第二十三章 旋转（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，辽宁专用）

第二十三章 旋转（人教2024版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：B． 2．将4张扑克牌按图1所示的方式放在桌面上，把其中一张扑克牌旋转了，变成图2所示的情况，被旋转过的扑克牌从左往右数是（    ） A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张 【答案】B 【分析】本题主要考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据旋转知识，结合题意，将4张扑克牌按图1所示的方式放在桌面上，把其中一张扑克牌旋转了，变成图2所示的情况，被旋转过的扑克牌应该是方片3，据此解答即可． 【详解】解：在这四张牌中，只有方块3是中心对称，旋转后，与原图形完全一样，所以把其中一张扑克牌旋转了，变成图2所示的情况，被旋转过的扑克牌从左往右数是第二张， 故选：B． 3．如图，将等腰绕点O逆时针旋转，得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出角的度数，再根据旋转的性质得出角的度数即可求解． 【详解】解：是等腰三角形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故选：C 4．将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，以及旋转的性质，熟练掌握旋转图形的作法是解题关键．根据题意作出图象，然后读出点的坐标，即可解题． 【详解】解：记点为，连接，将绕原点逆时针旋转得到，即点绕原点逆时针旋转得到的点为， 由图知其坐标为， 故选：B． 5．如图，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，若，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形外角的定义及性质，由矩形的性质得出，，由旋转的性质可得：，由三角形外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由旋转的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为， 故选：C． 6．如图，中，，，将绕点顺时针旋转得．当点的对应点恰好落在上时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，由三角形内角和定理可得，由旋转的性质可得，，即可得到，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转可得，，， ∴， 故选：． 7．如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出、的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵绕点B逆时针旋转得， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，外角性质，根据旋转的性质可得：，，，从而利用等腰三角形的性质可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故选：． 9．如图，在中，，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质、图形与坐标等知识，由题意可知逆时针旋转次，与顺时针旋转时的位置相同．过点作等腰直角三角形，则于点，则，根据点写出答案即可． 【详解】解：由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每8次旋转1周． 除以8余数为7， 逆时针旋转次，与顺时针旋转时的位置相同． 如图，过点作等腰直角三角形，则于点，， 则， ∴点， ∴点的坐标为． 即经过次旋转后，点的坐标为， 故选：D 10．如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与旋转，含30度角的直角三角形，过点作轴，根据旋转的性质，结合角的和差关系，得到，进而求出的长，即可得出结果。 【详解】解：过点作轴， ∵， ∴， ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D。 二、填空题 11．如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角为 度． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和旋转的性质求出，，求出，根据三角形内角和求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将在平面内绕点旋转到的位置， ∴， ∴， ∴． ∴旋转角的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键． 12．如图，为正方形的对角线，平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到，若，则 ．    【答案】/ 【分析】由正方形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，由旋转的性质可得，，，证明，得到，设，则，，从而得到，求出的值即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，为正方形的对角线， ，，， 平分， ， 将绕点顺时针旋转得到，， ，，， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 13．如图，是绕点O顺时针旋转后得到的图形，点C恰好落在边上，若，则 ． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是绕点O顺时针旋转后得到的图形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第(2020)个三角形的直角顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与旋转有关的点的坐标规律探索，勾股定理，先得到，进而利用勾股定理得到，再由题意可得每三次旋转为一个循环组依次循环．一个循环组旋转过的长度为，据此求出循环次数和剩下的翻转次数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可知每三次旋转为一个循环组依次循环．一个循环组旋转过的长度为， ∵． ∴三角形(2020)是第674个循环组的第一个三角形，其直角顶点与第673组的最后一个直角三角形顶点重合． ∵， ∴三角形(2020)的直角顶点的坐标是， 故答案为：． 15．如图，等腰中，，，D在边上，且，E为边上一动点，把线段绕D点逆时针旋转得到线段， 则线段的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形，含的直角三角形，图形的旋转等知识，能作出辅助线是解题的关键． 连接，把绕点逆时针旋转到位置，连接，过点作的平行线如图所示，证明，是等边三角形，详请见解析． 【详解】解：连接，把绕点逆时针旋转到位置，连接，过点作的平行线如图所示： ∵线段绕D点逆时针旋转得到线段， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∵把绕点逆时针旋转到位置， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 随着点的运动，，故点在平行于的直线上运动， ∴当时，最短，即最短， 在中，， ∴． 则线段CF的最小值是3． 三、解答题 16．（1）解方程 ． （2）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到 ，若．求的度数    【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查解一元二次方程和旋转的性质，解题的关键明确对应边旋转前后的夹角是旋转角． （1）运用因式分解法解题即可； （2）根据旋转的性质可知，旋转角等于，从而可以得到的度数，由可以得到的度数． 【详解】解：（1）， ， 解得：，； （2）解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到 ， ∴， 又∵， ∴． 17．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） (1)画出关于原点对称的图形，并写出的坐标； (2)将绕点B顺时针旋转得到图形，请画出此图形； (3)求出的面积； (4)在x轴上作一点P，使最小，写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，坐标与图形： （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，再描出，并顺次连接即可； （2）根据所给旋转方式结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，描出，再顺次连接即可； （3）利用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案； （4）根据（1）（2）所求可知关于原点对称，再根据两点之间线段最短可知，连接交x轴与P，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：； （4）解：连接交x轴与P，点即为所求． 18．如图，点，，，将线段绕点B顺时针旋转得到，连接与y轴交于点E，求点E的坐标．（用含有m的式子表示） 【答案】 【分析】过点C作轴，垂足为点G，证明，得到，进而得到点C的坐标，求出直线的解析式，即可解答． 【详解】解：过点C作轴，垂足为点G， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，则， 直线与y轴交点坐标为，即． 【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，一次函数的解析式及一次函数与坐标轴的交点问题，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 19．如图1，在中，于点 C，，在上截取，连接、，并延长交于点P． (1)求证：； (2)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化？若不变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)位置不发生变化，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后证明出，即可得到； （2）如图所示，设与交于点F，根据题意证明出，得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ 又∵，， ∴ ∴； （2）位置不发生变化，理由如下： 如图所示，设与交于点F， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，在正方形中，点在边上，且与关于所在的直线对称，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据翻折和旋转的性质即可解决问题． （2）连接，证明出和全等，将长转化为长，再利用勾股定理求出长即可解决问题． 【详解】（1）证明：与关于所在的直线对称， ． 由绕点按顺时针方向旋转得到， ， ． （2）解：连接， 与关于所在的直线对称， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， 即． 由绕点按顺时针方向旋转得到， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ． 在中， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 21．如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． 22．如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． (1)思路梳理 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，请根据以上思路推导出、、之间的数量关系． (2)类比引申 如图2，点、分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． (3)联想拓展 如图3，在中，，，点、均在边上，且．若，，则的长为_______________． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，根据四边形为正方形，， ，可得点F、D、G共线，由旋转，，可证．得出即可． （2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，可证点C、D、G在一条直线上．由旋转，，．可证．得出即可． （3）把旋转到的位置，连接，则，．可证，再证．得出，根据等腰直角三角形性质得出，可证是直角三角形．根据勾股定理．用等线段替换计算即可． 【详解】（1）解：如图1所示： 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵四边形为正方形，， ∴，点F、D、G共线， ∵， ∴，， ∴， 即． 在和中， ∵，， ∴． ∴． ∴，即． （2）解：． 理由：如图2所示． ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴点C、D、G在一条直线上． ∵， ∴，，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． 在和中， ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． （3）解：把旋转到的位置，连接，则，． ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形． ∴． ∴． ∴ 【点睛】本题考查通过类比联想，引申拓展研究典型题目，图形旋转，正方形性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，角的和差计算，线段和差计算，掌握图形旋转，正方形性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，角的和差计算，线段和差计算是解题关键． 23．综合运用 如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点为，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)在第一象限内是否存在一点M使得与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将绕x轴上的动点顺时针旋转得到，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或或 (3)的取值范围为或 【分析】（1）根据解析式得出、，直线的解析式为，利用待定系数法求出、的值即可得答案； （2）由（1）中解析式可得是等腰直角三角形，分、、三种情况，利用等腰三角形的对称性分别求解即可得答案； （3）分和两种情况，分别求出点、落在抛物线上时的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵，顶点为， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为， （2）存在， 把代入，得， 解得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图1，若，则，， ∴轴，与直线交于点， ∴， 如图，若，则，， ∵点是抛物线的顶点， ∴点与点关于直线对称， ∴， 如图，若，则，， 过点作于点，则 ∴点与点关于直线对称， ∴， 综上，点M的坐标为或或． （3）①若，当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点． ∴的坐标是， ∴， 解得：，，（不合题意，舍去） 当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点． 把代入得：， 解得：，， ∴，， ∴， ∴点与点重合 ∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为． 若，当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点，此时，点与点重合，故， 当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点． 连接、，过点作轴于， ∵将绕x轴上的动点顺时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴ 解得：（不合题意，舍去），． ∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为． 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理，并运用分类讨论的数学思想是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转（人教2024版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 2．将4张扑克牌按图1所示的方式放在桌面上，把其中一张扑克牌旋转了，变成图2所示的情况，被旋转过的扑克牌从左往右数是（    ） A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张 3．如图，将等腰绕点O逆时针旋转，得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，若，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，将绕点顺时针旋转得．当点的对应点恰好落在上时，的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 8．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角为 度． 12．如图，为正方形的对角线，平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到，若，则 ．    13．如图，是绕点O顺时针旋转后得到的图形，点C恰好落在边上，若，则 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第(2020)个三角形的直角顶点的坐标是 ． 15．如图，等腰中，，，D在边上，且，E为边上一动点，把线段绕D点逆时针旋转得到线段， 则线段的最小值是 ． 三、解答题 16．（1）解方程 ． （2）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到 ，若．求的度数    17．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） (1)画出关于原点对称的图形，并写出的坐标； (2)将绕点B顺时针旋转得到图形，请画出此图形； (3)求出的面积； (4)在x轴上作一点P，使最小，写出点P的坐标． 18．如图，点，，，将线段绕点B顺时针旋转得到，连接与y轴交于点E，求点E的坐标．（用含有m的式子表示） 19．如图1，在中，于点 C，，在上截取，连接、，并延长交于点P． (1)求证：； (2)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化？若不变，请说明理由． 20．如图，在正方形中，点在边上，且与关于所在的直线对称，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 21．如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 22．如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． (1)思路梳理 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，请根据以上思路推导出、、之间的数量关系． (2)类比引申 如图2，点、分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． (3)联想拓展 如图3，在中，，，点、均在边上，且．若，，则的长为_______________． 23．综合运用 如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点为，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)在第一象限内是否存在一点M使得与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将绕x轴上的动点顺时针旋转得到，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$