上海市八年级上学期期中真题必刷（证明举例50题)专项训练-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

期中真题必刷（证明举例50题)专项训练 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•青浦区校级期中）满足下列条件的中，不是直角三角形的是　　 A． B． C． D．一个外角等于和它相邻的一个内角 2．（2023秋•杨浦区校级期中）如图，中，，从以下条件①；②；③；④中，选出一个条件证明，那么符合要求条件的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•静安区校级期中）如图，在中，，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•长宁区校级期中）已知的三个内角满足，则该三角形是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．（2023秋•普陀区期中）如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，下列各个选项所列举的条件中，不能证明的是　　 A．， B．， C．， D．， 6．（2022秋•长宁区校级期中）如图，在四边形中，如果，，，那么下列等式中错误的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共15小题） 7．（2023秋•闵行区期中）如图在△中，，，，，那么　　． 8．（2023秋•青浦区校级期中）如图，中，于点，于点，、相交于点，如果，，，那么　　． 9．（2023秋•青浦区校级期中）在中，，如比小，则　　度． 10．（2023秋•杨浦区校级期中）如图，已知是的中线，点是上的一点，交于，，，，则　　． 11．（2022秋•静安区校级期中）如图，在四边形中；，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则　　． 12．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在和中，，点、、、在同一直线上，已知，且，，，，则的长度为　　． 13．（2022秋•浦东新区期中）如图中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则　　． 14．（2022秋•宝山区校级期中）在中，平分，，若，，那么　　． 15．（2022秋•虹口区校级期中）如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．例如，在中，如果，，那么就是一个“倍角三角形”．如果一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是 　　． 16．（2023秋•普陀区校级期中）若中，，，则中线的取值范围是 　　． 17．（2022秋•浦东新区期中）如图，在中，，是的平分线，过点作的垂线交延长线于点，若，则的度数是 　　． 18．（2023秋•宝山区校级期中）如图，已知在中，是角平分线，，，，那么　　． 19．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，已知，，，，，则　　． 20．（2022秋•宝山区校级期中）如图，在中，、的平分线相交于点，交边于点；，交边于点，，那么的周长等于 　　． 21．（2023秋•浦东新区期中）如图，在中，，、分别是、边上的高，在上取点，使，在射线上取点，使，连接、，若，，则　　． 三．解答题（共29小题） 22．（2022秋•浦东新区期中）已知，如图，中，，是上一点，于，交于，且有，求证：． 23．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在中，是的角平分线，，求证：． 24．（2023秋•浦东新区期中）如图，点，在直线上，，． （1）求证：． （2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，再求的度数． 25．（2023秋•青浦区校级期中）已知如图，，，，与相交于点，求证：． 26．（2023秋•浦东新区期中）如图，和中，，是的中点，且于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 27．（2022秋•杨浦区校级期中）如图，已知，，，是的中点． 求证：． 28．（2022秋•宝山区校级期中）五边形中，，平分，，求证：． 29．（2022秋•静安区校级期中）如图，，，，与相交于点． 求证：（1）； （2）． 30．（2022秋•浦东新区期中）如图，已知在中，，点、分别在、上，且，点在的延长线上，． （1）求证：． （2）求证：． 31．（2022秋•静安区校级期中）如图，是的高，，，，求的长． 32．（2022秋•杨浦区校级期中）如图1所示，已知点在直线上，点，在直线上且，平分，如图2所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设，， （1）若，，求的度数； （2）判断：点在运动过程中，和的数量关系是否发生变化？若不变，求出和的数量关系；若变化，请说明理由． 33．（2023秋•闵行区期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证：（1）； （2）． 34．（2023秋•奉贤区校级期中）已知，如图，点是上的一点，，． （1）求证：△△； （2）连接并延长交于，求证：． 35．（2023秋•青浦区校级期中）已知：如图，在中，，于点，点在上，，过点作的垂线，交的延长线于点． 求证：． 36．（2022秋•静安区校级期中）已知：如图，，，平分，．求证：平分． 37．（2022秋•长宁区校级期中）已知：如图，中，平分交于点，且平分，连接并延长交边于点，说明的理由． 38．（2022秋•宝山区校级期中）如图，在五边形中， （1）已知，，，是中点，求证：． （2）已知，，，是中点，求证：． （3）已知，，，是中点，求证；． 39．（2022秋•宝山区校级期中）如图，和，，点、在边上，点、、共线，，，求证：． 40．（2022秋•浦东新区期中）如图，已知，，，是的中点．求证：． 41．（2022秋•静安区校级期中）已知如图，，，，与相交于点，求证：． 42．（2022秋•闵行区校级期中）如图，已知点、、、在同一直线上，，，，求证：． 43．（2022秋•闵行区期中）如图， 点，在的边上，，，求证：． 44．（2022秋•奉贤区校级期中）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 45．（2022秋•普陀区期中）已知：如图，在四边形中，，点在边上，． （1）求证：． （2）当，求证：． 46．（2023秋•闵行区期中）如图，在中，，过点作射线，过点作射线，使，且射线、交于点，过点作于点．求证：． 47．（2023秋•杨浦区校级期中）如图1，在中，，，平分，交于点． （1）求证：． （2）如图2，若的角平分线交于点，求证：． （3）如图3，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 48．（2023秋•普陀区期中）如图，在中，为的中点，为上一点，，延长至，且，联结、． （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 49．（2022秋•宝山区校级期中）如图，已知在中，，点、分别在边、上，且． （1）求证：； （2）如果是延长线上一点，且，求证：． 50．（2022秋•徐汇区校级期中）已知：如图，在中，，为的外角平分线，交的延长线于点，且．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷（证明举例50题)专项训练 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•青浦区校级期中）满足下列条件的中，不是直角三角形的是　　 A． B． C． D．一个外角等于和它相邻的一个内角 【分析】①由，得； ②，则； ③，，则； ④一个外角和它相邻的内角互为补角，则每一个角等于 【解答】解：、，，是直角三角形； 、，，是直角三角形； 、，，不是直角三角形； 、一个外角等于和它相邻的内角，每一个角等于，是直角三角形； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 2．（2023秋•杨浦区校级期中）如图，中，，从以下条件①；②；③；④中，选出一个条件证明，那么符合要求条件的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一判断即可． 【解答】解：由，，无法证明，故①不符合题意； 由，，，利用即可证明，则，故②符合题意； 由，，，利用即可证明，则，故③符合题意； 由，，，利用即可证明，则，故④符合题意， 故符合条件的个数为3个， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2023秋•静安区校级期中）如图，在中，，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由，，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 的度数为， 故选：． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 4．（2022秋•长宁区校级期中）已知的三个内角满足，则该三角形是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据三角形内角和定理，即可求解． 【解答】解：，， ， 解得：， 该三角形是直角三角形． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 5．（2023秋•普陀区期中）如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，下列各个选项所列举的条件中，不能证明的是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据，利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：、，，，利用证明与全等，得出，不符合题意； 、，，，，不能得出与全等，不能得出，符合题意； 、，，，利用证明与全等，得出，再利用证明与全等，得出，不符合题意； 、，，，利用证明与全等，得出，得出，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据和证明三角形全等解答． 6．（2022秋•长宁区校级期中）如图，在四边形中，如果，，，那么下列等式中错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 故，，选项正确；选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 二．填空题（共15小题） 7．（2023秋•闵行区期中）如图在△中，，，，，那么　　． 【分析】先证明△△，得到，根据三角形的内角和与平角的定义推出与相等，再利用三角内角和定理整理即可得出结论． 【解答】解：， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形全等的性质与判定．通过三角形全等利用角的等量代换得到是正确快速解答本题的关键． 8．（2023秋•青浦区校级期中）如图，中，于点，于点，、相交于点，如果，，，那么　4　． 【分析】利用证明，得，，即可解决问题． 【解答】解：，， ， ，， ， 在与中， ， ，， ，， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 9．（2023秋•青浦区校级期中）在中，，如比小，则　33　度． 【分析】已知比小，先设为，根据三角形内角和定理列出方程，然后再求解即可． 【解答】解：设为． 则， 解得． 即． 故答案为：33． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理．解答的关键是设未知数为，列方程求解即可． 10．（2023秋•杨浦区校级期中）如图，已知是的中线，点是上的一点，交于，，，，则　　． 【分析】由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，延长到，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．（2022秋•静安区校级期中）如图，在四边形中；，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则　2　． 【分析】根据可知，再根据是的中点可求出，再根据全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质可推出，将已知代入即可． 【解答】解：， ， 是的中点， ． 在与中， ， ， ，， ， 是线段的垂直平分线， ， （已证）， ， ， ，， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 12．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在和中，，点、、、在同一直线上，已知，且，，，，则的长度为　4　． 【分析】由“”可证，可得，，即可求的长． 【解答】解：，， ， ，且，， ，， 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是本题的关键． 13．（2022秋•浦东新区期中）如图中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则　16　． 【分析】过点作交的延长线于点，由“”可证，可得，可得，可得，即可求解． 【解答】解：如图，过点作交的延长线于点， ，且，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 14．（2022秋•宝山区校级期中）在中，平分，，若，，那么　25　． 【分析】根据三角形内角和的性质求得的度数，再根据角平分线和平行线的性质，求解即可． 【解答】解：由三角形内角和的性质可得：， 又平分， ， 又， ， 故答案为：25． 【点评】此题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 15．（2022秋•虹口区校级期中）如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．例如，在中，如果，，那么就是一个“倍角三角形”．如果一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是 　或　． 【分析】分顶角是底角的2倍、底角是顶角的2倍两种情况，根据三角形内角和定理列方程计算即可． 【解答】解：当顶角是底角的2倍时， 设顶角为，则底角为， 由题意得，， 解得，， 当底角是顶角的2倍时， 设顶角为，则底角为， 由题意得，， 解得，， 故答案为：或． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用． 16．（2023秋•普陀区校级期中）若中，，，则中线的取值范围是 　　． 【分析】先作辅助线，延长至点，使，连接，先证明，在中，由三角形的三边关系定理得出答案． 【解答】解：延长至点，使，连接， ，，， ， ， ，，， 设，则， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，难度一般，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 17．（2022秋•浦东新区期中）如图，在中，，是的平分线，过点作的垂线交延长线于点，若，则的度数是 　　． 【分析】延长至点，使，先求得，进而证得，得到，结合即可求得答案． 【解答】解：如图所示，延长至点，使． ，， ． ． ，是的平分线， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． ． ， ． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质、角平分线的定义、多边形内角和等，能根据题意作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 18．（2023秋•宝山区校级期中）如图，已知在中，是角平分线，，，，那么　8　． 【分析】在边上截取，易证，由全等三角形的性质和已知条件即可求出的长． 【解答】解：在边上截取，连接，如图所示： ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的难点在于添加辅助线，构造全等三角形． 19．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，已知，，，，，则　　． 【分析】利用全等三角形的性质得出，再利用三角形的外角得出得出即可． 【解答】解：， ， ， 在和中，， ； ， ， ， 故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，求出是证明三角形全等的关键． 20．（2022秋•宝山区校级期中）如图，在中，、的平分线相交于点，交边于点；，交边于点，，那么的周长等于 　8　． 【分析】根据角平分线定义、平行线内错角相等的关系求解即可． 【解答】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握平行的性质，角平分线的性质，三角形边长的关系． 21．（2023秋•浦东新区期中）如图，在中，，、分别是、边上的高，在上取点，使，在射线上取点，使，连接、，若，，则　58　． 【分析】首先证明可得，然后根据直角三角形两个锐角互余可得，进而可以解决问题． 【解答】解：、分别是、两边上的高， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ，， ， ，， ， 即， 故答案为：58． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 三．解答题（共29小题） 22．（2022秋•浦东新区期中）已知，如图，中，，是上一点，于，交于，且有，求证：． 【分析】如图，作辅助线；首先证明，得到；其次证明，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作； ，， ， ； 在与中， ， ， ； ，且， ， ． 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用全等三角形的判定、等腰三角形的性质等几何知识点来分析、判断、解答． 23．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在中，是的角平分线，，求证：． 【分析】在上找到点，使得，易证，可得，再根据，即可求得，即可解题． 【解答】证明：在上找到点，使得， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 24．（2023秋•浦东新区期中）如图，点，在直线上，，． （1）求证：． （2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，再求的度数． 【分析】（1）根据平角的性质进行等量代换，得到，利用同位角相等两直线平行即可得答案； （2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用平行线的性质，即可求出的度数． 【解答】（1）证明：，， ， ； （2）解：， 即， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 25．（2023秋•青浦区校级期中）已知如图，，，，与相交于点，求证：． 【分析】连接，由可得，进而得到，证得△△，得到． 【解答】证明：连接． ， ， ， ， 即， ， ， ， 即， 在△和△中， △△， ． 【点评】本题主要考查了两个全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，关键是根据证得△△． 26．（2023秋•浦东新区期中）如图，和中，，是的中点，且于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【分析】（1）根据证明得，再根据是的中点，即可得出结论； （2）根据（1）的结论，结合，即可求出的长． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， 即， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 27．（2022秋•杨浦区校级期中）如图，已知，，，是的中点． 求证：． 【分析】根据等腰三角形的性质可求，根据可证，根据全等三角形的性质可求，再根据等腰三角形的性质可证． 【解答】证明：， ， 在与中， ， ， ， 是的中点， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是根据证明． 28．（2022秋•宝山区校级期中）五边形中，，平分，，求证：． 【分析】在上截取，作于点，作于点，先证，再证，最后证，通过等线段转化即可得证． 【解答】证明：如图，在上截取，作于点，作于点． 平分， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 29．（2022秋•静安区校级期中）如图，，，，与相交于点． 求证：（1）； （2）． 【分析】（1）利用证明即可； （2）连接，利用等腰三角形的性质和判定即可证明结论． 【解答】证明：（1）， ， ， 在与中， ， ， ； （2）连接， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 30．（2022秋•浦东新区期中）如图，已知在中，，点、分别在、上，且，点在的延长线上，． （1）求证：． （2）求证：． 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论． 【解答】证明：（1）是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ； （2）， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 31．（2022秋•静安区校级期中）如图，是的高，，，，求的长． 【分析】在线段上截取，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到，求得，于是得到结论． 【解答】解：如图：在线段上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，作出辅助线正确构建出等腰三角形是解答此题的关键． 32．（2022秋•杨浦区校级期中）如图1所示，已知点在直线上，点，在直线上且，平分，如图2所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设，， （1）若，，求的度数； （2）判断：点在运动过程中，和的数量关系是否发生变化？若不变，求出和的数量关系；若变化，请说明理由． 【分析】（1）先证明，再依据，即可得到，依据平分，即可得到，根据进行计算即可； （2）根据是的外角，是的外角，即可得到，，再根据平分，平分，即可得出，，最后依据进行计算，即可得到． 【解答】解：（1）平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）点在运动过程中，和的数量关系不发生变化， 是的外角，是的外角， ，， 又平分，平分， ，， ， 即． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，解题的关键是利用三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 33．（2023秋•闵行区期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证：（1）； （2）． 【分析】（1）由交的延长线于，，可根据全等三角形的判定定理“”证明，得； （2）作交于点，则，由，得，则，得，再证明，得，所以． 【解答】证明：（1）平分， ， 交的延长线于， ， 在和中， ， ， ． （2）作交于点，则，， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 34．（2023秋•奉贤区校级期中）已知，如图，点是上的一点，，． （1）求证：△△； （2）连接并延长交于，求证：． 【分析】（1）先证明，可得，再结合已知条件可得结论； （2）先证明，可得，结合，从而可得结论． 【解答】证明：（1）， ， ， ，， ， ， ，， △△； （2）如图，连接并延长交于， △△， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ； 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，熟记判定方法是解本题的关键． 35．（2023秋•青浦区校级期中）已知：如图，在中，，于点，点在上，，过点作的垂线，交的延长线于点． 求证：． 【分析】由已知说明，，再结合证明，利用全等三角形的性质即可证明． 【解答】证明：于点，， ． ． 又于点， ． ． 在和中，， ， ． 【点评】此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，同角的余角相等． 36．（2022秋•静安区校级期中）已知：如图，，，平分，．求证：平分． 【分析】在上取一点，使，进而利用证明与全等，进而证明与全等，进而解答即可． 【解答】证明：在上取一点，使， 平分， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 即平分． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 37．（2022秋•长宁区校级期中）已知：如图，中，平分交于点，且平分，连接并延长交边于点，说明的理由． 【分析】由得，由平分得，可得，从而得，由平分可得，再根据证明，可得，从而可得结论． 【解答】解：， ， 平分， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的意义等知识，运用证明是解答本题的关键． 38．（2022秋•宝山区校级期中）如图，在五边形中， （1）已知，，，是中点，求证：． （2）已知，，，是中点，求证：． （3）已知，，，是中点，求证；． 【分析】（1）连接，，根据全等三角形的判定和性质得出，，再由等腰三角形三线合一即可证明； （2）连接，，根据全等三角形的判定和性质得出，，，，结合图形得出，即可证明； （3）连接，交于点，根据全等三角形的判定和性质得出，，，结合图形即可证明． 【解答】解：（1）如图所示，连接，， 在与中， ， ， ， 是中点， ； （2）如图所示，连接，， 是中点， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ， ； （3）如图所示，连接，交于点， 是中点， ， 在与中， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点评】题目主要考查全等三角形的判定和性质，线段中点的性质及等腰三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 39．（2022秋•宝山区校级期中）如图，和，，点、在边上，点、、共线，，，求证：． 【分析】根据三角形内角和定理得出，再由三角形外角的性质及全等三角形的判定和性质即可证明． 【解答】证明：， ， 即， ， ，即， 在与中， ， ， ． 【点评】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 40．（2022秋•浦东新区期中）如图，已知，，，是的中点．求证：． 【分析】证明，即可求解． 【解答】证明：，，， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ，为公共边， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法和性质是解题的关键． 41．（2022秋•静安区校级期中）已知如图，，，，与相交于点，求证：． 【分析】由已知条件证得，连接，要证，可利用等式性质来证得． 【解答】证明：（已知）， （等式性质），即． 在和中， ， ． （全等三角形对应角相等）， 连接． （已知）， （等边对等角）． 　（已证）， （等式性质），即． （等角对等边）． 【点评】本题主要考查了两个三角形的判定和性质，关键是根据证得． 42．（2022秋•闵行区校级期中）如图，已知点、、、在同一直线上，，，，求证：． 【分析】证，得，再由平行线的判定即可得出结论． 【解答】证明：， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ． 【点评】考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 43．（2022秋•闵行区期中）如图， 点，在的边上，，，求证：． 【分析】方法一： 利用全等三角形的性质证明即可 ． 方法二： 作于． 证明垂直平分线段即可； 【解答】证明方法一：， ， ， ， 在和中， ， ． 证明方法二： 作于． ， ， ， ， 即：， 又，即为的垂直平分线， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质， 等腰三角形的判定和性质， 线段的垂直平分线的性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型 ． 44．（2022秋•奉贤区校级期中）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【分析】根据，可得，再利用求证和全等即可． 【解答】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证和全等． 45．（2022秋•普陀区期中）已知：如图，在四边形中，，点在边上，． （1）求证：． （2）当，求证：． 【分析】（1）由，得出，再由，推出，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理得出，再由（1）得，则，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】证明：（1）， ， ， ，即， ； （2）， ， 由（1）得：， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 46．（2023秋•闵行区期中）如图，在中，，过点作射线，过点作射线，使，且射线、交于点，过点作于点．求证：． 【分析】过点作，垂足为点，连接，证明，得，，然后根据线段的和差即可解决问题． 【解答】证明：如图，过点作，垂足为点，连接， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 47．（2023秋•杨浦区校级期中）如图1，在中，，，平分，交于点． （1）求证：． （2）如图2，若的角平分线交于点，求证：． （3）如图3，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 【分析】（1）根据，，可得的度数，再根据平分，可得，进而可得结论； （2）如图2，过点作交于点，证明，可得，进而可得； （3）如图3，过点作交于点，结合（1）和是的外角平分线，可得，进而可得结论． 【解答】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作交于点， ， ， ，， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（2）中的结论不成立，正确的结论是．理由如下： 如图3，过点作交于点， ， ， ， 是的外角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 48．（2023秋•普陀区期中）如图，在中，为的中点，为上一点，，延长至，且，联结、． （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 【分析】（1）根据证明与全等，再利用等量代换证明即可； （2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质进行证明即可． 【解答】证明：（1）为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是根据平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识进行解答． 49．（2022秋•宝山区校级期中）如图，已知在中，，点、分别在边、上，且． （1）求证：； （2）如果是延长线上一点，且，求证：． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和证明即可； （2）根据证明与全等即可． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ，， 在与中， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定语言性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 50．（2022秋•徐汇区校级期中）已知：如图，在中，，为的外角平分线，交的延长线于点，且．求证：． 【分析】过点作，垂足为点，由“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可知，再证明，由此可得，在证明即可． 【解答】证明：过点作，垂足为点， 又（已知）， （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． 在和中 ．． ，． （已知）， ． ． 又， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线使得与在同一条直线上才好证． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$