精品解析：山东省北镇中学2024-2025学年高二上学期第三次考试（10月）数学试题

山东省北镇中学高69级第三次考试数学试题 时长：120分钟 满分：150分 出题人：何大鹏 审核人；陈娜 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两条直线和互相垂直，则a等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 设点M是轴上一点，且点M到与点的距离相等，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的曲线是（ ） A. 一个点 B. 一个点和一条直线 C. 一条直线 D. 两条直线 5. 已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 8. 已知双曲线C : (a>0，b>0)， 过点P(3，6) 的直线与C相交于A， B两点， 且AB的中点为N(12，15)， 则双曲线C的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线经过定点 B. 过，两点的所有直线的方程为 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 10. 已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形ABCD一定是平行四边形 B. 四边形ABCD可能为菱形 C. AB的中点可能为 D. 的值可能为 11. 在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为9 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程______． 13. 已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为______． 14. 设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点A(1，5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求 （1）顶点C的坐标； （2）直线BC的方程； 16. 如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 17. 圆过、两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 18. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1. （1）求双曲线的标准方程. （2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积. 19. 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省北镇中学高69级第三次考试数学试题 时长：120分钟 满分：150分 出题人：何大鹏 审核人；陈娜 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两条直线和互相垂直，则a等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】应用直线相互垂直的充要条件判断即可. 【详解】两条直线和互相垂直， 则，解之得. 故选：A 2. 椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知列方程结合计算得出再结合椭圆的交点所在轴即可判断. 【详解】因为, 又因为， 所以, , 解得, 椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：; 椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：. 故选：C. 3. 设点M是轴上一点，且点M到与点的距离相等，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据条件列方程求解即可. 【详解】设，则， 解得，所以的坐标为. 故选：B 4. 方程的曲线是（ ） A. 一个点 B. 一个点和一条直线 C. 一条直线 D. 两条直线 【答案】D 【解析】 【分析】变形给定方程，即可判断得解. 【详解】方程，化为，则或， 所以方程的曲线是直线和直线. 故选：D 5. 已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用离心率求得，由此求得渐近线方程. 【详解】依题意，所以渐近线方程为，即. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题. 6. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 7. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点在圆内，得到，再计算圆心到直线的距离为d，并与半径作比较，即可得到答案． 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为M在圆内，且不为圆心，则， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与该圆的位置关系为相离. 故选：C． 8. 已知双曲线C : (a>0，b>0)， 过点P(3，6) 的直线与C相交于A， B两点， 且AB的中点为N(12，15)， 则双曲线C的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点差法求出，再由a，b，c的关系由求离心率e. 【详解】设，，由已知可得，， 相减化简可得， 又AB的中点N(12,15)，直线AB过点P(3,6)， ∴ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ 离心率， 故选：C. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线经过定点 B. 过，两点的所有直线的方程为 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线方程中相关性质即可进行判断. 【详解】直线中，令，得， 所以直线经过定点，故A正确. 当时，过，两点所有直线的方程为 ，故B错误. 经过点且在轴和轴上截距都等于零时， 直线方程为：，故C错误. 设直线与两坐标轴交点为， 所以三角形的面积，故D正确. 故选：BC 10. 已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形ABCD一定是平行四边形 B. 四边形ABCD可能为菱形 C. AB的中点可能为 D. 的值可能为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性和双曲线的结合性质，结合中点弦问题“点差法”，以及直线的夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故，， 所以四边形ABCD一定是平行四边形，而直线AC，BD斜率之积为，则AC与BD不垂直，所以四边形ABCD不可能为菱形，A正确，B错误； 设，，则，， 两式作差得， 若的中点为，可得， 代入上式，求得，故AB的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 则，此时，故C错误； 当点A位于第一象限，点B位于第二象限， 设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，结合双曲线渐近线， 易知，，可得， 又因为，所以的取值范围为； 当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为． 综上的取值范围为，所以D正确． 故选：AD. 11. 在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，应用与平面的法向量，研究直线与平面的关系；应用与平面的法向量，研究直线与平面所成角的正切值；应用，求三棱锥的体积；先找三棱锥的外接球直径，再求外接球表面积. 【详解】解：由题意，在正方体中，棱长为2， 分别为棱，，的中点，为侧面的中心， 建立空间直角坐标系如图所示， AI 则，，，，， ，，，，， ， A项，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面PEF的一个法向量为，， 又因为直线面PEF，所以直线面.A正确； AI B项，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以，故.故B正确； C项， .故C不正确； D项，如图，三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线， 所以为三棱锥外接球的直径， 所以， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程______． 【答案】 【解析】 【分析】应用椭圆定义可判断顶点C的轨迹，应用待定系数法求轨迹方程，要注意排除三点共线情况. 【详解】因为，，所以， 又因为 的周长为16， 所以，并且. 所以顶点在以，为焦点的椭圆上， 设椭圆方程为， 因为，，，所以，， 又因为三点不共线，所以顶点的轨迹方程为. 故答案为： 13. 已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】联立方程解之可判断只有一个公共点时的直线条数. 【详解】解：联立， 消去得， 当，即时， 直线和直线分别与双曲线的渐近线平行， 故只有一个交点； 当时，由， 可得，此时直线与双曲线相切，故只有一个公共点. 故答案为：3 14. 设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】探求动点的轨迹，找出满足的不等关系，再转化为离心率解之即可. 【详解】因为动点满足，所以在以为直径的圆上. 又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得， 所以， 则，即， 同除得，解之得. 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点A(1，5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求 （1）顶点C的坐标； （2）直线BC的方程； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出点C的坐标，进而根据点C在中线上及求得答案； （2）设出点B的坐标，进而求出点M的坐标，然后根据中线的方程及求出点B的坐标，进而求出直线BC的方程. 【小问1详解】 设 C点的坐标为，则由题知，即. 【小问2详解】 设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线CM方程 则由题知，即，又，则， 所以直线BC方程为. 16. 如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为，所以， 又因为，可得为边上的高， 所以因为平面且平面 所以又因为且平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据的面积相等，得到再由平面证得结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面且， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为. 17. 圆过、两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）先求得两点，的中垂线方程，再与联立，求得圆心即可； （2）先由直线且被圆截得的弦长为6，求得圆到直线的距离，再分截距为零和不为零求解. 【小问1详解】 解：两点，的中垂线方程为：， 联立，解得圆心， 则， 故圆的方程为：； 【小问2详解】 由直线且被圆截得的弦长为6， 故圆心到直线的距离为， A．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：， ，此时直线的方程为： A．若直线不过原点，设直线为：， ， 此时直线的方程为：， 综上：直线的方程为：，，. 18. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1. （1）求双曲线的标准方程. （2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点到直线距离公式求出，再根据渐近线方程及，求出，，得到双曲线方程； （2）设出直线：，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线，的斜率之积为，列出方程，得到，得到直线方程，数形结合得到的面积. 【小问1详解】 由题意知焦点到渐近线的距离为，则， 因为一条渐近线方程为，所以， 又，解得：，， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 设直线：，，， 联立， 则， 所以，， 由 ， 解得或（舍去）， 所以，， ：，令，得， ， 所以的面积为. 19. 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）①； ②证明：由①知，， 所以 ， 故为定值． 【解析】 【分析】（1）根据离心率定义和三角形面积公式列方程组求解可得； （2）①直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理求解即可；②利用韦达定理代入化简即可得证. 【小问1详解】 因为满足，， 由已知得． 联立以上三式，解得，， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 ①将代入中， 消元并整理得， ， 设点，，， 因为中点的横坐标为，所以，解得． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $