专题02 一元二次方程（考点清单，知识导图+5个考点清单+12种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

专题02 一元二次方程（考点清单，知识导图+5个考点清单+12种题型解读） 【清单01】一元二次方程的概念 一元二次方程 【清单02】一元二次方程的解法 解法 【清单03】一元二次方程的判别式 【清单04】二次三项式的因式分解 步骤： 【清单05】一元二次方程的应用题 一般步骤： 【考点题型一】一元二次方程的定义（共2小题） 【例1】（2024秋•嘉定区月考）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•虹口区校级期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　 　． 【考点题型二】一元二次方程的一般形式（共2小题） 【例2】（2024秋•嘉定区月考）将方程化为一般式为：　 　． 【变式2】（2023秋•闵行区期末）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　 　． 【考点题型三】一元二次方程的解（共4小题） 【例3】（2023秋•青浦区校级期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是　　 A．1 B．1， C． D．以上都不对 【变式3-1】（2024秋•嘉定区月考）若关于x的方程2x2﹣mx＝1﹣m有一个根为﹣1，则m＝　 　． 【变式3-2】（2023秋•浦东新区期末）已知是方程的一个根，那么　 　． 【考点题型四】解一元二次方程-直接开平方法（共4小题） 【例4】（2022秋•青浦区校级期末）方程的根是 　 　． 【变式4-1】（2023秋•徐汇区月考）一元二次方程的根是 　 　． 【变式4-2】（2024秋•嘉定区月考）解方程：（x﹣2）2﹣25＝0． 【变式4-3】（2023秋•徐汇区校级期中）解方程：． 【考点题型五】解一元二次方程-配方法（共3小题） 【例5】（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：． 【变式5-1】（2023秋•嘉定区期末）用配方法解方程：． 【变式5-2】（2023秋•松江区期末）用配方法解． 【考点题型六】解一元二次方程-公式法（共5小题） 【例6】（2023秋•静安区校级期中）解方程：． 【变式6-1】（2023秋•长宁区校级期中）解方程：． 【变式6-2】（2023秋•青浦区校级期中）解方程：． 【变式6-3】（2023秋•静安区校级期中）． 【变式6-4】（2023秋•金山区期中）解方程：． 【考点题型七】解一元二次方程-因式分解法（共2小题） 【例7】（2024秋•杨浦区校级月考）． 【变式7】（2022秋•浦东新区期中）解方程：． 【考点题型八】换元法解一元二次方程（共2小题） 【例8】（2023秋•普陀区校级月考）已知、为实数，且．求的值． 【变式8】（2023秋•浦东新区期中）求值： （1）如果实数、满足，那么的值为 　 ； （2）如果实数、满足，求代数式的值； （3）如果实数满足，求代数式的值． 【考点题型九】根的判别式（共4小题） 【例9】（2023秋•浦东新区期末）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为9，求的值及这个方程的根． 【变式9-1】（2023秋•崇明区期末）如果方程是关于的一元一次方程，是判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 【变式9-2】（2024秋•杨浦区校级月考）若方程（m2﹣1）x2+2（m+1）x+1＝0没有实数根，试判定方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0的根的情况． 【变式9-3】（2024秋•杨浦区校级月考）已知关于的两个一元二次方程：方程①：；方程②：． （1）若方程①和②只有一个方程有实数根，求整数； （2）若方程①和②有一个公共根，求代数式的值． 【考点题型十】根与系数的关系（共5小题） 【例10】（2023秋•虹口区校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）如果是该方程的一个根，求另一个根； （2）如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【变式10-1】（2023秋•静安区校级期中）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数，满足：，且，则　　，　　； （2）间接应用：在（1）条件下，求的值； （3）拓展应用：已知实数，满足：，且，则　　． 【变式10-2】（2023秋•崇明区期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的其中的一个根为，求方程的另一个根． 【变式10-3】（2023秋•杨浦区校级期中）材料阅读：韦达定理：已知，是一元二次方程的两个实数解，则，．已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）请用含的代数式表示　 　；　　 ． （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． （3）直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【变式10-4】（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形的三边为，，．方程有两个相等的实数根，且，，满足． （1）求证：是等边三角形； （2）若，为方程的两根，求的值． 【考点题型十一】实数范围内分解因式（共5小题） 【例11】（2023秋•奉贤区校级期中）在实数范围内因式分解：　 　． 【变式11-1】（2023秋•黄浦区校级期中）在实数范围内分解因式：　 　． 【变式11-2】（2023秋•普陀区校级期中）在实数范围内分解因式：　 　． 【变式11-3】（2023秋•普陀区校级期中）在实数范围内因式分解：　 　． 【变式11-4】（2023秋•闵行区期中）在实数范围内分解因式的结果是　 　． 【考点题型十二】一元二次方程的应用（共10小题） 【例12】（2024秋•徐汇区校级月考）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆48人次，进馆人数逐日增加，到第三天结束累计进馆228人次，若进馆人次的日平均增长率相同． （1）求进馆人次的日平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过200人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【变式12-1】（2023秋•松江区期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【变式12-2】（2022秋•徐汇区校级期末）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》的表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？ 【变式12-3】（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【变式12-4】（2023秋•闵行区期末）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？ 【变式12-5】（2023秋•徐汇区校级期中）“南国梨”素有“梨中之王”美称，主产于中国辽宁省的鞍山，某南国梨种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率． （2）某超市调查发现，当“南国梨”的售价为8元千克时，每周能售出400千克，售价每千克上涨0.5元，每周销售量减少10千克，已知该超市“南国梨”的进价为6元千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过17元千克．若使销售“南国梨”每周获利2400元，则售价应多少元千克？ 【变式12-6】（2023秋•长宁区校级期末）为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的吨”，则超过的用水量为 　 　吨，超过部分应交水费 　　 元（用含的式子表示）． （2）如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨 交费总数（元 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该吨是多少？ 【变式12-7】（2023秋•静安区校级期中）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． （1）若该厂某户居民2月份用电150度，超过了规定的度，则超过的部分应缴电费多少元（用表示）； （2）如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度 缴电费总数（元 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的的值． 【变式12-8】（2023秋•静安区校级期中）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙长60米），用124米长的建筑材料围成一个占地面积为2010平方米的长方形仓库（图中的长方形，为了便于在紧急状态下搬运货物，现决定在与墙平行的边上预留出3个宽度为1米的门，求与墙垂直的边的长． 【变式12-9】（2023秋•浦东新区校级期末）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，计划2020年底，全省基站数量将达到6万座，到2022年底，全省基站数量将达到17.34万座．按照计划，求2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程（考点清单，知识导图+5个考点清单+12种题型解读） 【清单01】一元二次方程的概念 一元二次方程 【清单02】一元二次方程的解法 解法 【清单03】一元二次方程的判别式 【清单04】二次三项式的因式分解 步骤： 【清单05】一元二次方程的应用题 一般步骤： 【考点题型一】一元二次方程的定义（共2小题） 【例1】（2024秋•嘉定区月考）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【解答】解：．是二元一次方程，不符合题意； ．是分式方程，不符合题意； ．是一元一次方程，不符合题意； ．是一元二次方程，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是理解一元二次方程的定义． 【变式1】（2022秋•虹口区校级期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式求解集，即可求解． 【解答】解：根据题意得，，且， 且， 且． 故答案为：且． 【点评】本题主要考查根据一元二次方程的定义，二次根式的性质求参数，掌握一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式是解题的关键． 【考点题型二】一元二次方程的一般形式（共2小题） 【例2】（2024秋•嘉定区月考）将方程化为一般式为：　 　． 【分析】一元二次方程的一般形式为，据此将已知一元二次方程变形，即可得到答案． 【解答】解：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握相关概念是解题关键． 【变式2】（2023秋•闵行区期末）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可确定出的值． 【解答】解：由已知方程得到：． 根据题意得：， 解得：或， 当时，方程为，不合题意， 则的值为， 故答案为：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 【考点题型三】一元二次方程的解（共4小题） 【例3】（2023秋•青浦区校级期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是　　 A．1 B．1， C． D．以上都不对 【分析】把代入原方程，求出的值，再根据一元二次方程的定义得出，即可解答． 【解答】解：把代入得：， 解得：，， 是一元二次方程， ， 解得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握一元二次方程的定义是关键． 【变式3-1】（2024秋•嘉定区月考）若关于x的方程2x2﹣mx＝1﹣m有一个根为﹣1，则m＝　 　． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．关于x的方程2x2﹣mx＝1﹣m的一个根是﹣1，把x＝﹣1代入原方程即得m的值． 【解答】解：∵x的方程2x2﹣mx＝1﹣m的一个根是﹣1， ∴2×（﹣1）2+m＝1﹣m， 解得． 故答案为． 【点评】本题主要考查了方程的解的定义，熟练掌握定义是关键． 【变式3-2】（2023秋•浦东新区期末）已知是方程的一个根，那么　 　． 【分析】将代入原方程即可求出的值． 【解答】解：将代入， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型． 【考点题型四】解一元二次方程-直接开平方法（共4小题） 【例4】（2022秋•青浦区校级期末）方程的根是 　 　． 【分析】把方程两边开方即可． 【解答】解：， ， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【变式4-1】（2023秋•徐汇区月考）一元二次方程的根是 　 　． 【分析】先移项再化简，然后利用开平方法可求得结果． 【解答】解：， 移项得：， 化简得：， 开方得：或， 解得：，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 【变式4-2】（2024秋•嘉定区月考）解方程：（x﹣2）2﹣25＝0． 【分析】根据直接开方法即可求出答案． 【解答】解：∵（x﹣2）2﹣25＝0， ∴（x﹣2）2＝25， 两边直接开平方得：x﹣2＝±5， 则x﹣2＝5，x﹣2＝﹣5， 解得：x1＝7，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【变式4-3】（2023秋•徐汇区校级期中）解方程：． 【分析】先将方程整理为，再根据平方根的定义将两边开方，即可解答． 【解答】解：， 或， 解得：． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【考点题型五】解一元二次方程-配方法（共3小题） 【例5】（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：． 【分析】先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程． 【解答】解：把方程的常数项移到等号的右边，得 ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 配方得， 开方得， 解得． 【点评】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【变式5-1】（2023秋•嘉定区期末）用配方法解方程：． 【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， 解得：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键． 【变式5-2】（2023秋•松江区期末）用配方法解． 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【解答】解：， 移项得， 二次项系数化成1得， 配方得，即 ， 解得，． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【考点题型六】解一元二次方程-公式法（共5小题） 【例6】（2023秋•静安区校级期中）解方程：． 【分析】先找，，，再求△，判断方程根的情况，再代入求根公式计算即可． 【解答】解：，，， △， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程． 【变式6-1】（2023秋•长宁区校级期中）解方程：． 【分析】用公式法解一元二次方程，先判断△，再代入求根公式，即可得到方程的解． 【解答】解：， ， ，，， △， ， ，， 即：． 【点评】本题考查解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，关键是正确应用求根公式． 【变式6-2】（2023秋•青浦区校级期中）解方程：． 【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤，对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：， ， 则， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程公式法，熟知公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【变式6-3】（2023秋•静安区校级期中）． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：， ， ， 则或， 解得，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【变式6-4】（2023秋•金山区期中）解方程：． 【分析】利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程． 【解答】解：， 则， 或， ，． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【考点题型七】解一元二次方程-因式分解法（共2小题） 【例7】（2024秋•杨浦区校级月考）． 【分析】利用因式分解法把方程整理成得出或，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：， ， 或． ． 【点评】本题考查解一元二次方程—因式分解法，因式分解法是利用因式分解求出方程解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解法． 【变式7】（2022秋•浦东新区期中）解方程：． 【分析】提公因式法因式分解解方程即可． 【解答】解：， ， ， 或， 解得，． 【点评】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 【考点题型八】换元法解一元二次方程（共2小题） 【例8】（2023秋•普陀区校级月考）已知、为实数，且．求的值． 【分析】根据题意，利用换元法解方程．设，则原式变形为：，然后解一元二次方程即可． 【解答】解：设， 则原式变形为：，即， ， ，， 又， 舍去， ． 【点评】本题考查了利用换元法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式8】（2023秋•浦东新区期中）求值： （1）如果实数、满足，那么的值为 　 ； （2）如果实数、满足，求代数式的值； （3）如果实数满足，求代数式的值． 【分析】（1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （2）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （3）设，则由原方程得到关于的一元二次方程，通过解该方程得到的值；然后将其代入所求的变形后的代数式进行求值． 【解答】解：（1）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或． 即值为9或． 故答案为：9或； （2）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或（舍去）． 即代数式的值为81； （3）设，则， 整理，得， 解得或， 当时，无解（舍去）， 即， 所以 ． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 【考点题型九】根的判别式（共4小题） 【例9】（2023秋•浦东新区期末）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为9，求的值及这个方程的根． 【分析】根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：△， ， 该方程为：， 或 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 【变式9-1】（2023秋•崇明区期末）如果方程是关于的一元一次方程，是判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 【分析】先根据一元一次方程的定义得到，再把方程整理为，计算判别式得到△，然后根据判别式的意义可判断关于的方程根的情况． 【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数解． 理由如下： 方程是关于的一元一次方程， ，即， 方程整理为， △， ， 关于的方程有两个不相等的实数解． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 【变式9-2】（2024秋•杨浦区校级月考）若方程（m2﹣1）x2+2（m+1）x+1＝0没有实数根，试判定方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0的根的情况． 【分析】先根据方程（m2﹣1）x2+2（m+1）x+1＝0没有实数根，求出m＜﹣1，然后分两种情况：当m＜﹣1且m≠﹣3时，当m＝﹣3时，讨论方程根的情况． 【解答】解：∵（m2﹣1）x2+2（m+1）x+1＝0没有实数根， ∴[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）＜0， 解得：m＜﹣1， 当m＜﹣1且m≠﹣3时，方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0中， Δ＝[﹣2（m﹣3）]2﹣4（m+3）（﹣m﹣5） ＝8m2+8m+96 ＝8（m2+m）+96 ＝， 又∵， ∴， ∴Δ＞0， ∴此时方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0有两个不相等的实数根， 当m＝﹣3时，方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0可变为12x﹣2＝0， ∵方程12x﹣2＝0只有一个实数根， ∴当m＝﹣3时，方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0有1个实数根． 综上分析可知：方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0有2个或1个实数根． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【变式9-3】（2024秋•杨浦区校级月考）已知关于的两个一元二次方程：方程①：；方程②：． （1）若方程①和②只有一个方程有实数根，求整数； （2）若方程①和②有一个公共根，求代数式的值． 【分析】（1）计算第2个方程的判别式得，利用判别式的意义可判断方程②总有实数根，于是可判断此时方程①没有实数根，然后方程①没有实数根列出关于的不等式求解即可； （2）把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值． 【解答】解：（1）对于方程②：， ， 无论为何值时，方程②总有实数根， 方程②总有实数根， 方程①、②只有一个方程有实数根， 此时方程①没有实数根， 对于方程①：， ． 或，解不等式组 ，得无解；解不等式组 ，得， 整数的值为； （2）根据是方程①和②的公共根， ③，④ ③得：⑤， ⑤④得：， 代数式． 故代数式的值为5． 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 【考点题型十】根与系数的关系（共5小题） 【例10】（2023秋•虹口区校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）如果是该方程的一个根，求另一个根； （2）如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【分析】（1）把代入方程求出即可； （2）根据△，构建不等式解决问题． 【解答】解：（1）是该方程的一个根， ， ， 方程为， ， 或， ，， 另一个根是3； （2）由题意， ， ， ， 且． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式10-1】（2023秋•静安区校级期中）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数，满足：，且，则　　，　　； （2）间接应用：在（1）条件下，求的值； （3）拓展应用：已知实数，满足：，且，则　　． 【分析】（1）由韦达定理即可求解； （2）结合（1）的过程，将平方后变形为，再代入数据即可得出结论； （3）令，，则，，可得，是方程的两个不相等的实数根，可得，将其代入即可求解． 【解答】解：（1）实数，满足：，且， ，是方程的两个不相等的实数根， ，． 故答案为：7，1； （2）由（1）得， ，． ，， （取正，负值舍去）； （3）令，，则，， ， ，即， ，是方程的两个不相等的实数根， ， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，巧妙的找出、、是某方程的两个根是解题的关键． 【变式10-2】（2023秋•崇明区期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的其中的一个根为，求方程的另一个根． 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到△，进行求解即可； （2）将代入原方程，即可得出关于的一元一次方程，解之得出，即可得到方程为，解方程即可求得另一个根． 【解答】解：（1）由题意得：，即：， 解得：． （2）将代入中， ，解得：． 方程为， 解得或， 如果方程有一个根为，则方程的另一个根为0． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将代入原方程求出值． 【变式10-3】（2023秋•杨浦区校级期中）材料阅读：韦达定理：已知，是一元二次方程的两个实数解，则，．已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）请用含的代数式表示　 　；　　 ． （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． （3）直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【分析】（1）先根据根的判别式的性质得到且△，则，再根据根与系数的关系得到，，然后利用配方法得到； （2）先利用得到，所以，解得，然后利用的范围可判断不存在实数，使成立； （3）由于，再利用有理数的整除性得到，，，然后结合可确定的值． 【解答】解：（1）根据题意得且△， 解得， ，， ； 故答案为：1，； （2）不存在． 理由如下：， ， ， ， 解得， 经检验为原方程的解， ， 不合题意， 不存在实数，使成立； （3）， 为整数，为整数， ，，， 解得，，1，，3，， ， 的整数值为或或． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【变式10-4】（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形的三边为，，．方程有两个相等的实数根，且，，满足． （1）求证：是等边三角形； （2）若，为方程的两根，求的值． 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出△，即，代入可得，代入回得； （2）根据题意知方程有两个相等的实数根，据此得△，即，解之可得或，代回方程求得的值，判断是否符合题意即可． 【解答】（1）证明：方程有两个相等的实数根， △，即， ． ，即， 将代入得：， ， 是等边三角形； （2）解：、为方程二根，且， △，即， 解得：或， 当时，方程为，解得：（舍； 当时，方程为，解得：（符合题意）． 故． 【点评】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程的能力、等边三角形的判定，根据方程的根的情况得出判别式的值的情况，从而得到关于、、及的等式是解题的关键． 【考点题型十一】实数范围内分解因式（共5小题） 【例11】（2023秋•奉贤区校级期中）在实数范围内因式分解：　 　． 【分析】根据一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及实数范围内分解因式，根据题意得出方程的根是解决问题的关键． 【变式11-1】（2023秋•黄浦区校级期中）在实数范围内分解因式：　 　． 【分析】首先解方程，求得的值，则可以直接写出分解后的结果． 【解答】解：方法一、解方程得：， 则原式． 方法二、原式， 故答案为：． 【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止 【变式11-2】（2023秋•普陀区校级期中）在实数范围内分解因式：　 　． 【分析】本题令，用含的代数式表示，再分解因式即可． 【解答】解：令， △， ， 解得：，， ； 故答案为：． 【点评】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式11-3】（2023秋•普陀区校级期中）在实数范围内因式分解：　 　． 【分析】根据配方法化为平方差的形式，进行因式分解，即可求解． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 【变式11-4】（2023秋•闵行区期中）在实数范围内分解因式的结果是　 　． 【分析】因为的根为，，所以． 【解答】解：． 【点评】先求出方程的两个根，再根据即可因式分解． 【考点题型十二】一元二次方程的应用（共10小题） 【例12】（2024秋•徐汇区校级月考）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆48人次，进馆人数逐日增加，到第三天结束累计进馆228人次，若进馆人次的日平均增长率相同． （1）求进馆人次的日平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过200人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【分析】（1）先设进馆人次的日平均增长率为，然后根据题意和题目中的数据，可以列出方程，再求解即可． 【解答】解：（1）设进馆人次的日平均增长率为， 由题意可得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）校图书馆能接纳第四天的进馆人次， 理由： ， ， 校图书馆能接纳第四天的进馆人次． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【变式12-1】（2023秋•松江区期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【分析】设跳绳场地的宽为米，则跳绳场地的长为米，比赛区域的长为米，宽为米，根据比赛区域的总面积为144平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值分别代入及中，即可求出结论． 【解答】解：设跳绳场地的宽为米，则跳绳场地的长为米，比赛区域的长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， （米， （米． 答：比赛区域的长是16米，宽是9米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式12-2】（2022秋•徐汇区校级期末）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》的表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？ 【分析】设长方形等候区的边为米，根据面积为300平方米的封闭型长方形等候区可得，再解一元二次方程即可． 【解答】解：设长方形等候区的边为米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，； 当时，， 不合题意，应舍去． 答：长方形等候区的边为15米，为20米． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 【变式12-3】（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【分析】设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据每天的销售利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件商品盈利不少于25元，即可确定x的值． 【解答】解：设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件， 依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2＝20应舍去， 故x＝10为所求． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式12-4】（2023秋•闵行区期末）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？ 【分析】设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，根据面积为90平方米列出方程求解即可． 【解答】解：设垂直于墙的一边为米， 根据题意得：， 整理得：，即， 分解因式得：， 解得：，， 当时，平行于墙的一边为米米， 故米不符合题意，舍去； 当时，平行于墙的一边为米米， 答：仓库的长是15米，宽是6米． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 【变式12-5】（2023秋•徐汇区校级期中）“南国梨”素有“梨中之王”美称，主产于中国辽宁省的鞍山，某南国梨种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率． （2）某超市调查发现，当“南国梨”的售价为8元千克时，每周能售出400千克，售价每千克上涨0.5元，每周销售量减少10千克，已知该超市“南国梨”的进价为6元千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过17元千克．若使销售“南国梨”每周获利2400元，则售价应多少元千克？ 【分析】（1）设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为，利用该南国梨种植基地2022年种植面积该南国梨种植基地2020年种植面积该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价为元千克，则每千克的销售利润为元，每周能售出千克，利用总利润每千克的销售利润每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为． （2）设售价为元千克，则每千克的销售利润为元，每周能售出千克， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：售价应为16元千克． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式12-6】（2023秋•长宁区校级期末）为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的吨”，则超过的用水量为 　 　吨，超过部分应交水费 　　 元（用含的式子表示）． （2）如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨 交费总数（元 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该吨是多少？ 【分析】（1）超过的用水量为吨，所以，超过部分应交水费元． （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况可以列出方程：． 【解答】解：（1）依题意得：超过的用水量为吨， 超过部分应交水费元． 故答案为：；； （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况可以列出方程： ， 解得，，， ， ． 答：该吨是60吨． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 【变式12-7】（2023秋•静安区校级期中）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． （1）若该厂某户居民2月份用电150度，超过了规定的度，则超过的部分应缴电费多少元（用表示）； （2）如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度 缴电费总数（元 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的的值． 【分析】（1）由题意即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，超过度的电费为元； （2）由3月份的用电量、缴电费总数得：， 整理得：， 解得：，， 月份用电量65度，交费30元， ， 不符合题意，舍去， ， 答：电厂规定的的值为80． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式12-8】（2023秋•静安区校级期中）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙长60米），用124米长的建筑材料围成一个占地面积为2010平方米的长方形仓库（图中的长方形，为了便于在紧急状态下搬运货物，现决定在与墙平行的边上预留出3个宽度为1米的门，求与墙垂直的边的长． 【分析】设与墙垂直的边的长为米，则与墙平行的边的长为米，根据围成一个占地面积为2010平方米的长方形仓库，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设与墙垂直的边的长为米，则与墙平行的边的长为米， 根据题意得：， 整理得： 解得：，， 当时，（米米，不符合题意，舍去； 当时，（米，符合题意； 答：与墙垂直的边的长为33.5米． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式12-9】（2023秋•浦东新区校级期末）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，计划2020年底，全省基站数量将达到6万座，到2022年底，全省基站数量将达到17.34万座．按照计划，求2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率． 【分析】设2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率为，根据2020年及2022年底全省基站的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$