第4章 等可能条件下的概率知识归纳与题型突破（单元复习 6类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第4章 等可能条件下的概率知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 【知识点1】概率 （1）概率的概念[来源:学科网] 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).[来源:学科网ZXXK] （2）频率与概率的关系 当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.学科+网 【知识点2】概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝ （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. （5） 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 03 题型归纳 题型一　列举法求概率 例题：在的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 【答案】/0.75 【知识点】列举法求概率 【分析】本题主要考查了几何概率，勾股定理的逆定理，先将第三枚棋子可能落在其余四个位置的格点位置找到．再找出与已知格点构成直角三角形的3种情况，然后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，第三枚棋子一共有A，B，C，D四个位置可以放置，其中能与已知两枚棋子构成直角三角形的点是B、C、D三个点， ∴以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为， 故答案为：． 巩固训练 1．如图，已知开关已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ． 【答案】 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意列举出所有等可能的结果是解题的关键． 由题意知，随机闭合3个开关中的两个开关，共有，三种等可能的结果，其中能够使小灯泡L发光的共有，两种等可能的结果，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，随机闭合3个开关中的两个开关，共有，三种等可能的结果，其中能够使小灯泡L发光的共有，两种等可能的结果， ∴使小灯泡L发光的概率是， 故答案为：． 2．从，，这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点的坐标记为，若点为，则在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为 ． 【答案】 【知识点】列举法求概率、判断一次函数的图象 【分析】本题考查了求概率、一次函数的图像，正确找出当直线经过第二象限时，点的所有符合条件的坐标是解题关键． 【详解】解：由题意得：点的坐标共有种：，，，，，， 点为， 直线经过第二象限，点的坐标有，，，，共四种情况； 在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为， 故答案为：． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中有A，B两个格点，在网格的格点上任取一点C（点A，B除外），恰能使为等腰三角形的概率是 ． 【答案】 【知识点】列举法求概率、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查了几何图形中的概率计算，解决此题的关键是：正确找出恰好能使为等腰三角形的点． 按照题意分别找出点C所在的位置：当时，符合条件的点C有3个；当时，符合条件的点C有1个；当时，符合条件的点C有1个；当根据概率公式求出概率． 【详解】解：如图， 可以找到5个恰能使为等腰三角形的点， 概率为：， 故答案为：． 题型二　几何面积法求概率 例题：如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是明确题意，求出相应的概率．根据几何概率的求法：一个小球停留在某个区域上的概率就是该区域的面积与总面积的比值． 【详解】由题意可得，小球最终停留在正方形里面的概率为： ， 故答案为：． 巩固训练 1．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用，注意面积之比几何概率．利用击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比，进而求出答案． 【详解】解：整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个， 落在黑色区域即获得笔记本的概率为， 故答案为：． 2．如图，将一个微型机器人放置在封闭的圆形装置内部，圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆．若微型机器人随机在装置内停止，则微型机器人停止在B区域的概率为 ． 【答案】 【知识点】几何概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，分别求出三个区域的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 微型机器人停在区域的概率为． 故答案为：． 3．如图，在菱形中，对角线、交于点E，，，以点E为圆心作圆E，圆E与菱形的四条边相切，现随机向菱形内掷一枚小针，则针尖落在圆E的概率为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积、切线的性质定理、几何概率 【分析】本题考查了菱形性质，圆的性质，切线性质，几何概率等知识点，涉及面较广，主要在于通过圆的面积与菱形面积之比求得概率的大小． 首先根据菱形性质，得到菱形对角形互相垂直且平分，从而得到菱形的面积，已知条件中圆与菱形各边相切，结合直角三角形性质，求得圆的半径，从而得到圆的面积，再利用圆的面积与菱形的面积之比，得到针尖落在圆中概率的大小． 【详解】解：如图，设圆与相切于点，连接，则， ∵菱形，，， ∴，，， ∴， ∴中，， ∵， ∴， ∴， ∴随机向菱形投一根针，针尖落在圆的概率为． 故答案为：． 4．小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了几何概率，本题中飞镖落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积占总面积的比例． 根据三角形中线的性质推出，再根据落在阴影部分的概率即为阴影部分和总面积之比即可求解； 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 题型三　列表法或树状图法求概率 例题：2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上． 将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是＿＿＿． (2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率公式及用列表或画树状图的方法求概率, 正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共“B”和“D”的结果有2种，最后由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小明想从中随机抽取一张，恰好抽到是B（滑板）的概率是； 故答案为: ． （2）解：画树状图如下： ， 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“B”和“D”的结果数为2， 体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 巩固训练 1．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1，2，3，6，随机抽取1张卡片后放回并混在一起，再随机抽取一张卡片． (1)直接写出抽取的两张卡片上的数字相同的概率； (2)请用列表或画树状图法求第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了求概率，列表法或树状图法求概率，正确理解题意是解题的关键； （1），列出表格可得所有可以出现的结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可； （2），列出表格可知所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果数，进而得出答案． 【详解】（1） 二          一 1 2 3 6 1 2 3 6 一共有16种可能出现的结果，符合条件的有4种，所以抽取两张卡片上的数字相同的概率是． （2）解：列表如下： 二          一 1 2 3 6 1 2 3 6 一共有16种可能出现的结果，符合条件的有9种，所以第一次取出的数字是第二次取出数字的整数倍的概率为． 2．光导纤维按原材料主要分为石英光纤，塑料光纤，多组分玻璃光纤，复合材料光纤，氟化物光纤．现准备了石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤各一份，多组分玻璃光纤两份给某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机选取的方式确定研究哪种光导纤维． (1)“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画树状图或列表的方法，求石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 【答案】(1)不可能 (2)石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率为． 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了随机事件和列表法与树状图法． （1）根据随机事件和确定事件的定义进行判断； （2）利用树状图展示所有20种等可能的结果，再计算出石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 【详解】（1）解：“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是不可能事件； 故答案为：不可能； （2）解：用A，B，C分别表示石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤，用D，E表示两份多组分玻璃光纤， 画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的情况有AD，AE，DA，EA，即结果数为4， ∴石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 3．某校在手抄报评比活动中，共设置了“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题内容，推荐亮亮和苗苗两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)亮亮选择交通安全手抄报的概率为________； (2)用列表法或画树状图法来求亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率． 【答案】(1) (2)亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率为 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了求随机事件的概率、画树状图法或列表法求概率， （1）从四个主题中随机选择一个，所有的结果数是4，其中选择交通安全手抄报的结果数是1，直接利用概率公式即可得解； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，两人选择不同主题手抄报的结果有12种，然后由概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知亮亮从“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题选择交通安全手抄报的概率为， 故答案为：； （2）解：设用分别表示交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全四个主题内容，根据题意画出树状图如下： 一共有16种等可能的结果数，其中亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的结果数为12， 亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率为：． 答：亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率为． 4．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1和；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为． (1)请用列表法或画树状图法列出点P所有可能的坐标； (2)求点P在一次函数：图象上的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意正确完成树状图或列表． （1）画出树状图，根据树状图列出点P所有可能的坐标即可； （2）根据（1）的所有结果，计算出这些结果中点P在一次函数图像上的个数，即可求得点P在一次函数图像上的概率． 【详解】（1）画树状图： ∴点P所有可能的坐标为； （2）∵只有，与这3个点在一次函数图像上， ∴点P在一次函数图像上的概率为． 题型四　根据概率判断游戏的公平性 例题：有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由． 【答案】不公平，理由见详解 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式求出小胡和小明拥有电影票的概率，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下，    共有9种等可能的情况数，其中两人摸到纸牌的点数和为奇数有4种情况，两人摸到纸牌的点数和为偶数有5种情况， 则小胡拥有电影票的概率是，小明拥有电影票的概率是， ∵， ∴这个拥有电影票的游戏规则对双方不公平． 巩固训练 1．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张牌． (1)请用列表或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； (2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；否则乙获胜，这个游戏公平吗？ 【答案】(1) (2)不公平 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查列表法求概率，某个事件的概率可以通过事件发生次数除以总次数来计算． （1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：列表如下： 乙 甲 2 3 6 2 3 6 由表可知共有9种等可能的结果，其中两人抽取相同数字的结果有3种， 所以两人抽取相同数字的概率为． （2）解：由（1）中所列表格可知两人抽取的数字和为2的倍数的结果有5种， 所以甲获胜的概率为， 所以乙获胜的概率为． 因为， 所以这个游戏不公平． 2．张相同的卡片分别写有数字，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为的个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；当抽到的这两个数的差为非正数时，则乙获胜；你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由． 【答案】(1)； (2)这样的规则不公平；可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则乙获胜，理由见解析． 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】（）列出表格，根据表格即可求解； （）根据表格分别求出甲、乙获胜的概率，即可判断游戏规则的公平性，再根据概率的意义提出合理的游戏规则即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：列表如下： 由表可知，共有种等结果，其中两个数的差为的结果有种， ∴两个数的差为的概率为； （2）解：由表可知，，， ∵，即， ∴这样的规则不公平； 可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则乙获胜，理由如下： ∵，， ∴， ∴这样的规则公平． 3．有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． (1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，新的游戏规则见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可； （2）根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可． 【详解】（1）解：列表如下： ╲ 0 0 0 2 2 1 0 3 3 2 共有种等可能的结果，其中和为的结果有种， 王扬获胜的概率； （2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 由（1）可知，王扬获胜的概率为，刘菲获胜的概率为，， 二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平， 新的游戏规则如下：分别转动转盘与；两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；如果和为，王扬获胜，和为刘菲获胜． 4．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 【答案】(1)见解析 (2)甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高 【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查用列表法或者画树状图法求概率，游戏公平性； （1）列表找出所有的可能性及符合条件的数量，再求概率即可； （2）分别求出三种方案甲乙的获胜概率，再判断即可． 【详解】（1）列表如下： 红桃3 红桃4 黑桃5 红桃3 红桃3，红桃3 红桃4，红桃3 黑桃5，红桃3 红桃4 红桃3，红桃4 红桃4，红桃4 黑桃5，红桃4 黑桃5 红桃3，黑桃5 红桃4，黑桃5 黑桃5，黑桃5 （2）由（1）可得： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， C方案画树状图如下（C方案不再看花色，因此列表时不再列举花色）： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 故甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高． 5．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． (1)从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； (2)若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；正确列出表格是解题的关键． （1）先解方程，根据概率公式即可得出概率； （2）列出表格，分别计算出小明和小张获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：当代数式的值为时， ， 解得，， ∴从甲袋摸出一个小球，共有4种等可能结果，其中小球上的数字使代数式的值为0的有2种结果，其概率为：； （2）解：列表如下： n           m 3 4 5 6 4 5 6 7 总共有16种等可能结果，其中都是该方程的解的有4种结果， 故小明获胜的概率为：； ，中有不是该方程的解的结果有12种， 故小张获胜的概率为， 所以，小明获胜的概率大，此游戏不公平． 题型五　概率在转盘抽奖中的应用 例题：某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是： （1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算； （2）根据可能性的大小，保证“护眼灯”有3张即可，设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：， 故答案为：； （2）解：设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 如图： 巩固训练 1．某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，共有9种等可能的结果 (3)会选择方案二；理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图即可解决； （3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果； （3）解：会选择方案二． 理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 2．如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种， ∴P（转出数字6）； 故答案为：； （2）小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 3．九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 【答案】(1)， (2)， 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】(1)根据频率频数总数求解即可； (2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“手工”的概率． 【详解】（1）解：∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， ∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， （2）解：∵根据表格信息可知：落在“手工”区域的频率的平均数大约为：, ∴当n很大时，频率将会接近， ∴假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键． 4．某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一比较实惠 【知识点】列表法或树状图法求概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可； （2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表格如下： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） ∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种， ∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． （2）解：∵， ∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为： （元）， ∵， ∴选择方案一比较实惠． 【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图，熟练掌握概率的基本公式． 题型六　统计与概率综合应用问题 例题：（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）2023﹣2024赛季中国男子职业联赛（简称）正在如火如荼的展开，卫冕冠军辽宁队表现突出，截止12月10日，以十二剩一负的战绩高居积分榜首位．某中学为了在校园推广篮球运动，计划在学校开展我最喜爱的辽篮运动员调查活动．学校经过初步调查，全校1000名同学中有800名同学喜欢看篮球，从喜欢看篮球的同学中随机抽取部分同学下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调资数据绘制成两幅不完整的续计图． 我最喜爱的辽篮运动员 请在下列选项中选择你最喜爱的辽篮运动员，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．郭艾伦□ B．赵继伟□ C．张镇麟□ D．韩德君□ 根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中，的值为 ，选学生的圆心角为 ； (2)从全校的1000名同学中任意抽取一人，喜欢郭艾伦的概率是 ； (3)学校计划从喜欢赵继伟的同学中挑选两位品学兼优的同学参与辽篮训练活动，甲、乙、丙、丁四名同学入围，采用随机抽签的方式，恰好抽中甲乙的概率是多少？请你用树状图或者列表法求出概率． 【答案】(1)；； (2) (3) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了统计图，整体估计样本，概率等知识点，熟悉掌握树状图或者列表法求出概率是解题的关键． （1）根据条形图与扇形图的信息求解即可； （2）求出喜欢郭艾伦的人数，再用人数比上总数即可得到概率； （3）运用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量是：； ∵， ∴； 选学生的圆心角为：； 故答案为：；；； （2）估计800名喜欢看篮球的同学中，喜欢郭艾伦的人数为：（人）； ∴从全球的1000名同学中任意抽取一人，喜欢郭艾伦的概率是：； 故答案为：； （3）解：列出表格为： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲乙的结果有2种， ∴． 巩固训练 1．（2024·广东·模拟预测）我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 【答案】(1)抽样调查 (2)补全的条形统计图见解析；件 (3) 【知识点】判断全面调查与抽样调查、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，涉及抽样调查，用样本估计总体，列举法求概率等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查； （2）由B班的作品数量除以所占的百分比即可求出所调查的4个班征集到的作品总数，将作品总数减去其他三个班的作品数量即可得到班作品数量，即可补全条形统计图．的件数为：（件；继而可补全条形统计图；求出所抽取的4个班级作品数量的平均数，乘以全级30个班级，可估计全校共征集作品的数量． （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查． 故答案为：抽样调查． （2）解：所调查的4个班征集到的作品数为：（件， 班有（件， 补全条形图如图所示， 所抽取的4个班级作品数量的平均数为（件）， ∴估计全校共征集作品数量为（件）； （3）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，恰好选取的两名学生是一男一女的有4种情况， 恰好选取的两名学生是一男一女的概率为． 2．（23-24七年级下·四川达州·阶段练习）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人； (2)补全条形统计图； (3)把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】（）先利用花样滑冰的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数；再利用乘以花样滑冰的人数所占的百分比，即可求解； （）分别求出单板滑雪的人数，自由式滑雪的人数，即可求解； （）根据题意，画出树状图可得从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有种，抽到项目中恰有一个项目为单板滑雪的有种等可能结果，再根据概率公式计算，即可求解； 本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． 【详解】（1）调查的总人数为人，人； 故答案为：，； （2）单板滑雪的人数为人， 自由式滑雪的人数为人， 补全条形统计图如下： （3）根据题意，画出树状图如下： 从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有种，抽到项目中恰有一个项目为单板滑雪的有种等可能结果． ∴抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率为． 3．（2024·山西运城·模拟预测）某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． (1)本次抽取调查学生共有______人，其中组的学生人数为______． (2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数． (3)小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【答案】(1)60；21 (2)见解析， (3) 【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用“组学生人数除以其占比”，即可求得本次抽取调查学生总人数；利用“本次抽取调查学生总人数组的学生人数占比”，即可求得答案； （2）结合（1）补全条形图；利用“组学生占比”即可求得答案； （3）根据题意作出树状图，结合树状图求解即可． 【详解】（1）解：本次抽取调查的学生总人数为（人）， 组的人数为（人）． 故答案为：60；21； （2）结合（2），可补全条形图如下图所示， 组部分所占的圆心角； （3）根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好分到同一组的结果为4， 所以两人恰好分到同一组的概率． 4．（2024·贵州遵义·模拟预测）新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取__________人； (2)将条形统计图补充完整； (3)学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图，掌握统计的基本知识是解题的关键． （1）利用选项的人数除以其百分比，即可求解； （2）先计算的数据，再画条形图； （3）先列表，再根据简单事件的概率求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（人）， 补全的条形统计图如图所示： （3）列表如下： 由表可知，一共存在种等可能性结果，其中抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的可能性有种， 抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率为． 5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）市直某中学九年级到泰顺国防园参加了“研学实践”活动，学校团委在全年级范围内随机抽取了部分学生，对本次活动中的四个拓展体验项目进行“魅力项目”评选调查，将调查问卷统计整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图． “魅力项目”评选调查问卷 在下面四项拓展训练项目中，你最喜欢的一项是（  ） A．极速竞技  B．飞夺泸定桥 C．白人刺杀   D．重走长征路 请根据所给信息解答下列问题： (1)据统计，最喜欢“白人刺杀”项目的学生占被抽取学生的，共抽取了多少名学生？ (2)补全频数分布直方图； (3)若九年级有300名学生，请估计全年级学生中最喜欢“重走长征路”的有多少人； (4)该中学某班团支部5人中，1人喜欢“极速竞技”，1人喜欢“飞夺泸定桥”，1人喜欢“白人刺杀”，2人喜欢“重走长征路”，覃老师要从这5人中任选2人了解他们对此次“研学实践”活动项目的感受，请你用列举法，求选出的2人恰好1人喜欢“飞夺泸定桥”、1人喜欢“重走长征路”的概率． 【答案】(1)60名 (2)见详解 (3)150名 (4) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）运用“白人刺杀”项目的学生的人数除以占比，即可作答． （2）运用总人数减去各个活动项目的人数，得出“重走长征路”的人数，再补齐频数分布直方图，即可作答． （3）运用样本估计总体来列式计算，即可作答． （4）先画树状图，再得出共有20种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人喜欢“飞夺泸定桥”、1人喜欢“重走长征路”的结果有4种，代入概率公式计算，即可作答． 本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图，样本估计总体． 【详解】（1）解： （名）， ∴共抽取了60名学生； （2）解：（名）， 补全频数分布直方图，如图所示： ； （3）解：依题意，（人）， 若九年级有300名学生，请估计全年级学生中最喜欢“重走长征路”的有150人； （4）解：依题意，把“极速竞技”，“飞夺泸定桥”，“白人刺杀”，“重走长征路”分别记为，画树状图： 共有20种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人喜欢“飞夺泸定桥”、1人喜欢“重走长征路”的结果有4种， ∴选出的2人恰好1人喜欢“飞夺泸定桥”、1人喜欢“重走长征路”的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 等可能条件下的概率知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 【知识点1】概率 （1）概率的概念[来源:学科网] 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).[来源:学科网ZXXK] （2）频率与概率的关系 当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.学科+网 【知识点2】概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝ （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. （5） 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 03 题型归纳 题型一　列举法求概率 例题：在的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 巩固训练 1．如图，已知开关已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ． 2．从，，这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点的坐标记为，若点为，则在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为 ． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中有A，B两个格点，在网格的格点上任取一点C（点A，B除外），恰能使为等腰三角形的概率是 ． 题型二　几何面积法求概率 例题：如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 巩固训练 1．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 2．如图，将一个微型机器人放置在封闭的圆形装置内部，圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆．若微型机器人随机在装置内停止，则微型机器人停止在B区域的概率为 ． 3．如图，在菱形中，对角线、交于点E，，，以点E为圆心作圆E，圆E与菱形的四条边相切，现随机向菱形内掷一枚小针，则针尖落在圆E的概率为 ． 4．小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 题型三　列表法或树状图法求概率 例题：2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上． 将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是＿＿＿． (2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 巩固训练 1．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1，2，3，6，随机抽取1张卡片后放回并混在一起，再随机抽取一张卡片． (1)直接写出抽取的两张卡片上的数字相同的概率； (2)请用列表或画树状图法求第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍的概率． 2．光导纤维按原材料主要分为石英光纤，塑料光纤，多组分玻璃光纤，复合材料光纤，氟化物光纤．现准备了石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤各一份，多组分玻璃光纤两份给某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机选取的方式确定研究哪种光导纤维． (1)“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画树状图或列表的方法，求石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 3．某校在手抄报评比活动中，共设置了“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题内容，推荐亮亮和苗苗两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)亮亮选择交通安全手抄报的概率为________； (2)用列表法或画树状图法来求亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率． 4．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1和；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为． (1)请用列表法或画树状图法列出点P所有可能的坐标； (2)求点P在一次函数：图象上的概率． 题型四　根据概率判断游戏的公平性 例题：有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由． 巩固训练 1．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张牌． (1)请用列表或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； (2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；否则乙获胜，这个游戏公平吗？ 2．张相同的卡片分别写有数字，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为的个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；当抽到的这两个数的差为非正数时，则乙获胜；你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由． 3．有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． (1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 4．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 5．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． (1)从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； (2)若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 题型五　概率在转盘抽奖中的应用 例题：某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 巩固训练 1．某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 2．如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 3．九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 4．某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 题型六　统计与概率综合应用问题 例题：（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）2023﹣2024赛季中国男子职业联赛（简称）正在如火如荼的展开，卫冕冠军辽宁队表现突出，截止12月10日，以十二剩一负的战绩高居积分榜首位．某中学为了在校园推广篮球运动，计划在学校开展我最喜爱的辽篮运动员调查活动．学校经过初步调查，全校1000名同学中有800名同学喜欢看篮球，从喜欢看篮球的同学中随机抽取部分同学下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调资数据绘制成两幅不完整的续计图． 我最喜爱的辽篮运动员 请在下列选项中选择你最喜爱的辽篮运动员，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．郭艾伦□ B．赵继伟□ C．张镇麟□ D．韩德君□ 根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中，的值为 ，选学生的圆心角为 ； (2)从全校的1000名同学中任意抽取一人，喜欢郭艾伦的概率是 ； (3)学校计划从喜欢赵继伟的同学中挑选两位品学兼优的同学参与辽篮训练活动，甲、乙、丙、丁四名同学入围，采用随机抽签的方式，恰好抽中甲乙的概率是多少？请你用树状图或者列表法求出概率． 巩固训练 1．（2024·广东·模拟预测）我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 2．（23-24七年级下·四川达州·阶段练习）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人； (2)补全条形统计图； (3)把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率． 3．（2024·山西运城·模拟预测）某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． (1)本次抽取调查学生共有______人，其中组的学生人数为______． (2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数． (3)小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 4．（2024·贵州遵义·模拟预测）新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取__________人； (2)将条形统计图补充完整； (3)学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）市直某中学九年级到泰顺国防园参加了“研学实践”活动，学校团委在全年级范围内随机抽取了部分学生，对本次活动中的四个拓展体验项目进行“魅力项目”评选调查，将调查问卷统计整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图． “魅力项目”评选调查问卷 在下面四项拓展训练项目中，你最喜欢的一项是（  ） A．极速竞技  B．飞夺泸定桥 C．白人刺杀   D．重走长征路 请根据所给信息解答下列问题： (1)据统计，最喜欢“白人刺杀”项目的学生占被抽取学生的，共抽取了多少名学生？ (2)补全频数分布直方图； (3)若九年级有300名学生，请估计全年级学生中最喜欢“重走长征路”的有多少人； (4)该中学某班团支部5人中，1人喜欢“极速竞技”，1人喜欢“飞夺泸定桥”，1人喜欢“白人刺杀”，2人喜欢“重走长征路”，覃老师要从这5人中任选2人了解他们对此次“研学实践”活动项目的感受，请你用列举法，求选出的2人恰好1人喜欢“飞夺泸定桥”、1人喜欢“重走长征路”的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$