8.6.2直线与平面垂直第3课时空间距离与线面垂直的综合问题导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第3课时　空间距离与线面垂直的综合问题 【学习目标】 　　1.能够解决简单的线面距离和面面距离问题. 　　2.进一步能熟练运用线面垂直的判定和性质定理证明一些与垂直有关的问题. ◆ 知识点　线面距离和面面距离 1.一条直线与一个平面平行时,这条直线上　　　　　　到这个平面的距离,叫作这条直线到这个平面的距离.  2.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的　　　　　　　到另一个平面的距离都相等,我们把它叫作这两个平行平面间的距离.  【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)棱柱、棱台的上、下底面间的距离就是它们的高. (　 ) (2)若α∥β,l为平面α内任意一条直线,则直线l到平面β的距离等于这两个平行平面间的距离. (　 ) (3)若α∥β,A∈α,B∈β,则线段AB的长度就是这两个平行平面间的距离. (　 ) 2.如何求直线到平面的距离和两个平行平面间的距离? ◆ 探究点一　线面距离与面面距离 例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2. (1)求点A到平面BCC1B1的距离; (2)求直线AB到平面A1B1C1D1的距离; (3)求平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离. 变式 (1)如图,在四面体OABC中,OA,OB,OC两两垂直,已知OA=OB=2,OC=1,则点O到平面ABC的距离为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. (2)如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=12,BC=6,AA'=5,分别过A'D'和BC的两个平行平面(平面A'EFD'和平面BE'F'C,其中E,F,E',F'分别在AB,CD,A'B',C'D'上)将长方体分为体积相等的三部分,求这两个平行平面之间的距离. [素养小结] 1.利用线面、面面平行转化:利用线面距、面面距的定义,转化为直线或平面上的一点到平面的距离. 2.利用中点转化:如果条件中具有中点条件,将一个点到平面的距离借助中点(等分点)转化为另一点到平面的距离. 3.通过换底转化:一是直接换底,以方便求几何体的高;二是将底面扩展(分割),以方便求底面积和高. ◆ 探究点二　线面垂直的综合应用 例2 如图,矩形ABCD是圆柱OO1的一个轴截面,点E在圆O上(异于A,B),F为DE的中点. (1)证明:BE⊥平面DAE; (2)当直线DE与平面ABE所成的角为45°时,证明:AF⊥平面BDE. 变式 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,底面三角形ABC是边长为2的等边三角形,D为AB的中点. (1)求证:BC1∥平面A1CD; (2)若直线CA1与平面A1ABB1所成的角为30°,求三棱锥B1-A1CD的体积. 第3课时　空间距离与线面垂直的综合问题 【课前预习】 知识点 1.任意一点　2.任意一点 诊断分析 1.(1)√　(2)√　(3)×　[解析] (3)只有当AB⊥α,AB⊥β时,线段AB的长度才是这两个平行平面间的距离. 2.解:根据定义,可将直线到平面的距离转化为直线上一个点到平面的距离.两个平行平面间的距离可先转化为直线到平面的距离,再转化为直线上一个点到平面的距离,也可直接转化为平面上一个点到平面的距离. 【课中探究】 探究点一 例1　解:如图. (1)点A到平面BCC1B1的距离为AB=4. (2)∵AB∥平面A1B1C1D1,AA1⊥平面A1B1C1D1,∴AB到平面A1B1C1D1的距离为AA1=2. (3)∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1,AB⊥平面ADD1A1,AB⊥平面BCC1B1,∴平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为AB=4. 变式　(1)D　[解析] 由题意得AB=2,AC=,BC=,在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB==,所以sin∠ACB=,所以S△ABC=×××=.设点O到平面ABC的距离为d,由VA-BOC=VO-ABC,得××2×1×2=×·d,解得d=,即点O到平面ABC的距离为.故选D. (2)解:长方体夹在两个平行平面之间的部分是一个棱柱,它以四边形A'EBE'为底面,A'D'为高. 根据题意得S四边形A'EBE'·A'D'=V长方体,即A'E'·AA'·A'D'=AB·BC·AA',∴A'E'=AB=4. 作E'H⊥A'E,H为垂足,∵A'D'⊥平面ABB'A',E'H⊂平面ABB'A',∴E'H⊥A'D'. 又A'E∩A'D'=A',∴E'H⊥平面A'EFD',即E'H的长度是所求两个平行平面之间的距离.在Rt△A'HE'中,E'H=A'E'·sin∠E'A'H=4sin∠B'E'B=4×==,即这两个平行平面之间的距离为. 探究点二 例2　证明:(1)因为DA⊥平面ABE,BE⊂平面ABE, 所以DA⊥BE. 因为AB为圆O的直径,所以BE⊥AE. 又DA∩AE=A,DA⊂平面DAE,AE⊂平面DAE, 所以BE⊥平面DAE. (2)因为DA⊥平面ABE,AE⊂平面ABE, 所以DA⊥AE,易知∠DEA即为直线DE与平面ABE所成的角,所以∠DEA=45°, 所以△DAE为等腰直角三角形,AD=AE. 因为F为DE的中点,所以AF⊥DE. 由(1)知,BE⊥平面DAE,又AF⊂平面DAE,所以BE⊥AF. 又BE∩DE=E,BE⊂平面BDE,DE⊂平面BDE, 所以AF⊥平面BDE. 变式　解:(1)证明:连接AC1交A1C于点E,连接DE. ∵D,E分别为AB,AC1的中点,∴DE∥BC1. 又BC1⊄平面A1CD,DE⊂平面A1CD,∴BC1∥平面A1CD. (2)在等边三角形ABC中,CD⊥AB, ∵AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,∴AA1⊥CD, 又AB∩AA1=A,AB,AA1⊂平面A1ABB1, ∴CD⊥平面A1ABB1, 故∠CA1D为CA1与平面A1ABB1所成的角. 在Rt△A1DC中,∠CA1D=30°,CD=, ∴A1D==3,∴AA1==2, 故==××CD=×2×=. 学科网（北京）股份有限公司 $$