第3章《数据的集中趋势和离散程度》章节总复习（6个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科版数学九年级上册同步培优核心考点讲练 第3章《数据的集中趋势和离散程度》章节总复习 （6个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 目录 考点讲练1：算术平均数 1 考点讲练2：加权平均数 1 考点讲练3：中位数 2 考点讲练4：众数 2 考点讲练5：计算器-平均数 3 考点讲练6：方差 3 中等题真题汇编练 4 培优题真题汇编练 8 考点讲练1：算术平均数 【精讲题】（2024•满城区开学）某班2023年人均读书18本，小丽是某班的学生，这一年她读了几本书（　　） A．17 B．18 C．19 D．无法确定 【举一反三1】（2024•宁波模拟）已知数据a1，a2，a3，a4的平均数为x1；a5，a6，a7，a8，a9，a10的平均数为x2；x1与x2的平均数为x；a1，a2，a3，⋯，a8，a9，a10的平均数为y．那么x与y的大小关系是（　　） A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．不能确定 【举一反三2】（2024•宁波模拟）植树节期间，初二年级8个班组织植树活动．各班植树的棵数分别为：11，10，11，13，11，13，15，12．则这组数据的平均数是 　　棵． 考点讲练2：加权平均数 【精讲题】（2024春•兴隆台区期末）某班为了解学生对“勾股定理”内容的掌握情况，进行了一次单元测试，并从中随机抽取了10名学生的测试成绩，对成绩（用t表示，满分100分）进行分组整理，绘制了下面的统计表，则这10名学生的样本平均数是（　　） 分数段/分 50≤t＜60 60≤t＜70 70≤t＜80 80≤t＜90 90≤t＜100 频数/人 1 2 3 2 2 A．76.5 B．77 C．77.5 D．78 【举一反三1】（2024春•江南区期末）我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占60%、面试占40%计算加权平均数作为总成绩．应试者李老师的笔试成绩为90分，面试成绩为95分，则李老师的总成绩为（　　） A．90 B．91 C．92 D．93 【举一反三2】（2024•海淀区校级开学）在一次演讲比赛中，甲的演讲内容90分、演讲能力80分、演讲效果90分，若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 　 　． 考点讲练3：中位数 【精讲题】（2024•广安区校级开学）下列说法正确的是（　　） A．一组数据的中位数一定是这组数据中的一个数 B．一组数据的平均数一定是这组数据中的一个数 C．菱形的内角和为与外角和相等 D．菱形的对角线相等 【举一反三1】（2024秋•盱眙县校级月考）某小组5名同学的英语口试成绩依次为：27，26，28，30、25，则这组数据的中位数为 　 　． 【举一反三2】（2024•南京模拟）某校篮球队6名学生进行定点投篮比赛，每人投10次，据统计，他们投中的次数分别为：6，8，6，7，5，5，则这组数据的中位数是 　　． 考点讲练4：众数 【精讲题】（2024•广州模拟）祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（　　） A．14，5 B．9，6 C．14，4 D．9，5 【举一反三1】（2024•湖南模拟）某小区开展“节约用水，从我做起”活动，表格是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计： 节水量（m3） 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 家庭数（户） 2 4 1 2 1 则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（　　） A．0.3，0.3 B．0.5，0.4 C．0.3，0.5 D．0.4，0.3 【举一反三2】（2024•瑞安市校级开学）一组数据1，1，4，3，6的众数是　　． 考点讲练5：计算器-平均数 【精讲题】（2023春•东港市期末）用计算器计算13.49，13.55，14.07，13.51，13.84，13.98的平均数为（　　） A．13.53 B．13.61 C．13.74 D．14.00 【举一反三1】（2023春•莱州市期中）下列说法正确的是（　　） A．用计算器进行计算时，其按键顺序如下：，则输出的结果为1 B．计算器上先输入某数，再依次按键显示的结果是﹣0.75，则原来输入的某数是 C．用计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：，则输出的结果为3.5 D．用计算器进行计算，在输入数据过程中，如果发现刚输入的数据有错误，可按键清除最后一步，再重新输入正确数据 【举一反三2】（2023春•凤山县期末）某同学使用计算器求10个数的平均数时，错误将其中一个数据12输入为22，那么由此求出的平均数比实际平均数多（　　） A．1 B．10 C．2 D．﹣1 考点讲练6：方差 【精讲题】（2024秋•海沧区校级月考）某校举办诗歌朗诵比赛，评委老师根据参赛选手的预赛成绩，计划选出成绩前50%的选手进入决赛．小颖的预赛成绩排在第9名，恰好能够进入决赛．后来工作人员发现少统计了两个选手的成绩，更正统计结果后，小颖不能进入决赛，且这些选手中只有小颖的预赛成绩是80分．关于更正统计结果前后的预赛成绩，下列说法正确的是（　　） A．更正统计结果后中位数变大 B．更正统计结果后平均数变大 C．更正统计结果后方差变大 D．更正统计结果后众数变大 【举一反三1】（2024•房山区二模）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：S2甲＝2.5，S2乙＝3.1，S2丙＝7，S2丁＝0.9，则这四名同学中成绩最稳定的是 　　． 【举一反三2】（2024•广安区校级开学）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，表格中记录了他们10次还原魔方所用时间的平均值x与方差s2，要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择　　． 甲 乙 丙 丁 x（秒） 30 30 28 28 s2 1.21 1.05 1.21 1.05 中等题真题汇编练 1．（2024•德州）甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如表所示： 甲 9.7 9.7 9.6 9.7 9.7 乙 9.9 9.8 10 9.4 9.3 丙 10 9.8 9.6 9.5 9.5 则三名运动员中成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．（2024•射洪市校级开学）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（　　） A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数5.5吨 D．方差是1.2 3．（2024•泰兴市三模）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 4．（2024•宁津县校级开学）一组数据5，6，6，x，7，8，9的平均数是7，则中位数是（　　） A．6 B．6.5 C．7 D．8 5．（2024春•阳新县期末）已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数是4，方差是0.5，则另一组数据3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的平均数和方差分别是（　　） A．12，0.5 B．12，4.5 C．10，0.5 D．10，4.5 6．（2024•西藏）甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：s甲2＝1.5，s乙2＝3.4，s丙2＝0.9，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 　 　． 7．（2024•长治模拟）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差s2（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 　 　． 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 9.2 9.5 s2 1.3 0.2 1.6 0.5 8．（2024•鹤城区校级一模）A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是 　 　． 9．（2024•成都模拟）某饭店所有员工的基本工资如表所示． 员工 经理 厨师A 厨师B 厨师C 服务员A 服务员B 服务员C 月工资/元 7000 5400 4400 3600 1800 1800 1800 则这7个人工资的众数是 　 　元，中位数是 　 　元． 10．（2024•湖南模拟）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol•m﹣2•s﹣1），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是 　 　． 11．（2024秋•沙坪坝区校级月考）当前，电信网络诈骗犯罪形势严峻，某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识测评，现从该校初中、高中两个学段中各随机抽取20名学生的测试成绩（120分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．0≤x＜90，B．90≤x＜100，C．100≤x＜110，D．110≤x≤120，下面给出了部分信息： 初中20名学生的测试成绩是：110，111，100，99，100，89，88，88，87，118，97，96，85，86，106，106，120，112，106，106 高中20名学生的测成绩在C组中的数据是：104，106，107，108，106，109． 初中、高中抽取的学生测试成绩统计表 学段 平均数 中位数 众数 方差 初中 100.5 103 a 119.3 高中 102 b 112 72.6 根据上述信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中a、b、m的值； （2）该校哪个学段学生掌握防诈安全知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校初中4400名学生，高中560名学生，估计两个学段测试成绩优秀（110≤x≤120）的学生共有多少名？ 12．（2023秋•龙岗区期末）为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园﹣﹣﹣探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 4.89 九年级 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 　 　年级的学生； （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由． 13．（2024•金昌三模）某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩（分） 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 已知八年级10名学生成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 　 　，七年级活动成绩的众数为 　 　分． （2）a＝　 　，b＝　 　． （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，则根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 14．（2024•广西）某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如表： 进球数 0 1 2 3 4 5 人数 1 8 6 3 1 1 （1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数； （2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数． 培优题真题汇编练 15．（2024•河北模拟）在田径运动会“100米短跑”比赛后，嘉嘉帮助老师将20名运动员的成绩录入电脑，得到平均成绩为13.8，方差为3.64．后来老师核查时发现其中有2个成绩录入有误，一个错录为9秒，实际成绩是12秒；另一个错录为17秒，实际成绩是14秒，并且还漏掉了一个运动员的成绩（即嘉嘉实际按19名运动员的成绩计算），且漏掉的运动员的成绩和算错的平均成绩一样，老师将错录的2个成绩进行了更正，并加上了漏掉的运动员的成绩，更正后实际成绩的方差是s2，则（　　） A．s2＝3.64 B．s2＜3.64 C．s2＞3.64 D．s＝3.64 16．（2024•日照）某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A．9，9 B．14，9 C．14，8.5 D．9，8.5 17．（2024春•广安区校级期中）数据5、7、9、11、13的方差为（　　） A．12 B．10 C．8 D．0 18．（2024•苏州）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（　　） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 19．（2024春•三门县期末）水果超市售卖一批散装苹果，苹果大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果．设原有苹果质量（单位：g）的方差为，该顾客选购的苹果质量的方差为，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．它们的大小关系不确定 20．（2024•瑞安市校级开学）甲，乙两位射箭运动员最近10次射击成绩的平均数均为8环，方差分别为，则 　 　（填“甲”或“乙”）的射击成绩更为稳定． 21．（2024春•通州区期末）已知一组数据的方差： ，那么m+n的值为 　 　． 22．（2024•西城区校级开学）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，将这组数据的每个数都乘以2，再减去100得到一组新的数据，这组新数据的平均数为 　 　（用含的代数式表示），方差为 　 　（用含s2的代数式表示）． 23．（2024•青岛一模）若一组数据a1，a2，…，an的平均数为4，方差为3，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是 　 　，　 　． 24．（2024•长沙）为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知 　 　种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 25．（2024•宁波模拟）某校为了解八年级学生的体能情况，通过简单随机抽样抽取了100名学生进行一分钟跳绳个数的测试，并将他们的成绩记录下来．将获得的数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表所示． 序号 1 2 … 25 26 … 50 51 … 75 76 … 99 100 个数 90 93 … 113 114 … 140 142 … 171 172 … 205 210 （1）求这组数据的中位数． （2）圆圆在本次一分钟跳绳测试中跳了160个，已经超过了参与测试学生人数的一半，但是仍未达到这组数据的平均数，请你说明其中的原因． （3）为了鼓励学生积极锻炼、增强体能，学校对跳绳成绩前25%的学生进行奖励，你觉得跳绳个数标准应该定为多少？请说明理由． 26．近年来，由于智能驾驶技术的横空出世，电动汽车成为汽车领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款电动汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意90≤x≤100）下面给出了部分信息： 抽取的对A款电动汽车的评分数据中“满意”的数据为 84，86，86，87，88，89 抽取的对B款电动汽车的评分数据为 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100 抽取的对A，B款电动汽车的评分统计表 电动汽车 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45% B 88 87.5 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　； （2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有500人对A款电动汽车进行评分，600人对B款电动汽车进行评分，请估计此次测验中对电动汽车不满意的人数？ 27．（2023秋•郓城县期末）“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x≤100．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88． 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若八年级共有500名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 28．（2024•南通）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 2.0≤t＜3.4 7 B 3.4≤t＜4.8 m C 4.8≤t＜6.2 n D 6.2≤t＜7.6 6 E 7.6≤t＜9.0 2 合计 50 根据上述信息，解答下列问题： （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 　 　组； （3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学九年级上册同步培优核心考点讲练 第3章《数据的集中趋势和离散程度》章节总复习 （6个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 目录 考点讲练1：算术平均数 1 考点讲练2：加权平均数 2 考点讲练3：中位数 3 考点讲练4：众数 4 考点讲练5：计算器-平均数 6 考点讲练6：方差 7 中等题真题汇编练 9 培优题真题汇编练 19 考点讲练1：算术平均数 【精讲题】（2024•满城区开学）某班2023年人均读书18本，小丽是某班的学生，这一年她读了几本书（　　） A．17 B．18 C．19 D．无法确定 【思路点拨】根据算术平均数计算即可． 【规范解答】解：∵人均读书18本， ∴这一年她读了的书无法确定， 故选：D． 【考点评析】此题考查算术平均数，关键是根据算术平均数的性质解答． 【举一反三1】（2024•宁波模拟）已知数据a1，a2，a3，a4的平均数为x1；a5，a6，a7，a8，a9，a10的平均数为x2；x1与x2的平均数为x；a1，a2，a3，⋯，a8，a9，a10的平均数为y．那么x与y的大小关系是（　　） A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．不能确定 【思路点拨】根据算术平均数的定义解答即可． 【规范解答】解：．由算术平均数的定义可知，a1+a2+a3+a4＝4x1，a5+a6+a7+a8+a9+a10＝6x2， ∵x＝， ∵（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10）＝y＝， 令x﹣y＝＝， 若x1＞x2，则＞0． ∴．x﹣y＞0， ∴x＞y， 若x1＝x2，则＝0， ∴x＝y， 若x1＜x2，则＜0． ∴．x﹣y＜0， ∴x＜y， 由于x1，x2的大小无法确定， 则x和y的大小也无法确定， 故选：D． 【考点评析】本题考查了算术平均数的定义，掌握算术平均数的定义是解题的关键． 【举一反三2】（2024•宁波模拟）植树节期间，初二年级8个班组织植树活动．各班植树的棵数分别为：11，10，11，13，11，13，15，12．则这组数据的平均数是 　12　棵． 【思路点拨】根据平均数公式：进行计算即可求出答案． 【规范解答】解：本组数据分别为：11，10，11，13，11，13，15，12， 故平均数（11+10+11+13+11+13+15+12）÷8＝12． 故答案为：12． 【考点评析】本题考查的是算术平均数，熟记公式是解决本题的关键． 考点讲练2：加权平均数 【精讲题】（2024春•兴隆台区期末）某班为了解学生对“勾股定理”内容的掌握情况，进行了一次单元测试，并从中随机抽取了10名学生的测试成绩，对成绩（用t表示，满分100分）进行分组整理，绘制了下面的统计表，则这10名学生的样本平均数是（　　） 分数段/分 50≤t＜60 60≤t＜70 70≤t＜80 80≤t＜90 90≤t＜100 频数/人 1 2 3 2 2 A．76.5 B．77 C．77.5 D．78 【思路点拨】根据加权平均数的意义计算出结果即可． 【规范解答】解：这10名学生的样本平均数是：×（55×1+65×2+75×3+85×2+95×2）＝77， 故选：B． 【考点评析】本题考查的是加权平均数，频数分布表，熟悉相关性质是解题的关键． 【举一反三1】（2024春•江南区期末）我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占60%、面试占40%计算加权平均数作为总成绩．应试者李老师的笔试成绩为90分，面试成绩为95分，则李老师的总成绩为（　　） A．90 B．91 C．92 D．93 【思路点拨】根据题意和加权平均数的计算方法可以解答本题． 【规范解答】解：由题意可得， 李老师的总成绩是：90×60%+95×40%＝54+38＝92（分）， 故选：C． 【考点评析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 【举一反三2】（2024•海淀区校级开学）在一次演讲比赛中，甲的演讲内容90分、演讲能力80分、演讲效果90分，若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 　86分　． 【思路点拨】根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【规范解答】解：该选手的综合成绩为：90×50%+80×40%+90×10%＝86（分）． 故答案为：86分． 【考点评析】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 考点讲练3：中位数 【精讲题】（2024•广安区校级开学）下列说法正确的是（　　） A．一组数据的中位数一定是这组数据中的一个数 B．一组数据的平均数一定是这组数据中的一个数 C．菱形的内角和为与外角和相等 D．菱形的对角线相等 【思路点拨】根据相关知识进行逐项判断即可． 【规范解答】解：A、一组数据的中位数不一定是这组数据中的一个数，故选项错误； B、一组数据的平均数不一定是这组数据中的一个数，故选项错误； C、菱形的内角和为与外角和相等，都是360°，故选项正确； D、菱形的对角线不一定相等，故选项错误； 故选：C． 【考点评析】此题考查了中位数、平均数、菱形的性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【举一反三1】（2024秋•盱眙县校级月考）某小组5名同学的英语口试成绩依次为：27，26，28，30、25，则这组数据的中位数为 　27　． 【思路点拨】先将数据按照从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解可得． 【规范解答】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：25，26，27，28，30， 处于中间位置的数是27，即中位数是27， 故答案为：27． 【考点评析】本题主要考查中位数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【举一反三2】（2024•南京模拟）某校篮球队6名学生进行定点投篮比赛，每人投10次，据统计，他们投中的次数分别为：6，8，6，7，5，5，则这组数据的中位数是 　6　． 【思路点拨】根据中位数的定义将数据从小到大排列即可得到答案． 【规范解答】解：依题意，从小到大排列可得：5，5，6，6，7，8， 故中位数：， 故答案为：6． 【考点评析】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键． 考点讲练4：众数 【精讲题】（2024•广州模拟）祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（　　） A．14，5 B．9，6 C．14，4 D．9，5 【思路点拨】直接根据众数和中位数的定义可得答案． 【规范解答】解：圆周率的小数点后100位数字的出现次数最多的为9，故众数为9；处于最中间的第51和52两个数均为5和5，所以中位数为5， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握求一组数据的众数和中位数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．找出处于最中间的两位数取他们的平均数，即为中位数． 【举一反三1】（2024•湖南模拟）某小区开展“节约用水，从我做起”活动，表格是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计： 节水量（m3） 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 家庭数（户） 2 4 1 2 1 则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（　　） A．0.3，0.3 B．0.5，0.4 C．0.3，0.5 D．0.4，0.3 【思路点拨】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【规范解答】解：数据0.3出现了4次最多，故众数为0.3， 把表中数据为从小到大排列，在第5位、第6位是0.3和0.3，其平均数0.3为中位数， 所以本题这组数据的众数是0.3，中位数是0.3． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数． 【举一反三2】（2024•瑞安市校级开学）一组数据1，1，4，3，6的众数是　1　． 【思路点拨】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，进行求解即可． 【规范解答】解：这组数据中，1出现的次数最多， ∴众数为1． 故答案为：1． 【考点评析】本题考查众数，掌握众数的确定方法是解题的关键． 考点讲练5：计算器-平均数 【精讲题】（2023春•东港市期末）用计算器计算13.49，13.55，14.07，13.51，13.84，13.98的平均数为（　　） A．13.53 B．13.61 C．13.74 D．14.00 【思路点拨】根据计算器的使用方法进行解题即可． 【规范解答】解：运用计算器，依次输入13.49+13.55+14.07+13.51+13.98＝82.44， 82.44÷6＝13.74． 故选：C． 【考点评析】本题考查计算器﹣平均数，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 【举一反三1】（2023春•莱州市期中）下列说法正确的是（　　） A．用计算器进行计算时，其按键顺序如下：，则输出的结果为1 B．计算器上先输入某数，再依次按键显示的结果是﹣0.75，则原来输入的某数是 C．用计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：，则输出的结果为3.5 D．用计算器进行计算，在输入数据过程中，如果发现刚输入的数据有错误，可按键清除最后一步，再重新输入正确数据 【思路点拨】运用计算器进行验证计算即可． 【规范解答】解：A，计算器求三角函数值时，30后面少按了“°”，故A不正确； B，按选项所给的按键顺序可以求出原来输入的数，故B正确； C，按键中多了“，”，故C不正确； D，清除刚输入错的数据时，按“DEL”键，故D不正确． 故选：B． 【考点评析】本题考查计算器的使用，正确使用计算器是解题的关键． 【举一反三2】（2023春•凤山县期末）某同学使用计算器求10个数的平均数时，错误将其中一个数据12输入为22，那么由此求出的平均数比实际平均数多（　　） A．1 B．10 C．2 D．﹣1 【思路点拨】抓住10个数的总和如何变化去判断平均数如何变化． 【规范解答】解：∵将其中一个数据12输入为22， ∴10个数的总和增加了10， ∴10个数的平均数增加了10÷10＝1， 故选A． 【考点评析】关键是由总和如何变化去判断平均数如何变化． 考点讲练6：方差 【精讲题】（2024秋•海沧区校级月考）某校举办诗歌朗诵比赛，评委老师根据参赛选手的预赛成绩，计划选出成绩前50%的选手进入决赛．小颖的预赛成绩排在第9名，恰好能够进入决赛．后来工作人员发现少统计了两个选手的成绩，更正统计结果后，小颖不能进入决赛，且这些选手中只有小颖的预赛成绩是80分．关于更正统计结果前后的预赛成绩，下列说法正确的是（　　） A．更正统计结果后中位数变大 B．更正统计结果后平均数变大 C．更正统计结果后方差变大 D．更正统计结果后众数变大 【思路点拨】根据计划选出成绩前50%的选手进入决赛．小颖的预赛成绩排在第9名，恰好能够进入决赛．说明小颖的预赛成绩排在第9名，在中位数之上；更正统计结果后，小颖不能进入决赛，且这些选手中只有小颖的预赛成绩是80分，说明中位数变大了，且高于80分，由此可得出答案． 【规范解答】解：因为计划选出成绩前50%的选手进入决赛．小颖的预赛成绩排在第9名，恰好能够进入决赛． 所以排在第9名的成绩大于中位数， 又因为更正统计结果后，小颖不能进入决赛，且这些选手中只有小颖的预赛成绩是80分． 所以更正统计结果后，中位数变大了，且成绩大于80分，与平均数，方差，众数无关． 故选：A． 【考点评析】本题考查了中位数，平均数，方差，众数．解题关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【举一反三1】（2024•房山区二模）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：S2甲＝2.5，S2乙＝3.1，S2丙＝7，S2丁＝0.9，则这四名同学中成绩最稳定的是 　丁　． 【思路点拨】根据方差的意义求解即可． 【规范解答】解：∵S2甲＝2.5，S2乙＝3.1，S2丙＝7，S2丁＝0.9， ∴丁的方差最小， ∴成绩最稳定的是丁， 故答案为：丁． 【考点评析】本题主要考查方差，算术平均数，解答本题的关键要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【举一反三2】（2024•广安区校级开学）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，表格中记录了他们10次还原魔方所用时间的平均值x与方差s2，要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择　丁　． 甲 乙 丙 丁 x（秒） 30 30 28 28 s2 1.21 1.05 1.21 1.05 【思路点拨】据方差的意义可作出判断即可． 【规范解答】解：在这四位同学中，丙、丁的平均时间一样，比甲、乙的用时少，但丁的方差小，成绩比较稳定，由此可知，可选择丁， 故答案为：丁． 【考点评析】本题主要考查方差，解答本题的关键要明确：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 中等题真题汇编练 1．（2024•德州）甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如表所示： 甲 9.7 9.7 9.6 9.7 9.7 乙 9.9 9.8 10 9.4 9.3 丙 10 9.8 9.6 9.5 9.5 则三名运动员中成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【思路点拨】直接根据方差的定义作答即可． 【规范解答】解：∵甲的成绩在9.6和9.7之间波动；乙的成绩在9.3和10之间波动；丙的成绩在9.5和19之间波动， ∴S甲＜S丙＜S乙， 这三名运动员中5次射击训练成绩最稳定的是甲， 故选：A． 【考点评析】本题考查了方差，熟练掌握方差的定义：方差反映一组数据的大小，方差越大，波动性越大，反之也成立”解题的关键． 2．（2024•射洪市校级开学）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（　　） A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数5.5吨 D．方差是1.2 【思路点拨】根据众数、平均数、中位数和方差的定义进行计算，即可得出答案． 【规范解答】解：A、∵6吨出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是6吨，故选项正确，不符合题意； B、平均数是×[3+4+5+6+6+6]＝5（吨），选项正确，不符合题意； C、把这些数从小到大排列为3，4，5，6，6，6， 则中位数是（吨），故选项正确，不符合题意； D、这组数据的方差为×[（4﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+3（6﹣5）2]＝，选项错误，符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，解题的关键是熟练掌握定义和计算公式． 3．（2024•泰兴市三模）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【思路点拨】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可． 【规范解答】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定． 故选：C． 【考点评析】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定． 4．（2024•宁津县校级开学）一组数据5，6，6，x，7，8，9的平均数是7，则中位数是（　　） A．6 B．6.5 C．7 D．8 【思路点拨】根据“平均数＝一组数据的总和÷这组数据的个数”求出这组数据的总和，然后用加法求出x的值，再根据中位数的求法求出这组数据的中位数． 【规范解答】解：∵， 解得：x＝8， ∴这列数排列为：5，6，6，7，8，8，9， 中位数为：7， 故选：C． 【考点评析】本题考查平均数和中位数的计算，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5．（2024春•阳新县期末）已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数是4，方差是0.5，则另一组数据3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的平均数和方差分别是（　　） A．12，0.5 B．12，4.5 C．10，0.5 D．10，4.5 【思路点拨】根据在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可直接得出答案． 【规范解答】解：数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为4， 那么数据3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的平均数为3×4﹣2＝10， 数据a1，a2，a3，a4，a5，方差为0.5， 那么数据3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为0.5×32＝4.5． 故选：D． 【考点评析】本题考查的是平均数和方差，掌握当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍是关键． 6．（2024•西藏）甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：s甲2＝1.5，s乙2＝3.4，s丙2＝0.9，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 　丙　． 【思路点拨】根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【规范解答】解：∵甲、乙、丙三名学生的平均数相同，s甲2＝1.5，s乙2＝3.4，s丙2＝0.9， ∴s丙2＜s甲2＜s乙2， ∴甲、乙、丙三位同学中成绩最稳定的是丙． 故答案为：丙． 【考点评析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 7．（2024•长治模拟）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差s2（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 　乙　． 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 9.2 9.5 s2 1.3 0.2 1.6 0.5 【思路点拨】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【规范解答】解：由表知甲、乙、丁射击成绩的平均数相等，且大于丙的平均数， ∴从甲、乙、丁中选择一人参加竞赛， ∵乙的方差较小， ∴乙发挥稳定， ∴选择乙参加比赛． 故答案为：乙． 【考点评析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 8．（2024•鹤城区校级一模）A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是 　9　． 【思路点拨】设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数是6﹣x，以此类推，列出方程，然后求解即可得出答案． 【规范解答】解：设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数是6﹣x，以此类推，于是报1的人心里想的数是10﹣（6﹣x）＝4+x， 报3的人心里想的数是4﹣（4﹣x）＝x， 报5的人心里想的数是8﹣（﹣x）＝8+x， 报4的人心里想的数是2﹣（8+x）＝﹣6﹣x， 于是得：﹣6﹣x＝x， 解得：x＝﹣3， 所以D同学心里想的那个数是：6﹣x＝6﹣（﹣3）＝9． 故答案为：9． 【考点评析】此题考查了平均数，掌握平均数的计算公式，根据题意列出方程是解题的关键． 9．（2024•成都模拟）某饭店所有员工的基本工资如表所示． 员工 经理 厨师A 厨师B 厨师C 服务员A 服务员B 服务员C 月工资/元 7000 5400 4400 3600 1800 1800 1800 则这7个人工资的众数是 　1800　元，中位数是 　3600　元． 【思路点拨】根据众数、中位数的定义分别进行解答． 【规范解答】解：员工的工资数中，出现次数最多的是1800元，所以众数是1800元． 将员工的工资数按小到大的顺序排列后，中间数是3600， 即工资的中位数是3600元． 故答案为：1800，3600． 【考点评析】本题考查了众数，中位数，掌握众数，中位数的求法以及意义是解题的关键． 10．（2024•湖南模拟）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol•m﹣2•s﹣1），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是 　丁　． 【思路点拨】先比较平均数得到乙和丁光合作用速率较高，然后比较方差得到丁比较稳定． 【规范解答】解：因为乙和丁光合作用速率的平均数较高，所以从乙和丁中选取， 又丁的方差比乙小，所以丁的光合作用速率比较稳定， 所以应选择的优良大豆品种是丁． 故答案为：丁． 【考点评析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义． 11．（2024秋•沙坪坝区校级月考）当前，电信网络诈骗犯罪形势严峻，某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识测评，现从该校初中、高中两个学段中各随机抽取20名学生的测试成绩（120分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．0≤x＜90，B．90≤x＜100，C．100≤x＜110，D．110≤x≤120，下面给出了部分信息： 初中20名学生的测试成绩是：110，111，100，99，100，89，88，88，87，118，97，96，85，86，106，106，120，112，106，106 高中20名学生的测成绩在C组中的数据是：104，106，107，108，106，109． 初中、高中抽取的学生测试成绩统计表 学段 平均数 中位数 众数 方差 初中 100.5 103 a 119.3 高中 102 b 112 72.6 根据上述信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中a、b、m的值； （2）该校哪个学段学生掌握防诈安全知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校初中4400名学生，高中560名学生，估计两个学段测试成绩优秀（110≤x≤120）的学生共有多少名？ 【思路点拨】（1）根据众数、中位数的定义可求出a、b的值，再根据各组百分比之和为100%，可求出m的值； （2）根据中位数、众数的大小可得答案； （3）求出样本中初中、高中优秀所占的百分比，进而估计总体中优秀所占的百分比，进而求出相应的人数． 【规范解答】解：（1）初中20名学生的测试成绩出现次数最多的是106分，共出现4次， 因此众数是106分，即a＝106； 由扇形图可得高中抽查的20名学生成绩A组2人，B组4人，C组6人，D组20﹣6﹣4﹣2＝8人， 将20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为107，108， ∴中位数为， ， ∴m＝40， 答：a＝106，b＝107.5，m＝40； （2）高中学生的成绩较好，理由： 高中学生的测试成绩的中位数、众数均比初中学生成绩的中位数、众数要高， 所以高中学生的成绩较好； （3）（人）， ∴该校初中4400名学生，高中560名学生，估计两个学段测试成绩优秀（110≤x≤120）的学生共有1324名． 【考点评析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义以及计算方法是正确解答的前提． 12．（2023秋•龙岗区期末）为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园﹣﹣﹣探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 4.89 九年级 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝　8　，b＝　9　； （2）A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 　八　年级的学生； （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由． 【思路点拨】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）根据中位数的定义即可求出答案； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【规范解答】解：（1）把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：5，6，6，7，8，8，8，9，11，12， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝8， 九年级10名学生每周锻炼9小时的最多有4人，所以众数b＝9， 故答案为：8，9； （2）A同学平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是八年级的学生； 故答案为：八； （3）我认为学生体育锻炼情况的总体水平较好， 理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好． 【考点评析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 13．（2024•金昌三模）某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩（分） 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 已知八年级10名学生成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 　1　，七年级活动成绩的众数为 　8　分． （2）a＝　2　，b＝　3　． （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，则根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【思路点拨】（1）分别求得成绩为（8分），（9分），（10分）的人数，再结合总人数为10人列式计算即可求得成绩头（7分）的学生数，然后根据众数定义即可求得众数； （2）根据中位数的定义将八年级的活动成绩从小到大排列，那么其中位数应是第5个和第6个数据的平均数，结合已知条件易得第5个和第6个数据分别为8，9，再根据表格中数据即可求得答案； （3）结合（1）（2）中所求，分别求得两个年级优秀率及平均成绩后进行比较即可， 【规范解答】解：（1）由扇形统计图可得，成绩为8分人数为10×50%＝5 （人）， 成绩为9分的人数为10×20%＝2（人）， 成绩为10分的人数为10×20%＝2（人）， 则成绩为7分的学生数为10﹣5﹣2﹣2＝1（人） ∵出现次数最多的为8分， ∴七年级活动成绩的众数为8分 故答案为：1；8． （2）将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数， ∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分， ∴第5个和第6个数据的和为8.5×2＝17＝8+9， ∴第5个和第6个数据分别为8分，9分， ∵成绩为6分和7分的人数为1+2＝3（人）， ∴成绩为8分的人数为5﹣3＝2（人）， 成绩为9分的人数为10﹣5﹣2＝3（人） 即a＝2，b＝3， 故答案为：2；3； （3）不是，理由如下： 结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为， 八年级的优秀率， 七年级的平均成绩为（分） 八年级的平均成绩为（分） ∵40%＜50%，8.5＞8.3， ∴本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高． 【考点评析】本题主要考查扇形统计图相关知识，众数，中位数及平均数的求法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 14．（2024•广西）某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如表： 进球数 0 1 2 3 4 5 人数 1 8 6 3 1 1 （1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数； （2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数． 【思路点拨】（1）利用统计表，进而得出平均数、众数和中位数； （2）利用样本中优秀率，再估计总体优秀人数． 【规范解答】解：（1）女生进球数的众数为：1； ∵第10，11个数据都是2，则其平均数为：2， ∴女生进球数的中位数为：2， 由统计表可得，女生进球数的平均数为：（0×1+1×8+2×6+3×3+4×1+5×1）÷20＝1.9（个）， （2）样本中优秀率为：， 故七年级共有女生200人，“优秀”等级的女生为：200×＝50（人）， 答：估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为50人． 【考点评析】本题主要考查了中位数、众数以及利用样本估计总体和算术平均数求法，掌握相应的定义是解题关键． 培优题真题汇编练 15．（2024•河北模拟）在田径运动会“100米短跑”比赛后，嘉嘉帮助老师将20名运动员的成绩录入电脑，得到平均成绩为13.8，方差为3.64．后来老师核查时发现其中有2个成绩录入有误，一个错录为9秒，实际成绩是12秒；另一个错录为17秒，实际成绩是14秒，并且还漏掉了一个运动员的成绩（即嘉嘉实际按19名运动员的成绩计算），且漏掉的运动员的成绩和算错的平均成绩一样，老师将错录的2个成绩进行了更正，并加上了漏掉的运动员的成绩，更正后实际成绩的方差是s2，则（　　） A．s2＝3.64 B．s2＜3.64 C．s2＞3.64 D．s＝3.64 【思路点拨】根据算术平均数和方差的定义解答即可． 【规范解答】解：由题意可知，录入有误的两个数的和为9+17＝26，实际的两个数的和为12+14＝26， 所以更正后实际成绩的平均数是x与原来平均数相同，方差变小， 所以S2＜3.64， 故选：B． 【考点评析】本题考查了算术平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键． 16．（2024•日照）某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A．9，9 B．14，9 C．14，8.5 D．9，8.5 【思路点拨】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时间超过8小时的有14+8＝22人． 【规范解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即9； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9； 故选：A． 【考点评析】考查了条形统计图，中位数，众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数． 17．（2024春•广安区校级期中）数据5、7、9、11、13的方差为（　　） A．12 B．10 C．8 D．0 【思路点拨】要计算方差首先要计算出平均数，再根据方差公式计算． 【规范解答】解：， ． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查方差的计算方法，是需要熟练掌握的知识点． 18．（2024•苏州）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（　　） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【思路点拨】根据中位数的定义解答即可． 【规范解答】解：∵要推出由7个盲盒组成的套装产品， ∴中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒， ∵序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， ∴选定的6号盲盒和7号盲盒的质量应该一个超过100，另一个低于100， ∴选定的可以是：甲，戊；或乙，丁；或丙，丁， ∵选项中只有：丙，丁， 故选：C． 【考点评析】本题考查中位数，理解题意，掌握确定中位数的方法是解题的关键． 19．（2024春•三门县期末）水果超市售卖一批散装苹果，苹果大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果．设原有苹果质量（单位：g）的方差为，该顾客选购的苹果质量的方差为，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．它们的大小关系不确定 【思路点拨】根据题意可得顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小，据此可得答案． 【规范解答】解：∵水果超市的苹果大小不一，而该顾客选购大小均匀的苹果， ∴说明顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小， ∴超市苹果质量的方差大于顾客选购苹果的方差，即， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了方差与波动性之间的关系，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据波动越大，稳定性越小． 20．（2024•瑞安市校级开学）甲，乙两位射箭运动员最近10次射击成绩的平均数均为8环，方差分别为，则 　乙　（填“甲”或“乙”）的射击成绩更为稳定． 【思路点拨】根据方差的意义求解即可． 【规范解答】解：∵S甲2＝0.8环2，S乙2＝0.6环2， ∴乙的方差更小， ∴乙的射击成绩更为稳定． 故答案为：乙． 【考点评析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义． 21． （2024春•通州区期末）已知一组数据的方差： ，那么m+n的值为 　10　． 【思路点拨】由题意知，这组数据分别为4、6、5、m、n，且平均数为5，再根据算术平均数的定义可得答案． 【规范解答】解：由题意知，这组数据分别为4、6、5、m、n，且平均数为5， ∴（4+6+5+m+n）＝5， 解得：m+n＝10， 故答案为：10． 【考点评析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和算术平均数的定义． 22．（2024•西城区校级开学）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，将这组数据的每个数都乘以2，再减去100得到一组新的数据，这组新数据的平均数为 　2﹣200　（用含的代数式表示），方差为 　4s2　（用含s2的代数式表示）． 【思路点拨】分别依据平均数的定义和方差的意义求解即可． 【规范解答】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2， ∴x1+x2+…+xn＝n， 则2x1﹣200+2x2﹣200+…+2xn﹣200 ＝（2n﹣﹣200n） ＝2﹣200， 原数据的方差为s2，则新数据的方差为4s2， 故答案为：2﹣200，4s2． 【考点评析】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数的定义和方差的意义． 23．（2024•青岛一模）若一组数据a1，a2，…，an的平均数为4，方差为3，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是 　11　，　12　． 【思路点拨】根据平均数的概念、方差的性质解答． 【规范解答】解：数据a1，a2，……，an的平均数为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数为2×4+3＝11， 数据a1，a2，……，an的方差为3，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的方差为3×22＝12． 故答案为：11，12． 【考点评析】本题考查的是平均数和方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍． 24．（2024•长沙）为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知 　甲　种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【思路点拨】根据方差的意义求解即可． 【规范解答】解：∵甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8， ∴甲组秧苗高度的方差最小， ∴甲种秧苗长势更整齐， 故答案为：甲． 【考点评析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 25．（2024•宁波模拟）某校为了解八年级学生的体能情况，通过简单随机抽样抽取了100名学生进行一分钟跳绳个数的测试，并将他们的成绩记录下来．将获得的数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表所示． 序号 1 2 … 25 26 … 50 51 … 75 76 … 99 100 个数 90 93 … 113 114 … 140 142 … 171 172 … 205 210 （1）求这组数据的中位数． （2）圆圆在本次一分钟跳绳测试中跳了160个，已经超过了参与测试学生人数的一半，但是仍未达到这组数据的平均数，请你说明其中的原因． （3）为了鼓励学生积极锻炼、增强体能，学校对跳绳成绩前25%的学生进行奖励，你觉得跳绳个数标准应该定为多少？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即计算出序号50和51的数据的平均数即可； （2）根据平均数受极端值的影响说明理由； （3）根据数据为100个，对学生成绩的前25%进行奖励，用乘法计算即可． 【规范解答】解：（1）∵序号50一分钟跳绳140个，序号51一分钟跳绳142个， ∴这组数据的中位数是：； （2）∵平均数受极端值的影响， 超过160的数据特别大， ∴平均数的值就大，圆圆仍未达到这组数据的平均数． （3）100×25%＝25（名）， ∴跳绳个数标准应该在序号76，定为172个． 【考点评析】本题考查了中位数和算术平均数，解题的关键是根据定义和表格中的信息来解答． 26．近年来，由于智能驾驶技术的横空出世，电动汽车成为汽车领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款电动汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意90≤x≤100）下面给出了部分信息： 抽取的对A款电动汽车的评分数据中“满意”的数据为 84，86，86，87，88，89 抽取的对B款电动汽车的评分数据为 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100 抽取的对A，B款电动汽车的评分统计表 电动汽车 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45% B 88 87.5 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：a＝　15　，b＝　88.5　，m＝　98　； （2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有500人对A款电动汽车进行评分，600人对B款电动汽车进行评分，请估计此次测验中对电动汽车不满意的人数？ 【思路点拨】（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【规范解答】解：（1）由题意得：a%＝1﹣10%﹣45%﹣×100%＝15%， 即a＝15， ∵A款的评分非常满意有20×45%＝9（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴中位数b＝＝88.5， 在B款的评分数据中，98出现的次数最多， ∴众数c＝98； 故答案为：15，88.5，98； （2）A款电动汽车更受用户喜爱，理由如下： ∵两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88.5比B款的中位数87.5高， ∴A款电动汽车更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）500×10%+600×＝140（人）， 答：估计此次测验中对A电动汽车不满意的人数为140人． 【考点评析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． 27．（2023秋•郓城县期末）“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x≤100．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88． 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　86　，b＝　84　，m＝　30%　； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若八年级共有500名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 【思路点拨】（1）根据中位数，众数定义可得a，b的值，由八年级A，D等级的人数可求出m的值； （2）根据平均数，众数、中位数以及方差的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【规范解答】解：（1）由扇形统计图可得，八年级A等级的有10×20%＝2（人）， 把八年级10名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是84，88，故中位数a＝＝86； 在74，75，84，84，84，86，86，95，95，97中，出现次数最多的是84， ∴众数b＝84； m＝1﹣20%﹣＝30%， 故答案为：86，84，30%； （2）八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好； （3）500×30%＝150（名）， 答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约150名． 【考点评析】本题考查了中位数，众数，方差以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是解答本题的关键． 28．（2024•南通）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 2.0≤t＜3.4 7 B 3.4≤t＜4.8 m C 4.8≤t＜6.2 n D 6.2≤t＜7.6 6 E 7.6≤t＜9.0 2 合计 50 根据上述信息，解答下列问题： （1）m＝　20　，n＝　15　； （2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 　B　组； （3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少？ 【思路点拨】（1）依据题意得，C组的频数n＝×50＝15，从而B组的频数m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20，进而可以判断得解； （2）依据题意，根据中位数的意义，由50÷2＝25，可得中位数是第25个数和第26个数的平均数，结合A组频数为7，B组频数为20，故可判断得解； （3）依据题意，由50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（户），进而可以判断得解． 【规范解答】解：（1）由题意得，C组的频数n＝×50＝15． ∴B组的频数m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20． 故答案为：20；15． （2）由题意，根据中位数的意义，∵50÷2＝25， ∴中位数是第25个数和第26个数的平均数． 又∵A组频数为7，B组频数为20， ∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组． 故答案为：B． （3）由题意，∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（个）， ∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：1200×＝648（个）． 【考点评析】本题主要考查了中位数、用样本估计总体、频数（率）分布表、加权平均数，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$