第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式计算结果为的是（  ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　） A． B． C． D． 4．若，则的值为（　　） A． B．5 C． D． 5．已知，则的值等于（　　） A．2 B． C． D． 6．要使多项式不含x的二次项，则p与q的关系是（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．乘积为 7．小刚把展开后得到，把展开后得到，则的值为（　　） A．1 B． C．4049 D． 8．若实数a、b分别满足、且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．11 9．对于任意有理数x，y，现用定义一种运算： 根据这个定义，代数式 可以化简为（   ） A． B． C． D． 10．李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：牟，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（  ） A．美丽中牟 B．我爱美丽 C．我爱美 D．我爱中牟 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算= ． 12．分解因式 13．当，则的值为 ． 14．若一个多项式A与的积为，则这个多项式A为 ． 15．有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个按图①所示方式摆放，构造一个正方形；其中5个按图②所示方式摆放，构造一个新的长方形．若图①中阴影部分的面积是28，图②中阴影部分的面积是80，则每个小长方形的面积是 ．     16．给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．因式分解： (1)． (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．（1）已知，，求的值． （2）已知，求x的值 20．已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．小聪学习多项式时研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为_______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点． 22．仔细阅读下面例题，解答问题． 【例题】已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为， 则，即． ，解得， 另一个因式为，的值为． 【问题】仿照以上方法解答下面问题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值． (2)已知关于的多项式有一个因式是，求的值． 23．先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、、c是的三边，且满足，试判断的形状． (3)当x为何值时代数式有最大值？求出这个最大值． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 25．若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 请仿照上面的方法解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)若y满足，求的值； (3)如图所示，正方形的边长为m，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式计算结果为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、，故该选项不合题意； C、，故该选项不合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】此题考查了因式分解的意义，分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】解：A、是整式乘法，不符合题意； B、，左边等于右边，属于因式分解，符合题意； C、，是恒等变形，不是因式分解，不符合题意； D、，右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 4．若，则的值为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】此题考查了多项式的乘法，根据多项式的乘法法则展开对比得到，求出m、n的值，即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， 解得 ∴， 故选：C 5．已知，则的值等于（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查的是非负数的性质，有理数的乘方，积的乘方，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ． 故选：C． 6．要使多项式不含x的二次项，则p与q的关系是（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．乘积为 【答案】A 【知识点】相反数的定义、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，把式子展开，找到所有项的所有系数，令其为0，可求出p、q的关系，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】 解：， 又∵多项式不含x的二次项， ∴， 解得：， 故选：A． 7．小刚把展开后得到，把展开后得到，则的值为（　　） A．1 B． C．4049 D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式得出、所对应的值，再进行化简计算即可．掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ， ∵展开后得到， ∴， ， ∵展开后得到， ∴， ∴ ， 故选：C． 8．若实数a、b分别满足、且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．11 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，以及代数式求值，根据题意结合平方差公式，完全平方公式，推出，，再将变形为，代入，求解，即可解题． 【详解】解：实数a、b分别满足、， ， 整理得， ， ， 解得， ，即有， 又， 整理得， 解得， ． 故选：D． 9．对于任意有理数x，y，现用定义一种运算： 根据这个定义，代数式 可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查定义新运算，整式的运算，根据新运算的法则，得到，进行计算即可． 【详解】 解： ． 故选：C 10．李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：牟，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（  ） A．美丽中牟 B．我爱美丽 C．我爱美 D．我爱中牟 【答案】D 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，正确将式子进行因式分解是解题关键．将式子进行因式分解进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 对应的话为：我爱中牟． 故选：D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算= ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘单项式，根据整式的运算法则进行计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．分解因式 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题主要考查了因式分解，熟练掌握分解方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13．当，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握运算法则是解题的关键． 首先得到，然后利用同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方的逆运算求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：4． 14．若一个多项式A与的积为，则这个多项式A为 ． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据一个多项式A与的积为，得出，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个多项式A与的积为， ∴， 故答案为：． 15．有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个按图①所示方式摆放，构造一个正方形；其中5个按图②所示方式摆放，构造一个新的长方形．若图①中阴影部分的面积是28，图②中阴影部分的面积是80，则每个小长方形的面积是 ．     【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式与图形，完全平方公式的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的数量关系，列出代数式，在解题时要根据题意结合图形得出答案． 设小长方形的长为a，宽为b，分别用代数式表示出图1和图2中阴影部分面积，得到两个等式，从而计算出的值即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 在图1中，有：， 在图2中，有：， 分别整理得：，， 将代入中， 解得：， 故每个小长方形的面积为12， 故答案为：12． 16．给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 【答案】或 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的形式解答即可． 【详解】， 这个单项式为； ， 这个单项式为． 故答案为：或． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）直接提取公因式，进而得出答案： （1）利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 19．（1）已知，，求的值． （2）已知，求x的值 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法和幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算法则． （1）利用同底数幂的除法逆运算和幂的乘方逆运算计算即可； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方逆运算计算即可． 【详解】解：（1），， ； （2）∵ ， ， ， ． 20．已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【答案】(1)， (2)35 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．小聪学习多项式时研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为_______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点． 【答案】(1)和 (2) 【知识点】十字相乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解： （1）根据题意求出和时x的值即可得到答案； （2）先把代入中，求出a的值，再把多项式进行分解因式，最后根据零点的定义求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴多项式的零点为和， 故答案为：和； （2）解：∵多项式有一个零点为2， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴多项式B的另一个零点为． 22．仔细阅读下面例题，解答问题． 【例题】已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为， 则，即． ，解得， 另一个因式为，的值为． 【问题】仿照以上方法解答下面问题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值． (2)已知关于的多项式有一个因式是，求的值． 【答案】(1)； (2)12 【知识点】计算多项式乘多项式、因式分解的应用 【分析】本题考查解因式分解的应用，多项式乘多项式等知识． （1）根据题意设另一个因式为，再利用对应相等列出二元一次方程组解出即可得到本题答案； （2）根据题意设另一个因式为，再利用对应相等列出二元一次方程组解出即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设另一个因式为， 则，即， ，解得， 另一个因式为，的值为； （2）解：设另一个因式为， 则，即， ，解得， 的值为12． 23．先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、、c是的三边，且满足，试判断的形状． (3)当x为何值时代数式有最大值？求出这个最大值． 【答案】(1) (2)是等腰三角形或直角三角形 (3)，最大值为 【知识点】因式分解的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查因式分解的应用； （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用提公因式法和平方差公式分解因式，可得或，即可求解； （3）先对式子进行因式分解，得到时，取得最大值 【详解】（1） （2）解：∵， ， ∴ ∴或， 解得或， ∴是等腰三角形或直角三角形． （3） 时，即，原式有最大值． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 【答案】(1)；； (2)大，， (3)，当时，的最小值为； 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的应用，非负数的性质； （1）由，再结合非负数的性质可得答案； （2）由，再结合非负数的性质可得答案； （3）由可得，结合，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：∵，而； ∴当时，有最小值2； （2）解：∵，而； ∴当时有最大值； 故有最大值，当时，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∵，而； ∴当时，的最小值为； 25．若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 请仿照上面的方法解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)若y满足，求的值； (3)如图所示，正方形的边长为m，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平方差公式与几何图形、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式和平方差公式得变形应用，以及与几何图形的结合． (1) 设，则，求得，那么代入求解即可； (2) 设，则，求得，那么，代入求解即可； （3）根据题意得．设则，可求得，那么，，结合， ，有，结合即可求得答案． 【详解】（1）解∶设， 则， ， ∴ ． （2）解：设， 则， ， ∴ ． （3）解：根据题意，得． 设 则， ， ∴ ． ∵， ， ∴． ∴ ． ∴阴影部分的面积是20． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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