九年级数学上学期期中押题测试卷（一）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（北师版）九年级上册 第一章~第五章。 5．难度系数：0.85。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，这个几何体是将一个正方体中间挖出一个圆柱体后的剩余部分，该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，那么的长等于（　　） A．2 B． C．4 D． 3．一天中，从N市到有S市2个飞机航班，从S市到N市有3个飞机航班，甲、乙两人同一天先坐飞机从N市到S市，再同一天坐飞机从S市到N市返回．问甲、乙两人坐同一航班从N市到S市，且再坐不同航班从S市到N市返回的概率为（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点且CD＝4，则OE等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 6．用配方法解方程：，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，D，E分别是的边AB，AC上的动点（与点A，B，C均不重合），添加下列一个条件，不能判定与相似的是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，两个位似图形和，若，则正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线、相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段、上，且，则．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 12．如图，在中，，如果，，，则的值为 ． 13．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 14．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球共60个，同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在左右，则袋中红球个数可能为 ． 15．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆的高为，测得，求建筑物的高是 ． 16．若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ． 三．解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程． (1)； (2)． 18．（8分）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：． (2)当时，求的长． 19．（8分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上，其坐标分别为． (1)请以点O为位似中心，画出符合条件的的所有位似图形，使之与的相似比为． (2)内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是　　． 20．（10分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 (1)请将条形统计图补充完整： (2)若该校有4000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名； (3)该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的、、、四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中、两位同学的概率． 21．（10分）成都放开地摊经济后，一夜增加近10万就业．摊贩小王响应政府号召，摆地摊经销甲、乙两种商品．已知一件甲商品和一件乙商品进价之和为30元．每件甲商品的利润为4元，每件乙商品的售价比其进价的2倍少11元，顾客小张在该商店购买8件甲和6件乙共用262元． （1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）小王统计发现平均每天可售出甲40件和乙30件，如果将甲商品的售价每提高1元，则每天会少售出8件．于是小王决定将甲种商品的价格提高a元，乙种商品价格不变，不考虑其他因素，预期每天利润能达到234元，求a的值． 22．（10分）在新农村建设过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄．如图，一农户用长为25m的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃．已知小门宽为1m，设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m2）． (1)求S关于x的函数表达式． (2)如果要围成面积为54 m2的花圃，AB的长为多少米？ (3)若墙的最大长度为10m，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB的长． 23（10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动． （1）P，Q两点出发2秒后，△PBQ的面积是多少？ （2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值． 24．（10分）在中，，，为上的一点（不与端点重合），过点作交于点，得到． (1)【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为__________； (2)【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（北师版）九年级上册 第一章~第五章。 5．难度系数：0.85。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，这个几何体是将一个正方体中间挖出一个圆柱体后的剩余部分，该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图的概念求解即可． 【详解】解：由题意可得，该几何体的主视图是： ． 故选：A． 【点睛】此题考查了几何体的主视图，解题的关键是熟练掌握几何体主视图的概念． 2．如图，已知，，，那么的长等于（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，求解即可． 【详解】解：∵ ∴，即 解得 故选：B 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是利用这一性质正确列出式子． 3．一天中，从N市到有S市2个飞机航班，从S市到N市有3个飞机航班，甲、乙两人同一天先坐飞机从N市到S市，再同一天坐飞机从S市到N市返回．问甲、乙两人坐同一航班从N市到S市，且再坐不同航班从S市到N市返回的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将往返两趟飞机分别记为往（A），往（B），返（a），返（b），返（c），列表格得到各种情况，再根据概率公式即可解答． 【详解】 选择航班往返两地共有16种情况，其中甲、乙两人坐同一航班从N市到S市，且再坐不同航班从S市到N市返回的有12种情况， 概率为 故选B． 【点睛】此题考查了利用列表格或画树状图的方法来求事件发生的概率，解题的关键是：搞清事件发生的总情况． 4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求得． 【详解】∵，，， ∴，且， 解得且． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念、一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．特别注意二次项系数不为零． 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点且CD＝4，则OE等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD＝4，AC⊥BD， 又∵点E是边AB的中点， ∴OE＝AB＝2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出OE=AB是解题关键． 6．用配方法解方程：，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查配方法的运用，解答的关键是熟练掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 7．如图，D，E分别是的边AB，AC上的动点（与点A，B，C均不重合），添加下列一个条件，不能判定与相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由两角对应相等的两三角形相似，判定与相似，故A不符合题意； B、由，判定与相似，故B不符合题意； C、两三角形两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定与相似，故C符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定与相似，故D不符合题意； 故选：C． 8．如图，两个位似图形和，若，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查学生对相似三角形的性质的理解，根据两个图形是位似图形，则其相似，根据相似比对各个选项进行分析即可． 【详解】∵两个位似图形和， ∴ ∴， B，A均无法证得． 故选：C． 9．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程． 10．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线、相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段、上，且，则．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由“筝形”的性质可得，，根据等边三角形的判定即可得出结论，故可判定①；证明，根据全等三角形的性质可得，然后得到然后根据三角形内角和定理和平角的概念得到，故可判定②；由面积关系可求出四边形的面积，故可判定③；延长到，使，连接，证明，可得，，，可得，由线段和差关系可得结论，故可判断④． 【详解】解：∵四边形是“筝形”四边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，故结论①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵，故结论③错误； 如图所示，延长到，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∴正确的结论有个． 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识点．理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 2 7 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出系数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴二次项系数为2，一次项系数为7， 故答案为：2，7． 【点睛】本题考查了一元二次方程一般形式的应用，解题的关键是能把方程准确化成一般形式． 12．如图，在中，，如果，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得到，将相关线段的长度代入即可求得的值． 【详解】解：如图，∵， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 13．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用方程的解可得再把化为：，再整体代入求值即可. 【详解】解： 是关于x的方程的解， 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是代数式的求值，方程的解的含义，掌握“方程的解使方程的左右两边相等及整体代入的求值方法”是解本题的关键. 14．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球共60个，同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在左右，则袋中红球个数可能为 ． 【答案】个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，由频数数据总数频率计算即可． 【详解】解：∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中红色球的频率为， 故红球的个数为（个）． 故答案为：12个． 15．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆的高为，测得，求建筑物的高是 ． 【答案】/5米 【分析】根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得：， 建筑物的高是， 故答案为：． 16．若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4）， ∴顶点到x轴的距离为4， ∵函数图象有三个点到x轴的距离为m， ∴m=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键． 解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用公式法求解； （2）整理，运用十字相乘法因式分解求解； 【详解】（1）解：， ， ， ∴ （2）解：， 整理，得， ， ∴ ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 18．（8分）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：． (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】根据菱形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19．（8分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上，其坐标分别为． (1)请以点O为位似中心，画出符合条件的的所有位似图形，使之与的相似比为． (2)内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是　　． 【答案】(1)见详解 (2)或 【分析】本题考查了作位似图形以及位似图形性质，坐标与图形： （1）以点O为位似中心，结合且相似比为，分在轴的同侧或异侧进行作答； （2）根据（1）所做的图，结合相似比为以及两个情况，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：或如图： （2）解：根据位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，与的相似比为， 则内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是 或与的相似比为，则对应点的坐标是 综上则内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是或 20．（10分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 (1)请将条形统计图补充完整： (2)若该校有4000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名； (3)该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的、、、四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中、两位同学的概率． 【答案】(1)见解析 (2)800 (3) 【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，即可解决问题； （2）根据喜欢体育所占百分比求解即可； （3）列表所有等可能的结果为12种，其中恰好选中A、D两位同学的有2种结果，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：这次被调查的学生人数为：15÷30%＝50（名）； 喜爱“体育”的人数为：50﹣（4+15+18+3）＝10（名）， 补全图形如下： （2）解：估计全校学生中喜欢体育节目的约有4000800（名）； 估计全校学生中喜欢体育节目的约有800名． （3）解：列表如下： A B C D A ﹣﹣﹣ （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） ﹣﹣﹣ （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） ﹣﹣﹣ （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣﹣﹣ 所有等可能的结果为12种，其中恰好选中A、D两位同学的有2种结果， ∴恰好选中A、D两位同学的概率为． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．（10分）成都放开地摊经济后，一夜增加近10万就业．摊贩小王响应政府号召，摆地摊经销甲、乙两种商品．已知一件甲商品和一件乙商品进价之和为30元．每件甲商品的利润为4元，每件乙商品的售价比其进价的2倍少11元，顾客小张在该商店购买8件甲和6件乙共用262元． （1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）小王统计发现平均每天可售出甲40件和乙30件，如果将甲商品的售价每提高1元，则每天会少售出8件．于是小王决定将甲种商品的价格提高a元，乙种商品价格不变，不考虑其他因素，预期每天利润能达到234元，求a的值． 【答案】（1）16元；14元；（2）a=2 【分析】（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，则甲种商品的售价为（x＋4）元，乙种商品的售价为（2y−11）元，根据“一件甲商品和一件乙商品进价之和为30元，小张在该商店购买8件甲和6件乙共用262元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，则甲种商品的售价为（x＋4）元，乙种商品的售价为（2y−11）元， 依题意，得： 解得： 答：甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元． （2）根据题意，得：（4＋a）（40−8a）＋（2×14−11−14）×30＝234， 整理，得：a2−a−2＝0， 解得：a1＝2，a2＝−1（不合题意，舍去）． 答：a的值为2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程（组）． 22．（10分）在新农村建设过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄．如图，一农户用长为25m的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃．已知小门宽为1m，设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m2）． (1)求S关于x的函数表达式． (2)如果要围成面积为54 m2的花圃，AB的长为多少米？ (3)若墙的最大长度为10m，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB的长． 【答案】(1)； (2)3米或6米； (3)能围成的花圃的最大面积为平方米，此时AB的长为米． 【分析】（1）设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m 2），再表示BC的长，再利用面积公式可得函数关系式； （2）把代入（1）中的函数关系式，再解方程即可； （3）先求解x的取值范围，再利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m 2）． 则 （2）解：当时，则 整理可得： 解得： 所以AB的长为3米或6米． （3）解：由题意可得： 解得： 由抛物线的开口向下，当时，S随x的增大而减小， ∴当时，最大， 此时 所以墙的最大长度为10m，则能围成的花圃的最大面积为平方米，此时AB的长为米． 【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，一元二次方程的应用，二次函数的性质，熟练的利用面积公式列关系式或方程是解本题的关键． 23（10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动． （1）P，Q两点出发2秒后，△PBQ的面积是多少？ （2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值． 【答案】（1）经过2秒后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）S=－t2+6t，△PBQ面积的最大值为9cm2． 【分析】（1）由题意，PB=4，BQ=4，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=BP×BQ，解答出即可； （2）利用三角形面积公式表示S=×（6－t）×2t=－t2+6t=－（t－3）2+9，利用二次函数的性质解题． 【详解】解：（1）经过2秒后，PB=6－2=4，BQ=2×2=4， ∴S△PBQ=BP×BQ=×4×4=8(cm2) 答：经过2秒后，△PBQ的面积等于8cm2； （2）经过t秒后，PB=6－t，BQ=2t， ∴S=×PB×BQ=×（6－t）×2t=－t2+6t=－（t－3）2+9， ∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2． 【点睛】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意，列出相应的函数关系式，运用二次函数的性质解题． 24．（10分）在中，，，为上的一点（不与端点重合），过点作交于点，得到． (1)【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为__________； (2)【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)与之间的数量关系不变，，理由见解析 (3)线段的长为或 【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，利用等量代换即可得出答案； （2）通过证明，可得，即可解题； （3）根据题意分两种情况讨论，当旋转至直线上方时，当旋转至直线下方时，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：与之间的数量关系不变，，理由如下： 当时，， ，， 由勾股定理得：，同理， ， 由旋转得：，即， ， 又 ， ， ， ； （3）解： ，， ，， 由勾股定理可得：，， 绕点顺时针旋转至，，三点共线， ，，， ， 当旋转至直线上方时，如图，； 当旋转至直线下方时，如图，； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$