第4章 相似三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

第4章 相似三角形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）（2024秋•诸暨市校级月考）下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）（2023•衢州二模）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝10，则CE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 3．（3分）（2023秋•椒江区校级月考）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，BE交DC于点F．若EF：FB＝1：3，则的值为（　　） A． B． C． D．以上选项都不对 4．（3分）（2024春•长兴县期末）如图，将三角形ABC（AC＞AB）沿BC方向平移得到△DEF，DE与AC交于点M．此时满足．若AC﹣AB＝6，则四边形DMCF与四边形ABEM周长之差为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（3分）（2024•宁波模拟）如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，以点D为旋转中心将△ADC逆时针旋转90°，得到△FDE，B，F，E三点恰好在同一条直线上，设AC与BE相交于点G，连结DG．有以下结论：①AC⊥BE；②△BCG∽△GAD；③F是线段CD的黄金分割点；④CG+DG＝EG．其中正确的是（　　） A．① B．①③ C．②④ D．①③④ 6．（3分）（2024•温州模拟）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD，立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺＝10寸）”根据译文信息，则井深AD为（　　） A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸 7．（3分）（2022秋•永嘉县校级期末）在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）（2024•温州模拟）如图，在▱ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，则的值是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）（2024•上城区二模）如图，在△ABC中，点D是AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，点G是线段DE上一点，EG＝2DG，点H是线段CF上一点，CH＝2HF，连接AG，AH，GH，HE．若已知△AGH的面积，则一定能求出（　　） A．△ABC的面积 B．△ADE的面积 C．四边形DBFE的面积 D．△EFC的面积 10．（3分）（2024•温州三模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．（3分）（2023秋•柯桥区期末）线段和的比例中项是 　 　． 12．（3分）（2024•宁波模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AB＝，记DB交AC于点E．若AC上的点F满足∠DBF＝45°，则EF的长为 　 　． 13．（3分）（2024•浙江模拟）有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为 　 　cm． 14．（3分）（2024•鄞州区校级自主招生）如图，在△ABC中，G，E分别在AB，AC上，连结BE交AF于O，若＝，＝，G，O，C共线，△GEF的面积为11，则△OBC的面积为 　 　． 15．（3分）（2024秋•诸暨市校级月考）如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，连结BE，CE，在AB边上取一点F使AF＝DE，连结CF，交BE于点G，则的值为 　 　．若 BF＝BG，则的值为 　 　． 16．（3分）（2024•西湖区校级模拟）如图，A、B是某河中两块石头，小环利用三把相同的直角三角板，激光笔等工具测量A，B的距离．第一步，小环在河边找一点P，放置三角板CDE，使得点C与P重合，测得点A，C，E共线，点B，C，D共线．第二步，在点D，E用激光笔分别向点A，B照射．第三步，摆放另外两个三角板，使得三个三角板的最长边在同一直线上，激光射线DA，EB分别经过点F，I，其中∠DCE＝∠GFH＝∠HK＝90°，∠CDE＝∠FGH＝∠IJK＝60°．若点H，J均在边DE上，DE＝80cm，DH＝20cm，EJ＝16cm，则BC的长为 　 　cm，A，B的距离为 　 　cm． 三．解答题（共6小题，共72分） 17．（6分）（2024秋•诸暨市校级月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． （1）若a＝4cm，b＝9cm，c是a，b的比例中项线段，求c的长； （2）若，a+b+c＝48，求a，b，c的长． 18．（6分）（2024•宁波模拟）在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，且CN∥BM，MA的延长线与CN交于点P，若AM＝3，． （1）求证：△ABM∽△CBN； （2）求AP的长． 19．（8分）（2024春•沭阳县月考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段AD为边画一个格点三角形，使它与△ABC相似． （2）在图②中画一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等）． （3）在图③中的线段AB上画一个点P，使＝． 20．（8分）（2024•拱墅区二模）如图，在锐角三角形ABC中，AC＞BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD．点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE． （1）求证：△ACD∽△AEB． （2）当，求的值． 21．（10分）（2024•义乌市模拟）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若AB＝30，求线段BD的长． （2）若△ADE的面积为2，求平行四边形BFED的面积． 22．（10分）（2024•钱塘区三模）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连结CE交对角线BD于点F，过点E作EG∥AB交BD于点G． （1）若CD＝CE，∠A＝110°，求∠BCF的度数． （2）若BD＝15，DE＝2AE，求FG的长． （3）求证：DF2＝FG•BF． 23．（12分）（2024•上城区一模）如图，△ABC内接于⊙O，点D为弦AB的中点，连接DO、OB，延长DO交弦AC的延长线于点E，DE与弦BC交于点F，DE与⊙O交于点G，已知AB＝6，DG＝9． （1）求⊙O的半径； （2）求证：∠E＝∠OBC； （3）若OF＝3，求CF的长． 24．（12分）（2024•鹿城区校级三模）如图1，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，G为CD的中点，延长GE交BA的延长线于点F，已知∠ABE＝30°，AB＝3．点P，Q分别在线段GE，AB上（不与端点重合），且满足，设AQ＝x，PF＝y． （1）求证：GE＝EF． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，连结PQ． ①当PQ与△ABE的一边垂直时，求x的值． ②当点D落在QP的延长线上时，记PQ与BE的交点为M，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 相似三角形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）（2024秋•诸暨市校级月考）下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【解答】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形； C中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：C． 2．（3分）（2023•衢州二模）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝10，则CE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【分析】过点D作DH∥AE，交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到＝，计算即可． 【解答】解：过点D作DH∥AE，交BC于H， 则＝＝1，＝＝3， ∴＝， ∵BC＝10， ∴CE＝4， 故选：B． 3．（3分）（2023秋•椒江区校级月考）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，BE交DC于点F．若EF：FB＝1：3，则的值为（　　） A． B． C． D．以上选项都不对 【分析】根据相似三角形的判定定理由DE∥BC推出△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，从而根据相似三角形的性质得到＝＝，＝（）2＝． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴＝， ∵EF：FB＝1：3， ∴＝， 同理DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝（）2＝（）2＝， 故选：B． 4．（3分）（2024春•长兴县期末）如图，将三角形ABC（AC＞AB）沿BC方向平移得到△DEF，DE与AC交于点M．此时满足．若AC﹣AB＝6，则四边形DMCF与四边形ABEM周长之差为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据平移的性质得出周长关系解答即可． 【解答】解：由平移可知，BC＝EF，AB＝DE，AC＝DF，AB∥DE， ∵， ∴＝， ∴BC＝3EC，AB＝3ME，AC＝3CM， 设EC＝a，EM＝b，MC＝c，则BC＝EF＝3a，AB＝DE＝3b，AC＝DF＝3c， ∴AM＝AC﹣CM＝2c，BE＝CF＝BC﹣EC＝2a，DM＝DE﹣EM＝2b， ∵AC﹣AB＝6， ∴3c﹣3b＝6，即c﹣b＝2； ∴四边形DMCF和四边形ABEM周长之差＝（DM+MC+CF+DF）﹣（AB+BE+AM+ME） ＝2b+c+2a+3c﹣（3b+2a+2c+b） ＝2b+c+2a+3c﹣3b﹣2a﹣2c﹣b ＝2（c﹣b） ＝4， 故选：A． 5．（3分）（2024•宁波模拟）如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，以点D为旋转中心将△ADC逆时针旋转90°，得到△FDE，B，F，E三点恰好在同一条直线上，设AC与BE相交于点G，连结DG．有以下结论：①AC⊥BE；②△BCG∽△GAD；③F是线段CD的黄金分割点；④CG+DG＝EG．其中正确的是（　　） A．① B．①③ C．②④ D．①③④ 【分析】由△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转 90° 得到的，得到△FDE≌△ADC，再由矩形 的性质得出∠DAC+DEF＝90° 从而判断①；由AC⊥BE可得∠BGC＝90°，从而判断②；由 Rt△FCB∽Rt△FDE及 BC＝AD＝DF，DE＝DC，得出 可判断③；在线段EF上作 EG′＝CG，如图所示，连接DG′，通过△DCG≌△DEG′，得出△GDG′是等腰直角三角形，可以判断④． 【解答】解：∵△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的， ∴△FDE≌△ADC， ∴AD＝DF，DC＝DE，∠DEF＝∠DCA， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC+∠DCA＝90°，即∠DAG+DEF＝90°， ∴∠AGE＝90°，即AC⊥BE，故①正确； ∵AC⊥BE， ∴∠BGC＝90°，即△BGC是直角三角形， 而△AGD显然不是直角三角形，故②错误； 在Rt△FCB和Rt△FDE中， ∵∠BFC＝∠EFC， ∴Rt△FCB∽Rt△FDE， ∴， ∵BC＝AD＝DF，DE＝DC， ∴，即DF2＝FC•DC， ∴点F是线段CD的黄金分割点，故③正确； 在线段EF上取EG'＝CG，并连接 DG'，如图， ∵DC＝DE，∠DEF＝∠DCA， ∴∠DEG′＝∠DCG， 在△DCG和△DEG'中， ， ∴△DCG≌△DEG'（SAS）， ∴DG＝DG′，∠CDG＝∠EDG′， ∵∠CDG＝∠GDA＝90°，∠EDG'+∠GAD＝90°， ∴∠GDG'＝90°， ∴△GDG′是等腰直角三角形， ∴， ∵EG′＝CG， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 故选：D． 6．（3分）（2024•温州模拟）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD，立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺＝10寸）”根据译文信息，则井深AD为（　　） A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸 【分析】根据数学常识和相似三角形的性质，构建方程求解即可． 【解答】解：5尺＝50寸， 设BC＝x尺． ∵四边形ABCD是矩形， ∴CF∥AB， ∴△EFC∽△EAB， ∴＝， ∴＝， 解得x＝575， 经检验：x＝575是分式方程的解． ∴AD＝575（寸）． 故选：D． 7．（3分）（2022秋•永嘉县校级期末）在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（　　） A． B． C． D． 【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF的比例线段求得结果即可． 【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示： 设DE＝x，则AD＝8﹣x， 根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6， 解得：x＝4， ∴DE＝4， ∵∠E＝90°， 由勾股定理得：CD＝＝＝5， ∵∠BCE＝∠DCF＝90°， ∴∠DCE＝∠BCF， ∵∠DEC＝∠BFC＝90°， ∴△CDE∽△CBF， ∴， 即， ∴CF＝， 故选：A． 8．（3分）（2024•温州模拟）如图，在▱ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质，得到两组相似三角形，根据边的比例得出面积之比，从而得出的值． 【解答】解：∵AG平分∠BAD， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADF∽△GBF，△ABG∽△ECG， ∴， ∴， 设AD＝BC＝3a，则AB＝2a，GB＝2a， ∴CG＝a， ∴， ∴S△ABG＝4S2， 设S△GBF＝4S，则S△ADF＝9S， ∴S△ABF＝6S， ∴S△ABG＝S△GBF+S△ABF＝10S， ∴4S2＝10S， ∴， ∴， 故选：C． 9．（3分）（2024•上城区二模）如图，在△ABC中，点D是AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，点G是线段DE上一点，EG＝2DG，点H是线段CF上一点，CH＝2HF，连接AG，AH，GH，HE．若已知△AGH的面积，则一定能求出（　　） A．△ABC的面积 B．△ADE的面积 C．四边形DBFE的面积 D．△EFC的面积 【分析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用已知条件和相似三角形的判定与性质得到∠DAG＝∠FEH，利用平行线的判定定理得到AG∥EH，利用同底等高的三角形的面积相等的性质和等高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可得出结论． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B， ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠EFC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∴△ADE∽△EFC， ∴． ∵EG＝2DG，CH＝2HF， ∴DG＝DE，FH＝FC， ∴， ∴， ∵∠ADE＝∠EFC， ∴△ADG∽△EFH， ∴∠DAG＝∠FEH， ∵EF∥AB， ∴∠DAE＝∠FEC， ∴∠DAE﹣∠DAG＝∠FEC﹣∠FEH， 即∠GAE＝∠HEC， ∴AG∥EH， ∴S△AGH＝S△AGE． ∵EG＝2DG， ∴ ∴＝， ∴， ∴． ∴已知△AGH的面积，则一定能求出△ADE的面积． 故选：B． 10．（3分）（2024•温州三模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，依据△ADE∽△BNE，即可得出BN＝1.5；再根据△DHM∽△NFM，即可得到的值． 【解答】解：如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2， ∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴BE＝1，DH＝BF＝2， ∵AD∥BN， ∴△ADE∽△BNE， ∴＝，即＝， ∴BN＝1.5， ∵DH∥NF， ∴△DHM∽△NFM， ∴＝＝＝， 故选：C． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．（3分）（2023秋•柯桥区期末）线段和的比例中项是 　1　． 【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决． 【解答】解：设比例中项是x， ∴x2＝×＝1， ∴x＝1或﹣1（舍去）． 故答案为：1． 12．（3分）（2024•宁波模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AB＝，记DB交AC于点E．若AC上的点F满足∠DBF＝45°，则EF的长为 　﹣　． 【分析】由△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AB＝，得∠BAC＝∠C＝45°，BD＝2AD，CB＝AB＝，由AB＝AD＝，得AD＝1，则BD＝2，可证明△CEB∽△AED，因为AC＝AB＝，所以＝＝，求得CE＝，BE＝3﹣，再证明△BEF∽△CEB，得＝，则EF＝＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AB＝， ∴∠BAC＝∠C＝45°，BD＝2AD，CB＝AB＝， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAC＝45°，AB＝＝＝AD＝， ∴∠C＝∠EAD，AD＝1， ∴BD＝2， ∵∠CEB＝∠AED， ∴△CEB∽△AED， ∴＝＝＝＝， ∵AC＝＝AB＝×＝， ∴＝＝， ∴CE＝，BE＝3﹣， ∵∠DBF＝∠C＝45°，∠BEF＝∠CEB， ∴△BEF∽△CEB， ∴＝， ∴EF＝＝＝， 故答案为：﹣． 13．（3分）（2024•浙江模拟）有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为 　12　cm． 【分析】根据相似三角形的判定得到△BDF∽△BEC，再利用相似三角形的对应边成比例即可得到CD的长． 【解答】解：过点B作BM⊥CE，垂足为M，过点F作FN⊥CE，垂足为N， ∵DF∥CE， ∴∠BDF＝∠ACE， ∵∠DBF＝∠CBE， ∴△BDF∽△BCE， ∵BM＝8cm，FN＝6cm，BC＝16cm， ∴设CD＝x cm，则BD＝（16﹣x）cm， ∵△BDF的高为：BM﹣FN＝8﹣6＝2（cm）， ∴， ∴， ∴解得：x＝12， 故答案为：12． 14．（3分）（2024•鄞州区校级自主招生）如图，在△ABC中，G，E分别在AB，AC上，连结BE交AF于O，若＝，＝，G，O，C共线，△GEF的面积为11，则△OBC的面积为 　30　． 【分析】根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出＝和＝，从而得出S△OBC＝S△ABC，再利用S△GEF＝S△ABC即可得解． 【解答】解：梅涅劳斯定理：如图，••＝1， 证明：过A作AM∥CG交BC延长线于点M， 则，， ∴••＝••＝1； 塞瓦定理：如图，＝1， 证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出， 在△ABF中，COG是梅涅线，••＝1① 在△ACF中，BOE是梅涅线，••＝1② ∴＝•••＝••＝1． 根据梅涅劳斯定理，在△BGE中，COG是梅涅线， ∴••＝1， ∵＝，＝， ∴＝，＝， ∴＝3， ∴＝， 根据塞瓦定理可得••＝1， ∴＝， ∴S△OBC＝S△BCE＝×S△BCE＝S△ABC， 而S△GEF＝SABC﹣S△AGE﹣S△BGF﹣S△CEF＝S△ABC＝11， ∴S△ABC＝55， ∴S△OBC＝S△ABC＝30． 故答案为：30． 15．（3分）（2024秋•诸暨市校级月考）如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，连结BE，CE，在AB边上取一点F使AF＝DE，连结CF，交BE于点G，则的值为 　　．若 BF＝BG，则的值为 　　． 【分析】连接EF，作GH⊥BF，证△FAE≌△EDC，得出EF＝CE，∠FEC＝90°，即可得出的值；设BH＝a，证△FHG∽△FBC，得出△BGH是等腰直角三角形，BH＝HG＝a，则BG＝，得出BC，即可解答． 【解答】解：连接EF，作GH⊥BF， 在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝CD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝45°， ∴∠AEB＝45° ∴AB＝AE， ∴AE＝CD， ∵AF＝DE，∠A＝∠D，AE＝CD， ∴△FAE≌△EDC， ∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECD， ∴∠AEF+∠CED＝∠CED+∠ECD＝90°， ∴∠FEC＝90°， ∴CF＝， ∴； 设BH＝a， ∵GH⊥AB， ∴GH∥BC， ∴△FHG∽△FBC， ∴， 同理可得△BGH是等腰直角三角形，BH＝HG＝a，则BG＝， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 16．（3分）（2024•西湖区校级模拟）如图，A、B是某河中两块石头，小环利用三把相同的直角三角板，激光笔等工具测量A，B的距离．第一步，小环在河边找一点P，放置三角板CDE，使得点C与P重合，测得点A，C，E共线，点B，C，D共线．第二步，在点D，E用激光笔分别向点A，B照射．第三步，摆放另外两个三角板，使得三个三角板的最长边在同一直线上，激光射线DA，EB分别经过点F，I，其中∠DCE＝∠GFH＝∠HK＝90°，∠CDE＝∠FGH＝∠IJK＝60°．若点H，J均在边DE上，DE＝80cm，DH＝20cm，EJ＝16cm，则BC的长为 　160　cm，A，B的距离为 　　cm． 【分析】由题意得到IJ∥CD，∠FHG＝∠CED＝∠IKJ＝30°，FH∥CE，IJ＝CD＝DE＝40cm，根据勾股定理求出，再证明△EJI∽△EDB，△DFH∽△DAE，可求出BC、AC，进而求出AB即可． 【解答】解：由题意得：△FHG≌△CED≌△IKJ， ∵∠DCE＝∠GFH＝∠JIK＝90°，∠CDE＝∠FGH＝∠JIK＝60°， ∴IJ∥CD，∠FHG＝∠CED＝∠IKJ＝30°， ∴FH∥CE，IJ＝CD＝DE＝40cm， 在Rt△CDE中，FH＝＝40cm， ∵IJ∥CD，FH∥CE， ∴△EJI∽△EDB，△DFH∽△DAE， ∴＝，＝， 即＝，＝， ∴BD＝200cm，AE＝160cm， 经检验：BD＝200cm，AE＝160cm是方程的解， ∴BC＝BD﹣CD＝200﹣40＝160（cm），AC＝AE﹣CE＝160﹣40＝120（cm）， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AB＝＝＝40， ∴BC＝160cm，AB＝40， 故答案为：160； ． 三．解答题（共6小题，共72分） 17．（6分）（2024秋•诸暨市校级月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． （1）若a＝4cm，b＝9cm，c是a，b的比例中项线段，求c的长； （2）若，a+b+c＝48，求a，b，c的长． 【分析】（1）根据比例中项的定义列式得到c2＝ab，即c2＝36，即可得出答案； （2）设＝＝k，然后用k表示出a、b、c，再代入a+b+c＝48，求解得到k，即可得到a、b、c的值． 【解答】解：（1）∵c是a，b的比例中项线段， ∴c2＝ab＝4×9＝36， ∴c＝±6， ∵c＞0， ∴c的长是6cm； （2）设＝＝＝k， ∴a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∴a+b+c＝3k+4k+5k＝48， 解得k＝4， ∴a＝12，b＝16，c＝20． 18．（6分）（2024•宁波模拟）在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，且CN∥BM，MA的延长线与CN交于点P，若AM＝3，． （1）求证：△ABM∽△CBN； （2）求AP的长． 【分析】（1）由旋转易得AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN，进而可得，∠ABM＝∠CBN，以此即可证明△ABM∽△CBN； （2）由△ABM∽△CBN得∠BMA＝∠BNC，由CN∥BM得∠BMA＝∠APN，由BC＝BN得∠BNC＝∠BCN，以此可得∠APN＝∠BCN，则BC∥MP，于是可知四边形BCPM为平行四边形，BC＝PM，利用△ABM∽△CBN的对应边成比例，求得CB＝5＝PM，则AP＝PM﹣AM． 【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN， ∴AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN， ∴， ∴∠MBN+∠ABN＝∠ABC+∠ABN，即∠ABM＝∠CBN， ∴△ABM∽△CBN； （2）解：由（1）知，△ABM∽△CBN， ∴∠BMA＝∠BNC， ∵CN∥BM， ∴∠BMA＝∠APN， ∴∠APN＝∠BNC， 又∵BC＝BN， ∴∠BNC＝∠BCN， ∴∠APN＝∠BCN， ∴BC∥MP， ∴四边形BCPM为平行四边形， ∴BC＝PM， ∵△ABM∽△CBN， ∴，即， ∴CB＝5＝PM， ∴AP＝PM﹣AM＝5﹣3＝2． 19．（8分）（2024春•沭阳县月考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段AD为边画一个格点三角形，使它与△ABC相似． （2）在图②中画一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等）． （3）在图③中的线段AB上画一个点P，使＝． 【分析】（1）取格点E，连接DE，则DE∥BC，由相似三角形的判定方法可知△ADE∽△ABC． （2）取格点D，E，F，连接DE，DF，EF，使DE＝，DF＝4，EF＝即可． （3）取格点M，N，连接MN，交AB于点P，此时△AMP∽△BNP，由，可得． 【解答】解：（1）如图①，△ADE即为所求． （2）如图②，△DEF即为所求． （3）如图③，点P即为所求． 20．（8分）（2024•拱墅区二模）如图，在锐角三角形ABC中，AC＞BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD．点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE． （1）求证：△ACD∽△AEB． （2）当，求的值． 【分析】（1）首先利用作图证明CD＝CB，然后利用等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠CBD，再利用角平分线的性质得到∠BAD＝∠CAD，由此即可证明结论； （2）首先利用相似三角形的在可以得到＝＝，然后利用已知条件即可求解． 【解答】（1）证明：∵以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D， ∴CD＝CB， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴∠ADC＝∠ABE， ∵AB平分∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴△ACD∽△AEB； （2）解：∵△ACD∽△AEB， ∴＝＝ 而， ∴＝， ∴＝． 21．（10分）（2024•义乌市模拟）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若AB＝30，求线段BD的长． （2）若△ADE的面积为2，求平行四边形BFED的面积． 【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答； （2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16，同理可得△EFC的面积＝9，根据面积差可得答案． 【解答】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形， ∴DE∥BF， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∵AB＝30， ∴AD＝6， ∴BD＝AB﹣AD＝30﹣6＝24； （2）∵△ADE∽△ABC， ∴＝（）2＝（）2＝， ∵△ADE的面积为2， ∴△ABC的面积是50， ∵四边形BFED是平行四边形， ∴EF∥AB， ∴△EFC∽△ABC， ∴＝（）2＝， ∴△EFC的面积＝32， ∴平行四边形BFED的面积＝50﹣32﹣2＝16． 22．（10分）（2024•钱塘区三模）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连结CE交对角线BD于点F，过点E作EG∥AB交BD于点G． （1）若CD＝CE，∠A＝110°，求∠BCF的度数． （2）若BD＝15，DE＝2AE，求FG的长． （3）求证：DF2＝FG•BF． 【分析】（1）先根据菱形得性质得到CD∥BC，AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠CDA＝70°，接着利用等腰三角形的性质得到∠CED＝∠CDA＝70°，然后根据平行线的性质，由AD∥BC得到∠BCF＝∠CED； （2）先证明△DEG∽△DAB得到＝＝＝，所以DG＝BD＝10，再证明△EGF∽△CDF得到＝，则＝，然后利用比例的性质求出FG的长； （3）先证明△CDF∽△EGF得到＝，证明△BCF∽△DEF得到＝，则利用等量代换得到＝，然后根据比例的性质得到结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD为菱形， ∴CD∥BC，AD∥BC， ∴∠CDA＝180°﹣∠A＝70°， ∵CD＝CE， ∴∠CED＝∠CDA＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠BCF＝∠CED＝70°； （2）解：∵DE＝2AE， ∴DE＝DA， ∵EG∥AB， ∴△DEG∽△DAB， ∴＝＝＝， ∴DG＝BD＝×15＝10， ∵四边形ABCD为菱形， ∴CD∥AB，CD＝AB， ∴CD∥EG， ∴△EGF∽△CDF， ∴＝， ∴＝＝， ∴FG＝DG＝×10＝4； （3）证明：∵EG∥CD， ∴△CDF∽△EGF， ∴＝， ∵DE∥BC， ∴△BCF∽△DEF， ∴＝， ∴＝， ∴DF2＝FG•BF． 23．（12分）（2024•上城区一模）如图，△ABC内接于⊙O，点D为弦AB的中点，连接DO、OB，延长DO交弦AC的延长线于点E，DE与弦BC交于点F，DE与⊙O交于点G，已知AB＝6，DG＝9． （1）求⊙O的半径； （2）求证：∠E＝∠OBC； （3）若OF＝3，求CF的长． 【分析】（1）利用垂径定理得到OD⊥AB，AD＝DB＝3，设⊙O的半径为r，利用勾股定理列出方程解答即可； （2）延长BO交⊙O于点K，连接CK，利用直径所对的圆周角是直角和直角三角形的性质解答即可； （3）连接OC，利用相似三角形的判定与性质求得OE＝，利用勾股定理求得BF，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】（1）解：∵点D为弦AB的中点，O为圆心，AB＝6， ∴OD⊥AB，AD＝DB＝3， 设⊙O的半径为r，则OB＝OG＝r，OD＝DG﹣OG＝9﹣r， ∵BD2+OD2＝OB2， ∴32+（9﹣r）2＝r2， ∴r＝5． ∴⊙O的半径为5； （2）证明：延长BO交⊙O于点K，连接CK，如图， ∵BK为⊙O的直径， ∴∠BCK＝90°， ∴∠OBC+∠K＝90°． ∵OD⊥AB， ∴∠E+∠A＝90°． ∵∠A＝∠K， ∴∠E＝∠OBC； （3）解：连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠E＝∠OBC， ∴∠OCB＝∠E． ∵∠COF＝∠EOC， ∴△COF∽△EOC， ∴， ∴， ∴OE＝． ∴EF＝OE﹣OF＝． 由（1）知：OB＝OC＝5，OD＝4， ∴DF＝OD+OF＝7， ∴BF＝＝． ∵∠E＝∠OBC，∠CFE＝∠OFB， ∴△CFE∽△OFB， ∴， ∴， ∴CF＝． 24．（12分）（2024•鹿城区校级三模）如图1，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，G为CD的中点，延长GE交BA的延长线于点F，已知∠ABE＝30°，AB＝3．点P，Q分别在线段GE，AB上（不与端点重合），且满足，设AQ＝x，PF＝y． （1）求证：GE＝EF． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，连结PQ． ①当PQ与△ABE的一边垂直时，求x的值． ②当点D落在QP的延长线上时，记PQ与BE的交点为M，求的值． 【分析】（1）连接BD，利用菱形性质可得AB＝AD＝CD＝BC＝3，AB∥CD，再证得△ABD是等边三角形，进而运用AAS证得△AEF≌△DEG，即可证得结论； （2）由中点性质得DE＝DG＝，进而得出EG＝DE＝，设AQ＝x，PF＝y，则PG＝GF﹣PF＝3﹣y，再结合已知条件即可求得答案； （3）①由于点P，Q分别在线段GE，AB上（不与端点重合），故PQ不可能垂直AE，分两种情况讨论：当PQ⊥AB时，当PQ⊥BE时，分别求得x的值； ②过点Q作QH∥FG交DA的延长线于点H，作QJ⊥BE于J，由QH∥FG，得△DEP∽△DHQ，利用相似三角形性质建立方程求得x的值，再由JQ∥AD，可得△MQJ∽△MDE，利用相似三角形性质即可求得答案． 【解答】（1）证明：如图1，连接BD， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABE＝90°﹣30°＝60°， ∵四边形 ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，AB∥CD， ∴△ABD是等边三角形，∠F＝∠DGE， ∴点E为AD的中点， ∴AE＝DE， 又∵∠AEF＝∠DEG， ∴△AEF≌△DEG（AAS）， ∴GE＝EF． （2）解：∵E、G分别为AD、CD的中点， ∴DE＝DG＝， ∵∠EDG＝120°， ∴EG＝DE＝， 由（1）知GE＝EF， ∴EF＝， ∴GF＝3， 设AQ＝x，PF＝y， 则PG＝GF﹣PF＝3﹣y， ∵PG＝AQ， ∴3﹣y＝x， ∴y＝3﹣x； （3）解：①∵点P，Q分别在线段GE，AB上（不与端点重合）， ∴PQ不可能垂直AE， 当PQ⊥AB时，如图2，连接BG，BD， 则∠FQP＝90°， 同理可得△BCD是等边三角形， ∵点G是CD的中点， ∴BG⊥CD， ∵AB∥CD， ∴BG⊥AB， ∴∠FBG＝90°， ∴∠FQP＝∠FBG， 又∵∠PFQ＝∠GFB， ∴△FPQ∽△FGB， ∴＝， 即FQ•FG＝FP•FB， 由（2）得AF＝DE＝，AQ＝x，GF＝3，PG＝x， ∴FQ＝AQ+AF＝x+，FB＝AF+AB＝+3＝，FP＝3﹣x， ∴3（x+）＝（3﹣x）， 解得：x＝； 当PQ⊥BE时，如图3， ∵PQ⊥BE，AE⊥BE， ∴AE∥PQ， ∴＝， 即AF•FP＝EF•FQ， ∴（3﹣x）＝（x+）， 解得：x＝； 综上所述，x的值为或． ②如图4，过点Q作QH∥FG交DA的延长线于点H，作QJ⊥BE于J， 则∠H＝∠AEF＝30°，∠AQH＝∠F＝30°， ∴∠H＝∠AQH， ∴AQ＝AH＝x， 则QH＝x，DH＝x+3， 由（2）知DE＝，EG＝，PG＝x， ∴PE＝EG﹣PG＝﹣x， ∵QH∥FG， ∴△DEP∽△DHQ， ∴＝，即＝， 解得：x＝（负值舍去）， ∴AQ＝，PE＝﹣×＝， ∵QJ⊥BE， ∴∠BJQ＝90°， ∵∠ABE＝30°， ∴QJ＝BQ＝（3﹣x）＝， ∵∠BJQ＝∠BEA＝90°， ∴JQ∥AD， ∴△MQJ∽△MDE， ∴＝＝＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$