第十四章 整式乘法（含平方差公式与完全平方公式）压轴训练（单元复习 11类压轴）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第十四章 整式乘法（含平方差公式与完全平方公式）压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用单项式乘法求字母或代数式的值 1 压轴题型二　已知多项式乘积不含某项求字母的值 2 压轴题型三　多项式乘法中的规律性问题 4 压轴题型四　利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算 7 压轴题型五　平方差公式与几何图形 10 压轴题型六　通过对完全平方公式变形求值 14 压轴题型七　求完全平方式中的字母系数 16 压轴题型八　完全平方式在几何图形中的应用 17 压轴题型九　完全平方公式在几何图形中的应用 19 压轴题型十　整式运算中的新定义型问题 23 压轴题型十一　利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式 31 02 压轴题型 压轴题型一　利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题：若，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵ ， ∴， ∴①，②． ∴，得． 故答案为：4． 巩固训练 1．若单项式与的积为，则 ． 【答案】-2 【详解】由题意，得，， 则． 故答案为：-2． 2．若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝ ． 【答案】8 【详解】解：， ∴m+n+3=8，2+n=4; 解得：m=3,n=2， ， 故答案为8． 压轴题型二　已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：求值，若的积中不含的一次项与的二次项， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式乘以多项式运算法则，将原式化简，再根据原式的积中不含的一次项与的二次项，得出，即可求解； （2）把p和q的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵原式不含的一次项与的二次项， ∴， 解得：． （2）解：当时，． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式中不含某项，则该项系数为0． 巩固训练 1．已知的展开式中不含项和项，求： (1)，的值； (2)的值。 【答案】(1)， (2)243 【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由结果不含和项，列方程求出与的值即可， （2）把与的值代入求值． 【详解】（1） 展开式中不含和项 且 解得，． （2） 把，代入原式 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，能得出关于的方程是解此题的关键． 2．已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4．求： (1)系数与的值； (2)二项式与的积． 【答案】(1)系数的值为，系数的值为； (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）先计算，得，再根据关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4，得到关于与的方程，解方程即可得到答案； （2）把与的值代入，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4， ， 解得：， 系数的值为，系数的值为； （2）解：由（1）得：系数的值为，系数的值为， 二项式与的积为： ． 压轴题型三　多项式乘法中的规律性问题 例题：探索题：           …… (1)当时，　 　＝　 ． (2)试求：的值． (3)判断的值个位数字是　 　． 【详解】（1）解：当时，， （2）根据题意可得： 则； （3）根据题意可得： ∵，，，，，，， 则个位数字是按照、、、四个数依次循环， ， ∴的个位数字为6 则的个位数字为5． 巩固训练 1．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如： ，它只有一项，系数为1 ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； ，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4； ，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…… (1)写出的展开式______请利用整式的乘法验证你的结果． (2)的展开式的系数分别为______，系数和为______． (3)展开式共有______项，系数和为______，请说明你是怎样得到这个结果的？ 【详解】（1）解：如图，根据杨辉三角可知，； 用整式乘法验证： ； 故答案为：． （2）解：如图，根据杨辉三角可知， ， ∴的展开式的系数分别为，5，10，10，5，1， ∴系数和为：； 故答案为：，5，10，10，5，1；． （3）解：，共有2项，系数分别为1，1， ，共有3项，系数分别为1，2，1， ，共有4项，系数分别为1，3，3，1， ，共有5项，系数分别为1，4，6，4，1， … ∴展开式中共有项， 令中，，则的展开式中的每一项正好是每一项的系数， ∴的展开式中各项的系数和为． 故答案为：；． 压轴题型四　利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算 例题：用简便方法计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1)39991 (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）利用完全平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的公式进行变形． 巩固训练 1．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)10000 【分析】本题考查的是平方差公式及完全平方公式， （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．用简便算法计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2)90000 【分析】（1）将变形为，运用平方差公式计算，即可求解； （2）将变形为，则原式可逆用完全平方公式计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 【点睛】题词考查利用平方差与完全平方公式进行简便计算，熟练掌握平方差与完全平方公式是解题的关键． 3．用简便方法计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对变形使其变化为两数和与两数差的积的形式，然后运用平方差公式简化运算； （2）利用完全平方公式分解因式，简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】此题考查了利用平方差公式、完全平方公式分解因式进行简便计算，掌握公式是解题的关键． 4．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2)39996 (3)2022 【分析】（1）（2）（3）运用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【点睛】本题考查平方差公式的运用．熟记公式形式是解题关键． 压轴题型五　平方差公式与几何图形 例题：图1、图2分别由两个长方形拼成． (1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为 ．（用含有a、b的代数式表示） (2)由（1）可以得到等式： ． (3)根据你得到的等式解决下列问题： ①计算：． ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)① 3700； ② 5 【分析】本题考查平方差公式与几何面积． （1）利用长方形的面积公式作答即可； （2）根据两个图形的面积相等，即可得出等式； （3）①利用（2）中的等式进行计算即可；②先用平方差公式进行化简，再代值计算即可． 解题的关键是得到． 【详解】（1）解：图2中图形的面积为； 故答案为：； （2）由（1）可得：； 故答案为：； （3）① ； ②∵， ∴ ． 巩固训练 1．【实践操作】 （1）如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），把图中形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图，用含、的式子表示图中大长方形的面积为______；      （2）请写出图、图、图验证的乘法公式为：______； 【应用探究】 （3）利用（）中验证的公式简便计算：； （4）计算：． 【答案】（）；（）；（）； （）． 【分析】（）利用长方形的面积等于长乘以宽即可； （）图中大长方形的面积等于图的阴影部分面积，分别计算即可得出； （）观察（）的的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将拆成，将拆成即可； （）利用将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为，故答案为第一个因式乘以最后一个因式； 本题考查了“数形结合”中的平方差公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律． 【详解】（）， ， ， ， 故答案为：； （）图中大长方形的面积等于图的阴影部分面积， ∴， 故答案为：； （）原式， ， ； （）原式， ， ， ． 2．实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A．            B．        C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：； ③计算： 【答案】(1)B (2)①4；②5050；③ 【分析】本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键． （1）根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论； （2）使用（1）得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果． 【详解】（1）解：图一中的阴影部分面积为：， 图二中阴影部分面积为：， 而这两者面积相等，所以有：． 故选：B． （2）解：① ， 又， ． ② ， ， ， 原式． ③ ． 压轴题型六　通过对完全平方公式变形求值 例题：已知：，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2)1 【分析】本题考查了完全平方公式的计算，变形计算． （1）根据公式变形计算即可． （2）根据公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 解得． （2）解：∵，， ∴， ∴． 巩固训练 1．已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） ， ， ， ． 2．已知，求下列式子的值： (1)； (2)． 【详解】（1）∵， ∴ ． （2）∵， ∴ ． 压轴题型七　求完全平方式中的字母系数 例题：已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【答案】、和 【详解】解：①∵， ∴， ②若是多项式的平方， 则； 故答案为：、和． 巩固训练 1．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或/或 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴，解得或， 故答案为：11或． 2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或或 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 压轴题型八　完全平方式在几何图形中的应用 例题：我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)， (2)，大， (3) 【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值； （2）将等式右边配方后即可确定当取何值时能取到最小值； （3）首先得到有关的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴当时有最大值； 故答案为：，大，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 【点睛】本题考查完全平方公式及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 巩固训练 1．例：求代数式的最小值. 解：， ，， 当时，代数式有最小值， 仿照以上方法，完成下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值. 【详解】（1）解：， ，， 当时，代数式有最小值； （2）， ，， 当时，代数式有最大值． 2．我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，原式有最小值是； ， ，原式有最大值是； 并完成下列问题： (1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ． (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？ 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式有最小值，最小值为； 故答案为小，； （2）解：①由图可得花圃的面积：平方米； ②由①可知：， 当时，，且， 当时，花圃的最大面积为1250平方米． 压轴题型九　完全平方公式在几何图形中的应用 例题：现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）； 图1表示：　　　　　　；图2表示：　　　　　　； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (2)若，，则　　　　　　；　　　　　　； (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【详解】（1）解：图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （2）解：， ，， ， ∴． 故答案为：16；12． （3）解：由题意得， ， ， ， ， ， ， ∴． 即图中阴影部分的面积为． 巩固训练 1．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为 ． 【详解】（1）解：， ，即， 又， ， ， 故答案为：12； （2）解：∵，， ； （3）解：设正方形的边长为m、的边长为n， ，， ，即， ， ， ， ，， 解得：m=5,n=3， ． 故答案为：5． 2．如图①，正方形是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是　　； (2)若m满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图①中的、重叠，如图②所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 【详解】（1） （2）设，， 则 ，， 由已知得： ， ∴， ∴，                       ∴ （3）设正方形的边长为x，则，， ∵ ∴ ∵ ∴ 压轴题型十　整式运算中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)　　； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k＝　　； (3)对于有理数x、y，若，求的值． 【答案】(1) (2)8或 (3)628 【知识点】求完全平方式中的字母系数、整式的混合运算、含乘方的有理数混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的规则计算即可； （2）根据新运算的规则，可得，再根据是一个完全平方式可得结论； （3）据新运算的规则化简求值即可． 【详解】（1）解：根据新运算法则，可得： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴或， ∴或 故答案为：8或； （3）解：∵， ∴， ∴ ， 当，时，原式． 巩固训练 1．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算、整式的加减运算 【分析】题目主要考查新定义运算及整式的乘法运算，理解新定义运算及整式的乘法运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算，得出方程求解即可； （2）根据新定义运算求解计算即可； （3）根据新定义分别确定m，n，然后作差即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． （2） ， ． （3）． 理由：， ， ， ． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如与，，则M与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3． (1)下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与（m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”； (3)关于x的多项式与的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2) (3)能，， 【知识点】整式四则混合运算、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键． （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解； （3）先求得，，再将根据“组合数”为0，列方程解方程即可； 【详解】（1），不是常数， ①组多项式不是互为“组合多项式”； ，是常数， ②组多项式是互为“组合多项式”； ，2是常数， ③组多项式是互为“组合多项式”， 故答案为：②③ （2） ， ， 与（m，n为常数）互为“组合多项式”， ，，为常数， 解得：，， ， 它们的“组合数”为3； （3）能为0，理由如下： ，， ， 若C和D的“组合数”能为0， 解得：． 3．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】(1)3 (2)是，3 (3)或7或 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算，对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； 对于（2），根据运算法则计算，并求出平衡因子； 对于（3），分三种情况列出算式，再计算求值． 【详解】（1）根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得 ， 所以是平衡多项式，平衡因子是； （3）若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得. 所以m的值为或7或． 4．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、多项式乘多项式——化简求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 压轴题型十一　利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式 例题：阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列： ． 任务二  竖式计算： 例如：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．         （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（    ） A．数形结合    B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）的商式是 ，余式是 ． 【答案】（1）；（2）B；（3）； 【分析】本题主要考查了多项式的除法运算， （1）根据题意，把按的指数从大到小排列即可； （2）理解“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”，是类比的数学思想，选择答案即可； （3）根据“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”，用竖式计算，得出答案即可； 理解题意“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”是解题的关键． 【详解】（1）把按的指数从大到小排列：， 故答案为：； （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是类比， 故选：B； （3）根据题目方法用竖式计算： ∴的商式是，余式是， 故答案为：；． 巩固训练 1．阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图： + ， ． 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：余式为，能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)多项式除以多项式，所得的商式为______ ； (2)已知能被整除，则 ______ ； (3)如图，有张卡片，张卡片，张卡片，能否将这片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，另一边长为 【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案； （2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （3）根据题意，得到张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （2）列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：； （3）解：能，理由如下： 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，张卡片，张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式乘法（含平方差公式与完全平方公式）压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用单项式乘法求字母或代数式的值 1 压轴题型二　已知多项式乘积不含某项求字母的值 2 压轴题型三　多项式乘法中的规律性问题 4 压轴题型四　利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算 7 压轴题型五　平方差公式与几何图形 10 压轴题型六　通过对完全平方公式变形求值 14 压轴题型七　求完全平方式中的字母系数 16 压轴题型八　完全平方式在几何图形中的应用 17 压轴题型九　完全平方公式在几何图形中的应用 19 压轴题型十　整式运算中的新定义型问题 23 压轴题型十一　利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式 31 02 压轴题型 压轴题型一　利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题：若，则的值为 ． 巩固训练 1．若单项式与的积为，则 ． 2．若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝ ． 压轴题型二　已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：求值，若的积中不含的一次项与的二次项， (1)求的值； (2)求代数式的值． 巩固训练 1．已知的展开式中不含项和项，求： (1)，的值； (2)的值。 2．已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4．求： (1)系数与的值； (2)二项式与的积． 压轴题型三　多项式乘法中的规律性问题 例题：探索题：           …… (1)当时，　 　＝　 ． (2)试求：的值． (3)判断的值个位数字是　 　． 巩固训练 1．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如： ，它只有一项，系数为1 ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； ，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4； ，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…… (1)写出的展开式______请利用整式的乘法验证你的结果． (2)的展开式的系数分别为______，系数和为______． (3)展开式共有______项，系数和为______，请说明你是怎样得到这个结果的？ 压轴题型四　利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算 例题：用简便方法计算下列各题． (1)； (2)． 巩固训练 1．用简便方法计算： (1) (2) 2．用简便算法计算 (1) (2) 3．用简便方法计算： (1) ； (2)． 4．计算： (1)． (2)． (3)． 压轴题型五　平方差公式与几何图形 例题：图1、图2分别由两个长方形拼成． (1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为 ．（用含有a、b的代数式表示） (2)由（1）可以得到等式： ． (3)根据你得到的等式解决下列问题： ①计算：． ②若，求的值． 巩固训练 1．【实践操作】 （1）如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），把图中形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图，用含、的式子表示图中大长方形的面积为______；      （2）请写出图、图、图验证的乘法公式为：______； 【应用探究】 （3）利用（）中验证的公式简便计算：； （4）计算：． 2．实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A．            B．        C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：； ③计算： 压轴题型六　通过对完全平方公式变形求值 例题：已知：，，求下列各式的值： (1)； (2)． 巩固训练 1．已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 2．已知，求下列式子的值： (1)； (2)． 压轴题型七　求完全平方式中的字母系数 例题：已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 巩固训练 1．若是一个完全平方式，则 ． 2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 压轴题型八　完全平方式在几何图形中的应用 例题：我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 巩固训练 1．例：求代数式的最小值. 解：， ，， 当时，代数式有最小值， 仿照以上方法，完成下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值. 2．我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，原式有最小值是； ， ，原式有最大值是； 并完成下列问题： (1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ． (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？ 压轴题型九　完全平方公式在几何图形中的应用 例题：现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）； 图1表示：　　　　　　；图2表示：　　　　　　； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (2)若，，则　　　　　　；　　　　　　； (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 巩固训练 1．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为 ． 2．如图①，正方形是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是　　； (2)若m满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图①中的、重叠，如图②所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 压轴题型十　整式运算中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)　　； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k＝　　； (3)对于有理数x、y，若，求的值． 巩固训练 1．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如与，，则M与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3． (1)下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与（m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”； (3)关于x的多项式与的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；若不能，请说明理由． 3．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 4．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    压轴题型十一　利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式 例题：阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列： ． 任务二  竖式计算： 例如：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．         （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（    ） A．数形结合    B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）的商式是 ，余式是 ． 巩固训练 1．阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图： + ， ． 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：余式为，能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)多项式除以多项式，所得的商式为______ ； (2)已知能被整除，则 ______ ； (3)如图，有张卡片，张卡片，张卡片，能否将这片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$