可求解. 【详解】设，则且， 因为，可得，所以函数. 故选：B. 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法可得答案. 【详解】令，则， 所以， 即. 故选：B. 【变式4-2】若函数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法，把原式变形即可. 【详解】，. 故选：. 【变式4-3】已知函数，． (1)求，，，； (2)求． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）代入即可求解， （2）整体代入即可求解. 【详解】（1）．， ∵，∴． ∵，∴． （2）∵， ∴． 【考点5：两个函数相等】 【典例5】多选题下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 【变式5-1】下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C． 与 D．与 【答案】C 【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数有意义，则满足，解得， 即函数的定义域为， 又由函数有意义，则满足，解得或 即函数的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意； 对于C中，由函数 与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以C符合题意； 对于D中，由函数，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D不符合题意. 故选：C. 【变式5-2】下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】运用同一函数必须三要素相同来判断即可. 【详解】选项A：对于，其定义域为. 对于，因为恒成立，所以定义域为. 又因为，与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项B：的定义域是.的定义域是. 虽然自变量的符号不同，但是它们的定义域相同，对应关系（这里和都只是自变量的符号）也相同，所以和是同一个函数. 选项C：的定义域为. 当时，；当时，，，其定义域为. 与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项D：，根据根式的性质，其定义域为. ，其定义域为. 由于和的定义域不同，所以和不是同一个函数. 故选：D. 【变式5-3】多选题下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的定义判断. 【详解】A. ，定义域都为R，故表示同一函数； B. ，故不是同一函数； C. ，解析式相同，定义域都为R，故表示同一函数； D. ，的定义域为R，的定义域为 ，故不是同一函数， 故选：AC 【考点6：函数值】 【典例6】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 【变式6-1】已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 【变式6-2】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得答案. 【详解】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 【变式6-3】函数的值域为 【答案】 【分析】设，求出新函数的定义域即可求出值域. 【详解】设，，所以， 由图象易知值域为. 故答案为：. 【考点7：分段函数】 【典例7】已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 【答案】(1) (2)图象见详解 【分析】（1）利用函数的解析式由内到外可逐层计算出的值； （2）根据函数的解析式可画出该函数的图象. 【详解】（1）因为， 则，； 所以. （2）函数的图象如下图所示：    【变式7-1】已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 【变式7-2】设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【答案】(1)0 (2)或或 【分析】（1）根据分段函数的特征可计算； （2）就的不同取值范围构建不同的方程后可求的值. 【详解】（1）. （2）当时，，∴； 当时，，解得：； 当时，，∴， 综上所述：或或． 【变式7-3】已知函数. (1)求； (2)若，求； (3)画出函数的图象 【答案】(1) (2)或 (3)图象见解析 【分析】（1）利用的解析式，先求，再求即可得解； （2）分类讨论与，分别列式计算即可得解； （3）分别计算与，再利用一次函数与二次函数的图象性质即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，则. （2）当时，由得，解得； 当时，由得，解得或（舍去）； 所以或. （3）当，即或时，， 当，即时，， 所以的图象如图， 一、单选题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得. 【详解】函数的意义，则且，解得且， 所以原函数的定义域为. 故选：D 2．设函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式直接代入求值即可得答案. 【详解】易知， 所以，即可得. 故选：A 3．下列表示同一个集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义逐项判断即可． 【详解】对A：与不同，，不是同一个集合，故A错误； 对B：根据集合元素的无序性知，故B正确； 对C：，，，不是同一个集合，故C错误； 对D：且，， 故，不是同一个集合，故D错误． 故选：B. 4．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可. 【详解】因为， 令，可得； 令，可得； 两式相加可得， 令，可得； 则，即. 故选：D. 5．若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况求解不等式即可. 【详解】解：①当时，由，得， 即，所以，解得； ②当时，由，得， 所以，解得，或（舍去）， 综上：， 故选：B． 6．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 二、多选题 7．已知函数，若，则x的取值可以是（    ） A．3 B．20 C． D．5 【答案】CD 【分析】讨论和两种情况利用解析式即可求出. 【详解】当时，，解得（舍去）或， 当时，，解得，符合， 综上，或5. 故选：CD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 8．已知，则 . 【答案】 【分析】根据函数的解析式，先求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得，所以. 故答案为：. 9．若函数，则 【答案】 【分析】由函数的周期性得，由此能求出结果． 【详解】当时，，得， 故， 则， 故答案为： 10．已知，则 ； ． 【答案】 3 【分析】令，代入可求出，令，解出，再代入可求出. 【详解】． 令，得， ∴． 故答案为：3；. 11．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】借助分段函数的性质计算即可得. 【详解】， 则. 故答案为：. 四、解答题 12．已如函数 (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图像． 【答案】(1)； (2)2或0 (3)图象见解析 【分析】（1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象. 【详解】（1）易知 （2）当时，，解得，满足要求， 当时，,解得或（舍） 综上可得或0 （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 13．当时，函数，图象经过点；当时，函数，且图象经过点． (1)求的解析式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意将点的坐标代入相应解析式中，从而得到关于、的方程组，解得、，即可求出函数解析式； （2）根据分段函数解析式计算可得. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以. （2）因为， 所以，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$