专题04 解直角三角形（考题猜想，易错必刷26题10种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

专题04解直角三角形（易错必刷26题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 含30度角的直角三角形 · 直角三角形斜边上的中线 · 关于x轴、y轴对称的点的坐标 · 坐标与图形变化-旋转 · 解直角三角形 · 解直角三角形的应用 · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 · 锐角三角函数的定义 · 解直角三角形 一．含30度角的直角三角形（共1小题） 1．已知，如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD＝BC，AE⊥BC． （1）求证：∠CAE＝∠B； （2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求AB的长． 二．直角三角形斜边上的中线（共1小题） 2．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAB＝45°，M、N分别是AC、BD中点，若AC＝10，则MN＝　 　． 三．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题） 3．已知M（2，2）．规定“把点M先作关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2018次变换后，点M的坐标变为（　　） A．（﹣2016，2） B．（﹣2016，﹣2） C．（﹣2017，﹣2） D．（﹣2017，2） 四．坐标与图形变化-旋转（共1小题） 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（1，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC＝90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将△ABC绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为 　 　． 五．锐角三角函数的定义（共3小题） 5．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　） A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AB＝2，则AC长是（　　） A． B． C． D．2 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（　　） A．8 B．12 C．13 D．18 六．解直角三角形（共8小题） 8．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　） A． B．2 C． D． 9．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（　　） A． B． C． D． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2．则sin∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，sinB＝，AB＝8，AC＝5，且∠C为锐角，cosC的值是（　　） A． B． C． D． 13．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点． （1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH． （2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE． （3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为　 　． 14．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D在BC边上，CD＝AC，AB＝26，则BD的长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，则S△ABC＝　 　． 七．解直角三角形的应用（共1小题） 16．为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从图中A，C两处分别向B处铺设，现测得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C两点间的距离．（结果取整数，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25） 八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题） 17．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　） A．5cosα B． C．5sinα D． 18．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题） 19．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（　　） A． B． C． D． 20．如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m） （1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD． （2）求旗杆的AC高度． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73） 21．陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，高高矗立，身姿伟岸．某数学兴趣小组计划在假期前往照金革命根据地学习，并测量塑像高度，活动方案如下： 测量方案：如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，在点E处放置平面镜，此时小明视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，在点F处安装测倾器，测得塑像顶端C的仰角约为51.3°． 数据收集：测得眼睛离地面高度AB＝1.6米，BE＝2米，EF＝4米，GF＝1.4米，AB⊥BD，GF⊥BD，CD⊥BD． 解决问题：求塑像CD的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：sin51.3°≈0.78，cos51.3°≈0.63，tan51.3°≈1.25） 22．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔CD的高度，已知信号塔与斜坡AB的坡顶B在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AB爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为66°． （1）求坡顶B到地面AE的距离； （2）求联通信号发射塔CD的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25） 23．如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15°的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30°（AM、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距离．（结果精确到1米，≈1.414） 24．小星准备利用无人机测量一条湖泊某处东西两岸边B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是161.6m，此时小星同学抬头仰视无人机，仰角记为α，若从无人机测得岸边C处的俯角为63°，小星的眼睛距地面的高度EB为1.6m，EA长200m．（点A，E，B，C在同一平面内） （Ⅰ）求仰角α的正弦值； （Ⅱ）求B、C两点之间的距离（结果精确到1m）． （sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）． 一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题） 25．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝50米，则AB的长等于（　　）米． A． B． C．50（cos35°﹣sin35°） D．50（cos35°+sin35°） 26．如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西53°方向前往小区居民活动中心C处；小强自南门B处出发，沿正西方向行走300m到达D处，再沿北偏西30°方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3 $$专题04解直角三角形（易错必刷26题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 含30度角的直角三角形 · 直角三角形斜边上的中线 · 关于x轴、y轴对称的点的坐标 · 坐标与图形变化-旋转 · 解直角三角形 · 解直角三角形的应用 · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 · 锐角三角函数的定义 · 解直角三角形 一．含30度角的直角三角形（共1小题） 1．已知，如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD＝BC，AE⊥BC． （1）求证：∠CAE＝∠B； （2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求AB的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）AB的长为4． 【解答】（1）证明：∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝DC＝BC， ∵AD＝BC， ∴AD＝DC＝BD， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC， ∵∠B+∠BAD+∠DAC+∠C＝180°， ∴2（∠B+∠C）＝180°， ∴∠B+∠C＝90°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE+∠C＝90°， ∴∠CAE＝∠B； （2）解：∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，CE＝2， ∴AC＝2CE＝4， ∵∠B+∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°， ∵∠B＝∠CAE＝30°， ∴AB＝AC＝4， ∴AB的长为4． 二．直角三角形斜边上的中线（共1小题） 2．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAB＝45°，M、N分别是AC、BD中点，若AC＝10，则MN＝　　． 【答案】． 【解答】解：连接BM，DM， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，AC＝10， ∴AM＝BM＝AC＝5，AM＝DM＝AC＝5， ∴∠MAB＝∠MBA，∠MAD＝∠MDA， ∵∠BMC＝∠MAB+∠MBA，∠DMC＝∠MAD+∠MDA， ∴∠BMD＝∠BMC+∠DMC ＝2∠BAM+2∠DAM ＝2∠BAD ＝90°， ∵BM＝DM＝5， ∴BD＝BM＝5， ∵N是BD的中点， ∴MN＝BD＝， 故答案为：． 三．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题） 3．已知M（2，2）．规定“把点M先作关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2018次变换后，点M的坐标变为（　　） A．（﹣2016，2） B．（﹣2016，﹣2） C．（﹣2017，﹣2） D．（﹣2017，2） 【答案】A 【解答】解：由题可得，第2018次变换后的点M在x轴上方， ∴点M的纵坐标为2，横坐标为2﹣2018×1＝﹣2016， ∴点M的坐标变为（﹣2016，2）， 故选：A． 四．坐标与图形变化-旋转（共1小题） 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（1，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC＝90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将△ABC绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：依题可知，∠BAC＝45°，∠CAE＝75°，AC＝AE，∠OAE＝60°， 在Rt△AOE中，OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°， ∴AE＝2， ∴AC＝2． ∴在Rt△ABC中，． 故答案为：． 五．锐角三角函数的定义（共3小题） 5．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC， 根据勾股定理，AO＝＝2， AC＝＝， OC＝＝， 所以，AO2＝AC2+OC2＝20， 所以，△AOC是直角三角形， cos∠AOB＝＝＝． 故选：B． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AB＝2，则AC长是（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝，AB＝2， ∴BC＝AB×sinA＝2×＝， 由勾股定理得：AC＝＝． 故选：A． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（　　） A．8 B．12 C．13 D．18 【答案】B 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝， ∴＝， ∴AB＝13， ∴BC＝＝12， 故选：B． 六．解直角三角形（共8小题） 8．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：如图： 作OF⊥AB于F， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC． ∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6． ∴根据勾股定理得：AD＝＝8． ∵BE平分∠ABC． ∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4． 设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得： （8﹣x）2＝x2+42． ∴x＝3． ∴OD＝3． 在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝． 法二：在求出AF＝4后 ∵tan∠BAD＝＝． ∴＝． ∴OF＝3． ∴OD＝OF＝3． ∴tan∠OBD＝＝． 故选：A． 9．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90° ∴∠DCE＝45°， ∵DE⊥CE ∴∠CED＝90°，∠CDE＝45° ∴设DE＝CE＝1，则CD＝ 在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°， ∴tan∠CAD＝，则AC＝， 在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45° ∴BC＝， ∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝ 故选：D． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2．则sin∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝，BC＝2， ∴AB＝＝＝3， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝． 故选：C． 11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图：连接AD， 由题意得： AD＝BD＝3，∠ADB＝90°， ∴∠ABC＝∠BAD＝45°， ∴sin∠ABC＝sin45°＝， 故选：B． 12．如图，在△ABC中，sinB＝，AB＝8，AC＝5，且∠C为锐角，cosC的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝8， ∴AD＝AB•sinB＝8×＝4， 在Rt△ADC中，AC＝5， ∴CD＝＝＝3， ∴cosC＝＝， 故选：A． 13．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点． （1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH． （2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE． （3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为　　． 【答案】（1）证明见解答； （2）； （3）． 【解答】（1）证明：如图1， 过点A作AN⊥BC于N， ∵AB＝AC， ∴BN＝BC， ∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠BAD， 在△ABN和△BAH中， ， ∴△ABN≌△BAH（AAS）， ∴BN＝AH， ∴BC＝AH， ∴BC＝2AH； （2）解：如图2，在AC上取一点F，使EF＝EC，连接EF， ∵∠BAC＝∠DAE＝120°， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴∠ABE＝∠C＝∠CFE＝30°， ∴∠ABD＝∠AFE＝150°， ∴△ABD∽△AFE， ∴，即， ∴＝， 设EF＝a，则AF＝a， ∵EF＝CE＝a，∠C＝30°， ∴CF＝a， ∴6﹣a＝a， ∴a＝， ∴CE＝EF＝； （3）解：如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G， 设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m， ∵tan∠ABC＝＝， ∴＝， ∴BP＝CP＝4m，BC＝8m， ∵∠BAD＝∠BCE＝∠G，∠ABD＝∠GCA＝150°， ∴△ABD∽△GCA， ∴，即＝， ∴CG＝5m2， ∵AG∥CE， ∴， ∴， ∴m＝， ∴BC＝8m＝． 故答案为：． 14．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D在BC边上，CD＝AC，AB＝26，则BD的长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝26， ∴BC＝ABcosB＝26×＝24， ∴AC＝＝＝10， ∵CD＝AC， ∴CD＝10， ∴BD＝BC﹣CD＝24﹣10＝14， 故选：C． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，则S△ABC＝　10　． 【答案】10． 【解答】解：∵CD⊥AB，tanB＝， ∴＝， ∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴△ACD∽△CBD， ∴S△ACD：S△CBD＝1：4， ∵S△ACD＝2， ∴S△CBD＝8， ∴S△ABC＝S△ACD+S△CBD＝2+8＝10． 故答案为：10． 七．解直角三角形的应用（共1小题） 16．为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从图中A，C两处分别向B处铺设，现测得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C两点间的距离．（结果取整数，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25） 【答案】B，C两点间的距离约为2083m． 【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D， ∵∠BAC＝30°，∠ABC＝136°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝14°， 在Rt△ABD中，AB＝1000m， ∴BD＝AB＝500（m）， 在Rt△BDC中，BC＝≈≈2083（m）， ∴B，C两点间的距离约为2083m． 八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题） 17．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　） A．5cosα B． C．5sinα D． 【答案】B 【解答】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C． ∵BC＝5米，∠CBA＝∠α． ∴AB＝＝． 故选：B． 18．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 【答案】斜坡AB的长约为10.3米． 【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E， 由题意得：AF⊥BC，DE＝AF， ∵斜面AB的坡度i＝3：4， ∴＝， ∴设AF＝3x米，则BF＝4x米， 在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x（米）， 在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米， ∴DE＝CD•sin18°≈20×0.31＝6.2（米）， ∴AF＝DE＝6.2米， ∴3x＝6.2， 解得：x＝， ∴AB＝5x≈10.3（米）， ∴斜坡AB的长约为10.3米． 九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题） 19．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 由题意得：AD＝120m， 在Rt△ABD中，∠BAD＝30°， ∴BD＝AD•tan30°＝120×＝40（m）， 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°， ∴CD＝AD•tan60°＝120（m）， ∴BC＝BD+CD＝160（m）， ∴这栋楼的高度为160m， 故选：B． 20．如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m） （1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD． （2）求旗杆的AC高度． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在Rt△DEG中，∠EDG＝37°，DE＝20m， ∴EG＝DE•sin37°≈20×0.60＝12.0（m）， DG＝DE•cos37°≈20×0.80＝16.0（m）， ∴斜坡ED的铅直高度EG约为12.0m，水平宽度GD约为16.0m； （2）过点E作EH⊥BC，垂足为H， 由题意得：DB＝32m， ∴EH＝GB＝GD+DB＝16+32＝48（m）， 在Rt△CEH中，∠CEH＝30°， ∴CH＝EH•tan30°＝48×＝16（m）， ∴AC＝CH+BH﹣AB＝16+12﹣37≈2.7（m）， ∴旗杆的AC高度约为2.7m． 21．陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，高高矗立，身姿伟岸．某数学兴趣小组计划在假期前往照金革命根据地学习，并测量塑像高度，活动方案如下： 测量方案：如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，在点E处放置平面镜，此时小明视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，在点F处安装测倾器，测得塑像顶端C的仰角约为51.3°． 数据收集：测得眼睛离地面高度AB＝1.6米，BE＝2米，EF＝4米，GF＝1.4米，AB⊥BD，GF⊥BD，CD⊥BD． 解决问题：求塑像CD的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：sin51.3°≈0.78，cos51.3°≈0.63，tan51.3°≈1.25） 【答案】塑像CD的高度约为6.4米． 【解答】解：过点G作GH⊥CD，垂足为H， 由题意得：∠AEB＝∠CED，FG＝DH＝1.4米，GH＝DF， 设GH＝DF＝x米， ∵EF＝4米， ∴DE＝EF+DF＝（x+4）米， 在Rt△CGH中，∠CGH＝51.3°， ∴CH＝GH•tan51.3°≈1.25x（米）， ∴CD＝CH+DH＝（1.25x+1.4）米， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴＝， ∴＝， 解得：x＝4， 经检验：x＝4是原方程的根， ∴CD＝1.25x+1.4＝6.4（米）， ∴塑像CD的高度约为6.4米． 22．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔CD的高度，已知信号塔与斜坡AB的坡顶B在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AB爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为66°． （1）求坡顶B到地面AE的距离； （2）求联通信号发射塔CD的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25） 【答案】（1）坡顶B到地面AE的距离为10米； （2）联通信号发射塔CD的高度约为25米． 【解答】解：（1）过点B作BF⊥AE，垂足为F， ∵斜坡AB的坡度为1：2.4， ∴＝＝， ∴设BF＝5x米，则AF＝12x米， 在Rt△ABF中，AB＝＝＝13x（米）， ∵AB＝26米， ∴13x＝26， ∴x＝2， ∴BF＝10米，AF＝24米， ∴坡顶B到地面AE的距离为10米； （2）延长CD交AE于点G， 由题意得：BF＝DG＝10米，BD＝FG， 设BD＝FG＝x米，则AG＝AF+FG＝（x+24）米， 在Rt△BDC中，∠CBD＝66°， ∴CD＝BD•tan66°≈2.25x（米）， ∴CG＝CD+DG＝（2.25x+10）米， 在Rt△ACG中，∠CAG＝45°， ∴tan45°＝＝1， ∴CG＝AG， ∴2.25x+10＝x+24， 解得：x＝11.2， ∴CD＝2.25x＝25.2≈25（米）， ∴联通信号发射塔CD的高度约为25米． 23．如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15°的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30°（AM、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距离．（结果精确到1米，≈1.414） 【答案】A、B之间的距离约为141米． 【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 由题意得：AC＝200米，∠BAC＝90°+15°＝105°，∠C＝30°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°， 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴AD＝AC＝100（米）， 在Rt△ABD中，AB＝＝＝100≈141（米）， ∴A、B之间的距离约为141米． 24．小星准备利用无人机测量一条湖泊某处东西两岸边B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是161.6m，此时小星同学抬头仰视无人机，仰角记为α，若从无人机测得岸边C处的俯角为63°，小星的眼睛距地面的高度EB为1.6m，EA长200m．（点A，E，B，C在同一平面内） （Ⅰ）求仰角α的正弦值； （Ⅱ）求B、C两点之间的距离（结果精确到1m）． （sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）． 【答案】（Ⅰ）仰角α的正弦值为； （Ⅱ）B、C两点之间的距离为202米． 【解答】解：（Ⅰ）过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点E作EF⊥AD，垂足为F， 则EB＝DF＝1.6米，EF＝BD， ∵AD＝161.6米， ∴AF＝AD﹣DF＝161.6﹣1.6＝160（米）， 在Rt△AEF中，sinα＝＝＝， ∴仰角α的正弦值为； （Ⅱ）∵∠AFE＝90°，AE＝200米，AF＝160米， ∴EF＝＝＝120（米）， ∴BD＝EF＝120米， 由题意得： ∠ACD＝63°， 在Rt△ADC中，CD＝＝≈82.4（米）， ∴BC＝BD+CD＝120+82.4≈202（米）， ∴B、C两点之间的距离为202米． 一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题） 25．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝50米，则AB的长等于（　　）米． A． B． C．50（cos35°﹣sin35°） D．50（cos35°+sin35°） 【答案】D 【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 在Rt△BCD中，∠BCD＝35°，BC＝50米， ∴BD＝BC•sin35°≈50sin35°（米）， CD＝BC•cos45°＝50cos35°（米）， 在Rt△ADC中，∠ACD＝45°， ∴AD＝CD•tan45°＝CD＝50cos35°（米）， ∴AB＝AD+BD＝50cos35°+50sin35°＝50（cos35°+sin35°）米， 故选：D． 26．如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西53°方向前往小区居民活动中心C处；小强自南门B处出发，沿正西方向行走300m到达D处，再沿北偏西30°方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3 【答案】该小区北门A与南门B之间的距离为473米． 【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F， 则EF＝BD＝300，BE＝DF， 在Rt△DCF中，设CF＝x m，则CD＝2x m，FD＝x m， ∴AC＝（300+2x）m， 在Rt△ACE中，sin53°＝， 即＝0.8， 解得x＝100， ∴DF＝BE＝100m，CE＝400m，AC＝500m， ∴AE＝＝300， ∴AB＝AE+BE＝300+100≈473（m）， 答：该小区北门A与南门B之间的距离为473米． $$