第4章 等可能条件下的概率（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第4章 等可能条件下的概率（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下 2．从单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为（　　） A． B． C． D． 3．某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为，则下列说法正确的是（     ） A．连续摸奖两次，都不会中奖 B．连续摸奖两次，不会都中奖 C．只摸奖一次，也有可能中奖 D．摸奖三次，至少中奖一次 4．从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 5．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是 （填“对”或“错”）． 8．有三张背面完全相同的卡片，正面分别画了线段，平行四边形，正五边形，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，恰好是轴对称图形的概率为 ． 9．如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么 ．（填“>”、“<”或“=”） 10．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为 （填“出海”、“不出海”）． 11．已知是2、3、4、5中的一个数，则关于的方程有解的概率为 ． 12．如图，电路中有3个开关a，b，c，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，能使得小灯泡发光的概率为 ． 13．在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”） 14．如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 15．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是 元． 16．一个不透明的袋子中装有个小球，它们除分别标有的数字，，不同外，其他完全相同．任意从袋子中摸出一个球后放回并摇匀袋子中摸出一个球后放回并摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球所标数字之和为负数的概率是 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．一只不透明的袋子中装有1个红球、2个绿球和3个白球，每个球除颜色外都相同．将球搅匀后，从中任意摸出一球． （1）会有哪些等可能的结果； （2）你认为摸到哪种颜色的球可能性最大？摸到哪种颜色的球可能性最小？ 18．西安地铁5号线“汉城南路站”有标识为B，C，D的三个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． (1)甲在C出入口开展志愿服务活动的概率为___________． (2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 19．一个口袋内装有大小相等的个白球和已编有不同号码的个黑球，从中摸出个球． (1)共多少种不同的结果？ (2)摸出个黑球有多少种不同的结果？ (3)摸出个黑球的概率是多少？ 20．明年春节期间小惠一家打算从 “五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点． (1)若小惠从四张卡片中任取一张，则景点“云冈石窟”被抽中是_______事件，景点“雁门关”被抽中是______事件（填“不可能”“必然”或“随机），景点“五台山”被抽中的概率是______； (2)小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率． 21．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 22．如图，节日期间，某商场为吸引顾客，开展购物抽奖活动：一可自由转动的圆盘被平均分成个扇形，每个扇形标有数字，顾客一次性购物每满元可免费转动圆盘一次，当圆盘自动停止时，指针所指区域数字，即为商场奖励给顾客的金额数．某顾客一次性购物元．请问： (1)他转动一次转盘获得元奖励的概率是多少？ (2)如果是你，是参加一次抽奖还是再购买元的商品参加两次次抽奖？做出你的选择并简单说明你的理由． 23．如图，大小质地完全相同的两个圆形转盘，都被平均分成份，并涂上红、白两种颜色．其中：涂有白色份，红色份；涂有红色份，白色份．两个转盘都是指针固定，转盘可自由转动（若指针指向分界线，则重转）． (1)自由转动转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率； (2)游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，若两个转盘指针所指区域的颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请问这个游戏规则对谁更有利？在不改变上述游戏规则的情况下，若将转盘重新涂上红、白两种颜色（转盘仍以份均分），是否有可能使这个游戏对双方都公平？若能，转盘中红、白应各涂几份？若不能，请说明理由． 24．北方有个习俗，吃年夜饭时，谁吃到包有钱币的饺子，谁就在新的一年里吉祥如意，鸿运当头．不过，有钱币的饺子只有一个，否则就不灵了．今年外婆来我家过年，她在60个饺子中的一个放了钱币，吃饺子时外婆给每人盛了15个，结果爸爸、妈妈和外婆都没有吃到钱币，被外婆称之为“宝贝”的杨晨却吃到了． 请根据上述信息，简要回答下列问题： (1)若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是_____；杨晨能吃到钱币的概率是_____； (2)事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是_____，外婆做手脚的方法我猜想是______； (3)还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，请你设计一个办法能使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：________． 25．化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 　 　； (2)小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率． 26．某中学为了保证“两操一活动”的质量，让学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校拟组织四个社团：A．篮球队，B．舞蹈队，C．射击队，D．毽子队，学校就学生参加这四个社团的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．      请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1200名学生，请估计选择“毽子队”的学生有多少人？ (4)该校在最喜欢“射击”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的射击队培训，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 27．为促进我省初中数学学科教师能力的发展，有关部门组织初中数学学科命题比赛，某校在进行初赛时，按照两个环节进行． 环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制记入总分； 环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%记入总分．评委对1号参赛试题的评分如下表所示： 1号参赛试题评分表 几何直观 推理能力 创新意识 应用意识 运算能力 模型观念 评分 80 90 88 80 75 84 10套参赛试题中“创新意识”的评分如下图所示： (1)折线统计图中10个“创新意识”成绩的众数是　　　，中位数是　　　； (2)如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按1：4：6：4：2：3计算，请根据评分表计算1号参赛试题在第一环节中的得分； (3)王老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用画树状图法或列表法求王老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 等可能条件下的概率（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下 【答案】C 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：A选项，瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； B选项，旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； C选项，守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，发生的可能性大于0且小于1； D选项，夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意． 故选C． 2．从单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用字母e的个数除以字母总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有8个字母，其中字母e有2个，且每个字母被抽中的概率相同， ∴从单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为， 故选：B． 3．某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为，则下列说法正确的是（     ） A．连续摸奖两次，都不会中奖 B．连续摸奖两次，不会都中奖 C．只摸奖一次，也有可能中奖 D．摸奖三次，至少中奖一次 【答案】C 【知识点】概率的意义理解 【分析】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．直接利用概率的意义分析得出答案． 【详解】某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为， A、连续摸奖两次，可能会中奖，故此选项错误； B、连续摸奖两次，有可能都会中奖，故此选项错误； C、只摸奖一次，也有可能中奖，正确； D、摸奖三次，有可能都不中奖，故此选项错误． 故选C． 4．从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件、根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边． 由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率． 【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果， 分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5； 每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果， 所以P（能组成三角形）． 故选：A． 5．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列举法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了概率的计算，根据题意画出图形，得出所有可能的情况数，然后找出符合题意的情况数，最后根据概率公式求出结果即可． 【详解】解：如图， 根据图可知：以B，C，D随机而坐的结果数共有6种，其中A与B不相邻而坐的结果有2种， ∴A与B不相邻而坐的概率为：． 故选：A． 6．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断确定圆的条件、列举法求概率 【分析】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有： ，，，，，， 共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故选：D 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是 （填“对”或“错”）． 【答案】错 【知识点】概率的意义理解 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 根据小明分别扔硬币4次，正面朝上的不一定有2次，即可解答． 【详解】解：小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是错， 故答案为：错． 8．有三张背面完全相同的卡片，正面分别画了线段，平行四边形，正五边形，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，恰好是轴对称图形的概率为 ． 【答案】 【知识点】轴对称图形的识别、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查概率公式和轴对称图形．将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张共有3种等可能结果，其中恰好是轴对称图形的有线段和正五边形2种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张共有3种等可能结果，其中恰好是轴对称图形的有线段和正五边形2种结果， 所以恰好是轴对称图形的概率为， 故答案为：． 9．如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么 ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【知识点】概率的意义理解、判断几个事件概率的大小关系 【分析】根据事件发生的可能性大小作出判断即可． 【详解】解：事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”， 则事件A发生的可能性小于事件B发生的可能性，即, 故答案为：< 【点睛】此题考查了概率，概率是表示事件发生可能性大小的量，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 10．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为 （填“出海”、“不出海”）． 【答案】出海 【知识点】概率的其他应用 【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可． 【详解】解：预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，， 下月是好天气的可能性坏天气的可能性； 又若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费， 出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）（元， 不出海：（元， ， 船队队长作出决策为：出海． 故答案为：出海． 【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键． 11．已知是2、3、4、5中的一个数，则关于的方程有解的概率为 ． 【答案】/0.75 【知识点】根据概率公式计算概率、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，准确确定使方程有解的的取值范围是解题关键．首先根据一元二次方程的根的判别式确定的取值范围，然后根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：若关于的方程有解， 则有，解得， ∴当或3或4时，方程有解， 当时，方程无实数解， ∴使方程有解的概率为． 故答案为：． 12．如图，电路中有3个开关a，b，c，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，能使得小灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法．画树状图，共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种，再由概率公式求解即可．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种， 使得小灯泡能正常工作的概率为， 故答案为：． 13．在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【知识点】概率的意义理解、游戏的公平性 【分析】本题考查了概率的意义理解，根据每次摸球的条件相同，可得到概率相同，准确理解概率的意义是解题的关键． 【详解】解：∵不透明的纸盒中放有白色，红色，绿色的小球各1个，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每个球的概率均相等， 即这个游戏中先摸者赢的概率等于后摸者赢的概率， 故答案为：． 14．如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】几何概率、用七巧板拼图形 【分析】本题考查了七巧板，以及几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据图形和七巧板特点可得到阴影部分面积占正方形面积的，进而根据概率公式，即可得到飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：由七巧板特点可知，图②中阴影部分的面积，可转化为图①中阴影部分面积，如图所示： 阴影部分面积占正方形面积的， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 15．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是 元． 【答案】6 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得． 【详解】解： =2+4 =6（元） 故答案为6 【点睛】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数． 16．一个不透明的袋子中装有个小球，它们除分别标有的数字，，不同外，其他完全相同．任意从袋子中摸出一个球后放回并摇匀袋子中摸出一个球后放回并摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球所标数字之和为负数的概率是 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练画出树状图或列表是解题的关键．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球所标数字之和为负数的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图得： 共有种等可能的结果，其中两次摸出的球所标数字之和为负数的有种， 则两次摸出的球所标数字之和为负数的概率， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．一只不透明的袋子中装有1个红球、2个绿球和3个白球，每个球除颜色外都相同．将球搅匀后，从中任意摸出一球． （1）会有哪些等可能的结果； （2）你认为摸到哪种颜色的球可能性最大？摸到哪种颜色的球可能性最小？ 【答案】（1）红、绿1、绿2、白1、白2、白3；（2）白球、红球 【知识点】列举随机实验的所有可能结果、判断几个事件概率的大小关系 【分析】（1）摸到每种球都有可能； （2）哪种球的数量多可能性就大，否则就小． 【详解】解：（1）从袋子中任意摸出一个球，可能是红球，也可能是绿球或白球； （2）∵白球最多，红球最少， ∴摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小． 【点睛】此题主要考查了可能性的大小，解题关键是掌握随机事件发生的可能性的计算方法． 18．西安地铁5号线“汉城南路站”有标识为B，C，D的三个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． (1)甲在C出入口开展志愿服务活动的概率为___________． (2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】(1) (2)树状图见解析，甲、乙两人在同一出人口开展志愿服务活动的概率为 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵有标识为B，C，D的三个出入口， ∴甲在C出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下． 共有9种等可能的情况、甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有3种情况， 甲、乙两人在同一出人口开展志愿服务活动的概率为． 19．一个口袋内装有大小相等的个白球和已编有不同号码的个黑球，从中摸出个球． (1)共多少种不同的结果？ (2)摸出个黑球有多少种不同的结果？ (3)摸出个黑球的概率是多少？ 【答案】(1)12种 (2)6种 (3) 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列了用树状图解决概率问题；列出树状图找到摸出2个黑球的情况数是解决本题的关键． （1）用树状图表示出所有可能，即可求解； （2）根据树状图即可求解； （3）用摸出2个黑球的结果数除以总情况数即为摸出2个黑球的概率． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可得共有12种不同的结果； （2）由树状图可知，摸出2个黑球的结果数有6种； （3）摸出2个黑球的概率为． 20．明年春节期间小惠一家打算从 “五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点． (1)若小惠从四张卡片中任取一张，则景点“云冈石窟”被抽中是_______事件，景点“雁门关”被抽中是______事件（填“不可能”“必然”或“随机），景点“五台山”被抽中的概率是______； (2)小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率． 【答案】(1)不可能，随机， (2) 【知识点】事件的分类、根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，简单的概率计算，事件的分类： （1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案； （2）列表列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】（1）解：由题意得，小惠从四张卡片中任取一张，则景点“云冈石窟”被抽中是不可能事件，景点“雁门关”被抽中是随机事件， ∵一共有4个景点，每个景点被抽到的概率相同， ∴景点“五台山”被抽中的概率是， 故答案为：不可能，随机，； （2）解：设用A、B、C、D分别表示“五台山”，“平遥古城”，“乔家大院”，“雁门关”这四个景点，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的结果数有2种， ∴小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率为． 21．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 22．如图，节日期间，某商场为吸引顾客，开展购物抽奖活动：一可自由转动的圆盘被平均分成个扇形，每个扇形标有数字，顾客一次性购物每满元可免费转动圆盘一次，当圆盘自动停止时，指针所指区域数字，即为商场奖励给顾客的金额数．某顾客一次性购物元．请问： (1)他转动一次转盘获得元奖励的概率是多少？ (2)如果是你，是参加一次抽奖还是再购买元的商品参加两次次抽奖？做出你的选择并简单说明你的理由． 【答案】(1) (2)如果是我，我会选再购买元的商品参加两次次抽奖，理由见解析 【知识点】求加权平均数、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式的应用及加权平均数，概率所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）分别算出一次抽奖和两次抽奖获奖平均金额与付出资金的比，比较即可求得答案． 【详解】（1）解：转盘被等分成个扇形，所以每种结果出现的可能性相同，共有种等可能的结果．其中获得元奖励的占了份． ∴ （2）解：如果是我，我会选再购买元的商品参加两次次抽奖，理由如下： ∵转盘被等分成个扇形，所以每种结果出现的可能性相同，共有种等可能的结果．其中获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份． ∴，，，，， ∴抽一次平均获得奖励元， ∴不再购买元获奖金额与付出资金比为，再购买元获奖金额与付出资金比为， ∵， ∴如果是我，我会选再购买元的商品参加两次次抽奖 23．如图，大小质地完全相同的两个圆形转盘，都被平均分成份，并涂上红、白两种颜色．其中：涂有白色份，红色份；涂有红色份，白色份．两个转盘都是指针固定，转盘可自由转动（若指针指向分界线，则重转）． (1)自由转动转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率； (2)游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，若两个转盘指针所指区域的颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请问这个游戏规则对谁更有利？在不改变上述游戏规则的情况下，若将转盘重新涂上红、白两种颜色（转盘仍以份均分），是否有可能使这个游戏对双方都公平？若能，转盘中红、白应各涂几份？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对乙更有利；没办法使这个游戏规则对双方都公平，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了游戏的公平性，概率的计算方法，列表法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）首先计算出各种情况的概率，然后比较即可； （2）用列表法可以表示所有可能出现的结果，计算出甲、乙两人获胜的概率，即可知道游戏规则对谁都公平，根据无论如何涂色都是有种等可能的结果，不可能出现种结果，所以不可能使这个游戏对双方都公平． 【详解】（1）解：自由转动转盘一次，指针指向白色的可能为次，红色的可能为次， ∴转盘停止后指针指向白色的概率， （2）解：如表： 由上表可知，共有种等可能的结果，指针所指区域颜色相同的结果共有种， ∴甲获胜的概率为， ∵颜色不同的结果共有种， ∴乙获胜的概率为， ∴这个游戏规则对乙更有利， 没有可能使这个游戏对双方都公平。因为无论如何涂色都是有种等可能的结果，若使游戏对双方都公平，那么颜色相同和颜色不同的结果都应为或种，而不可能出现种结果， ∴不可能使这个游戏对双方都公平． 24．北方有个习俗，吃年夜饭时，谁吃到包有钱币的饺子，谁就在新的一年里吉祥如意，鸿运当头．不过，有钱币的饺子只有一个，否则就不灵了．今年外婆来我家过年，她在60个饺子中的一个放了钱币，吃饺子时外婆给每人盛了15个，结果爸爸、妈妈和外婆都没有吃到钱币，被外婆称之为“宝贝”的杨晨却吃到了． 请根据上述信息，简要回答下列问题： (1)若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是_____；杨晨能吃到钱币的概率是_____； (2)事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是_____，外婆做手脚的方法我猜想是______； (3)还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，请你设计一个办法能使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：________． 【答案】(1)， (2)，作记号或分开煮后再盛 (3)给妈妈和外婆每人盛个饺子 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出答案； （2）根据概率公式计算即可得出答案； （3）根据概率公式结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解：若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是；杨晨能吃到钱币的概率是； （2）解：事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是，外婆做手脚的方法我猜想是作记号或分开煮后再盛； （3）解：还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：给妈妈和外婆每人盛个饺子． 25．化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 　 　； (2)小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为， 故答案为：； （2）解：用分别表示、、、，画树状图如下： 由树状图可知，共有中等结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有种， ∴小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为． 26．某中学为了保证“两操一活动”的质量，让学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校拟组织四个社团：A．篮球队，B．舞蹈队，C．射击队，D．毽子队，学校就学生参加这四个社团的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．      请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1200名学生，请估计选择“毽子队”的学生有多少人？ (4)该校在最喜欢“射击”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的射击队培训，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)100 (2)图见解析 (3)选择“毽子队”的学生有480人 (4) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了条形统计图及扇形统计图，将条形统计图与扇形统计图信息相关联是解答本题的关键． （1）将两个统计图信息关联即可求解； （2）调查的总人数可知，求得参加B项目的人数，补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可； （4）画出树状图，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可知参加A项目的人数为30人，由扇形统计图可知参加A项目的人数所占的百分比为，故本次调查的总人数为：（人）， 故答案为：100； （2）参加B项目的人数为：（人），补全条形统计图如下所示： （3）（人）， ∴估计选择“毽子队”的学生有480人； （4）甲、乙、丙、丁四位同学任选两位的所有可能情况如下树状图所示： 被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况 故被选取的两人恰好是甲和乙的概率是． 27．为促进我省初中数学学科教师能力的发展，有关部门组织初中数学学科命题比赛，某校在进行初赛时，按照两个环节进行． 环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制记入总分； 环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%记入总分．评委对1号参赛试题的评分如下表所示： 1号参赛试题评分表 几何直观 推理能力 创新意识 应用意识 运算能力 模型观念 评分 80 90 88 80 75 84 10套参赛试题中“创新意识”的评分如下图所示： (1)折线统计图中10个“创新意识”成绩的众数是　　　，中位数是　　　； (2)如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按1：4：6：4：2：3计算，请根据评分表计算1号参赛试题在第一环节中的得分； (3)王老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用画树状图法或列表法求王老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率． 【答案】(1)， (2)分 (3) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率、求众数、求中位数 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了中位数和众数． （1）根据众数和中位数的定义求解； （2）根据图表①列式计算1号参赛试题得分即可； （3）列树状图求出所有等可能结果，再用概念公式计算即可． 【详解】（1）图表②中10个“创新意识”成绩，众数是90，中位数为； 故答案为：90，； （2）∵， ∴1号参赛试题在第一环节中的得分为84.5； （3）几何直观、创新意识、推理能力、模型观念分别用1、2、3、4表示，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到推理能力、模型观念的结果有2种， ∴P（抽到“推理能力”和“模型观念”） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$