专题3.3 数字规律问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版2024）

专题3.3 数字规律问题 · 典例分析 【典例1】阅读并解答后面的问题：，，，． （1）第10个算式是_______=_______； （2）第n个算式为_______=_______； （3）根据以上规律计算：； （4）计算：． 【思路点拨】 本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的算式总结出规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）观察所给等式分子分母的规律，即可得出答案； （3）根据（2）中的规律进行求解即可； （4）结合前面的规律易得，，，根据此规律对原式进行变形，再提取，对括号内的式子加减相消，再计算即可． 【解题过程】 （1）解：∵第1个算式为：， 第2个算式为：， 第3个算式为：， 第4个算式为：， ∴第10个算式为：， 故答案为：，； （2）解：由（1）得， 第n个算式为：； 故答案为：，； （3）解： ； （4）解： ． · 学霸必刷 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有一列按规律排列的数：，从左边第1个数开始将各位数字相加，加到第______个数字时，所得的和等于．（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了数字型规律，找到该组数的规律，可得每个数的和为，求出与的商和余数，得到所加的最后一个数，继而得解． 【解题过程】 解：由题意可得： 该列数是以，个为一循环， ， 而，， 以个数为一组，加到第组的第个数时，和为， 即加到第个数时，所得的和等于， 故选B． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则（    ） A．2 B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查数字的变化规律，掌握数字的循环规律是解题的关键．分别计算出第2、3、4个数，据此得出循环规律，进一步求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴， …， ∴数列是3个一循环的数列， ∵， ∴， 故选：B． 3．（23-24七年级上·广东梅州·期中）按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答，分别找到分子、分母及符号的规律是解题的关键． 【解题过程】 解：分子，，，，的规律为， 分母，，，，的规律为， 符号的规律为， 故第个数为， 故选：． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示，如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可． 【解题过程】 解：根据分析，可得 则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3，共4个， 故选：D． 5．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了数字的变化类规律，认真观察、找出规律是解题的关键． 先通过找规律找出第6、7、8行的从左到右第一个数，然后计算出第7、8行从左到右的第二个数，再计算第8行从左到右的第三个数即可． 【解题过程】 解：通过已知可得到第6、7、8行的从左到右第一个数分别为 ∴第7、8行的从左到右第二个数分别为：， ∴第8行从左到右的第三个数为： 故选：B ． 6．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）观察下列算式：观察下列算式： ，…根据上述算式中的规律， 你认为的末位数字是（     ） A．6 B．7 C．2 D．8 【思路点拨】 本题考查了式子的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可得，每4个算式末位数字循环一次，由，可知的末位数字为0，进而可得的末位数字为2． 【解题过程】 解：∵ ， ∴每4个算式末位数字循环一次， ∵， ∴的末位数字为0， ∴的末位数字为2， 故选：C． 7．（2024七年级·全国·竞赛）六个互不相等的正整数按如图所示的方式排列，箭头所指向的数等于指向它的两个数的和，例如，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题考查了数字型规律，由题意得，，， 则，要取最小值，则取最小值，然后讨论即可求解，通过观察，分析，归纳并发现规律是解题的关键． 【解题过程】 解：由题意得：，，， ∴， ∵取最小值， ∴是最小值，不妨设 ，，，不符合题意， ，，，符合题意， ∴，， ∴的最小值为， 故选：． 8．（23-24七年级上·广西桂林·期中）观察下面三行数： ，9，，81……① 1，，9，……② ，10，，82……③ 设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【思路点拨】 本题考查数字类规律探究、代数式求值，找到每行数字的变化规律是解答的关键．先根据每行前几个数字的变化得到变化规律，进而求得a、b、c，然后代值求解即可． 【解题过程】 解：①由，9，，81……，得第n个数为，则； ②由1，，9，……，得第n个数为，则； ③由，10，，82……，得第n个数为，则， ∴ ， 故选：A． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，以此类推，则（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了数字类规律探索，找出一般规律是解题关键．根据已知规则分别求出、、、、、 ，观察从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，据此即可求解． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， … 以此类推， 经过前几个数字比较后发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数， 即， 则， 故选：C． 10．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）根据图中数字的规律，若第个图中时，则的值为（    ）． A．168 B．169 C．195 D．196 【思路点拨】 在“”区域的规律是第个图：，在“”区域的规律是第个图：，在“”区域的规律是：第个图：；由，可求出，代入的规律即可求解． 【解题过程】 解：由图得 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 当时， ， ， ； 故选：A． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2016个数是 ． 【思路点拨】 本题考查了数字类变化规律，此列数可变为：，，，，，，，可以找到每个分数与数的个数的关系，进而求得第2016个数，得出规律是解此题的关键． 【解题过程】 解：∵，，， ∴此列数可变为：，，，，，，，每个分数的分子是数的个数，分母是数的个数加2， ∴第2016个数为，即， 故答案是：． 12．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）一组按规律排列的数：，则第20个数是 ． 【思路点拨】 本题考查了数字类规律探索，直接根据题意找出规律作答即可．解题的关键是得到第n个数是． 【解题过程】 解：， ， ， ……， 第n个数是， 第20个数是， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）观察一列数：， 2，， 4，， 6，， …， 将这列数排成如图所示形式． 记(记对应的数为第i行(最上为第1行) 第j列(最左为第1列)的数，如那么，对应的数为 ．        2        4     6         8    10       12       14     16 ……… 【思路点拨】 本题主要考查了数字类的规律探索，观察每一行最后一个数可得规律第n行最后一个数为，据此求出第8行最后一个数为64，再根据第9行第9个数与第8行最后一个数相隔9，即可得到答案． 【解题过程】 解：由题意得，第一行最后一个数为， 第二行最后一个数为， 第三行最后一个数为， 第四行最后一个数为， ……， 以此类推，可知第n行最后一个数为， ∴第8行最后一个数为， ∴对应的数为， 故答案为：． 14．（23-24七年级上·山西太原·期末）九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书．如图，将，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了有理数的加减运算和数字类规律，找到规律是解决问题的关键： 根据这九个数的平均数为，即每行、每列、每条对角线上三个数的和都是，且正中间的数为，可求得第一列第二个数为，即可求得的值为． 【解题过程】 解：根据题意这九个数的平均数为：， ∴正中间的数为， ∴每行、每列、每条对角线上三个数的和都是， ∴第二行左边的数为：， ∴， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）阅读理解： 在求的值时，小林发现：后面的数是前面数的2倍，于是他设：①然后在①式的两边都乘以2，得：②，②①得，，得出答案 仿照例题求 （1）的值； （2）直接写出的值 ． 【思路点拨】 本题考查数字的变化规律，通过观察所给的运算过程，灵活应用该方法求和是解题的关键． （1）设①，得到②，②－①得，，即可求出答案； （2）设①，则②，②－①得，，即可求出答案． 【解题过程】 （1）解：设①， 则② ②－①得， 解得 即的值为； （2）设① 则②， ②－①得，， ∴ 故答案为： 16．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列算式： ① ② ③ ④ ⑤ …… （1）根据以上规律写出第⑧条算式：________； （2）计算：； （3）计算： 【思路点拨】 本题主要考查了数字类的规律探索； （1）根据已知等式得出第条算式为，，再将代入可得答案； （2）利用所得规律展开得原式，再利用高斯求和公式计算可得； （3）原式提取符号得出原式，再利用所得规律变形，最后利用求和公式计算可得答案． 【解题过程】 （1）解：① ② ③ ④ ⑤ ……， 以此类推可知，第条算式为， 则第⑧条算式为， 故答案为：． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 17．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 a b c 8 … （1）填空：__________，__________，__________，第2022个格子中的数是____________． （2）前n个格子中所填整数之和是否可能为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． （3）如果在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有这样的差值累加起来称为前n项的累差值，例如，前3项的累差值列式为，那么前10项的累差值为多少？ 【思路点拨】 本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题意和表格中的数据，可以得到a、b、c的值，然后即可得到第2012个格子中的数； （2）先判断是否存在，然后根据判断进行解答即可； （3）根据题意和（1）中的规律，可以计算出前10项的累差值． 【解题过程】 （1）解：根据题意可得：， ∴，， ∵表格中有数字， ∴， 由题意可知表格中的数字依次以1、8、循环出现， ∵， ∴第2022个格子中的数是， 故答案为：8，，1，； （2）解：前n个格子中所填整数之和可能为2021， 理由：∵， ∴， ∵最后5个数的和为， ∴当时，和也为2021， ∴n的值为1516或1511； （3）解：由（1）可知，表格中的数字依次以1、8、循环出现， 当时，， ∴前10个数中，1出现4次，8出现3次，也出现3次， ∴前10项的累差值为： ． 18．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）[观察下列等式] ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： [尝试计算]： （1） ； （2） ； [运用说明]： （3）设…试判断S值是大于1，还是小于1．请说明理由． 【思路点拨】 本题考查数字的变化规律． （1）通过观察可得原式，再运算即可； （2）通过观察可得原式，再运算即可； （3）由，，，推出，，，据此求解即可． 【解题过程】 解：（1） ； 故答案为：； （2） ； （3），理由如下， ∵，，，，， 又∵，，，，， ∴，，，，， ∴ ， 即， ∴． 19．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）观测下列各式：， ， ， ， …… 回答下面的问题： （1）猜想______．（直接写出你的结果） （2）利用你得到的（1）中的结论，计算的值． （3）计算的值； （4）直接写出的值______． 【思路点拨】 （1）由前面的具体运算归纳可得：从1开始的连续自然数的立方和等于自然数的个数的平方乘比个数大1的数的平方，再除以4，从而可得答案； （2）根据（1）所得规律求解即可； （3）将所求式子变形为，再结合（1）所得规律求解即可； （4）将所求式子变形为，再结合（1）所得规律求解即可； 【解题过程】 （1）解：∵， ， ， ， ……， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 故答案为：． 20．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）把正整数1，2，3，4…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D．设． （1）在图1中，2022排在第______行第______列； （2）排在第行第列的数为______．（其中，，且、都是正整数） （3）的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； （4）将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时的值能否为3918？如果能，请求出所表示的数；如果不能，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键在于找到被阴影覆盖的这些数． （1）每一行有8个数，则，则可判断2022的位置； （2）通过分析，总结出规律即可； （3）分别用含的式子表示出，，，，再由所给的等式可得的值是定值； （4）变化之后，奇数为负，偶数为正，分两种情况进行讨论：①为奇数；②为偶数，从而可求得相应的值，再进行判断即可． 【解题过程】 （1）解： ， 排在第253行第6列； （2）解：第一行第n列的数为n， 第二行第n列的数为， 第三行第n列的数为， … 当，，且、都是正整数时， 第行第列的数为， 故答案为：． （3）解：的值是定值0，理由如下： 由题意得：，，，， ， 的值是定值；定值为0． （4）解：不能，理由如下： 变化之后，奇数为负，偶数为正， 则①当为奇数时， 得：，，， 若， 则， 解得：（不符合题意）， ②当为偶数时， ，，， 若， 则， 解得：（符合题意）， ， 所表示的数为966． 因为， 此时在第121行，第6列． 此时图2的方框只能框到3列数，、都框不到数了， 所以的值不能为3918． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 数字规律问题 · 典例分析 【典例1】阅读并解答后面的问题：，，，． （1）第10个算式是_______=_______； （2）第n个算式为_______=_______； （3）根据以上规律计算：； （4）计算：． 【思路点拨】 本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的算式总结出规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）观察所给等式分子分母的规律，即可得出答案； （3）根据（2）中的规律进行求解即可； （4）结合前面的规律易得，，，根据此规律对原式进行变形，再提取，对括号内的式子加减相消，再计算即可． 【解题过程】 （1）解：∵第1个算式为：， 第2个算式为：， 第3个算式为：， 第4个算式为：， ∴第10个算式为：， 故答案为：，； （2）解：由（1）得， 第n个算式为：； 故答案为：，； （3）解： ； （4）解： ． · 学霸必刷 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有一列按规律排列的数：，从左边第1个数开始将各位数字相加，加到第______个数字时，所得的和等于．（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东梅州·期中）按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示，如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）观察下列算式：观察下列算式： ，…根据上述算式中的规律， 你认为的末位数字是（     ） A．6 B．7 C．2 D．8 7．（2024七年级·全国·竞赛）六个互不相等的正整数按如图所示的方式排列，箭头所指向的数等于指向它的两个数的和，例如，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·广西桂林·期中）观察下面三行数： ，9，，81……① 1，，9，……② ，10，，82……③ 设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，以此类推，则（　　） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）根据图中数字的规律，若第个图中时，则的值为（    ）． A．168 B．169 C．195 D．196 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2016个数是 ． 12．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）一组按规律排列的数：，则第20个数是 ． 13．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）观察一列数：， 2，， 4，， 6，， …， 将这列数排成如图所示形式． 记(记对应的数为第i行(最上为第1行) 第j列(最左为第1列)的数，如那么，对应的数为 ．        2        4     6         8    10       12       14     16 ……… 14．（23-24七年级上·山西太原·期末）九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书．如图，将，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为 ． 15．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）阅读理解： 在求的值时，小林发现：后面的数是前面数的2倍，于是他设：①然后在①式的两边都乘以2，得：②，②①得，，得出答案 仿照例题求 （1）的值； （2）直接写出的值 ． 16．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列算式： ① ② ③ ④ ⑤ …… （1）根据以上规律写出第⑧条算式：________； （2）计算：； （3）计算： 17．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 a b c 8 … （1）填空：__________，__________，__________，第2022个格子中的数是____________． （2）前n个格子中所填整数之和是否可能为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． （3）如果在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有这样的差值累加起来称为前n项的累差值，例如，前3项的累差值列式为，那么前10项的累差值为多少？ 18．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）[观察下列等式] ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： [尝试计算]： （1） ； （2） ； [运用说明]： （3）设…试判断S值是大于1，还是小于1．请说明理由． 19．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）观测下列各式：， ， ， ， …… 回答下面的问题： （1）猜想______．（直接写出你的结果） （2）利用你得到的（1）中的结论，计算的值． （3）计算的值； （4）直接写出的值______． 20．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）把正整数1，2，3，4…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D．设． （1）在图1中，2022排在第______行第______列； （2）排在第行第列的数为______．（其中，，且、都是正整数） （3）的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； （4）将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时的值能否为3918？如果能，请求出所表示的数；如果不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$