清单04 一次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

清单04一次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 【清单02】函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 【清单03】正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【清单04】正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 【清单05】待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——； (3)求——k； (4)写—— 【清单06】一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【清单07】一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【清单08】一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【清单9】求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【清单10】一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【考点题型1】函数的定义 【典例1】下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各曲线中表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型2】函数的自变量取值范围 【典例2】已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【考点题型3】函数的图像 【典例3】如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 【变式3-1】如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【变式3-2】如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 【考点题型4】正比例函数的定义 【典例4】下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-1】下列y关于x的函数中，属于正比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列函数中，正比例函数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】一个正比例函数的图象过点，则该函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【考点题型5】 判断正比例函数图像所在象限 【典例5】在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【变式5-1】正比例函数的图象是（    ） A．  B． C．  D．   【变式5-2】正比例函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【考点题型6】正比例函数的性质 【典例6】关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【变式6-1】下列各点中，在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知正比例函数的图象上两点，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】若点在正比例函数的图象上，则m的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【考点题型7】一次函数的定义 【典例7】下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知函数 是一次函数，则 ． 【考点题型8】判断一次函数图像所在象限 【典例8】已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式8-1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式8-2】如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是（　　） A．B．C．D． 【变式8-3】两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（    ） A．B．C．D． 【考点题型9】一次函数图像的性质 【典例9】对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 【变式9-1】对于函数．下列说法错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．它的图象与y轴的交点是 C．当时， D．它的图象不经过第三象限 【变式9-2】关于一次函数，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象经过第二象限 C．函数y随自变量x的增大而增大 D．当时， 【变式9-3】对于直线的描述，正确的是（   ） A．从左至右呈上升趋势 B．不经过第二象限 C．经过点 D．与y轴的交点是 【考点题型10】根据一次函数增减性求含参取值范围 【典例10】已知一次函数，若y的值随x的值的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知一次函数（a为常数），y随x的增大而增大．则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型11】一次函数的变换问题 【典例11】将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 【变式11-1】将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【变式11-2】将直线向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点坐标为 ． 【变式11-3】若直线向左平移3个单位长度，平移后的直线解析式是 ． 【考点题型12】一次函数与一元一次方程 【典例12】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【变式12-1】若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（　　　） A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5） 【变式12-2】如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】一次函数y＝5x﹣1的图象与x轴的交点坐标是 ． 【考点题型13】一次函数应用 【典例13】襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示． 有机蔬菜种类 进价/（元） 售价/（元） 甲 m 16 乙 n 18 (1)该超市购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要170元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要200元．求m，n的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于，且不大于，实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完，求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）的条件下，该超市如何购买花菜才能使当天的利润最大？ 【变式13-1】“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．    (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 【变式13-2】【新情境】手机功能越来越多，人们利用手机导航、网上购物等等，手机让现代人的生活更为丰富和便捷．人们对上网流量的需求量越来越大，通讯公司推出了两种“流量包”业务供客户选择，套餐A：20元的月租，按照0.1元/MB收费；套餐B：无月租，按照0.2元/MB收费． 小思仔细阅读了通讯公司的“流量包”套餐业务，发现网费与上网流量有关联．小思设采用套餐A的网费为（元），采用套餐B的网费为（元），上网流量为x（MB）． (1)请分别直接写出（元）与x（MB），（元）与x（MB）之间的关系式； (2)求当上网流量为多少MB时，套餐A，B的费用恰好相同； (3)如果小思每个月的上网流量都不少于380MB，请帮助小思从A，B中选择使用哪一种套餐更省钱? 【变式13-3】为了鼓励大家节约用电，某电力公司采取按月用电量分段收费，居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图像解答下列问题： (1)求出y与x的函数关系式； (2)若某用户某月用电80度，则应缴电费多少元？ 【考点题型14】一次函数综合 【典例14】已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 【变式14-1】如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接． (1)求直线的解析式； (2)若点P为线段上一动点，且，求点P的坐标； 【变式14-2】如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04一次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 【清单02】函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 【清单03】正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【清单04】正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 【清单05】待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——； (3)求——k； (4)写—— 【清单06】一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【清单07】一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【清单08】一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【清单9】求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【清单10】一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【考点题型1】函数的定义 【典例1】下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，注意掌握在变化过程中对应的唯一性．函数是对于的任意取值，都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断． 【详解】解：、、都符合函数的定义，只有选项的图象，一个对应的值不止一个，不能表示是的函数． 故选：C 【变式1-1】下列各曲线中表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的概念，对应两个变量x、y，对于每个x的值，y都有唯一的值与之对应，则y是x的函数，据此求解即可． 【详解】解：A、对于每个x的值，y都有唯一的值与之对应，则y是x的函数，符合题意； B、对于每个x的值，y不都有唯一的值与之对应，则y不是x的函数，不符合题意； C、对于每个x的值，y不都有唯一的值与之对应，则y不是x的函数，不符合题意； D、对于每个x的值，y不都有唯一的值与之对应，则y不是x的函数，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：有两个变量，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数，据此即可判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、给定的一个值，有两个值和它对应，故不是的函数，该选项不合题意； 、给定的一个值，有两个值和它对应，故不是的函数，该选项不合题意； 、给定的一个值，有两个值和它对应，故不是的函数，该选项不合题意； 、是的函数，该选项符合题意； 故选：． 【变式1-3】下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数概念； 对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函数；据此逐一进行判断即可． 【详解】解：A.对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数； B.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； C.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； D.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； 故选：A． 【考点题型2】函数的自变量取值范围 【典例2】已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 【变式2-1】函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数自变量的范围的确定，解题的关键是根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数以及分母不等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 【变式2-2】在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、自变量的取值范围等知识点，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件成为解题的关键． 根据分式的分母不等于0、二次根式的被开方数大于等于0列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． 故选A． 【考点题型3】函数的图像 【典例3】如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据三角形面积计算公式可知当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变，结合函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化，则，0到4秒后点P从点B运动到点C，可得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：动点P从点B出发，沿 运动至点A停止，当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变， 由函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化， ∴，0到4秒后点P从点B运动到点C， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-1】如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，当P为的中点时，由股定理求出长度． 【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则， P从A向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时， 即，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， 当P为的中点时， ， 故答案为：． 【变式3-2】如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键．根据函数的图象、结合图形求出、的值，根据长方形的周长公式得出长方形的周长． 【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变， 函数图象上横轴表示点运动的路程，时，不发生变化，说明，时，接着变化，说明， ，， 长方形的周长是：， 故答案为：16 【考点题型4】正比例函数的定义 【典例4】下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的一般形式是，此题可以根据正比例的定义进行解答． 【详解】解：（1）是正比例函数，故正确； （2）是一次函数，故错误； （3）是正比例函数，故正确； （4）的次数为二，不是一次函数，故错误； 故选：C． 【变式4-1】下列y关于x的函数中，属于正比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1．根据正比例函数的一般形式是，即可求解． 【详解】解：A．该函数属于一次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B．该函数的次数是，不是1，因此该函数不是正比例函数，故本选项不符合题意； C．该函数中自变量的次数是2，因此不是正比例函数，故本选项不符合题意； D．该函数符合正比例函数的定义，是正比例函数，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式4-2】下列函数中，正比例函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，由正比例函数的表达式为，根据表达式特点对选项进行判断即可．牢记正比例函数的定义形式是解题的关键． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，是反比例函数，不合题意； C、，是二次函数，不合题意； D、，是一次函数，不合题意； 故选：A． 【变式4-3】一个正比例函数的图象过点，则该函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，掌握待定系数法求正比例函数解析式是解题的关键．设正比例函数的解析式为，然后把点代入中求出k的值即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， 把点代入中得， 则， 则该函数的解析式是， 故选：B． 【考点题型5】 判断正比例函数图像所在象限 【典例5】在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象．根据题意得到函数的图象经过原点、第一、三象限，即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴函数的图象经过原点、第一、三象限， 如图， ． 故选：A 【变式5-1】正比例函数的图象是（    ） A．  B． C．  D．   【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象，根据是一，三象限的角平分线，进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知：正比例函数的图象是一，三象限的角平分线， 故选D． 【变式5-2】正比例函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据时，正比例函数图象经过第一、三象限，时，正比例函数图象经过第二、四象限，判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴正比例函数图象经过第二、四象限， 故选：B． 【考点题型6】正比例函数的性质 【典例6】关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据函数图象的性质与增减性逐一分析即可． 【详解】解：A、由函数可知，当时，，则图象经过点，该选项错误； B、由函数可知，当时，则随的增大而减小，该选项错误； C、由函数可知，当时，，该选项错误； D、由于函数，，则函数图象经过第二、四象限正确； 故选：D． 【变式6-1】下列各点中，在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上的点．分别将各点的横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可进行解答． 【详解】解：A、当时，，故在该函数图象上，本选项符合题意； B、当时，，故不在该函数图象上，本选项不符合题意； C、当时，，故不在该函数图象上，本选项不符合题意； D、当时，，故不在该函数图象上，本选项不符合题意； 故选：A． 【变式6-2】已知正比例函数的图象上两点，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，由得出y随x增大而减小是解题关键，根据正比例函数增减性直接判断即可． 【详解】解：正比例函数中，， y随x增大而减小， ， ， ， 故选：C． 【变式6-3】若点在正比例函数的图象上，则m的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的性质．将点代入正比例函数中，得，进行计算即可得． 【详解】解：将点代入正比例函数中，得， 解得， 故选：B 【考点题型7】一次函数的定义 【典例7】下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A 【变式7-1】下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是根据一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数解答． 【详解】解：A、自变量次数为2，故不是一次函数，不合题意； B、是一次函数，符合题意； C、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意； D、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意． 故选：B． 【变式7-2】下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：A、的自变量次数为2，不是一次函数，故此选项符合题意； B、是一次函数，故此选项不符合题意； C、的自变量系数为0，不是一次函数，故此选项符合题意； D、不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式7-3】已知函数 是一次函数，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解，掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1，是解题关键． 【详解】解：根据题意得：且 解得：． 故答案为：． 【考点题型8】判断一次函数图像所在象限 【典例8】已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】解：A、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，中，，k、b的取值一致，故本选项符合题意； C、直线中，，中，，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点．根据一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴函数图象与y轴的正半轴相交． 故选B． 【变式8-2】如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符合要求． 【详解】解：A、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，故A选项错误，不符合题意． B、若经过第一、二、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、四象限，故B选项错误，不符合题意． C、若经过第一、三、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、四象限，故C选项正确，符合题意． D、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式8-3】两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质，假设其中一条直线是，由一次函数图象与性质得到的正负，从而得到另一条直线是否是的大致图象，逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】 解：A、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； B、若①是，则，则②可能是的图象，符合题意； C、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； D、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； 故选：B． 【考点题型9】一次函数图像的性质 【典例9】对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移等知识．熟练掌握一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移是解题的关键． 由，可得，，则图象过第二、三、四象限，不过第一象限，可判断A的正误；当时，，即图象与y轴的交点坐标为，可判断B的正误；图象可由直线向下平移2个单位长度得到，可判断C的正误；随着的增大而减小，由，可得，可判断D的正误． 【详解】解：∵， ∴，， ∴图象过第二、三、四象限，不过第一象限，A正确，故不符合要求； 当时，，即图象与y轴的交点坐标为，B正确，故不符合要求； 图象可由直线向下平移2个单位长度得到，C正确，故不符合要求； 随着的增大而减小， ∵， ∴，D错误，故符合要求； 故选：D． 【变式9-1】对于函数．下列说法错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．它的图象与y轴的交点是 C．当时， D．它的图象不经过第三象限 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的性质，牢记一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、，随的增大而减小，原说法正确，该选项不符合题意； B、当时，，它的图象与轴的交点是，原说法正确，该选项不符合题意； C、当时，，且随的增大而减小，所以当时，，原说法错误，该选项符合题意； D、它的图象与轴的交点是，与轴的交点是，过这两个交点的直线即为函数图象，可知函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原说法正确，该选项不符合题意． 故选：C． 【变式9-2】关于一次函数，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象经过第二象限 C．函数y随自变量x的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．当 时， ，图象经过点；由于 ，则图象经过第一、三、四象限；函数y随自变量x的增大而增大；当 时， ，则当时，． 【详解】解：当 时， ， ∴图象经过点，故A正确，不符合题意； ∵ ， ∴图象经过第一、三、四象限，故B错误，符合题意； ∴函数y随自变量x的增大而增大，故C正确，不符合题意； 当 时， ， ∴当时，，故D正确，不符合题意； 故选：B 【变式9-3】对于直线的描述，正确的是（   ） A．从左至右呈上升趋势 B．不经过第二象限 C．经过点 D．与y轴的交点是 【答案】D 【分析】A选项由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小；B选项由，，利用一次函数图象与系数的关系可得出直线经过第二、三、四象限．C选项利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线经过点；D选项利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线与轴的交点是． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 【详解】解：A．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小；故该选项是错误的； B．由，，利用一次函数图象与系数的关系可得出直线经过第二、三、四象限．故该选项是错误的； C．令代入，得出，可得出直线经过点；故该选项是错误的； D．令代入，得出，可得出直线经过点；故该选项是正确的； 故选：D． 【考点题型10】根据一次函数增减性求含参取值范围 【典例10】已知一次函数，若y的值随x的值的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，利用一次函数的性质，可得出，解之即可得出的取值范围．牢记“，随x的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 【详解】解：∵的值随的值的增大而增大， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 故选：A． 【变式10-1】若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与系数的关系，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟记此关系是解题的关键． 根据已知条件函数值y随x的增大而减小推出自变量x的系数小于0 ，然后解得即可． 【详解】解：∵是一次函数且函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：C． 【变式10-2】已知一次函数（a为常数），y随x的增大而增大．则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，由一次函数的性质得出，计算即可得解． 【详解】解：∵一次函数（a为常数），y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故选：C． 【考点题型11】一次函数的变换问题 【典例11】将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 【变式11-1】将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是， 故答案为：； 【变式11-2】将直线向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标的平移、直线与坐标x轴的交点问题等知识点，掌握平移规律“纵坐标向上平移加，向下平移减”是解题的关键． 先根据坐标的平移规律求得函数解析式，然后求得平移后的直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度，所得直线为：， 令，解得：， ∴平移后的直线与x轴的交点坐标为：． 故答案为：． 【变式11-3】若直线向左平移3个单位长度，平移后的直线解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换．根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答． 【详解】解：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的解析式为；即； 故答案为：． 【考点题型12】一次函数与一元一次方程 【典例12】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 【变式12-1】若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（　　　） A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5） 【答案】A 【分析】根据方程可知当x＝2，y＝0，从而可判断直线y＝−2x＋b经过点（2，0）． 【详解】解：由方程的解可知：当x＝2时，−2x＋b＝0， 即x＝2，y＝0， ∴直线y＝−2x＋b的图象一定经过点（2，0）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 【变式12-2】如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程．根据直线经过点，利用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，方程的解可看成函数的图象和直线交点的横坐标， 由所给函数图象可知， 直线和直线的交点坐标为， 方程的解为． 故选：A． 【变式12-3】一次函数y＝5x﹣1的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】（，0）/（0.2,0） 【分析】令y=0求出x的值，进而可得出一次函数y=5x-1的图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：当y=0时，5x-1=0， 解得：x=， ∴一次函数y=5x-1的图象与x轴的交点坐标是（，0）． 故答案为：（，0）． 【点睛】本题考查了一次函数图象坐标轴的交点，牢记“x轴上点的纵坐标为零”是解题的关键． 【考点题型13】一次函数应用 【典例13】襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示． 有机蔬菜种类 进价/（元） 售价/（元） 甲 m 16 乙 n 18 (1)该超市购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要170元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要200元．求m，n的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于，且不大于，实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完，求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）的条件下，该超市如何购买花菜才能使当天的利润最大？ 【答案】(1)m，n的值分别为10，14 (2) (3)甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值； （2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得y与x的函数关系式； （3）根据（2）中的条件，可以求得y的最大值． 【详解】（1）根据题意，得 解得． 故m，n的值分别为10，14． （2）由题意可知． 当时，； 当时，． ∴； （3）当时，，y随x的增大而增大， ∴当时，y最大，为520． 当时，，y随x的增大而减少， 当时，y最大，为520． 故当，即甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元． 【变式13-1】“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．    (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元 (2)购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个，根据“总利润甲种型号头盔的总利润乙种型号头盔的总利润”，写出与的函数关系式，根据随的增减性和的取值范围，确定当取何值时最大，求出的最大值，并求出此时购进甲种型号头盔的个数即可． 【详解】（1）解：设甲种型号头盔的进货单价是元，乙种型号头盔的进货单价是元． 根据题意，得， 解得， 甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元． （2）解：设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个． 根据题意，得， ， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值，，此时（个， 购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元． 【变式13-2】【新情境】手机功能越来越多，人们利用手机导航、网上购物等等，手机让现代人的生活更为丰富和便捷．人们对上网流量的需求量越来越大，通讯公司推出了两种“流量包”业务供客户选择，套餐A：20元的月租，按照0.1元/MB收费；套餐B：无月租，按照0.2元/MB收费． 小思仔细阅读了通讯公司的“流量包”套餐业务，发现网费与上网流量有关联．小思设采用套餐A的网费为（元），采用套餐B的网费为（元），上网流量为x（MB）． (1)请分别直接写出（元）与x（MB），（元）与x（MB）之间的关系式； (2)求当上网流量为多少MB时，套餐A，B的费用恰好相同； (3)如果小思每个月的上网流量都不少于380MB，请帮助小思从A，B中选择使用哪一种套餐更省钱? 【答案】(1)， (2)当上网流量为200MB时，套餐A，B的费用恰好相同 (3)选择套餐A更省钱 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式是解题的关键． （1）由“月租费每流量费流量的数和每流量费流量数”分别写出与、与的关系； （2）令，求出的值即可； （3）当时，比较与的大小，从而判断哪种套餐更省钱． 【详解】（1）解：根据题意，得，， （2）当套餐，的流量费用恰好相同时，得，解得， 当上网流量为200时，套餐，的费用恰好相同． （3）由题意可知，当时，， ， ， 选择套餐更省钱． 【变式13-3】为了鼓励大家节约用电，某电力公司采取按月用电量分段收费，居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图像解答下列问题： (1)求出y与x的函数关系式； (2)若某用户某月用电80度，则应缴电费多少元？ 【答案】(1) (2)应缴电费52元． 【分析】本题考查一次函数的基本应用，能够通过函数图像确定一次函数函数关系式是解题关键． （1）当时，设，将点代入解出k即可；当时，设，将点与代入，解出k与b值即可得到函数关系式； （2）根据，所以将代入第一小问得到的函数关系式即可 【详解】（1）解：当时，函数为正比例函数，故可设函数关系式为， 将点代入可得到 ∴此时函数关系式为 当时，函数为一次函数，故可设函数关系式为， 将点与代入可得到 解得 ∴此时函数关系式为 ∴ （2）解：当用电量为80度时，因为，所以代入 当时， ∴应缴电费52元． 【考点题型14】一次函数综合 【典例14】已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或6 【分析】（1）利用待定系数法即可求出线段所在直线的解析式． （2）过A点作轴于F点，先证明，则可得，，进而可得．然后分两种情况：①当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式．②当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式． （3）若为直角三角形，则P点只能在线段上．然后分两种情况：①当时，②当时，分别求出的长，即可求出t的值． 【详解】（1）解：设线段所在直线解析式为， 则， 解得， ∴线段所在直线解析式为． （2）解：过A点作轴于F点． ∵， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴． ①当时，P点在线段上，，，    则 ． ②当时，P点在线段上，    ． 综上，． （3）解：若为直角三角形，则P点只能在线段上． ①当时，P点与F点重合，    ∵， ∴． ②当时，    ∵平分， ∴， 则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当或6时为直角三角形． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合运用，用待定系数法求一次函数解析式，列一次函数关系式以及动点问题．正确的画出图形，并且分类讨论是解题的关键． 【变式14-1】如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接． (1)求直线的解析式； (2)若点P为线段上一动点，且，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，三角形面积，坐标与图形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由待定系数法可得出答案； （2）设点，根据三角形面积关系可得出答案． 【详解】（1）直线交轴和轴于点和点， 点，点， 设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）点，点，点， ，， ， 设点， ， ， ， 解得， 点 【变式14-2】如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)点D的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标及，可求得点C的坐标；直线与正比例函数的图象平行，设直线解析式为，把点C坐标代入可求得直线解析式；把点A代入中，可求得其解析式；再解二元一次方程组即可求得点D的坐标； （2）由点D的坐标可求得，由已知则得；点P在点D的下方与上方两种情况计算即可； （3）当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G，设；易证明，则，，而，即可求得m、n的值，求得点F的坐标，进而求得的解析式，最后解方程组求出点P的坐标；当点P在点D下方时，同理可求得． 【详解】（1）解：点及， ， ， 故点C的坐标为； 直线与正比例函数的图象平行， 故设直线解析式为， 把点C坐标代入可求得直线解析式，得：， 解得：， 即直线解析式为； 过点A， 把点A代入中，得， 即， ； 解二元一次方程组，得， 即点D的坐标为； （2）解：点D的坐标为， ， ， ； 当点P在点D的下方时，如图； ， 点在线段上； ； ， ； 则，即， 此时； 当点P在点D的上方时， ； ， ； 则，即， 此时； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图，当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G； 设，则； ，， ，； ， ， ， ， ，， 而， ， 即，解得：， 点F的坐标为； 设的解析式为， 把C、F的坐标代入得，解得：， 即的解析式为； 解方程组得， 点P的坐标为； 当点P在点D下方时，同理可求得点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，两直线与坐标轴围成的图形面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，有一定的综合性，注意分类讨论． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$