专题08 易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题（5大易错）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题08 易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题 目录 【典型例题】 1 【考点一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 1 【考点二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 6 【考点三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 9 【考点四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 15 【考点五 等腰三角形中与新定义型问题的多解题】 22 【典型例题】 【考点一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）若等腰三角形的两边长是2和5，则它的周长是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如果等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的周长为 ． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 ． 3．（2024·河北保定·二模）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为 ． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为 ． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）等腰三角形中有两边的比为，第三边长为，求这个等腰三角形的周长． 6．（23-24八年级上·河南许昌·期中）已知等腰三角形两边长分别为a和b，且满足，求a、b的值和这个等腰三角形的周长． 7．（24-25八年级上·河南漯河·开学考试）若关于x，y的两个方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)若m，n是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 【考点二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）等腰三角形一个外角是，则该等腰三角形的顶角度数是 ． 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 3．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【考点三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【变式训练】 1．（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 2．（2023·江西新余·统考一模）在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是 ． 3．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 4.（2023春·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为 ． 【考点四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成，则此等腰三角形的顶角是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为 ． 2．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为 ． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 4．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，则顶角的大小为 ． 5．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在中， 的对边分别为a， b， c． (1)化简代数式： ； (2)若边上的中线把的周长分为15和6两部分，求底边的长． 【考点五 等腰三角形中与新定义型问题的多解题】 例题：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 2．（22-23八年级下·山东枣庄·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰的腰为 ． 3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 4．（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）如图1，在中，，把分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），并标注每个等腰三角形底角的度数． 拓展一：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 例如，如图2，把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，使每张小纸片都是等腰三角形．    (1)请你在图3中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） (2)中，，和是的三分线，点E在边上，且，设，试画出示意图 拓展一： 拓展二：已知的三条边长分别为3，4，6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题 目录 【典型例题】 1 【考点一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 1 【考点二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 6 【考点三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 9 【考点四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 15 【考点五 等腰三角形中与新定义型问题的多解题】 22 【典型例题】 【考点一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）若等腰三角形的两边长是2和5，则它的周长是 ． 【答案】12 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件，分当腰长为2时，当腰长为5时，两种情况确定出该三角形的三边长，再根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：当腰长为2时，则该三角形三边长为2，2，5， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为5时，则该三角形三边长为2，5，5， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为12， 故答案为：12． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如果等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的周长为 ． 【答案】15 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．分两种情况：①当腰长为时；②当腰长为时，结合三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：①当腰长为时，则这个等腰三角形的三边长分别为，和， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰长为时，则这个等腰三角形的三边长分别为，和， 此时，满足三角形的三边关系，它的周长为； 综上，它的周长为， 故答案为：15． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分已知边是腰长或底边两种情况讨论求解． 【详解】解：①当是腰长时， 底边为， ∵， ∴、、能组成三角形； ②当是底边时， 腰长为， ∵， ∴、、能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为或， 故答案为：或． 3．（2024·河北保定·二模）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】12 【知识点】绝对值非负性、等腰三角形的定义 【分析】本题考查非负式和为零的条件、等腰三角形的定义等知识，根据，得到，结合非负式和为零的条件求出，由等腰三角形定义分类讨论求解即可得到答案，熟记非负式和为零的条件及等腰三角形定义是解决问题的关键． 【详解】解：等腰三角形的两边长满足， ，解得， 三角形是等腰三角形， 分两种情况：①是腰、是底；②是底、是腰； 当是腰、是底时，等腰三角形的边长为，由三角形三边关系可知，此种情况不存在； 当是底、是腰时，等腰三角形的边长为，则这个等腰三角形的周长为12； 故答案为：12． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形的构成条件，根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线，根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长，进而分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线， 根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长， ∵是腰上的中线， ∴， 当时，， 若，则 解得，此时的周长为； 若，则解得，此时的周长为； 当时， 若，则 解得， ∴， 此时的周长为； 若，则解得， ∴， ∵，，不符合三角形的条件， ∴此情形应舍去， 故答案为：或或． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）等腰三角形中有两边的比为，第三边长为，求这个等腰三角形的周长． 【答案】或或或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】分腰长或底边长为两种情况，及腰与底之比为或，进行讨论，即可求解， 本题考查了，等腰三角形的性质，解题的关键是：分情况讨论． 【详解】解：当腰长为时， 若腰与底之比为，则底边长为 ，周长为 ； 若腰与底之比为，则底边长为，周长为， 当底边长为 时， 若腰与底之比为，则腰长为 ，周长为； 若腰与底之比为，则腰长为 ，周长为， 所以可能的周长为或或或． 6．（23-24八年级上·河南许昌·期中）已知等腰三角形两边长分别为a和b，且满足，求a、b的值和这个等腰三角形的周长． 【答案】，；周长为7 【知识点】绝对值非负性、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是等腰三角形的概念以及三角形的三边关系，正确使用分类讨论的思想是解答此题的关键． 先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，． ∴当1为等腰三角形的腰时，，不满足三角形的三边关系； 当3为等腰三角形的腰时，满足三角形的三边关系，此时三角形的周长． 7．（24-25八年级上·河南漯河·开学考试）若关于x，y的两个方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)若m，n是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2)等腰三角形的周长为 【知识点】同解方程组、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，等腰三角形的性质及三角形三边关系，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值. （1）联立两方程组中不含，的方程组成方程组，求出方程组的解即可； （2）把与的值代入含, 的方程求出, 的值，利用等腰三角形的性质分类讨论，结合构成三角形的条件，即可求出周长. 【详解】（1）解：根据题意联立：， 解得： ； （2）解：把 代入得：， 解得：， 若为腰，为底，则三角形三边长为， ，不能构成三角形； 若为底，为腰，则三角形三边长为， ，能构成三角形，则周长为； 综上，等腰三角形的周长为. 【考点二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．解题的关键是要注意分类讨论，不要漏解．等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分开计算． 【详解】解：若等腰三角形一个底角为，则顶角为； 若等腰三角形的顶角为． 因此这个等腰三角形的顶角的度数为或． 故选答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）等腰三角形一个外角是，则该等腰三角形的顶角度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论求解．学会分类讨论思想解决数学问题是解题的关键．根据外角与相邻的内角的和为求这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：一个外角是， 与这个外角相邻的内角是， 当角是顶角时，它的顶角度数是， 当角是底角时，它的顶角度数是， 综上所述，它的顶角度数是或． 故答案为：或． 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想． 求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 分三种情况：①当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为：或或， 故答案为：或或． 【考点三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或10 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程解决实际问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 根据点P，Q的移动时间与速度，表示出，的长，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据建立方程求解即可． 【详解】解：点P，Q移动时， ，． 分两种情况： ①当点在线段上时， 若是等腰三角形，则， 即， 解得，； ②当点在的延长线上时， ， 若是等腰三角形，又， 则是等边三角形， ∴， 即， 解得，； 综上所述，当或时，是等腰三角形． 故答案为：或10． 【变式训练】 1．（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 【答案】或或 【分析】分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 沿射线方向平移m个单位得到， ∴，， 点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况 ①当时：如图，此时；    ②当时：如图，    则：， 在中，，即：， 解得：； ③当时，如图：    此时， ∵， ∴， ∴； 综上：，或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．（2023·江西新余·统考一模）在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是 ． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到的值． 【详解】解：，，， ，， 分三种情况讨论： 如图所示，当点与点重合时，，      ， ， ， ，即是等腰三角形， 此时，； 如图所示，当时，是等腰三角形，      ， 由折叠可得，， ， 又， 是等腰直角三角形， 设，则， 中，， 解得，舍去， ； 如图所示，当点与点重合时，，      ， ，即是等腰三角形， 此时， 综上所述，当是等腰三角形时，的值是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用． 3．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据勾股定理先求出的长，再分三类：当时，当时，当时，分别进行讨论即可得到答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 为等腰三角形， 当时，如图所示， ， 则， 即， 当时，如图所示， ， 则， 当时，如图所示，设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， ， 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想是解题的关键． 4.（2023春·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】根据矩形的性质得出，，求出，画出符合题意的三种情况，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：，为的中点， ， 四边形是矩形，， ，， 有三种情况：，作的垂直平分线，交于， 此时在的垂直平分线上， 即，则， ， 即此种情况不存在； 当时，由勾股定理得：； 当时，有和两种情况，过作于， 由勾股定理得：， 即；， 所以的长是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 【考点四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成，则此等腰三角形的顶角是 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据题意进行分类讨论，当该等腰三角形为锐角三角形时，当该等腰三角形为钝角三角形时，画出对应的示意图，根据三角形内角和定理，即可解答． 【详解】解：当该等腰三角形为锐角三角形时，如图： ， ∴， ∴； 当该等腰三角形为钝角三角形时，如图： ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，该等腰三角形的顶角度数为或， 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的有关概念，三角形的内角和定理，分三种情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】分情况讨论： 如图，，， ∵，， ∴， ∴，即顶角为， 如图，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即顶角为， 如图， 同理可得， ∴，即顶角为， 综上可知：顶角度数为或或． 2．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ，， ， 即顶角的度数为； ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ，， ， ， 即顶角的度数为 综上，顶角的度数为或 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用、加减消元法 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 4．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，则顶角的大小为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查线段垂直平分线的定义、直角三角形的两锐角互余，分为锐角和为钝角两种情况，根据题意画出图形，利用直角三角形的两锐角互余分别求解即可． 【详解】解：若为锐角，的垂直平分线交于M，交于N，如图， 则，， ∴； 若为钝角，的垂直平分线交于M，交延长线于N，如图， 则，， ∴， ∴， 综上，顶角的大小为或． 故答案为：或 5．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在中， 的对边分别为a， b， c． (1)化简代数式： ； (2)若边上的中线把的周长分为15和6两部分，求底边的长． 【答案】(1) (2)的长为1 【知识点】化简绝对值、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， 故答案为：； （2）解：设，则， 上的中线将这个三角形的周长分成15和6两部分， ①当，且， 解得，， ∴三边长分别为10，10，1； ②当且时， 解得，，此时腰为4， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而，故这种情况不存在． 的底边的长为1． 【考点五 等腰三角形中与新定义型问题的多解题】 例题：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意，分类讨论． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为，底长为，分两种情况讨论：当时；当时． 【详解】设等腰三角形的腰长为，底长为． （1）当时，分两种情况： ①若，解得． 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． （2）当时，分两种情况： ①若，解得， 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． 综上所述，的周长为或． 2．（22-23八年级下·山东枣庄·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰的腰为 ． 【答案】6或3 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】分两种情况讨论：①当时，则底边为，此时符合题意；②当时，，此时符合题意，从而可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形， ∴设， 是“倍长三角形”，且有一边为3； ①当时，则底边为，此时符合题意； ②当时，，此时符合题意， 所以，若等腰是“倍长三角形”， 且有一边为3；，则腰的长为3或6， 故答案为：3或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 4．（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）如图1，在中，，把分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），并标注每个等腰三角形底角的度数． 拓展一：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 例如，如图2，把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，使每张小纸片都是等腰三角形．    (1)请你在图3中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） (2)中，，和是的三分线，点E在边上，且，设，试画出示意图 拓展一： 拓展二：已知的三条边长分别为3，4，6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】(1)见解析； (2)拓展一：图见解析；拓展二：7． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，尺规作图构造等腰三角形的方法，数形结合，学会分类讨论是解题的关键． 以为圆心为半径作圆，圆与的交点为，连接，则为等腰三角形； 拓展一：（1）分别构造一个等腰直角三角形即可得到答案； （2）分三种情况依次进行讨论计算出的值即可； 拓展二：的三条边长分别为3，4，6，分三种情况画出图形即可． 【详解】（1）解：如图：    拓展一：（1）    （2）解：①当时， ， ， ， ， ， ， ；    ②当时， ， ， ， ， ， ， ； ③当时此时不存在； 综上所述：x的值是20或40； 拓展二：在中，,，， 当时，如图5，图，    当时，如图7，    当时，如图8，    当，，分别有4条线， 共有7条线， 故答案为：7． 学科网（北京）股份有限公司 $$