3.2 函数的单调性与最大（小）值（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

3.2函数的单调性与最大（小）值 【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】 【考点2：求函数的单调区间】 【考点3：根据单调性求参数】 【考点4：利用函数值求最值或值域】 【考点5：利用函数单调性解不等式】 知识点1增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点2 函数的单调区间 1.定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【特别提醒】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 2. 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点3 函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点4 函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M， ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M， ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点5 求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】 【典例1】已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 【变式1-1】函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 【变式1-2】已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 【变式1-3】已知函数（x＞0）. (1)求证：在上单调递增； (2)求函数的最大值和最小值. 【考点2：求函数的单调区间】 【典例2】已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【变式2-1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】函数的单调递增区间为 . 【变式2-3】函数的单调减区间是 ． 【考点3：根据单调性求参数】 【典例3】已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【考点4：利用函数值求最值或值域】 【典例4】函数的最大值为 . 【变式4-1】函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数在的值域是 . 【考点5：利用函数单调性解不等式】 【典例5】已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 1．函数的图象是（    ）． A． B． C． D． 2．已知函数，在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 6．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 8．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 9．函数的单调递减区间为 . 10．函数的值域为 ． 11．函数的最大值是 ． 12．已知函数，求函数的最大值、最小值. 13．已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 14．设函数．   (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2函数的单调性与最大（小）值 【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】 【考点2：求函数的单调区间】 【考点3：根据单调性求参数】 【考点4：利用函数值求最值或值域】 【考点5：利用函数单调性解不等式】 知识点1增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点2 函数的单调区间 1.定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【特别提醒】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 2. 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点3 函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点4 函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M， ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M， ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点5 求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】 【典例1】已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 【答案】(1)在上单调递减；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果； （2）利用单调性求最值，即可得到值域. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递减. （2）在上单调递减，所以 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 故值域为. 【变式1-1】函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 【答案】函数在上单调递减，证明见解析 【分析】利用单调性的定义证明，先对函数变形，然后任取，设，再对函数值作差，化简后判断符号，即可得结论. 【详解】函数在上单调递减，证明如下： 函数， 任取，设， 则， 因为，， 所以， 故，即， 故函数在上单调递减. 【变式1-2】已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求，的值； （2）定义法求函数单调性，由单调性求最值. 【详解】（1）因为点，是图象上的两点， 所以，解得. （2）设， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减. 故，. 【变式1-3】已知函数（x＞0）. (1)求证：在上单调递增； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为，无最小值. 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明，设，是区间上的任意两个实数，且，然后化简，判断符号可得结论； （2）先判断在上的单调性，再结合（1）可求得函数的最值. 【详解】（1）证明  设，是区间上的任意两个实数，且，则 . 由， 得，， 所以， 即， 所以在上单调递增. （2）当时，由（1）知 ， 因为，， 所以， 即， 所以在上单调递减. 所以结合（1）可知， ，无最小值. 【考点2：求函数的单调区间】 【典例2】已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 【变式2-1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【详解】解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 【变式2-2】函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用分离常数法，得，结合的范围可得答案. 【详解】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 【变式2-3】函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】画出函数的图象，如下：    故单调递减区间为. 故答案为： 【考点3：根据单调性求参数】 【典例3】已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式3-1】已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式3-2】已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故选项中A正确，B、C、D错误. 故选：A. 【考点4：利用函数值求最值或值域】 【典例4】函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】首先将函数化简，利用对勾函数的单调性，即可求函数的最值. 【详解】， 设，而在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立， 则. 所以函数的最大值为. 故答案为： 【变式4-1】函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知函数在上单调递减，结合单调性求最值. 【详解】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 【变式4-2】函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的单调性可求出函数的值域. 【详解】因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故选：C 【变式4-2】函数在的值域是 . 【答案】 【分析】先分离变形，然后结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增，故，且， 所以函数的值域为； 故答案为： 【考点5：利用函数单调性解不等式】 【典例5】已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式5-1】已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可. 【详解】因为,所以的对称轴为, 在单调递减，则在单调递增， 又因为，由对称性可得, 所以, 故选：D. 【变式5-2】函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即， 故选：D 【变式5-3】已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数的单调性，将抽象不等式化成一元二次不等式，结合二次函数的图象即得. 【详解】因是定义在R上的增函数，故由可得 ，即，解得. 故答案为：. 1．函数的图象是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数表达式化简成分段函数形式即可判断. 【详解】，对比选项可知，只有C符合题意. 故选：C. 2．已知函数，在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在上单调递减， 根据分段函数单调性的判定方法，则满足且，解得， 实数的取值范围为. 故选：B. 3．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时，代入可知满足题意；时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案． 【详解】当时，,上单调递减，满足题意； 当时，f(x)的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得．综上，a的取值范围为． 故选：D 4．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 5．函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离系数，得到，结合二次函数，求出值域即可. 【详解】， 当时，. 则. 故选：B. 6．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 因为函数在区间上单调递增， 所以， 解得. 故答案为：. 8．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到满足的条件，从而得到结果. 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 9．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用二次函数的开口方向和对称轴判断单调递减区间即可. 【详解】由题可知开口向上，对称轴为，所以的单调递减区间为 故答案为： 10．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用反比例函数的性质，即可求出结果. 【详解】因为，得到，所以， 故答案为：. 11．函数的最大值是 ． 【答案】4 【分析】根据分段函数的性质，求出每段函数取值规律，即可求出最大值. 【详解】当时，，此时函数单调递增，则最大值为4； 当时，，此时函数单调递减，则； 故函数的最大值为4. 故答案为：4 12．已知函数，求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为2，最小值为 【分析】作出图象，数形结合即可求解． 【详解】作出函数的图象如图所示． 由图象可知，当时，取最大值为2； 当时，取最小值为. 所以的最大值为2，最小值为. 13．已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可. （2）利用（1）的结论，利用单调性求出函数值域. 【详解】（1）函数，， 则， 当时，，则，即， 所以函数在区间上单调递减. （2）由（1）知，函数在上单调递减，则， 而，所以函数的值域为. 14．设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1)，图象见解析 (2)单调递增区间为，单调递减区间为，值域为 【分析】（1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象； （2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为， 所以， 所以的图象如下所示：    （2）由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$