专题02 数轴与相反数（思维导图+4考点精讲+经典题型（16种）+5种解题方法）-2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

专题02数轴与相反数 （思维导图+4考点精讲+经典题型（16种）+5种解题方法） 【思维导图】 【考题目录】 【考点精讲】 考点一 数轴 数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 【补充】 1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； 2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变； 3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 数轴的画法： 1）画一条直线； 2）在这条直线上任取一点作为原点，这点表示0； 3）确定正方向：通常规定直线上向右为正方向，画上箭头； 4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地,设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. 【易错点】所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 考点二 利用数轴比较有理数大小的方法 利用数轴比较有理数大小的方法：正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 考点三 相反数 相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的. 性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 2）一个有理数有且只有一个相反数； 3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0. 几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧. 2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数. 考点四 求相反数 求相反数的方法： 1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； 2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”， 如：（a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a， 注意：添加“－”时式子整体不要忘记加括号. 【经典题型】 题型一 数轴的三要素及其画法 1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ） A． B． C．D． 2.（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23七年级上·山东聊城·开学考试）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 题型二 用数轴上的点表示有理数 1．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，数轴上表示的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 3．（23-24七年级上·广东肇庆·期中）(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）小花在做题时，画了一条数轴，数轴上原有一点A，其表示的数是﹣2，由于粗心．把数轴的原点标错了位置，使得点A正好落在﹣2的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点怎样移动？ 题型三 利用数轴比较有理数的大小 1．（23-24七年级上·四川达州·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）有理数在数轴上对应的点如图所示，下列各数一定比大的是（ ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·河南南阳·期中）如图，数轴上的两个点分别表示有理数和，则数可以是 . 4．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数在数轴上表示出来．并用“”把它连接起来． ，，，，， 题型四 数轴上两点之间的距离 解题方法： 1）若两数大小已知，数轴上两点之间的距离=大数-小数=右数-左数； 2）若两数大小未知，可加绝对值表示距离.即：数轴上数m所对应点和数n对应点之间的距离为|m-n|. 简称：数轴公式大减小，大小未知带绝对值. 【易错点】在数轴到已知点距离相等的点有两个，注意分类讨论． 1．（2024·江苏扬州·三模）若数轴上表示和6的两点分别是点P和点Q，则点P和点Q之间的距离是（    ） A．3 B．6 C． D．9 2．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）数轴上的点到原点的距离是10，则点表示的数为（    ） A．10或 B．0 C． D．10 3．（23-24九年级下·湖南株洲·期中）如图，在数轴有A、B两点，点A表示的数是，若，则点B表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 题型五 应用数轴解决实际问题 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）如图，A、、是一条公路上的三个村庄，A、间的路程为，A、间的路程为，现要在A、之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ） A．点处 B．线段之间 C．线段之间 D．线段之间 2．（23-24七年级上·云南昆明·期中）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了千米到达小明家，继续走了千米到达小红家，又向西走了千米到达小刚家，最后回到百货大楼．以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向． (1)用个单位长度表示千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置； (2)小明家与小刚家相距______． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离． 请回答以下问题： (1)若表示一个有理数，，则______． (2)若表示一个有理数，的最小值_____． (3)在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人，现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具，为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）某牛奶厂在一条南北走向的大街上设有O，A，B，C四家经销店． A店位于O店的西面3千米处；B店位于O店的东面1千米处，C店在B店的东面2千米处． (1)请以O为原点，向东的方向为正方向，1个单位长度表示1千米，画一条数轴． 你能在数轴上分别表示出O，A，B，C的位置吗？ (2)牛奶厂的送货车从O店出发，要把一车牛奶先送到A，再返回送到B，然后送到C家，最后回到O店；那么它走的总路程是多少千米？ 题型六 利用特殊值法判断式子正负的方法 1．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·北京昌平·期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级上·河北保定·期末）在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式①；②；③；一定成立的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（23-24七年级上·黑龙江七台河·期中）有理数a，b在数轴上的位置如下图所示，在下列结论中：①；②；③；④；⑤．结论正确的有 ．    题型七 辨别相反数的概念 1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②是负数；③a与必有一个是负数；④a与互为相反数，其中正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．④ 2．（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）下列四个数中，其相反数是正整数的是（   ） A．3 B． C． D． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是 4．（23-24七年级上·福建漳州·期末）如图，2的相反数在数轴上的位置为（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型八 判断两个数互为相反数 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图表示互为相反数的两个点是（　　） A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 2．（22-23七年级上·河南商丘·期中）下列各对数中，互为相反数的（    ） A．和2 B．和 C．和 D．和 3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各对数中，互为相反数的有（   ） 与；与；与；与；与 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 题型九 求一个数的相反数 1．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（    ） A． B．2024 C． D． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一个数的相反数是，那么这个数是（     ）． A． B． C． D．5 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 4．（23-24七年级上·广东湛江·期末）有理数的相反数是（    ） A． B． C． D． 题型十 相反数的性质 1．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如果与互为相反数，那么的值是（    ） A． B． C． D．2024 2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）如果a的相反数是最大的负整数，b的相反数是最小的正整数，则 ． 题型十一 由相反数的性质求值 1．（22-23七年级下·山东济宁·期末）一个数a在数轴上表示的点是A，当点A在数轴上向左移动了6个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是 ． 2．（22-23七年级上·甘肃武威·期末）若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ． 3．如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 4．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）数轴上有三点．点表示的数互为相反数，且点在点的左边，同时点相距8个单位；点相距2个单位．点表示的数各是多少？ 题型十二 多重符号化简 解题方法：在进行多重符号化简时，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”,都可以把“+”去掉，其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”，当“-”的个数为奇数时，结果取“-”,简称“奇负偶正”. 1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·甘肃天水·期中）化简： ； ； ； ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． (7)问：①当前面有2022个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2023个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 题型十三 相反数的应用 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示．    (1)在数轴上分别用，两点表示，； (2)若数与表示的点相距20个单位长度，则与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，则与表示的数是多少？ 3．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是______，点表示的数是______；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是______． (2)数和在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为______． 题型十四 数轴中点的简单移动 解题方法： 1）确定起始位置对应的数； 2）确定滚动的距离:图形周长×滚动的圈数； 3）确定终点的位置:起始点+滚动的距离(向右滚动)； 起始点-滚动的距离(向左滚动). 即：终点位置= 起始点±图形周长×滚动的圈数(刚好滚动整数圈). 注意：在正多边形转动问题中，如果转动的不是整数圈，则用“转动次数÷边数”得到的商为转动的圈数，这样先计算出“次终点”对应的数，然后根据余数得到终点位置对应的数. 1．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图所示，圆的周长是4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A、B、C、D，先将圆周长的字母A对应的点与数轴上的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动（无滑动），那么数轴上的所应的点与圆周上字母（    ）所对应的点重合 A．A B．B C．C D．D 2．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 3．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 4．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 题型十五 数轴上的整数点覆盖问题 解题策略：长度为n(n为正整教)的线段，最多能够覆盖数轴上的(n十1)个整数点，最少能够覆盖数轴上的n个整数点. 解题大招：n或n+1 1．（21-22七年级上·江苏南通·期中）一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 2．（23-24七年级上·重庆·期中）数轴上表示数的点和表示数的点之间的整数点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（　　） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 4．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 题型十六 数轴上的动点问题 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为 t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置+移动距离. 向左移动:初始位置-移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数； (2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 2．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 3．（22-23七年级上·湖南株洲·期中）阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 4．（22-23七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒个单位长度的速度来回移动，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，……. (1)求出秒钟后动点所在的位置； (2)第次移动后，点在表示数______的位置上，运动时间为______； (3)第次移动后，点运动时间为______，当为奇数时，点在表示数______的位置上；当为偶数时，点在表示数______的位置上； (4)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与重合，若能，则第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02数轴与相反数 （思维导图+4考点精讲+经典题型（16种）+5种解题方法） 【思维导图】 【考题目录】 【考点精讲】 考点一 数轴 数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 【补充】 1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； 2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变； 3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 数轴的画法： 1）画一条直线； 2）在这条直线上任取一点作为原点，这点表示0； 3）确定正方向：通常规定直线上向右为正方向，画上箭头； 4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地,设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. 【易错点】所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 考点二 利用数轴比较有理数大小的方法 利用数轴比较有理数大小的方法：正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 考点三 相反数 相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的. 性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 2）一个有理数有且只有一个相反数； 3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0. 几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧. 2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数. 考点四 求相反数 求相反数的方法： 1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； 2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”， 如：（a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a， 注意：添加“－”时式子整体不要忘记加括号. 【经典题型】 题型一 数轴的三要素及其画法 1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是数轴的定义，数轴是规定了原点，正方向和单位长度的直线；根据上述定义，逐一判断各选项，即可得到结论． 【详解】解：A．没有规定正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； B．有了原点，正方向和单位长度，是数轴，故本选项符合题意； C．没有负半轴，且不是直线，故不是数轴，故本选项不符合题意； D．单位长度不均匀，不是数轴，故本选项不符合题意； 故选：B． 2.（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴的三要素和画法，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答本题的关键． 根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：（1）（3）单位长度不统一，错误；（2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误；（4）符合数轴的特点，正确． 故选：A． 3．（22-23七年级上·山东聊城·开学考试）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【答案】作图见解析 【分析】本题考查数轴的画法，用数轴上的点表示有理数．先根据数轴的三要素画出数轴，再根据数轴上的点所对应的数标出来即可．掌握数轴的三要素，准确地画出数轴是解题的关键． 【详解】解：将数，，，，，在数轴上表示如图所示：    题型二 用数轴上的点表示有理数 1．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，数轴上表示的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴上点的关系，根据有理数与数轴上点一一对应即可求解． 【详解】解：， ∴在数轴的与之间，靠近的位置，即点的位置， 故选：B ． 3．（23-24七年级上·广东肇庆·期中）(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 【答案】(1)，，，表示的数分别是：，，，； (2)见解析． 【分析】（）根据数轴可以直接写出点，，、表示的数； （）画出数轴，在数轴上描出题目中两个数在数轴上对应的点； 此题主要考查了数轴，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度． 【详解】（1）由数轴可得，点，，，表示的数分别是：，，，； （2）先画出数轴，表示如下图所示：    4．（2024七年级上·江苏·专题练习）小花在做题时，画了一条数轴，数轴上原有一点A，其表示的数是﹣2，由于粗心．把数轴的原点标错了位置，使得点A正好落在﹣2的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点怎样移动？ 【答案】向右移动4个单位长度，画数轴见解析 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的特点．先根据题意画出数轴，便可直观解答． 【详解】解：向右移动4个单位长度，正确画数轴为： 题型三 利用数轴比较有理数的大小 1．（23-24七年级上·四川达州·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上有理数的大小比较，正负数，解题的关键是熟练掌握数轴上有理数的大小比较法则，根据数轴上的数，以右为正方向时，右边的数永远大于左边的数，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）有理数在数轴上对应的点如图所示，下列各数一定比大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得到x的取值，故可判定大小．此题主要考查数轴的应用，解题的关键是熟知根据数轴得到x的取值． 【详解】解：由数轴得到x的取值为， ∴ 故选：C． 3．（22-23七年级上·河南南阳·期中）如图，数轴上的两个点分别表示有理数和，则数可以是 . 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据数轴上，右边的数总比左边的大，得到a的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据数轴得：， ∴a可以是0． 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键． 4．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数在数轴上表示出来．并用“”把它连接起来． ，，，，， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查数轴的知识，解题的关键是学会在数轴上表示有理数，根据数轴的性质，进行有理数大小的比较，即可． 【详解】解：用数轴表示如下： ∴用“”表示为：． 题型四 数轴上两点之间的距离 解题方法： 1）若两数大小已知，数轴上两点之间的距离=大数-小数=右数-左数； 2）若两数大小未知，可加绝对值表示距离.即：数轴上数m所对应点和数n对应点之间的距离为|m-n|. 简称：数轴公式大减小，大小未知带绝对值. 【易错点】在数轴到已知点距离相等的点有两个，注意分类讨论． 1．（2024·江苏扬州·三模）若数轴上表示和6的两点分别是点P和点Q，则点P和点Q之间的距离是（    ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据数轴上两点间的距离公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵数轴上表示和6的两点分别是点P和点Q， ∴点P和点Q之间的距离是， 故选：D． 2．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）数轴上的点到原点的距离是10，则点表示的数为（    ） A．10或 B．0 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，分两种情况：当点在原点的左边时；当点在原点右边时；分别计算即可得出答案． 【详解】解：当点在原点的左边时，；当点在原点右边时，， 故选：A． 3．（23-24九年级下·湖南株洲·期中）如图，在数轴有A、B两点，点A表示的数是，若，则点B表示的数是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解．根据，求出，继而可以求出点B表示的数． 【详解】解：∵，点A表示的数是， ∴， ∵点B在O点右侧， ∴点B表示的数为：， 故答案为：2024． 4．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 【答案】(1)7 (2)4 (3)另一个点表示的数为17或7 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在表示12的点的右侧或当另一个点在表示12的点的左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段， 故答案为：7； （2）解：数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段， 故答案为：4； （3）解：由题可得：①当另一个点在表示12的点的右侧时，； ②当另一个点在表示12的点的左侧时，， 综上，另一个点表示的数为17或7． 题型五 应用数轴解决实际问题 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）如图，A、、是一条公路上的三个村庄，A、间的路程为，A、间的路程为，现要在A、之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ） A．点处 B．线段之间 C．线段之间 D．线段之间 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，分类讨论思想的运用，设P、C间的路程为，分类讨论，当点P在点C的左侧和点P在点C的右侧，根据两点间的距离即可求解． 【详解】解：设P、C间的路程为，由题意，得： 如图1，当点P在点C的左侧． 车站到三个村庄的路程之和为：； 如图2，当点P在点C的右侧， 车站到三个村庄的路程之和为：． 综上所述：车站到三个村庄的路程之和为； 设车站到三个村庄的路程之和为y，由题意，得， ∴当时． ∴当车站建在村庄C处，车站到三个村庄的路程之和最小． 故选：A． 2．（23-24七年级上·云南昆明·期中）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了千米到达小明家，继续走了千米到达小红家，又向西走了千米到达小刚家，最后回到百货大楼．以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向． (1)用个单位长度表示千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置； (2)小明家与小刚家相距______． 【答案】(1)见解析； (2)6.5． 【分析】（）根据题意即可在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置； （）用小明家在数轴上对应的数减去与小刚家在数轴上对应的数即可； 本题考查了正数与负数，数轴上两点间的距离，正确理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：小明、小红、小刚家的位置如图所示： （2）解：， ∴小明家与小刚家相距， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离． 请回答以下问题： (1)若表示一个有理数，，则______． (2)若表示一个有理数，的最小值_____． (3)在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人，现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具，为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置． 【答案】(1)或4 (2)3 (3)当为偶数时，工作台可设置在第个工作台处；当为奇数时，工作台可设置在第个和第个工作台之间任何位置（包括第个和第个工作台的位置） 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）根据题意，由数轴上与表示有理数1的点之间的距离为3的点的位置，即可获得答案； （2）根据题意，可知表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离，作出图形，分情况讨论，即可获得答案； （3）分别分析计算当有2个、3个、4个、5个、6个工作台时，工具台应放置的位置，找出规律，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离， 如下图， 若， ∵数轴上与表示有理数1的点的距离为3的点有两个，分别为表示有理数的点和表示有理数4的点， ∴或4； 故答案为：或4； （2）∵， ∴表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 又∵表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离， ∴当表示有理数的点在表示有理数的点左侧时，如下图， 此时， 当表示有理数的点与表示有理数的点重合时，如下图， 此时， 当表示有理数的点在表示有理数的点与表示有理数2的点中间时，如下图， 此时， 当表示有理数的点与表示有理数2的点重合时，如下图， 此时， 当表示有理数的点在表示有理数2的点右侧时，如下图， 此时． 综上所述，的最小值． 故答案为：3； （3）①如下图，当流水线上排列了2个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为1； ②如下图，当流水线上排列了3个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台与第2个工作台之间任何位置（包括第1个和第2个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为3； ③如下图，当流水线上排列了4个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为5； ④如下图，当流水线上排列了5个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台与第3个工作台之间任何位置（包括第2个和第3个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为8； ⑤如下图，当流水线上排列了6个工作台时， 工具台可设置在第3个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为11； ……； 综上所述，当为偶数时，工作台可设置在第个工作台处；当为奇数时，工作台可设置在第个和第个工作台之间任何位置（包括第个和第个工作台的位置）． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）某牛奶厂在一条南北走向的大街上设有O，A，B，C四家经销店． A店位于O店的西面3千米处；B店位于O店的东面1千米处，C店在B店的东面2千米处． (1)请以O为原点，向东的方向为正方向，1个单位长度表示1千米，画一条数轴． 你能在数轴上分别表示出O，A，B，C的位置吗？ (2)牛奶厂的送货车从O店出发，要把一车牛奶先送到A，再返回送到B，然后送到C家，最后回到O店；那么它走的总路程是多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)12千米 【分析】（1）以店所在的位置作为原点，向右作为正方向，一个单位长度代表1千米，即可作出数轴； （2）根据数轴即可确定路程． 【详解】（1）解：如图所示，   ． （2）解：走的路线为， ， 答：它走的总路程是12千米． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点的距离，借助数轴用几何方法是解题的有效途径． 题型六 利用特殊值法判断式子正负的方法 1．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，由数轴得出，再逐项判断即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，，故ABD正确，C错误， 故选：C． 2．（23-24七年级上·北京昌平·期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，由数轴可得，，据此即可求得答案． 【详解】解：由数轴可得，， 则， 故选：B． 3．（21-22七年级上·河北保定·期末）在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式①；②；③；一定成立的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴化简式子，在数轴上表示有理数，根据越在数轴的右边的数越大，据此即可． 【详解】解：依题意，由数轴得 则，故①是正确的； 则，故②是错误的； 则，故③是错误的； 则，故是正确的； 则，故是正确的； 则，故是错误的； 综上，有3个是正确， 故选：A． 4．（23-24七年级上·黑龙江七台河·期中）有理数a，b在数轴上的位置如下图所示，在下列结论中：①；②；③；④；⑤．结论正确的有 ．    【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了数轴的性质，绝对值的化简，整式的加减，正确化简绝对值是解答本题的关键； 先判断出然后对每一个式子进行判断即可； 【详解】解：由图可得：， ，①正确； ，②错误； ，③错误； ， ，④正确； 结合图像可得，，⑤正确； 故答案为：①④⑤． 题型七 辨别相反数的概念 1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②是负数；③a与必有一个是负数；④a与互为相反数，其中正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类与相反数，掌握0的特殊性是解题关键．根据有理数分为正数、0、负数可以判断①②说法；根据当时，，可以判断③说法；根据相反数的定义，可以判断④说法． 【详解】解：①可能是正数，可能是负数，也可能是0，原说法错误； ②可能是正数，可能是负数，也可能是0，原说法错误； ③当时，，a与都不是负数，原说法错误； ④a与互为相反数，原说法正确， 则正确的序号是④， 故选：D． 2．（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）下列四个数中，其相反数是正整数的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数和正整数．根据“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】解：和都是分数，其相反数也是分数，不是正整数， 3的相反数是，不是正整数， 的相反数是2，是正整数， 故选：C． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0． 根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【详解】解：A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意； B．与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； C．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； D．的相反数是，所以原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（23-24七年级上·福建漳州·期末）如图，2的相反数在数轴上的位置为（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，在数轴上表示有理数．熟练掌握相反数，在数轴上表示有理数是解题的关键． 根据相反数，在数轴上表示有理数进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知 ，2的相反数是， 由数轴可知，表示的数的点为点B， 故选：B． 题型八 判断两个数互为相反数 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图表示互为相反数的两个点是（　　） A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的点代表有理数，以及相反数的定义， 根据数轴得出有理数，然后再根据相反数的定义即可得出答案． 【详解】解：．点A代表的数是，点B代表的数是2，与2不互为相反数，故该选项不符合题意； ．点A代表的数是，点D代表的数是3 ，与3互为相反数，故该选项符合题意； ．点C代表的数是，点B代表的数是2， 与2不互为相反数，故该选项不符合题意； ．点C代表的数是，点D代表的数是3，与3不互为相反数，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（22-23七年级上·河南商丘·期中）下列各对数中，互为相反数的（    ） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数，掌握多重符号的化简是解题的关键． 根据相反数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、不互为相反数，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查的是相反数的概念及多重符号的化简，解题的关键是能正确对多重符号进行化简 ． 根据负负得正，正负为负的原则先将每个选项的式子化简，再根据相反数的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A．，，故选项不符合题意； B．，，故选项不符合题意； C．，，故选项符合题意； D．，，故选项不符合题意． 故选：C． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各对数中，互为相反数的有（   ） 与；与；与；与；与 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】各数能化简的先进行化简，然后根据相反数的概念进行判断．本题考查了化简多重符号，相反数，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答本题的关键． 【详解】解：与互为相反数； ∵，， ∴与互为相反数； ∵，， ∴与相等，不互为相反数； ∵，， ∴与相等，不互为相反数； ∵，， ∴与互为相反数； 即互为相反数的有3对． 故选：C． 题型九 求一个数的相反数 1．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（    ） A． B．2024 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是， 故选：A 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一个数的相反数是，那么这个数是（     ）． A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查相反数，掌握数a的相反数是是解题的关键． 【详解】解：一个数的相反数是，那么这个数是5， 故选D． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数，根据相反数的定义直接解答即可．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】解：的相反数是． 故选：C． 4．（23-24七年级上·广东湛江·期末）有理数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 题型十 相反数的性质 1．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如果与互为相反数，那么的值是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的应用，根据相反数的定义：相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，即可得到答案，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴的值是， 故选：D． 2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出m和1互为相反数是解决问题的关键． 由数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，可得m和1互为相反数，由此即可求得的值． 【详解】解：∵数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等， ∴m和1互为相反数， ∴． 故选：D． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 移项合并得：， 故选：B． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）如果a的相反数是最大的负整数，b的相反数是最小的正整数，则 ． 【答案】0 【分析】a的相反数是最大的负整数，则， b的相反数是最小的正整数，则，代入计算即可． 【详解】∵a的相反数是最大的负整数， ∴， ∵b的相反数是最小的正整数， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数的性质，最大的负整数是，最小的正整数是1，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 题型十一 由相反数的性质求值 1．（22-23七年级下·山东济宁·期末）一个数a在数轴上表示的点是A，当点A在数轴上向左移动了6个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是 ． 【答案】3 【分析】由题意得，且，联立解答即可． 【详解】解：由题意得：，，解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了相反数的应用，解题的关键是能根据题意列出方程，． 2．（22-23七年级上·甘肃武威·期末）若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ． 【答案】1 【分析】根据题意求得a与b的关系，c，d的值，代入代数式求值． 【详解】∵a，b互为相反数， ∴， ∵c是最小的非负数， ∴， ∵d是最小的正整数， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查互为相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 3．如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    4．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）数轴上有三点．点表示的数互为相反数，且点在点的左边，同时点相距8个单位；点相距2个单位．点表示的数各是多少？ 【答案】点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为或 【分析】先根据相反数的定义设出、两点所表示的数，再根据数轴上两点之间的距离公式解答即可． 【详解】解：∵点、表示的数互为相反数，且点在点的左边 ∴为负数，为正数 ∵点、相距个单位长度 ∴点表示的数为，点表示的数为 ∵点、相距个单位长度 ∴点表示的数为或 ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为或．如图所示： 故答案是：点表示的数为，点表示的数为，点表示的．数为或 【点睛】本题考查的是数轴的特点及相反数的定义，熟知数轴上两点之间距离的定义是解答此题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 题型十二 多重符号化简 解题方法：在进行多重符号化简时，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”,都可以把“+”去掉，其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”，当“-”的个数为奇数时，结果取“-”,简称“奇负偶正”. 1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义解答即可，本题考查了相反数，多重符号的化简方法，熟练掌握以上方法是解题的关键． 【详解】解：A、，不符合题意 B、，不符合题意 C、，符合题意 D、，不符合题意 故选：C． 2．（23-24七年级上·甘肃天水·期中）化简： ； ； ； ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义化简相应符号即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是利用相反数的定义化简符号． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1)3，与互为相反数 (2)1.2，，与互为相反数 (3)， (4)， 【分析】首先化简各对数，然后根据相反数的概念求解即可． 【详解】（1）， 所以与互为相反数； （2），， 所以与互为相反数； （3），， 所以与相等； （4），， 所以与相等． 【点睛】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0．只有符号不同的两个数互为相反数． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． (7)问：①当前面有2022个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2023个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)2 (2) (3) (4) (5)5 (6) (7)①；②；总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据相反数的定义分别进行化简即可； （7）根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． （7）解：①当前面有2022个负号，化简后结果是． ②当前面有2023个负号，化简后结果． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【点睛】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． 题型十三 相反数的应用 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相反数的意义，有理数与数轴，根据数轴比较有理数的大小； （1）根据题意确定原点的位置，进而即可求解； （2）先化简，，然后再在数轴上表示各数，即可求解； （3）根据数轴上右边的数大于左边的数，用“”连接起来． 【详解】（1）解：∵直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数， ∴点表示是数是，点表示的数是 故答案为：． （2）解：，， 如图所示， （3）解：根据数轴可得， 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示．    (1)在数轴上分别用，两点表示，； (2)若数与表示的点相距20个单位长度，则与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，则与表示的数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)表示的数是，表示的数是10 (3)表示的数是5，表示的数是 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此求出表示的点到原点的距离为，结合数轴即可作答； （3）结合（1）的图形，可得，先求出表示的点到原点的距离为，问题随之得解． 【详解】（1）如图，    （2）数与其相反数相距20个单位长度， 则表示的点到原点的距离为， ∴结合数轴，表示的数是， 即表示的数是； （3）如图，    即有， ∵表示的点到原点的距离为10，而数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度， ∴表示的点到原点的距离为， ∴表示的数是5，表示的数是． 【点睛】本题考查的是相反数的定义等知识，熟知以上知识是解答此题的关键． 3．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是______，点表示的数是______；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是______． (2)数和在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为______． 【答案】(1)-2，3，-0.5； (2)b<-a<a<-b． 【分析】（1）根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； （2）根据各点之间的相对位置、原点位置及相反数的性质解答 ． 【详解】（1）解：由题意可知：AB=2，AC=5，BC=3， ∴以为原点时，点表示的数是-2，点表示的数是3， 若，表示的两个数互为相反数，则AC的中点（如图，设为D）为原点， ∴AD=2.5，BD=0.5，且D在B的右边， ∴点表示的数是-0.5； （2）如图，可以把-a、-b在数轴上表示出来， ∴根据数轴的意义可得： b<-a<a<-b． 【点睛】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键． 题型十四 数轴中点的简单移动 解题方法： 1）确定起始位置对应的数； 2）确定滚动的距离:图形周长×滚动的圈数； 3）确定终点的位置:起始点+滚动的距离(向右滚动)； 起始点-滚动的距离(向左滚动). 即：终点位置= 起始点±图形周长×滚动的圈数(刚好滚动整数圈). 注意：在正多边形转动问题中，如果转动的不是整数圈，则用“转动次数÷边数”得到的商为转动的圈数，这样先计算出“次终点”对应的数，然后根据余数得到终点位置对应的数. 1．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图所示，圆的周长是4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A、B、C、D，先将圆周长的字母A对应的点与数轴上的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动（无滑动），那么数轴上的所应的点与圆周上字母（    ）所对应的点重合 A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【分析】本题考查数轴，以及循环的有关知识，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成．圆每转动一周，A、B、C、D循环一次，与1之间有2024个单位长度，即转动，从而可得答案． 【详解】解：， 而， 所以数轴上的所对应的点与圆周上字母A所对应的点重合． 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 【答案】(1) (2) (3)①3；②9 【分析】（1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点； （3）①先判断每次滚动后点的位置，再根据所得结果判断点距离原点最近和点距离原点最远的出现的次数； ②根据正方形结束运动时，点C的位置得出其所表示的数即可． 此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点4向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以在滚动过程中，点经过数轴上的数； 故答案为：； （3）①因为5次运动后，点依次对应的数为： ； ； ； ； 所以第3次滚动后，点距离原点最远； ②由①可得: 当正方形结束运动时, 此时点表示的数是， ∴点表示的数为：， 故答案为：①3；②9． 3．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)2 (2)①；②A表示的数是，B表示的数是 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离， （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①同（1）求解即可； ②根据结合A、B关于对称进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， 又∵数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴折痕处表示的数为0， ∴数轴上数表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）解：①∵表示的点与3表示的点重合， 又∵数轴上数表示的点与数3表示的点关于点1对称， ∴折痕处表示的数为1， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； ②∵， ∴点A、B到的距离均为， 又∵A在B的左侧， ∴A、B两点表示的数分别是，． 4．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键． （1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题． （2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题． 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3； …， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时， ， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时， 可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知， ， 则折点所表示的数为1． 因为， 所以表示5的点与表示的点重合． 故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同， 所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013． 故答案为：，1013． ③由折叠可知， ， 因为点M、N表示的数分别是、8， 所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3， 所以． 因为，， 所以点P表示的数为． 故答案为：． 题型十五 数轴上的整数点覆盖问题 解题策略：长度为n(n为正整教)的线段，最多能够覆盖数轴上的(n十1)个整数点，最少能够覆盖数轴上的n个整数点. 解题大招：n或n+1 1．（21-22七年级上·江苏南通·期中）一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了运用数轴表示数，结合数轴得出墨迹在的范围内，且要求找出整数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，墨迹在的范围内， ∵要求是整数， ∴满足的数：，共有13个， 故选：B． 2．（23-24七年级上·重庆·期中）数轴上表示数的点和表示数的点之间的整数点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，根据题意得到和之间的整数有，0，1，2，3共5个，据此即可求解． 【详解】解：和之间的整数有：，0，1，2，3， 共5个， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的整数点个数为5． 故选：C 3．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（　　） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 【答案】C 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，能够理解什么情况最多是解决本题的关键． 令这条线段的一端与某一整数点对齐，此线段能够盖住的整数点的个数最多，据此作答即可． 【详解】解：， 把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点若记作0，则覆盖的最后一个数是2013，因而共有从0到2013共有2014个数， 此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是2014个． 故选：C． 4．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴，并利用分类讨论是解题关键．分类讨论：从整点到整点，从不整点到不整点，可得答案． 【详解】解：从整点到整点，线段盖住的整点个数为个， 从不整点到不整点，线段盖住的整点个数为个， 则线段盖住的整点的个数是或， 故答案为：或． 题型十六 数轴上的动点问题 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为 t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置+移动距离. 向左移动:初始位置-移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数； (2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)点C表示的数为2 (2)存在，x的值为或14.5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离： （1）根据点C到A、B两点的距离相等，求得点A、B间的距离，再用点B表示的数减去A、B两点间距离的一半即可得到点C表示的数； （2）由A、B两点的距离为16，可知点C在不可能在点A，B之间，再分两种情况：①当点C在点A的左边时，②当点C在点B的右边时，求解即可． 【详解】（1）解：因为点C到A、B两点的距离相等，且点A、B间的距离为， 所以点C表示的数为． （2）解：存在，且x的值为或14.5．理由如下： 因为点A、B间的距离， 所以点C在不可能在点A，B之间， 所以当点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25时，以下两种情况： ①当点C在点A的左边时，； ②当点C在点B的右边时，． 综上所述，x的值为或14.5． 2．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】此题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据数轴上的动点情况列方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可求解； （2）①根据追及问题的等量关系，利用点的运动距离减去点的运动距离，列方程即可；②根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （2）①根据题意得：， 解得：， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②当点与点相遇前距离为个单位长度， ， 解得：； 当点与点相遇后距离为个单位长度， ， 解得：， 答：当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 3．（22-23七年级上·湖南株洲·期中）阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)不变，理由见解析； (3)或或． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边； 本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）不变，理由： 因为：经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， 所以：，， ∵， ∴，， ∴，， 所以：， 所以的值不会随着时间的变化而改变； （3）经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得：， 当时，点在还点处， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 综上所述，、两点间的距离为或或． 4．（22-23七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒个单位长度的速度来回移动，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，……. (1)求出秒钟后动点所在的位置； (2)第次移动后，点在表示数______的位置上，运动时间为______； (3)第次移动后，点运动时间为______，当为奇数时，点在表示数______的位置上；当为偶数时，点在表示数______的位置上； (4)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与重合，若能，则第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4)1140秒或1164秒 【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度×时间求出路程，进而求得时间； （3）根据（1）（2）的规律，表示出运动的路程，进而分奇数与偶数分类讨论，即可求解； （4）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】（1）解：， 点走过的路程是， 处于：； （2）解：Q处于：； ∴点Q走过的路程是 秒， 故答案为：，． （3）解：第次移动后，点运动时间为， 设，当为奇数时， ∴点在表示数为的位置上； 当为偶数时，点在表示数的位置 故答案为：，，． （4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则 ， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒； ②当点原点左边时，设需要第次到达点，则， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒． 【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$