九年级数学上学期期中押题测试卷（二）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（北师版）九年级上册 第一章~第五章。 5．难度系数：0.85。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．下列四条线段中，成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．4，5 B．4，﹣5 C．4，81 D．4x2，﹣5x 4．如图，菱形的两条对角线相交于O，若，，则菱形的面积是（    ）    A．24 B．48 C． D．12 5．方程的根的情况是（    ）． A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 6．若，，，则的值是（    ） A．－2 B．2 C．－5 D．5 7．如图，在中，，，若，则等于（    ） A．7 B．14 C．8 D．16 8．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（    ） A． B． C． D． 9．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0．8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m，又测得地面的影长为2．6m，请你帮她算一下，树高是（ ） A．3．25m B．4．25m C．4．45m D．4．75m 10．如图，矩形中，点是边上一点，点关于直线的对称点点恰好落在边上，给出如下三个结论： ①； ②； ③若，，则． 上述结论一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如果，那么= ． 12．关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 13．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率（结果保留两位小数）约是 ． 14．在平面直角坐标系中，已知矩形与矩形OABC关于坐标原点O位似，且矩形的面积等于矩形OABC面积的4倍，若矩形OABC的顶点B的坐标为，则B的对应点的坐标为 ． 15．秋天到了，人容易着凉，某班有一同学患了流感，经过两轮传染后共有49名学生患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则列方程为 ． 16．如图，已知中，，，点在的延长线上，连接，点在边上，连接交于点，若，，则的长为 . 三．解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解一元二次方程 (1) (2) 18．（8分）有一块三角形余料，它的边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求加工成的正方形零件的边长． 19．（8分）为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查．学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型（A．科普、B．文学、C．体育、D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示． 请你根据以上信息，解答下列问题． (1)随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为______度； (2)补全条形统计图； (3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率． 20．（8分）如图，矩形的对角线相交于点，，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 21．（10分）随着“共享经济”概念的迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车 (1)据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； (2)一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为64次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价5元，平均每月全天包车数增加8次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？ 22．（10分）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 23．（10分）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． (1)用含的式子表示： ， ， ， ， ； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 24．（10分）课本再现 证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 结论证明 （1）为了证明该命题，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，． 求证：． 证明：如图1，延长到点D，使得，连接． …… 知识应用 （2）如图2，四边形是一张矩形纸片，将纸片折叠得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． 拓展提升 （3）如图3，在矩形中，，，P是边上的一个动点（不与点A，B重合），E在边上，且，将沿折叠，点A落在点；将沿折叠，点B落在点处，且P，，三点在同一条直线上，A，，C三点在同一条直线上，与的交点为F．请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（北师版）九年级上册 第一章~第五章。 5．难度系数：0.85。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角， ∴对角线互相平分矩形与菱形都有，故A不符合题意； 对角线互相垂直菱形具备，矩形不一定具有；故B不符合题意； 对角线相等矩形具有，而菱形不一定具有，故C符合题意； 对角线平分一组对角菱形具有，而矩形不一定有，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，熟记矩形与菱形的对角线的性质是解本题的关键． 2．下列四条线段中，成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】通过验证、、、中，任意两两一组的比值是否相等，即可判断． 【详解】解：A、、、、中，任意两条线段的比值，与其他两个线段的比值都不相等，故错误 B、、、、中有：，故正确 C、、、、中，任意两条线段的比值，与其他两个线段的比值都不相等，故错误 D、、、、中，任意两条线段的比值，与其他两个线段的比值都不相等，故错误 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了线段长度是否构成比例，直接判断任意两条线段是否与剩余两条比值相等即可解决本题． 3．将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．4，5 B．4，﹣5 C．4，81 D．4x2，﹣5x 【答案】B 【分析】将方程中移项整理即可得到该一元二次方程的二次项系数和一次项系数． 【详解】解：将方程移项整理得：4x2﹣5x+81＝0， 则二次项系数和一次项系数分别为4，﹣5， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为()，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式． 4．如图，菱形的两条对角线相交于O，若，，则菱形的面积是（    ）    A．24 B．48 C． D．12 【答案】D 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键． 5．方程的根的情况是（    ）． A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论． 【详解】解：∵x2+8x+17=0， ∴Δ=82-4×1×17=-4＜0， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac的关系是解答此题的关键． 6．若，，，则的值是（    ） A．－2 B．2 C．－5 D．5 【答案】A 【分析】根据已知等式得到x，y为一元二次方程a2﹣4a+3＝0的两根，利用根与系数的关系求出x+y与xy的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴x，y为方程a2﹣4a+3＝0的两根， ∴x+y＝4，xy＝3， 则 ＝4﹣2×3 ＝4﹣6 ＝﹣2． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是基础，构造一元二次方程a2﹣4a+3＝0是解决此题的关键． 7．如图，在中，，，若，则等于（    ） A．7 B．14 C．8 D．16 【答案】B 【分析】由，可得，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 8．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3， ∴小刚、小强两人恰好选择同一场馆的概率, 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 9．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0．8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m，又测得地面的影长为2．6m，请你帮她算一下，树高是（ ） A．3．25m B．4．25m C．4．45m D．4．75m 【答案】C 【详解】试题分析：此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影长的比值是相同的．所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值是相同的，利用这个结论可以求出树高． 试题解析：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x， 根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得： 而：CB=1．2 ∴BD=0．96 ∴树在地面的实际影长为：0．96+2．6=3．56． 再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得： ∴x=4．45 ∴树高是4．45m． 故选C． 考点：相似三角形的应用． 10．如图，矩形中，点是边上一点，点关于直线的对称点点恰好落在边上，给出如下三个结论： ①； ②； ③若，，则． 上述结论一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明，即可判断①；由矩形的性质得，得到，根据，由，推出，即，故有，得到不一定等于，即可判断②；由，，得到，根据，得到，计算出，设，则，利用勾股定理即可求出，从而得到，即可判断③． 【详解】解：点是边上一点，点关于直线的对称点点恰好落在边上， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，， ， ，故有， 不一定等于， ，不一定成立，故②错误； ，， ， ， ， ， 设，则， ，即， 解得：， ，故③正确， 故选：B． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如果，那么= ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知可得，然后代入式子中进行计算即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，设另一根为，根据两根之和为，进行求解即可． 【详解】解：设另一根为，则：， ∴； 故答案为：． 13．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率（结果保留两位小数）约是 ． 【答案】0.83 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.83左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为0.83． 故答案为：0.83． 【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，因此可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，掌握上述内容是解题的关键． 14．在平面直角坐标系中，已知矩形与矩形OABC关于坐标原点O位似，且矩形的面积等于矩形OABC面积的4倍，若矩形OABC的顶点B的坐标为，则B的对应点的坐标为 ． 【答案】或/（-16，-12）或（16，12） 【分析】根据位似图形的性质求出位似比，由此即可得出答案． 【详解】解：矩形与矩形关于坐标原点位似，且矩形的面积等于矩形面积的4倍， 矩形与矩形的位似比为， 点的坐标为， 点的对应点的坐标为或，即为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了位似图形的性质、坐标与图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 15．秋天到了，人容易着凉，某班有一同学患了流感，经过两轮传染后共有49名学生患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则列方程为 ． 【答案】 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人． 依题意得，即 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 16．如图，已知中，，，点在的延长线上，连接，点在边上，连接交于点，若，，则的长为 . 【答案】 【分析】过作交于，利用等边对等角得出，，结合三角形外角的性质可得出，利用平行线的性质，三角形外角的性质可得出，证明，得出，证明，求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作交于， ，， ，， 又，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 三．解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 开方得：， ∴，． （2）解： ∵，，， ， ， ∴， 18．（8分）有一块三角形余料，它的边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求加工成的正方形零件的边长． 【答案】mm 【分析】本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长． 【详解】解：∵正方形边长在上， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ∴加工成的正方形零件的边长为． 19．（8分）为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查．学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型（A．科普、B．文学、C．体育、D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示． 请你根据以上信息，解答下列问题． (1)随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为______度； (2)补全条形统计图； (3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率． 【答案】(1)400；108° (2)见解析 (3) 【分析】（1）由A组的数量除以百分比，即可得到样本容量；由B的百分比乘以360°即可得到圆心角度数； （2）先求出B、D的数量，然后补全条形统计图即可； （3）由题意，画出树状图，然后利用概率公式，即可求出概率． 【详解】（1）解：样本容量是：； C所占的百分比为：； ∴扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为：（1-25％-10％-35％）×360°＝108°． 故答案为：400，108 （2）解：D的数量为：， B的数量为：； 补全条形图如下： （3）解：由题意，树状图如下： ∴共有等可能事件12种可能，其中一男一女的有8种可能． 所以． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合，列表法和树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握题意，正确的理解统计图的信息，从而进行解题． 20．（8分）如图，矩形的对角线相交于点，，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据四边形是矩形可得，即可得证； （2）根据题意求得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，继而求得，连接，根据菱形的性质与矩形的性质可得，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 21．（10分）随着“共享经济”概念的迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车 (1)据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； (2)一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为64次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价5元，平均每月全天包车数增加8次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？ 【答案】(1)全天包车数的月平均增长率为60% (2)当租金降价10元时，公司每月获得租金总额为8800元 【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为，根据三月份的全天包车数为25次，五月份的全天包车数达到64次列出方程求解即可； （2）每辆全天包车的租金全天包车数量列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设全天包车数的月平均增长率为， 根据题意可得 解得：，（不合题意舍去） ∴全天包车数的月平均增长率为60%． （2）解：设租金降价元， 根据题意可得： 化简得： 解得：， ∵尽可能的减少租车次数， ∴ ∴当租金降价10元时，公司每月获得租金总额为8800元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键． 22．（10分）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)30 【分析】（1）先证明，得，根据一组对边平行且相等可得四边形是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：，根据菱形的判定即可证明四边形是菱形； （2）先根据菱形和三角形的面积可得：，即可解答． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，，， ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形和菱形的面积，解题的关键是熟练掌握以上基础知识． 23．（10分）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． (1)用含的式子表示： ， ， ， ， ； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1)，，，， (2)或 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可． 【详解】（1）∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，，，． （2）由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴四边形的面积不能等于时． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，动点和几何的综合，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，动点的运动轨迹，三角形的性质． 24．（10分）课本再现 证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 结论证明 （1）为了证明该命题，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，． 求证：． 证明：如图1，延长到点D，使得，连接． …… 知识应用 （2）如图2，四边形是一张矩形纸片，将纸片折叠得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． 拓展提升 （3）如图3，在矩形中，，，P是边上的一个动点（不与点A，B重合），E在边上，且，将沿折叠，点A落在点；将沿折叠，点B落在点处，且P，，三点在同一条直线上，A，，C三点在同一条直线上，与的交点为F．请直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） 【分析】（1）先证明，再证明为等边三角形，则，即可求证； （2）连接， 由翻折得,则，此时为等边三角形，则，故，而，故，即可证明； （3）显然，可证明，设，则，则，解得：或（舍），当时，如图：点三点不共线，故舍；当时，在中，由勾股定理得，可证明，则，故． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）连接， 由翻折得, ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∴， 解得：或（舍）， 当，此时如图：点三点不共线，故舍， 当时， 在中，由勾股定理得， 由翻折得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$