上海市八年级上学期期中真题必刷易错、压轴60题（17个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

期中真题必刷易错、压轴60题（17个考点专练） 一．二次根式有意义的条件（共1小题） 1．（2023秋•静安区校级期中）二次根式有意义，则满足的条件是 　　； 二．二次根式的性质与化简（共4小题） 2．（2024春•杨浦区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•杨浦区校级期中）化简：　　． 4．（2023秋•杨浦区期中）已知，化简：　　． 5．（2020秋•杨浦区校级期中）观察下列各式及验证过程： ， 验证：； ， 验证：； ， 验证：． （1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 三．最简二次根式（共3小题） 6．（2023秋•徐汇区校级期中）下列根式中是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 7．（2022秋•奉贤区校级期中）在式子、、、中，是最简二次根式的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2022秋•宝山区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 四．分母有理化（共3小题） 9．（2023秋•静安区校级期中）写出二次根式的一个有理化因式是 　　． 10．（2024春•杨浦区期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ，，， （1）观察上面的规律，计算下列式子的值： ． （2）利用上面的规律，试比较与的大小． 11．（2023秋•浦东新区期中）计算． 五．同类二次根式（共1小题） 12．（2022秋•宝山区期中）当　　时，最简二次根式与是同类二次根式． 六．二次根式的加减法（共2小题） 13．（2023春•宝山区校级期中）计算：　　． 14．（2023秋•黄浦区期中）计算：． 七．二次根式的混合运算（共8小题） 15．（2023秋•青浦区校级期中）有理化分母：　　． 16．（2022春•闵行区校级期中）已知，求的值． 17．（2022秋•浦东新区校级期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1） （2） （3）． 18．（2024春•浦东新区期中）计算． 19．（2023秋•青浦区校级期中）计算：． 20．（2023秋•青浦区校级期中）计算：． 21．（2023春•浦东新区校级期中）计算：． 22．（2023春•黄浦区期中）． 八．二次根式的化简求值（共5小题） 23．（2022秋•徐汇区校级期中）已知，求的值． 24．（2021秋•杨浦区期中）计算与求值． 已知，求的值． 25．（2022秋•宝山区校级期中）已知，求的值． 26．（2021秋•宝山区校级期中）已知：，化简并求的值． 27．（2023秋•青浦区校级期中）已知，求的值． 九．二次根式的应用（共2小题） 28．（2023秋•普陀区校级期中）不等式的解集是 　　． 29．（2022秋•宝山区校级期中）解不等式：． 一十．一元二次方程的定义（共2小题） 30．（2023秋•黄浦区期中）下列方程中，是一元二次方程的有　　个． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 31．（2023秋•闵行区期中）下列方程中一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D．为常数） 一十一．一元二次方程的一般形式（共1小题） 32．（2023秋•长宁区校级期中）方程的常数项是1，的值为 　　． 一十二．一元二次方程的解（共2小题） 33．（2023秋•黄浦区期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 　　． 34．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于的方程和有公共根，求：的值． 一十三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 35．（2023秋•杨浦区校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程的参数同时满足和．且该方程与互为“同伴方程”，则的值为　　 A．1或 B． C．1 D．2 一十四．根的判别式（共6小题） 36．（2022秋•青浦区校级期中）关于的一元二次方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若其根的判别式的值为3，求的值及该方程的根． 37．（2021秋•浦东新区校级期中）已知关于的方程． （1）若方程只有一个根，求的值并求出此时方程的根； （2）若方程有两个相等的实数根，求的值． 38．（2022秋•闵行区校级期中）已知关于的一元二次方程为常数）有两个实数根，求的取值范围． 39．（2022秋•宝山区校级期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 40．（闵行区期中）设等腰三角形的三条边长分别为、、，已知，、是关于的方程的两个根，求的值． 41．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于的一元二次方程① （1）若是方程①的一个根，求的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数，判断方程①的根的情况，并说明理由． 一十五．根与系数的关系（共2小题） 42．（2022秋•杨浦区校级期中）已知、是方程的两个根，且，不解方程，利用根与系数的关系，求的值． 43．（2021秋•杨浦区校级期中）若为一元二次方程的根； （1）则方程的另外一个根　　，　　； （2）求的值． （3）求作一个关于的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为，． 一十六．实数范围内分解因式（共8小题） 44．（2023秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：﹣2x2﹣2x+1＝　 　． 45．（2023秋•徐汇区校级期中）在实数范围内因式分解：　　． 46．（2023秋•普陀区校级期中）在实数范围内因式分解：　　． 47．（2023秋•杨浦区校级期中）二次三项式可在实数范围内因式分解，则的取值范围 　　． 48．（2023秋•杨浦区校级期中）在实数范围内因式分解：　　． 49．（2023秋•长宁区校级期中）在实数范围内因式分解：　　． 50．（2023秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：﹣2x2+3xy+y2． 51．（2022秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：． 一十七．一元二次方程的应用（共9小题） 52．（2022秋•闵行区校级期中）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪．求该矩形草坪边的长． 53．（2022秋•宝山区期中）要建一个面积为150平方米的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙，墙长为18米，另三边用篱笆围成，如篱笆长度为35米，且要求用完．求鸡场的长与宽各是多少米？ 54．（2023春•南岗区校级期中）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 55．（2022秋•松江区校级期中）某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？ 56．（2022秋•浦东新区校级期中）某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10000元？ 57．（2022秋•虹口区校级期中）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 58．（2021秋•金山区校级期中）如图，某工程队在工地互相垂直的两面墙、处，用180米长的铁栅栏围成一个长方形场地，中间用同样材料分割成两个长方形．已知墙长120米，墙长40米，要使长方形的面积为4000平方米，问和各取多少米？ 59．（2023秋•青浦区期中）某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，超市为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的售价应定为每件多少元？ 60．（2022春•金山区校级期中）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． （1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是　　吨； （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错、压轴60题（17个考点专练） 一．二次根式有意义的条件（共1小题） 1．（2023秋•静安区校级期中）二次根式有意义，则满足的条件是 　　； 【分析】二次根式有意义的条件为：二次根式中的被开方数是非负数． 【解答】解：二次根式有意义， ， 解得， 即满足的条件是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了 二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 二．二次根式的性质与化简（共4小题） 2．（2024春•杨浦区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】运用二次根式和立方根知识进行逐一辨别、求解． 【解答】解：， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项符合题意， 故选：． 【点评】此题考查了运用平方根和立方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 3．（2023秋•杨浦区校级期中）化简：　　． 【分析】依据题意，先由二次根式的被开方数为非负数从而可得，再利用二次根式的性质进行化简与计算可以得解． 【解答】解：由题意，， ． 原式． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质进行计算是关键． 4．（2023秋•杨浦区期中）已知，化简：　　． 【分析】根据和二次根式被开方数的非负性，求出的正负，再进行化简即可． 【解答】解：， ， 又， ，． ． 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式被开方数的非负性是解题的关键． 5．（2020秋•杨浦区校级期中）观察下列各式及验证过程： ， 验证：； ， 验证：； ， 验证：． （1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【解答】解：（1） 验证：； （2）． 验证：． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 三．最简二次根式（共3小题） 6．（2023秋•徐汇区校级期中）下列根式中是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【解答】解：，故不符合题意； ，故不符合题意； 是最简二次根式，故符合题意； ，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 7．（2022秋•奉贤区校级期中）在式子、、、中，是最简二次根式的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，被开方数不含能开得尽方的因数，也没有分母，是最简二次根式； ，被开方数不含能开得尽方的因式，也没有分母，是最简二次根式； 综上所述，是最简二次根式的个数是2个． 故选：． 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 8．（2022秋•宝山区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】被开方数中不含有未开尽方的因数或因式、被开方数中不含有分母． 【解答】解：、，被开方数中含有未开尽方的因数9；故本选项错误； 、，符合最简二次根式的定义；故本选项正确； 、，被开方数中含有分母；故本选项错误； 、，被开方数中含有未开尽方的因式；故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式． 四．分母有理化（共3小题） 9．（2023秋•静安区校级期中）写出二次根式的一个有理化因式是 　　． 【分析】根据分母有理化乘二次根式本身，把分母中的根号化去． 【解答】解：， 的一个有理化因式是； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分母有理化，掌握分母有理化的定义，正确判断什么时候乘二次根式本身，什么时候与原分母组成平方差公式是解题关键． 10．（2024春•杨浦区期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ，，， （1）观察上面的规律，计算下列式子的值： ． （2）利用上面的规律，试比较与的大小． 【分析】（1）根据题中给出的式子找出规律，根据此规律即可得出结论； （2）把题中的式子取倒数，再比较大小即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 原式 ； （2），， ， ， ． 【点评】本题考查的是分母有理数，根据题中给出的例子找出规律是解答此题的关键． 11．（2023秋•浦东新区期中）计算． 【分析】先分母有理化，再根据加减法法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的运算，分母有理化等知识，能正确分母有理化是解此题的关键． 五．同类二次根式（共1小题） 12．（2022秋•宝山区期中）当　4　时，最简二次根式与是同类二次根式． 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 六．二次根式的加减法（共2小题） 13．（2023春•宝山区校级期中）计算：　　． 【分析】根据二次根式的化简方法解答即可． 【解答】解：因为， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式．解题的关键是掌握二次根式的化简方法． 14．（2023秋•黄浦区期中）计算：． 【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，再进行加减法的运算． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查二次根式的加减法，化简二次根式是本题的关键． 七．二次根式的混合运算（共8小题） 15．（2023秋•青浦区校级期中）有理化分母：　　． 【分析】依题意，把的分子、分母同时乘即可．关键在根式分母的有理化． 【解答】解：由题知： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 16．（2022春•闵行区校级期中）已知，求的值． 【分析】先将所求式子分母有理化，然后化简，再根据，可以用的代数式表示，再将关于的式子代入化简后的式子，整理化简即可． 【解答】解： ， ， ， ，，， 则原式 ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的计算方法． 17．（2022秋•浦东新区校级期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1） （2） （3）． 【分析】（1）将3分成，利用完全平方公式即可求出结论； （2）结合（1）将原式变形为，将18分成，利用完全平方公式即可求出结论； （3）将3分成、5分成、7分成、9分成、11分成，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论． 【解答】解：（1）； （2）； （3）原式， ， ， ， ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键． 18．（2024春•浦东新区期中）计算． 【分析】利用平方差公式进行计算即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（2023秋•青浦区校级期中）计算：． 【分析】依据题意，利用完全平方公式和平方差公式变形，然后化简求解即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是将分子利用完全平方公式和平方差公式变形． 20．（2023秋•青浦区校级期中）计算：． 【分析】依据题意，先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式， ． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题时要熟练掌握并能运用法则进行计算是关键． 21．（2023春•浦东新区校级期中）计算：． 【分析】利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22．（2023春•黄浦区期中）． 【分析】根据，以及二次根式的除法法则进行计算即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握进行计算是解题的关键． 八．二次根式的化简求值（共5小题） 23．（2022秋•徐汇区校级期中）已知，求的值． 【分析】先将已知化简，再代入即可． 【解答】解： ， 原式 ． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，先化简再代入是解答此题的关键． 24．（2021秋•杨浦区期中）计算与求值． 已知，求的值． 【分析】首先关键的值求得，，然后把原代数式变形为，再进一步代入求得数值即可． 【解答】解：， ， ，， ． 【点评】此题考查二次根式的化简求值，利用完全平方公式把代数式变形，问题简单易懂． 25．（2022秋•宝山区校级期中）已知，求的值． 【分析】首先化简，进一步分组利用完全平方公式因式分解，代入求得答案即可． 【解答】解：， ． 【点评】此题考查二次根式的化简求值，先把二次根式化简，再进一步分解因式代入求得结果． 26．（2021秋•宝山区校级期中）已知：，化简并求的值． 【分析】先化简，再化简所求的代数式，代入的值进行计算即可． 【解答】解：， 原式 ， 原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简是解题的关键． 27．（2023秋•青浦区校级期中）已知，求的值． 【分析】依据题意，首先利用分母有理化求出和的值，然后求出，，然后将利用完全平方公式变形为，然后代入求解即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【解答】解：，， ，， ． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 九．二次根式的应用（共2小题） 28．（2023秋•普陀区校级期中）不等式的解集是 　　． 【分析】利用解一元一次不等式的步骤求解即可． 【解答】解：， 移项，得， ． ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解不等式，掌握解一元一次不等式的一般步骤及二次根式的化简是解决本题的关键． 29．（2022秋•宝山区校级期中）解不等式：． 【分析】按照移项、合并同类项、系数化1的顺序依次计算即可，注意最后结果化为最简． 【解答】解：移项得： 合并同类项得：， 即： 系数化1得： 化简得： 【点评】本题考查了二次根式的应用及一元一次不等式的解法，属于基础运算，应该重点掌握． 一十．一元二次方程的定义（共2小题） 30．（2023秋•黄浦区期中）下列方程中，是一元二次方程的有　　个． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据一元二次方程的定义分别判断即可．一元二次方程的定义是：化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是，其中、、分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 【解答】解：（1）符合一元二次方程的定义， 是一元二次方程； （2）中含有2个未知数，不符合一元二次方程的定义， 不是一元二次方程； （3）虽然化简后得，但是分式方程，而不是整式方程，不符合一元二次方程的定义， 不是一元二次方程； （4）符合一元二次方程的定义， 是一元二次方程； （5）将化简，得，为一元一次方程， 不是一元二次方程； （6）将化简，得，符合一元二次方程的定义， 是一元二次方程． 综上，一元二次方程有（1）（4）（6）3个． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否为一元二次方程要抓住5个方面，缺一不可：“化简后”，“一个未知数”，“未知数的最高次数是2”，“二次项的系数不等于0”，“整式方程”． 31．（2023秋•闵行区期中）下列方程中一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D．为常数） 【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如，，为常数且，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，是一元二次方程，故符合题意； 、，不是一元二次方程，故不符合题意； 、，整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； 、为常数，，是一元二次方程，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 一十一．一元二次方程的一般形式（共1小题） 32．（2023秋•长宁区校级期中）方程的常数项是1，的值为 　．　． 【分析】根据题意得：且，然后进行计算即可解答． 【解答】解：， ， 由题意得：且， 解得：且， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 一十二．一元二次方程的解（共2小题） 33．（2023秋•黄浦区期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 　　． 【分析】把代入方程中得：，从而可得或，然后根据一元二次方程的定义可得：，从而可得，即可解答． 【解答】解：把代入方程中得：， 即， ， 解得：或， 由题意得：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 34．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于的方程和有公共根，求：的值． 【分析】把两式相减，消掉，然后因式分解，分情况讨论． 【解答】解：方程①和②有公共根， ①②得，， 因式分解得，， 解得，，． 当时，得， △，方程无解，舍去； 当时，代入方程可得，，解得． 把代入得，，解得，； 把代入得，，解得，； 有公共根，符合题意； 故的值为． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据方程有公共根，列出方程组解答． 一十三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 35．（2023秋•杨浦区校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程的参数同时满足和．且该方程与互为“同伴方程”，则的值为　　 A．1或 B． C．1 D．2 【分析】根据题意易得：关于的方程两个实数根为或，然后利用解一元二次方程因式分解法可得的根为或，再根据互为“同伴方程”的定义可得或，即可解答． 【解答】解：关于的方程的参数同时满足和， 关于的方程两个实数根为或， ， 或， 的根为或， 与互为“同伴方程”， 或， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，一元二次方程的解，理解互为“同伴方程”的定义是解题的关键． 一十四．根的判别式（共6小题） 36．（2022秋•青浦区校级期中）关于的一元二次方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若其根的判别式的值为3，求的值及该方程的根． 【分析】（1）由条件可知该一元二次方程的判断式大于0，可得到一个关于的不等式，可求出的取值范围，需要验证是否为0； （2）利用根的判别式等于3，建立的方程，求得，进一步求得方程的根即可． 【解答】解：（1）该方程的判别式为：△， 方程有两个不相等的实数根， ，解得， 又该方程为一元二次方程， ， 的取值范围为：且． （2）由题意得 解得， 原方程为， 解得：，． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判断式，掌握一元二次方程根的情况与判断式的关系是解题的关键，注意需要保证该方程为一元二次方程． 37．（2021秋•浦东新区校级期中）已知关于的方程． （1）若方程只有一个根，求的值并求出此时方程的根； （2）若方程有两个相等的实数根，求的值． 【分析】（1）先根据方程只有一个根可知此方程是一元一次方程，故可得出的值，把的值代入方程求解即可； （2）根据方程有两个相等的实数根可知△，，由此即可得出的值． 【解答】解：（1）方程只有一个根， 此方程是一元一次方程，即， ； 代入原方程得，解得； （2）方程有两个相等的实数根， ， ，． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键． 38．（2022秋•闵行区校级期中）已知关于的一元二次方程为常数）有两个实数根，求的取值范围． 【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围． 【解答】解： 关于的一元二次方程为常数）有两个实数根， △且，即且， 解得 且． 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 39．（2022秋•宝山区校级期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得△且，解此不等式组即可求得答案． 【解答】解：，，， △， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 的取值范围为：且． 【点评】此题考查了根的判别式．注意△方程有两个不相等的实数根． 40．（闵行区期中）设等腰三角形的三条边长分别为、、，已知，、是关于的方程的两个根，求的值． 【分析】根据等腰三角形的性质知①方程有一个根为2，将代入可得的值，再解方程，由三角形三边关系判断是否符合题意；②若，则方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得的值，检验此时方程的根是否符合题意． 【解答】解：根据题意知①若或，则方程有一个根为2， 将代入得， 解得：， 此时方程为，即， 解得：或， ，不能构成三角形舍去； 若，则方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 此时方程为，即， 解得：， ， 可以构成三角形， 故． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形三边的关系、根的判别式及解方程的能力，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． 41．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于的一元二次方程① （1）若是方程①的一个根，求的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数，判断方程①的根的情况，并说明理由． 【分析】（1）直接把代入方程即可求得的值，然后解方程即可求得方程的另一个根； （2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． 【解答】解：（1）因为是方程①的一个根， 所以， 解得， 方程为， 解得，． 所以方程的另一根为； （2）， 因为对于任意实数，， 所以， 所以对于任意的实数， 方程①有两个不相等的实数根． 【点评】本题主要是根据方程的解的定义求得未知系数，把判断一元二次方程的根的情况转化为根据判别式判断式子的值与0的大小关系的问题． 一十五．根与系数的关系（共2小题） 42．（2022秋•杨浦区校级期中）已知、是方程的两个根，且，不解方程，利用根与系数的关系，求的值． 【分析】由题可得：，，则，，而，则，设，，求出及即可得出答案． 【解答】解：由题可得：，， 则，， 而，则， 设，， ， ， ， 即． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 43．（2021秋•杨浦区校级期中）若为一元二次方程的根； （1）则方程的另外一个根　　，　　； （2）求的值． （3）求作一个关于的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为，． 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系列出等式即可求解； （2）利用一元二次方程根的意义将适当变形后，再利用根与系数的关系解答即可求得结论； （3）分别计算与的值，再依据求作一个一元二次方程的公式解得即可． 【解答】解：（1）由根与系数的关系，，， ， ， 故答案为：，； （2）为一元二次方程的根， ． ． ． ． （3），， ， ， 两根分别为，，关于的一元二次方程，二次项系数为1的方程是：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将适当变形后，再利用根与系数的关系解答是解题的关键． 一十六．实数范围内分解因式（共8小题） 44．（2023秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：﹣2x2﹣2x+1＝　　． 【分析】先利用求根公式求出方程的根，然后根据题目中所说的方法进行分解因式即可． 【解答】解：令﹣2x2﹣2x+1＝0， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了在实数范围内分解因式，因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 45．（2023秋•徐汇区校级期中）在实数范围内因式分解：　　． 【分析】根据公式法可进行因式分解． 【解答】解： ； 故答案为：． 【点评】本题主要考查实数及因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 46．（2023秋•普陀区校级期中）在实数范围内因式分解：　　． 【分析】根据配方法化为平方差的形式，进行因式分解，即可求解． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 47．（2023秋•杨浦区校级期中）二次三项式可在实数范围内因式分解，则的取值范围 　　． 【分析】根据二次三项式可分解，可得一元二次方程有两个根，根据根的判别式，可得答案． 【解答】解：△ ， 解得：， 又因为是二次三项式，，且， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了根的判别式，利用二次三项式可分解因式得出一元二次方程有实数根是解题关键． 48．（2023秋•杨浦区校级期中）在实数范围内因式分解：　　． 【分析】先提公因式3，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 49．（2023秋•长宁区校级期中）在实数范围内因式分解：　　． 【分析】利用配方法得到原式，然后利用平方差公式分解因式． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式：实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）． 50．（2023秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：﹣2x2+3xy+y2． 【分析】将y看作常数，令﹣2x2+3xy+y2＝0，这是一个关于未知数x的一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可得到答案 【解答】解：将y看作常数，令﹣2x2+3xy+y2＝0，这是一个关于未知数x的一元二次方程， ∵2x2﹣3xy﹣y2＝0， ∴Δ＝（﹣3y）2﹣4×2×（﹣y2） ＝9y2+8y2 ＝17y2≥0， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查特殊方法分解因式，涉及二次根式性质等知识，掌握这种特殊的因式分解方法是解决问题的关键． 51．（2022秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：． 【分析】求出关于的一元二次方程：的解即可． 【解答】解：解关于的一元二次方程：， 这里，，， △， ， ，， 所以． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，掌握“的两个根分别为、，则”是正确解答的关键． 一十七．一元二次方程的应用（共9小题） 52．（2022秋•闵行区校级期中）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪．求该矩形草坪边的长． 【分析】可设矩形草坪边的长为米，则的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解． 【解答】解：设边的长为米，根据题意得： ， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，，符合题意． 答：该矩形草坪边的长为10米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键． 53．（2022秋•宝山区期中）要建一个面积为150平方米的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙，墙长为18米，另三边用篱笆围成，如篱笆长度为35米，且要求用完．求鸡场的长与宽各是多少米？ 【分析】设鸡场的宽为米，平行于墙的边长为米，根据面积为150平方米，可列方程求解． 【解答】解：设垂直于墙的边长为． 依题意得：， ． 解得：，， ，符合题意； ，不合题意； 答：鸡场的长为15米，宽为10米． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程． 54．（2023春•南岗区校级期中）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：；三月份的销售量为：，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润求出即可． 【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）设当商品降价元时，商品获利4250元，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商品获利4250元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 55．（2022秋•松江区校级期中）某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？ 【分析】把两条路平移到长方形的上面和左面，相应的等量关系为：（长道路宽）（宽道路宽），把相关数值代入即可求解． 【解答】解：设道路宽为米． ， 整理，得 ， 解得：，， ， ． 答：道路宽为2米 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解决本题的难点是把两条道路进行平移得到草地面积的等量关系． 56．（2022秋•浦东新区校级期中）某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10000元？ 【分析】设这种台灯的售价为元，根据一台的利润总的台数总的利润和这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只，列出方程，再求解即可． 【解答】解：设这种台灯的售价为元，根据题意得： ， 解得，， 答：当这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程；难度一般，是常考题． 57．（2022秋•虹口区校级期中）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 【分析】利用销售利润售价进价，根据题中条件可以列出利润与的关系式，求出即可． 【解答】解：设每个商品的定价是元， 由题意，得， 整理，得， 解得，． 当时，进货个个，不符合题意，舍去； 当时，进货个个，符合题意． 答：当该商品每个定价为60元时，进货100个． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 58．（2021秋•金山区校级期中）如图，某工程队在工地互相垂直的两面墙、处，用180米长的铁栅栏围成一个长方形场地，中间用同样材料分割成两个长方形．已知墙长120米，墙长40米，要使长方形的面积为4000平方米，问和各取多少米？ 【分析】设米，则米，然后根据长方形的面积公式列出方程求解即可． 【解答】解：设米，则米． 由题意，得：， 整理，得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， （符合题意）． 答：米，米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是用表示的长，然后根据长方形的面积公式列出方程． 59．（2023秋•青浦区期中）某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，超市为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的售价应定为每件多少元？ 【分析】总利润销售量每个利润．设涨价元能赚得8000元的利润，即售价定为每个元，应进货个，根据为了赚得8000元的利润，可列方程求解． 【解答】解：设定价为元， 根据题意可得，， 解得：，． 答：定价为80元或60元，利润可达到8000元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，属于销售利润问题，要会结合题意，表示每个的销售利润，销售量，根据销售利润的基本等量关系，列方程求解． 60．（2022春•金山区校级期中）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． （1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是　60　吨； （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨． （2）设当售价定为每吨元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元作为等量关系可列出方程求解． 【解答】解：（1）；（2分） （2）设当售价定为每吨元时， 由题意，可列方程．（2分） 化简得． 解得，．（6分） 当售价定为每吨200元时，销量更大， 所以售价应定为每吨200元． 【点评】本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$