专题02 一元二次方程（考题猜想，易错必刷28题9种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

专题02一元二次方程（易错必刷28题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的定义 · 一元二次方程的一般形式 · 一元二次方程的解 · 解一元二次方程-配方法根的判别式 · 根的判别式 · 根与系数的关系 · 由实际问题抽象出一元二次方程 · 一元二次方程的应用 · 解一元二次方程-因式分解法 一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2 二．一元二次方程的一般形式（共4小题） 2．一元二次方程（4x+1）（2x﹣3）＝5x2+1化成一般式后a，b，c的值为（　　） A．3，﹣10，﹣4 B．3，﹣12，﹣2 C．8，﹣10，﹣2 D．8，﹣12，4 3．一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝2x﹣4化为一般形式是（　　） A．x2﹣1＝0 B．x2﹣7＝0 C．x2+4x+1＝0 D．x2+1＝0 4．一元二次方程﹣3x﹣100＝0常数项为（　　） A．﹣3 B．3 C．100 D．﹣100 5．将一元二次方程3x2﹣x＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，5，﹣1 B．﹣3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣6，0 三．一元二次方程的解（共2小题） 6．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为x＝1，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4 7．已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0一个根，则2022﹣m2+3m的值为 　 　． 四．解一元二次方程-配方法（共3小题） 8．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 9．一元二次方程x2+4x+1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 10．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　 　． 五．解一元二次方程-因式分解法（共3小题） 11．一元二次方程x（x﹣2）+x﹣2＝0的根为（　　） A．﹣1 B．1 C．2或﹣1 D．2或1 12．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　 　． 13．解下列方程： （1）2（x+1）2＝8； （2）x（x+1）＝3（x+1）； （3） x2+6x﹣16＝0． 六．根的判别式（共4小题） 14．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1 15．关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．没有实数根 16．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　 　． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 七．根与系数的关系（共4小题） 18．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0，则＝　 　． 19．若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是 　 　． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1，x2，且+＝1，则m＝　 　． 21．已知，关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根为x1，x2，且满足+＝1，求m的值． 八．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 22．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 23．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 九．一元二次方程的应用（共5小题） 24．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为　 　秒． 25．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 26．据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； （2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 27．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） ∴x2﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ， 解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 　 　； （2）分式不等式的解集为 　 　； （3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0． 28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动． （1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离 　 　cm．（用含t的代数式表示） （2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由． $$专题02一元二次方程（易错必刷28题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的定义 · 一元二次方程的一般形式 · 一元二次方程的解 · 解一元二次方程-配方法根的判别式 · 根的判别式 · 根与系数的关系 · 由实际问题抽象出一元二次方程 · 一元二次方程的应用 · 解一元二次方程-因式分解法 一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2 【答案】B 【解答】解：由一元二次方程的定义可得，解得：m＝2．故选B． 二．一元二次方程的一般形式（共4小题） 2．一元二次方程（4x+1）（2x﹣3）＝5x2+1化成一般式后a，b，c的值为（　　） A．3，﹣10，﹣4 B．3，﹣12，﹣2 C．8，﹣10，﹣2 D．8，﹣12，4 【答案】A 【解答】解：（4x+1）（2x﹣3）＝5x2+1， 去括号得： 8x2﹣10x﹣3＝5x2+1， 移项合并同类项得： 3x2﹣10x﹣4＝0， a＝3，b＝﹣10，c＝﹣4， 故选：A． 3．一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝2x﹣4化为一般形式是（　　） A．x2﹣1＝0 B．x2﹣7＝0 C．x2+4x+1＝0 D．x2+1＝0 【答案】D 【解答】解：（x+3）（x﹣1）＝2x﹣4， x2+2x﹣3＝2x﹣4， x2+2x﹣2x﹣3+4＝0， x2+1＝0， 故选：D． 4．一元二次方程﹣3x﹣100＝0常数项为（　　） A．﹣3 B．3 C．100 D．﹣100 【答案】D 【解答】解：一元二次方程常数项为﹣100， 故选：D． 5．将一元二次方程3x2﹣x＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，5，﹣1 B．﹣3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣6，0 【答案】D 【解答】解：将一元二次方程3x2﹣x＝5x化为一般形式为3x2﹣6x＝0， 故二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣6，0． 故选：D． 三．一元二次方程的解（共2小题） 6．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为x＝1，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4 【答案】A 【解答】解：由题意得： 把x＝1代入方程x2+kx﹣3＝0中得： 12+k﹣3＝0， k＝3﹣1＝2， 故选：A． 7．已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0一个根，则2022﹣m2+3m的值为 　2023　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得：把x＝m代入方程x2﹣3x+1＝0中得：m2﹣3m+1＝0， ∴m2﹣3m＝﹣1， ∴2022﹣m2+3m＝2022﹣（m2﹣3m）＝2022﹣（﹣1）＝2022+1＝2023， 故答案为：2023． 四．解一元二次方程-配方法（共3小题） 8．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 【答案】A 【解答】解：由原方程移项，得 x2﹣6x＝7， 等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方32， x2﹣6x+32＝7+32， ∴（x﹣3）2＝16； 故选：A． 9．一元二次方程x2+4x+1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 【答案】B 【解答】解：x2+4x+1＝0， x2+4x＝﹣1， x2+4x+4＝﹣1+4， （x+2）2＝3， 故选：B． 10．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　14　． 【答案】14． 【解答】解：x2﹣4x﹣8＝0， 移项，得x2﹣4x＝8， 配方，得x2﹣4x+4＝8+4， ∴（x﹣2）2＝12， ∴m＝2，n＝12， ∴m+n＝2+12＝14， 故答案为：14． 五．解一元二次方程-因式分解法（共3小题） 11．一元二次方程x（x﹣2）+x﹣2＝0的根为（　　） A．﹣1 B．1 C．2或﹣1 D．2或1 【答案】C 【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， x1＝2，x2＝﹣1， 故选：C． 12．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　15　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， ∴x﹣3＝0，x﹣6＝0， ∴x1＝3，x2＝6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理， ∴此时不能组成三角形， 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6＝15， 故答案为：15． 13．解下列方程： （1）2（x+1）2＝8； （2）x（x+1）＝3（x+1）； （3）x2+6x﹣16＝0． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣3； （2）x1＝﹣1，x2＝3； （3）x1＝﹣8，x2＝2． 【解答】解：（1）2（x+1）2＝8， （x+1）2＝4， x+1＝±2， x+1＝2或x+1＝﹣2， x1＝1，x2＝﹣3； （2）x（x+1）＝3（x+1）， x（x+1）﹣3（x+1）＝0， （x+1）（x﹣3）＝0， x+1＝0或x﹣3＝0， x1＝﹣1，x2＝3； （3）x2+6x﹣16＝0， （x+8）（x﹣2）＝0， x+8＝0或x﹣2＝0， x1＝﹣8，x2＝2． 六．根的判别式（共4小题） 14．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1 【答案】C 【解答】解：由题意知：k≠0，Δ＝36﹣36k＞0， ∴k＜1且k≠0． 故选：C． 15．关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【解答】解：x2+x﹣3＝0， a＝1，b＝1，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 16．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　k≤3且k≠﹣1　． 【答案】k≤3且k≠﹣1． 【解答】解：由题意得a＝k+1，b＝﹣4，c＝1， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×（k+1）×1＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0， 解得k≤3， 又∵k+1≠0， ∴k≠﹣1， 故答案为：k≤3且k≠﹣1． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2） ＝4+12m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵αβ＝﹣3m2， ∴﹣3m2＝﹣3， ∴m＝±1， ∴m的值为±1． 七．根与系数的关系（共4小题） 18．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0，则＝　﹣或2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当x≠y时， ∵x、y满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0， ∴x、y是z2﹣2z﹣6＝0的两根， ∴x+y＝2，xy＝﹣6， ∴＝＝＝﹣． 当x，y的值相等时，原式＝2． 故答案为：﹣或2． 19．若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是 　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4m2＝12m+9＞0， ∴m＞﹣， ∵x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2， 又∵x1+x2＝x1•x2， ∴2m+3＝m2， 解得：m＝﹣1或m＝3， ∵m＞﹣， ∴m＝3， 故选：B． 故答案为：3． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1，x2，且+＝1，则m＝　0　． 【答案】0． 【解答】解：∵x1，x2是x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣2m+1，x1•x2＝m2， ∵+＝1， ∴+＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝1， 即（﹣2m+1）2﹣2m2＝1，解得：m1＝0，m2＝2． 当m＝0时，Δ＝b2﹣4ac＝1＞0，原方程有两个实数根； 当m＝2时，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣16＝﹣7＜0，原方程无实数根，不符合题意，舍去． 故答案为：0． 21．已知，关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根为x1，x2，且满足+＝1，求m的值． 【答案】（1）m＞﹣； （2）m＝0． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0， 解得m＞﹣， 故m的取值范围是m＞﹣； （2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m﹣1，x1•x2＝m2﹣1， ∵+＝1， ∴＝＝1， ∴m2+2m＝0， ∴m1＝0，m2＝﹣2， ∵m＞﹣， ∴m＝0． 八．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 22．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【答案】B 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 23．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 【答案】B 【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）； 依题意，可列方程为：＝10； 故选：B． 九．一元二次方程的应用（共5小题） 24．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为　4﹣或4+2　秒． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝10 设运动的时间为t，则AP＝t，点Q所走的路程为2t， 1）当点Q在BC线段上运动时，0＜t＜5， 如图所示，过点Q作QG⊥AC，交AC于点G， 则sinC＝＝ ∴QG＝×2t＝ ∵S△ABC＝6×8÷2＝24 若四边形的面积为三角形面积的2倍，则S△PQC＝24×＝8 ∴（8﹣t）×÷2＝8 化简得3t2﹣24t+40＝0 解得t1＝4﹣，t2＝4+（舍） 2）当点Q在BA线段上运动时，5＜t＜8， 如图所示， S△APQ＝AP•AQ＝t（10+6﹣2t）＝8 化简得：t2﹣8t+8＝0 解得t3＝4﹣2（舍），t4＝4+2． 故答案为：4﹣或4+2． 25．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝300， x2﹣62x+600＝0， 解这个方程得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50， ∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12． （60﹣x+2）x＝480， x2﹣62x+960＝0， 解这个方程得：x1＝32，x2＝30， ∵墙EF最长可利用28米， 而28＜30＜32， ∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去， 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园． 26．据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； （2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）25%； （2）3． 【解答】解：（1）设月平均增长率为x，依题意， 得1440（1+x）2＝2250， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）． ∴月平均增长率是25%； （2）设售价降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，依题意， 得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750， 整理得y2﹣4y+3＝0， 解得y1＝1，y2＝3． ∵要尽量减少库存， ∴y＝3． ∴售价应降低3元． 27．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） ∴x2﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ， 解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 　x＞4或x＜﹣4　； （2）分式不等式的解集为 　x＞3或x＜1　； （3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x2﹣16＝（x+4）（x﹣4） ∴x2﹣16＞0可化为 （x+4）（x﹣4）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 解不等式组①，得x＞4， 解不等式组②，得x＜﹣4， ∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4， 即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4． （2）∵ ∴或 解得：x＞3或x＜1 （3）∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3） ∴2x2﹣3x＜0可化为 x（2x﹣3）＜0 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得 或 解不等式组①，得0＜x＜， 解不等式组②，无解， ∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜． 28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动． （1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离 　（6﹣2t）　cm．（用含t的代数式表示） （2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴Rt△ABC中，AC＝6cm， 又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动， ∴AP＝2t， ∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm； 故答案为：（6﹣2t）； （2）△ABC的面积为S△ABC＝×6×8＝24， ①当0＜t＜3时，PC＝6﹣2t，QC＝t， ∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t）， ∴t（6﹣2t）＝4， 即t2﹣3t+4＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣7＜0， ∴该一元二次方程无实数根， ∴该范围下不存在； ②当3＜t≤8时，PC＝2t﹣6，QC＝t， ∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6）， ∴t（2t﹣6）＝4， 即t2﹣3t﹣4＝0， 解得t＝4或﹣1（舍去）， 综上所述，存在，当t＝4时，△PQC的面积是△ABC面积的． $$