河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高三上学期第一次月考（10月）数学试题

2024一2025学年高三（上）质检联盟第一次月考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 需 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：集合、逻辑用语、不等式、函数、导数、概率统计、三角函 数、平面向量。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 如 题目要求的. 1.已知集合A=(x|-2<x<0},B={x|-1<x≤5}，则AUB= 啟 A{x|-2<x<5} B.{x|-1<x<0) 毁 C.{x|-2<x≤5} D.{x|-2<x<-1} 长 2.曲线y=cos(4红+)的一条对称轴的方程可以为 区 B.x=- 24 12 舒 Cx-员 nx一透 达1福 3.已知向量a,b不平行，向量3a十4b与a-2b平行，则k= 都 A-是 B号 c-9 D.2 款 4.若m2-n2≠0，cos(a-B)=2m,cos(a十p)=2n,则tan atan= A.mt2n Bm十n m一n m一n C.m2n Dm二 m十n m十n 5.若甲、乙、丙、丁四人同上一辆有12节车厢的动车，则这4人恰有3人上同一节车厢的概率为 A福 R希 c品 D若 6.若函数f(x)=-1-tan(ar一)(w≠0)在(0,1)上单调递增，则u的取值范围是 的 A[-o) B(-受-] c(o,] D[-叭 【高三数学第1页（共4页）】 ·25-70C· 繁四 7.已知函数f(x)对任意xR,都有f(x)+f(-x)=1,f(x)的图象关于点(-，2)对称， 且f()=,则f(）= A.- B是 c- n.} 8.已知函数f(x)=e-e+x2-2x,若关于x的不等式f(m-sinx)+f(cosx)>m2+1 2 msin x有实数解，则m的取值范围为 A.(-√2，+∞) B.(W2,十o∞) C.(2,十o) D.（-∞，-2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某日，分针长为6cm的时钟从20：10走到20：35，分针转动的弧度为a,分针的针尖走过的弧 长为1，则 A.a=-5x 6 Ba-晋 C.l=5πcm D.l=6πcm 10.已知一组数据为1，x,y,3,4,x,1,1,3,2,其中0<x<y≤5，则 A.这组数据的中位数不可能为3 001 B.当这组数据的众数为1时，x≠3 市到背学 C.当|x-3引+|y一4=0时，这组数据的方差为1.25 D当这组数据的平均数为2.2时，是+的最小值为9 个药，吸的白 y 1已知a=2%点，6=h吕c- 30,则 A.c>a B.a>6 C.c>b D.b>a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2-x十logrx,则f(0)一f(一2) 13.一质点沿着正西方向从点A到达点B,AB=6m,在点A处测得点P在其北偏西30°方向， 且PA=(3+5)m,则PB=▲m. 14.若函数f(x)=sin(ur-)(w>0)的部分图象如图所示，且O心= u(OA+O),则f(x)的最小正周期为▲f(x)在(0,100x) 上的零点个数为▲ 【高三数学第2页（共4页）】 ·25-70C· 霸回出 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=x3-3x2-9x的导函数为f'(x). 1D求函数gx)=f)十己的最小值： (2)求f(x)在[-2,4]上的单调区间与最值. 16.(15分) 在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为ab,6,a=√3，sin2C= 13ccos C. (1)求A; 2若nB=2,求△ABC的周长 呢， 17.(15分) 贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面 有晕.贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一.已知该地 区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量M(单位：克)服从正态分布N(4,σ2)，且P(96 ≤M≤106)=0.7，P(94≤M≤96)=0.1.从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的 质量（单位：克）为101,102,100,103,99,98,100,99,97,101，这10个贵妃杏的平均质量恰 等于μ克. (1)求4. (2)求P(100<M≤104)， (3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克 且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵 妃杏.记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为X,求X的分布列与数学期望， 【高三数学第3页（共4页）】 ·25-70C· 霸 18.(17分)日 已知函数f(x)=8sinx十8cosx-√3sin4x. (1)若0的终边经过点(1，一√3)，0∈(-π，0)，求f(0)的值： (2)将f(x)的图象向左平移(p>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象，求p的最小值： (3)若函数gx)=√30+m了西(m<0)在[一牙·音]上的最大值为整数，求m的值， 19.(17分) 当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量x与之对应时，可以把这个函 数的函数值y作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x作为新的函数的函数 值，我们称这两个函数互为反函数例如，由y=3江，z∈R,得x=宁y∈R,通常用x表示 烯 自变量，则写成y=行，x∈R,我们称y=3x,x∈R与y=,x∈R互为反函数.已知函数 & f(x)与g(x)互为反函数，若A,B两点在曲线y=f(x)上，C,D两点在曲线y=g(x)上， 以A,B,C,D四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线y=x垂直， 则我们称这个矩形为f(x)与g(x)的“关联矩形”， 阔 (1若函数f(x)=丘，且点A(})在曲线y=f)上. 够 (1)求曲线y=f(x)在点A处的切线方程； (I)求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积. 阍 (2)若函数f(x)=lnx,且f(x)与g(x)的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为 S证明：S>2水e-)》广.（参考数据wE-1-n2<0) 【高三数学第4页（共4页）】 ·25-70C· 霸巴2024一2025学年高三（上）质检联盟第一次月考 数学参考答案 1.C因为A={x|-2<x<0},B={x|-1<x≤5}，所以AUB={x|-2<x≤5. 2B令红十号=k∈D,得x=经意k∈D.所以曲线y=0s(红十)的一条对称销 的方程可以为x=一是 3.A因为向量3a十4b与ka-2b平行，所以3a+4b=1(ka-2b)=λka-2b.因为向量a,b λk=3, 不平行，所以 解得入=-2k=一多 -2=4, 4.D cos(a-B)=cos acos B++sin asin B=2m,cos(a+8)=cos acos B-sin asin B=2n, 所以cos acos=m十，sin asin=m-,所以tan atan=sin asin2-m-” cos acos B m+n' 5A依题意可得这4人恰有3人上同-节车厢的概率为SA-山 124432 6.Dfx)=1十ian(一ar+),依题意可得-o>0,当x∈(0,1)时，-ar+平∈（年，-u十 )则-ω+<受，所以-开<<0， 7.B(方法-)因为fx)的图象关于点(-受，)对称，所以f(-x)十f(-x十x)=1, 又f(x)十f(一x)=1,所以f(x)=f(一π十x),所以f(x)是周期为π的周期函数，所以 f()=f(10x-)=f(-)=1-f()=是. （方法三原)-名n2z满起题意：得/出停)-日名ng-号名n(20 8.A令g(x)=f(x)-x2=e-e-2.x,则g'(x)=e十e-2>2e·e可-2=0，则 g(x)在R上单调递增，因为g(一x)=一g(x),所以g(x)是奇函数. 因为(m一sinx)2+(cosx)2=m2十1-2 nsin x,所以f(m-sinx)十f(cosx)>m2+1- 2 msin x等价于g(m一sinx)+g(cosx)>0, 则g(m一sinx)>一g(cos.x)=g(-cosx),所以m-sinx>-cosx, 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 ·25-70C· 即m>sinx-cosx=/2sin(x-开)，所以m>-√②. 9.AC因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度为负数，所以a=一35一10×2x= 60 -rlal-5x cm. 10.BCD当x≥3时，这组数据的中位数为3，A错误.当这组数据的众数为1时，若x=3,则 这组数据的众数为3，这与这组数据的众数为1矛盾，所以x≠3，B正确.当|x一3|十 y-4=0时x=3y=4,=2.5,2=0×(6×0.5+5X1.5)=1.25,C正确.当这组数 据的平均数为2.2时，2+y=22x10-15=7,则号+号-号（经+）2x+)=号(8时 ￥+号)≥8+2v15)-9当且仅当经-号即y=2x=号时，等号成立.D正确 1.ADa=2-2-06=h9-h品-n1-)e-6-高+h1-动》. 令fx)=x+ln1-re0,1.则fx)=1-己产<0，fx)在0，D上单调 递减所以局)f0=.即a<6.因为c-需-唇-√品房以6-=h 9 唇+令)=n-+a,+则)2 x 2F2√x 2-x-1_-(W元-1)2 2rT 2x9 <0,h(c)在(1，十∞)上单调递减，所以h(g)<h(1)=0,即 b<c. 12.2因为f(2)=0十1oga2=0+2=2,所以f(-2)=-f(2)=-2.又f(0)=0,故f(0)一 f(-2)=2. 13.42由题可知∠PAB=90°-30°=60°，在△ABP中，由余弦定理可得 PB=V62+(3+V5)2-2×6×(3+√5)cos60°=√32=4V2m 14号：380令r-吾=一受得r=一云则A(-无-小.令m一吾-受得x-% 则B(%.令ar一吾=得-恶则C(二o).因为父=aO+O丽.所以 6 (一乙+彩)：解得a-子所以1)=sm(号一看》f)的最小正周期为-积当 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 ·25-70C· r60,100x时号-吾∈(-吾，350x-君）.令1)=0.得号-吾=0，2x349 所以f(x)在(0,100π)上的零点个数为350. 15.解：(1)f'(x)=3.x2-6.x-9,… ……1分 3.x2-6.x-9=3(x2-2x)-9=3(x-1)2-12, …2分 g(x)=3(x-1)2+,1 12一122/3-12，…4分 当且仅当3x-10=D,即(x-1)=3,即x=1士行时，等号成立 所以g(.x)的最小值为2√3一12.…6分 (2)令f'(x)=0,得x=-1或x=3. 7分 当一1<x<3时，f'(x)<0,f(x)的单调递减区间为（一1,3）.…9分 当-2≤x<-1或3<x≤4时，f'(.x)>0,f(x)的单调递增区间为[-2，-1)，(3,4]. … …11分 因为f(-2)=-2,f(-1)=5,f(3)=-27,f(4)=-20, 所以f(x)在[一2,4]上的最大值为5，最小值为一27.…13分 16.解：1因为in2C-2 in CoC-图csC,所以C2 sin C …3分 3 因为iAC所以si血A 2, …5分 因为A为锐角，所以A= 3 …7分 (2)=asin B sin A 三4. …9分 在锐角△ABC中，a2=6+c2-2 ecosA,即13=16+c2-2X4ceos号， 解得C=1或C=3。… …12分 当C=1时，0sB=0+c6<0,B为饨角，不符合题意 2ac 当c=3时，经验证，符合题意。… …14分 故△ABC的周长为a十b十c=7十√/13.…15分 17.解：14=101+102+10+103+99+98+100+9+97+101=10.…2分 10 (2)因为以=100，所以P(104≤M≤106)=P(94≤M≤96)=0.1，…3分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 ·25-70C· 所t以P10M≤104)=0.7,0.1-0.3…5分 2 (3)设1人获赠贵妃杏的个数为Y,则P(Y=0)=0.5,P(Y=1)=0.3,P(Y=2)=0.2. …7分 依题意可得X的可能取值为0,1,2,3,4，…8分 P(X=0)=0.5×0.5=0.25,P(X=1)=0.5×0.3×2=0.3,…9分 P(X=2)=0.32十0.5X0.2X2=0.29,…10分 P(X=3)=0.3×0.2×2=0.12,P(X=4)=0.2×0.2=0.04,…11分 则X的分布列为 X 0 1 2 2 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 13分 所以E(X)=1×0.3+2×0.29+3×0.12+4×0.04=1.4. …15分 18.解：(1)因为0的终边经过点(1，一√3)，所以tan0=一√3， 又0∈(-π，0)，所以0=- 3 …1分 所以f0)=f(-5）=8×(-)°+8×（分）-3sm(-）-+日 =2.… …3分 (2)()-sinco 8 sin 4x-(sin'r+cos)-3sin'rcos'r-3sin'rcos' n=1-3(nz+oa)-9na=1-子m2x-怎 V3 1-cos 4.r 3 2 8号(n-8ms)-；-停n(:-哥》，则u=5 8 sin 4r=5 3 25im(4r-） …7分 将f(x)的图象向左平移g(p>0)个单位长度后得到f(x十)=5-23sim(4x+4g一) 的图象，…8分 依题意可得4g一=号十kπ(k∈Z0,………9分 则g费+年∈0.因为9>0，所以P器 5π …10分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 ·25-70C· （3)若x∈[-牙，晋]，则4x-∈[-受]… 11分 则sim4x-5）∈[-1，号]fx)∈[2.5+23]. 13分 设f(x)=t,则g(x)=h(t)=√30+mt,t∈[2,5+2√3] 因为m<0,所以h(t)为减函数，…14分 所以h(t)mx=h(2)=30+2m,h(t)mm=h(5+23)=W30+(5+23)m, 30十2m<30,30十(5十2√3)m≥0，…15分 5 又g(x)的最大值为整数，所以30+2m=25,即m=一 2 …17分 19.(1)解：(1)因为点A(行y)在曲线f(x)=反上，所以y=√年=2 …1分 由)=.得了x)2左则)=1 …2分 则曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y=x十 …3分 (i)由f(x)=√E,得g(x)=x(x≥0). …4分 根据对称性可设A,D关于直线y=x对称，可得D(号·)， 11 则-√+(- =-1 …5分 24 若AB⊥AD,则直线AB的方程为y=x+4,与曲线y=f(x)相切，不符合题意。…6分 y=x2, 若AC⊥AD,则直线AC的方程为y=x+,联立方程组 1解得x=1+2 2 或x y=x+ =12(舍去)， 2 …7分 …8分 则该"关联矩形”的面积S=AD11AC1=2×4十2_22+1 4 …9分 (2)证明：由f(.x)=lnx,得g(x)=e.…10分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 ·25-70C· 显然f(x)一g(x)<O,根据对称性可设A,D关于直线y一x对称，B,C关于直线y一x对 称，且AB⊥AD.设A(x1lnx1),B(x,lnxz),C(x3,e5),D(xe),其中x1<x2x< xg,且x4=lnx1,x8=nx2。…11分 因为“关联矩形”是正方形，所以|AB|=√2(x2一x1)=√2(lnx:一lnx1),|BC=√2(xg x）.由AB引=BC,得x1=x3=lnx2.…12分 由lnx2-lnx1=x2-x3,可得e1-2x1十lnx1=0.…13分 令h(0)=e-2x+lnx,则/'(x)=e+-2≥x+1+-2>0,则hx)在0，+o∞)上 单调通增由A(兮)=6-1-n2<0,可得，>号 …14分 S=AB12=2(x2-x1)2=2(e-x1)2. 15分 令(x)=e-x,则g'(x)=e-1,当x∈(0，十oo)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，则 gt,=e-x>E-2>0. …16分 从而s=2(e-x)2>2e-2)月. ........ 17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】 ·25-70C·