专题3.3 幂函数（5类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题3.3 幂函数 【考点1：幂函数的解析式或函数值】 1 【考点2：幂函数的定义域、值域】 4 【考点3：幂函数的图象】 7 【考点4：幂函数的单调性】 11 【考点5：幂函数的奇偶性】 13 【考点1：幂函数的解析式或函数值】 【知识点：幂函数的概念】 形如y＝xα(a∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数．对于幂函数，只讨论α＝1，2，3，，－1时的情形． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式即可. 【详解】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以 所以该幂函数的解析式是. 故选：B 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】运用待定系数法求幂函数解析式，再代入求值即可. 【详解】幂函数的图象经过点， 设幂函数，将点代入解析式得到，即，解得. 故.故. 故选：A. 3．（河南省部分名校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】直接由幂函数的定义列方程组即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 4．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【详解】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 5．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ． 【答案】 【分析】设幂函数为，根据题意求得，得到，代入即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·开学考试）幂函数的图像经过点，则的值为 . 【答案】2 【分析】根据过点求出的解析式，从而得到的值. 【详解】设幂函数，将代入，可得：， 所以，所以. 故答案为：2. 7．（24-25高一·上海·课堂例题）若幂函数的图象经过点，求此幂函数的表达式． 【答案】 【分析】代入点的坐标，即可求幂函数的解析式. 【详解】代入点得，，即，得， 所以幂函数的表达式为 8．（24-25高一·上海·课堂例题）设点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上．当x取何值时，？ 【答案】 【分析】求出幂函数、的解析式．令可得答案. 【详解】因为点在幂函数的图象上， 所以，解得，所以， 因为点在幂函数的图象上， 所以，解得，所以， 由，得， 所以当时，. 【考点2：幂函数的定义域、值域】 【知识点：幂函数的定义域、值域】 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 1．（24-25高一上·上海·课前预习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 2．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【分析】根据次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域． 【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 4．（24-25高一上·广东阳江·阶段练习）下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【答案】②③ 【分析】根据幂函数的性质，可得答案. 【详解】对于①，，则其值域为；对于②，，则其值域为； 对于③，，则其值域为，对于④，，则其值域为. 综上符合题意的是②③. 故答案为：②③. 5．（24-25高一上·上海·假期作业）求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】由题意，，解得. 即函数的定义域为 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知幂函数的图象过点，求幂函数的表达式，并写出其定义域． 【答案】，定义域为 【分析】设幂函数的表达式，根据其图象过的点，求出参数，即可得答案. 【详解】设幂函数的表达式为，． ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴这个幂函数的表达式为，定义域为. 7．（24-25高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 【答案】0或1或2 【分析】由幂函数的性质可知，，再结合条件，即可求解. 【详解】若幂函数的定义域为， 则，得，且， 所以. 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用幂指数为分数的意义即为根式，来求定义域. 【详解】（1）由幂函数，可知定义域为； （2）由幂函数，可知定义域为； （3）由幂函数，可知定义域为. 【考点3：幂函数的图象】 【知识点：五种幂函数的图象】 幂函数图象的规律 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内； (3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； (4)当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称．　　 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数图像性质可判定. 【详解】，定义域为，排除A，B． 经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快. 故选：C. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和幂函数性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C. 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 故选：C 4．（24-25高一上·全国·课后作业）幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图像经过的“卦限”是 ．    【答案】①⑤ 【分析】分别求出在和上的函数值范围，结合卦限概念即可判断. 【详解】对于函数，当时，， 故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过①卦限； 而当时，， 故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过⑤卦限. 故答案为：①⑤. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）你能在同一坐标系下作出，，，，这五个函数的图象吗？ 【答案】图象见解析 【分析】根据幂函数的性质，运用描点法画出图像即可. 【详解】 6．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数和，说明这两个函数图象之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象． 【答案】见解析 【分析】根据平移规律，以及幂函数的性质，画出函数的图象. 【详解】函数的图象向上平移1个单位得到函数的图象， 的定义域为，满足，是偶函数，且，则函数在第一象限单调递增，过点，，， 如图画出函数的图象， 【考点4：幂函数的单调性】 【知识点：幂函数的单调性】 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减； x∈(－∞，0)时，减 当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； 1．（23-24高一上·陕西渭南·期中）若幂函数过点，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】设幂函数解析式，结合幂函数过点可得，再根据幂函数的单调性求解即可. 【详解】设幂函数解析式，因为幂函数过点，故，故，即，故的单调递增区间为. 故答案为： 2．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则 . 【答案】 【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数. 【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在单调递减，符合题意. 故答案为:. 3．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数解析式直接判断各选项中的函数单调性即得. 【详解】函数、在R上单调递增，AB不是； 函数在上单调递增，C不是； 函数在上单调递减，D是. 故选：D 5．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】运用充分，必要条件知识，结合幂函数单调性可解. 【详解】,则，且在单调递增.故. 反过来，如果，则,可以为负数.推不出. 故“”是的充分不必要条件. 故选：Ａ． 6．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 【考点5：幂函数的奇偶性】 【知识点：幂函数的奇偶性】 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 幂函数y＝xα(a∈R)，当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 1．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为：4 2．（24-25高一上·四川·阶段练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 . 【答案】3 【分析】根据幂函数的奇函数性质和单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以当幂函数为奇函数时，或； 而幂函数又在上单调递增知，所以， 故答案为： 3．（23-24高一上·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由函数单调性得，进而求出或，接着由幂函数奇偶性得，再结合函数的单调性分类讨论即可解不等式. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 又，所以或， 当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意； 当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去， 所以，不等式为， 因为函数在和上单调递减， 所以或或， 解得或. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·阶段练习）下列幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据幂函数的性质判断即可. 【详解】对于A．的定义域,，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B．，定义域为，且为偶函数，其图象关于轴对称,在区间上是严格减函数，符合题意； 对于C．，定义域为，且为奇函数，且在递增，不符合题意； 对于D．，在区间上是严格减函数，且为奇函数，不符合题意． 故选：B． 5．（多选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）若幂函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】BD 【分析】根据题意，结合幂函数的性质依次分析选项中函数的定义域和奇偶性，即可得出结论. 【详解】根据幂函数定义可知， 对于A，若，则，易知其定义域为， 令，则，则其为偶函数，不符合题意； 对于B，当时，，定义域为，且为奇函数，符合题意； 对于C，当时，则，定义域为，不符合题意； 对于D，当时，则，定义域为，且为奇函数，符合题意； 故选：BD. 6．（多选）（24-25高三下·重庆·阶段练习）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】AB选项，根据幂函数的指数特征求出定义域和值域；C选项，利用函数奇偶性定义进行判断；D选项，解不等式，得到不等式解集. 【详解】A选项，的定义域为，A错误； B选项，，故值域为，B正确； C选项，定义域为，关于原点对称，又， 故为偶函数，C正确； D选项，不等式，故，解得或，D错误. 故选：BC. 7．（多选）（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列有关幂函数（为常数）的说法正确的是（    ） A．当时，此时幂函数（为常数）为偶函数 B．当时，此时幂函数（为常数）为奇函数 C．幂函数（为常数）的图象始终经过点 D．幂函数（为常数）的定义域始终包含 【答案】ABC 【分析】由幂函数的奇偶性即可判断选项AB；根据，即可判断选项C；利用的定义域，即可判断选项D. 【详解】对于A，当时，此时幂函数为偶函数，故A正确； 对于B，当时，此时幂函数（为常数）为奇函数，故B正确； 对于C，当时， ，故幂函数（为常数）的图象始终经过点，故C正确； 对于D，当时，幂函数（为常数）的定义域不包含0，故D错误. 故选：ABC. 8．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数，列式计算，即可求得k的值；根据幂函数的单调性求得m的值，结合奇偶性即可确定m的取值. （2）结合（1）可得，即为，利用幂函数的性质，分类求解不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由函数为幂函数， 则，解得或； 由在上单调递减， 得，解得，而，故或2， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故，或； （2）结合（1）可知，即为， 故或或， 解得或或， 故实数a的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 幂函数 【考点1：幂函数的解析式或函数值】 1 【考点2：幂函数的定义域、值域】 2 【考点3：幂函数的图象】 4 【考点4：幂函数的单调性】 6 【考点5：幂函数的奇偶性】 7 【考点1：幂函数的解析式或函数值】 【知识点：幂函数的概念】 形如y＝xα(a∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数．对于幂函数，只讨论α＝1，2，3，，－1时的情形． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 3．（河南省部分名校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ． 6．（24-25高二上·上海·开学考试）幂函数的图像经过点，则的值为 . 7．（24-25高一·上海·课堂例题）若幂函数的图象经过点，求此幂函数的表达式． 8．（24-25高一·上海·课堂例题）设点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上．当x取何值时，？ 【考点2：幂函数的定义域、值域】 【知识点：幂函数的定义域、值域】 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 1．（24-25高一上·上海·课前预习）函数的定义域为 ． 2．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 4．（24-25高一上·广东阳江·阶段练习）下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 5．（24-25高一上·上海·假期作业）求函数的定义域. 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知幂函数的图象过点，求幂函数的表达式，并写出其定义域． 7．（24-25高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【考点3：幂函数的图象】 【知识点：五种幂函数的图象】 幂函数图象的规律 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内； (3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； (4)当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称．　　 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·上海·课堂例题）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图像经过的“卦限”是 ．    5．（24-25高一上·全国·课前预习）你能在同一坐标系下作出，，，，这五个函数的图象吗？ 6．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数和，说明这两个函数图象之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象． 【考点4：幂函数的单调性】 【知识点：幂函数的单调性】 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减； x∈(－∞，0)时，减 当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； 1．（23-24高一上·陕西渭南·期中）若幂函数过点，则的单调递增区间为 . 2．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则 . 3．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 4．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【考点5：幂函数的奇偶性】 【知识点：幂函数的奇偶性】 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 幂函数y＝xα(a∈R)，当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 1．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 2．（24-25高一上·四川·阶段练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 . 3．（23-24高一上·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 4．（24-25高二上·全国·阶段练习）下列幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）若幂函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（    ） A． B．1 C． D．3 6．（多选）（24-25高三下·重庆·阶段练习）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 7．（多选）（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列有关幂函数（为常数）的说法正确的是（    ） A．当时，此时幂函数（为常数）为偶函数 B．当时，此时幂函数（为常数）为奇函数 C．幂函数（为常数）的图象始终经过点 D．幂函数（为常数）的定义域始终包含 8．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$