4.1-4.3 等可能条件下的概率（10个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第4章《等可能条件下的概率》】 4.1-4.3 等可能条件下的概率 （10个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 目录 考点讲练1：列举随机实验的所有可能结果 1 考点讲练2：概率的意义理解 3 考点讲练3：判断几个事件概率的大小关系 3 考点讲练4：根据概率公式计算概率 4 考点讲练5：根据概率作判断 5 考点讲练6：已知概率求数量 6 考点讲练7：几何概率 7 考点讲练8：列举法求概率 8 考点讲练9：列表法或树状图法求概率 9 考点讲练10：游戏的公平性 9 考点讲练11：概率在转盘抽奖中的应用 10 考点讲练12：概率的其他应用 12 中等题真题汇编练 14 培优题真题汇编练 16 考点讲练1：列举随机实验的所有可能结果 【精讲题】（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 【举一反三练1】（23-24九年级下·云南·阶段练习）甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写着数字，0，1，2的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这四张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为；再把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，乙从这三张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，若，则甲获胜；否则乙获胜． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【举一反三练2】（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案 （按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 ． 考点讲练2：概率的意义理解 【精讲题】（2024·湖北·模拟预测）下列说法中不正确的是（    ） A．数据4，9，5，5，7，5的中位数是5 B．任意画一个多边形，其外角和等于360°是必然事件 C．了解某市电灯制造厂的电灯质量情况，应采用全面调查 D．某彩票的中奖概率是0.1，则购买这种彩票10张，可能会中奖 【举一反三练1】（2024·湖南·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．为了解一批花炮的燃放质量，宜采用全面调查 B．从1000名学生中随机抽取100名学生的体育成绩组成一个样本，样本容量是1000 C．天气预报显示“明天的降水概率为”，表示明天有的时间都在降雨 D．“掷一枚硬币，落下后正面朝上”是随机事件 【举一反三练2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列说法正确的是（    ） A．郑州明天降雨的概率为，表示郑州明天有一半的时间在下雨 B．掷一枚质地均匀的硬币次，恰好有次正面朝上 C．随着试验次数的增加，频率会稳定在一个常数附近 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数是必然事件 考点讲练3：判断几个事件概率的大小关系 【精讲题】（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【举一反三练1】（22-23七年级下·山东青岛·期末）如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么 ．（填“>”、“<”或“=”） 【举一反三练2】（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 考点讲练4：根据概率公式计算概率 【精讲题】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）从，，，，这五个数中任意取出一个数记作，则既能使函数的图象经过第二、第四象限，又能使关于的一元二次方程的根的判别式小于零的概率为 ． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河北保定·期中）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【举一反三练2】（2024·江苏徐州·中考真题）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别． (1)甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______； (2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率． 考点讲练5：根据概率作判断 【精讲题】（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【举一反三练1】（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图所示的转盘被分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． (1)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是0”发生的概率是________． (2)写出此情境下一个不可能发生的事件． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）小明同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分)的数据，统计如下： 公交车 用时/分 A线路 59 151 166 124 B线路 43 57 149 251 (1)据此估计，早高峰期间，乘坐B线路用时不超过35分钟的概率是多少？ (2)若要在40分钟内到达学校，应尽量选择乘坐哪条公交线路？ 考点讲练6：已知概率求数量 【精讲题】（2024·贵州遵义·模拟预测）一个不透明的口袋中有2个红球，1个黄球，个白球（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，摸出白球的概率大于，写出一个符合条件的的值为 ． 【举一反三练1】（2024·湖北·模拟预测）盒中有x枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，是黑棋的概率是 (1)直接写出x的值； (2)从盒中一次性随机摸出2枚棋子，请用列表或画树状图法求两枚棋子颜色相同的概率． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）一个不透明袋子中装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)分别求红球和绿球的个数． (2)求从袋中随机摸出一球是绿球的概率． (3)从袋中拿出12个黄球，将剩余的球搅拌均匀，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 考点讲练7：几何概率 【精讲题】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·北京·阶段练习）如果飞镖随意的投向下图所示的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的概率是 ． 【举一反三练2】（2024·福建莆田·模拟预测）用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 考点讲练8：列举法求概率 【精讲题】（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）产品质量是企业的生命，也是企业发展长远的根本，做好产品质量检测是一件非常重要的事情．某零件厂生产了5件规格一样的产品，因某道工序的不合理产生了2件次品，现从中不分先后一次性任意抽取3件进行检验．（记3件正品分别为，，，2件次品分别为，） (1)列出“从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件产品”的所有等可能结果； (2)求抽得的3件产品中至少含1件次品的概率． 【举一反三练2】（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知开关已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ． 考点讲练9：列表法或树状图法求概率 【精讲题】（23-24九年级上·河北保定·期中）甲、乙、丙、丁4名同学参加读书日志愿服务活动，甲同学是男生，乙、丙、丁同学都是女生，从这4名同学中随机抽取2名同学，则抽到的2名同学都是女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）我校计划在9月第二周的星期五至星期日开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．请用树状图或列表法求小明同学随机选择两天，其中一天是星期五的概率是多少？ 【举一反三练2】（2024·山东德州·中考真题）衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是 ． 考点讲练10：游戏的公平性 【精讲题】（2024·青海西宁·一模）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． (1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为__________； (2)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由． 【举一反三练1】（24-25九年级下·全国·单元测试）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张牌． (1)请用列表或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； (2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；否则乙获胜，这个游戏公平吗？ 【举一反三练2】（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 考点讲练11：概率在转盘抽奖中的应用 【精讲题】（23-24七年级下·河南周口·期末）某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【举一反三练1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，小亮和小芳玩转盘游戏，将一个材质均匀的转盘平均分成个扇形并标上数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线则重新转动转盘）．小芳提议：若转出的数字是的倍数，则小芳获胜；若转出的数字是的倍数，则小亮获胜． (1)你认为小芳的提议对游戏双方是否公平?为什么? (2)请你利用这个转盘设计一种对两人都公平的游戏规则． 【举一反三练2】（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 考点讲练12：概率的其他应用 【精讲题】（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【举一反三练1】（2023·浙江宁波·模拟预测）为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2) 若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 【举一反三练2】（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 中等题真题汇编练 1．（2024·辽宁·模拟预测）下列结论错误的是（   ） A．关于x的不等式，其解集是 B．若，则 C．老师在班级随机抽取一个学号，这个学号对应的同学是男同学是必然事件 D．小宇某次练习射击中，其10次射击的成绩（环）为8，9，8，8，9，7，7，6，8，6，则8环的频数是4 2．（2023·内蒙古·中考真题）下列命题正确的是（    ） A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 B．精确到十分位 C．点关于轴的对称点坐标是 D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则甲成绩比乙的稳定 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列说法中正确的是（  ） A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 B．天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半的时间在下雪 C．彩票中奖的机会是，买张一定会中奖 D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为，则下列说法正确的是（     ） A．连续摸奖两次，都不会中奖 B．连续摸奖两次，不会都中奖 C．只摸奖一次，也有可能中奖 D．摸奖三次，至少中奖一次 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）有四张卡片的正面分别写有“最”“美”“天”“津”，四张卡片洗匀后将其反面朝上放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“天津”的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东·模拟预测）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 7．（2024·山西长治·模拟预测）在两个不透明的袋子中分别装有一些除颜色外完全相同的球．甲袋中装有个白球、个黄球，乙袋中装有个白球、个黄球，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从两个袋子中各随机摸出一个球，摸出的两个球的颜色都是白色的概率是 ． 8．（2024九年级下·辽宁·学业考试）将点沿水平方向平移一个单位长度得到，点在上的概率为 ． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都 ，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率 ．特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，． 10．（2023·湖北孝感·三模）把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有 种不同的分法． 11．（2022·湖南长沙·模拟预测）理想人士的幸福生活就是“劈柴，喂马，周游世界”．将劈、柴、喂、马4个字书写在四张材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱内摇匀后先后随机抽取两张，则两张卡片上的汉字恰为“喂”，“马”二字的概率是 ． 12．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球和1个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球．放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明． 13．（2024·湖北·模拟预测）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1，2，3，6，随机抽取1张卡片后放回并混在一起，再随机抽取一张卡片． (1)直接写出抽取的两张卡片上的数字相同的概率； (2)请用列表或画树状图法求第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍的概率． 14．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位、、、．小双和小萌一同报名参加了这项桌游． (1)小双抽中座位的概率为______； (2)若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小双和小萌成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 培优题真题汇编练 15．（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·广东·模拟预测）第届深圳国际导热散热材料及设备展览会将于年月日在深圳国际会展中心举办，若小张随机从三个入口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是（      ） A． B． C． D． 17．（2024·湖南岳阳·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式 B．五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则一定有张中奖 C．甲、乙两组数据的平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定 D．“外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知一个正六边形，甲同学在A，B，C三个顶点中任选两个顶点，乙同学在D，E，F三个顶点中任选一个顶点，顺次连接这三个顶点，得到一个三角形，则三角形是直角三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·山东济南·模拟预测）甲、乙两名同学玩“石头、剪刀、布”游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·福建三明·二模）在一个不透明的袋子中装有3张完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3．从中随机抽取两张，组成的两位数是3的倍数的概率为 ． 21．（2023·河北唐山·模拟预测）四位同学同时到达宿舍，发现有A、B、C、D 共4 张床位，决定用抽签的方式来决定床位的选择，佳琪同学第 3 个去抽签，那么他抽中A 号床位的概率是 ． 22．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙两位同学轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是6，甲先填， （1）请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果 ； （2）满足条件的填法有 种． 6 23．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）某校将举行田径运动会，某班的“体育达人”小健特别擅长“米”、“米”、“跳远”三个项目，但运动会规则要求每位运动员最多能参加两个项目，小明只能从这三个项目中随机选择两项，则他参加“米”与“跳远”两个项目的概率是 ． 24．（2024·河北·模拟预测）如下所示，将A，B，C，D四种农作物随机种在甲、乙、丙、丁四块田地里，每块田地只能种一种农作物． 甲 乙 丙 丁 （1）A种农作物种在甲位置的概率是 ； （2）B，C这两种农作物位置相邻的概率是 ． 25．（2024·江苏镇江·中考真题）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上． (1)洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________； (2)洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率． 26．（2023·四川资阳·中考真题）第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； (2)求A所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 27．（2024·山东日照·中考真题）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： ．甲、乙两班五个单项得分折线图： ．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 根据以上信息，回答下列问题： (1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分； (2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”） (3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率 28．（2024·江苏扬州·三模）近期，园艺艺术火爆全网．小王和小美准备一起在家体验园艺之美，可供她们选择的盆栽，一共有五种：多肉，绿萝，水仙花，郁金香，玫瑰． (1)小王选择郁金香的概率为______． (2)求小王和小美一起选择种植郁金香的概率为多少．（请用树状图或列表法表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第4章《等可能条件下的概率》】 4.1-4.3 等可能条件下的概率 （10个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 目录 考点讲练1：列举随机实验的所有可能结果 1 考点讲练2：概率的意义理解 4 考点讲练3：判断几个事件概率的大小关系 6 考点讲练4：根据概率公式计算概率 7 考点讲练5：根据概率作判断 10 考点讲练6：已知概率求数量 13 考点讲练7：几何概率 15 考点讲练8：列举法求概率 17 考点讲练9：列表法或树状图法求概率 19 考点讲练10：游戏的公平性 21 考点讲练11：概率在转盘抽奖中的应用 24 考点讲练12：概率的其他应用 27 中等题真题汇编练 30 培优题真题汇编练 39 考点讲练1：列举随机实验的所有可能结果 【精讲题】（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 【答案】12 【思路点拨】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【规范解答】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 【举一反三练1】（23-24九年级下·云南·阶段练习）甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写着数字，0，1，2的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这四张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为；再把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，乙从这三张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，若，则甲获胜；否则乙获胜． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)所有可能出现的结果有12种 (2)公平，理由见解析 【思路点拨】本题考查了用列举法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的概率是解题的关键． （1）用用列表法或画树状图法，即可求出答案； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，即得答案． 【规范解答】（1）（1）方法一：由题意可列表如下，      0 1 2 0 1 2 由表可知，可能出现的等可能结果共有12种； 方法二，画树状图如下： 可能出现的等可能结果共有12种； （2）这个游戏公平，理由如下： 由列表（或树状图）可知，共用12种等可能的结果， 的情况有6种， P（甲获胜） ∵的情况有6种， P（乙获胜）， 这个游戏对双方公平． 【举一反三练2】（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案 （按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 ． 【答案】 答案不唯一，如BCA 15 【思路点拨】本题考查了有理数的加法，概率的分析应用是解题的关键． （1）罗列出6种情况，选择符合题意的即可； （2）罗列出6种情况，进行比较大小即可． 【规范解答】按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要． （1）总时长不超过20，可以按照顺序加工； （2）通过比较发现，最短时间为15． 考点讲练2：概率的意义理解 【精讲题】（2024·湖北·模拟预测）下列说法中不正确的是（    ） A．数据4，9，5，5，7，5的中位数是5 B．任意画一个多边形，其外角和等于360°是必然事件 C．了解某市电灯制造厂的电灯质量情况，应采用全面调查 D．某彩票的中奖概率是0.1，则购买这种彩票10张，可能会中奖 【答案】C 【思路点拨】本题考查了中位数的定义，随机事件，全面调查及抽样调查的特点，概率的意义，根据中位数的定义，随机事件的分类，全面调查及抽样调查的特点，概率的意义依次判断即可求解． 【规范解答】解：A、把数据按照从小到大的顺序排列为4，5，5，5，7，9， ∴中位数为，故该选项不符合题意； B、任意画一个多边形，其外角和等于360°是必然事件，故该选项不符合题意； C、了解某市电灯制造厂的电灯质量情况，应采用抽样调查的方式，故原说法错误，故该选项符合题意； D、某彩票的中奖概率是0.1，则购买这种彩票10张，可能会中奖也可能不中奖，故原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三练1】（2024·湖南·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．为了解一批花炮的燃放质量，宜采用全面调查 B．从1000名学生中随机抽取100名学生的体育成绩组成一个样本，样本容量是1000 C．天气预报显示“明天的降水概率为”，表示明天有的时间都在降雨 D．“掷一枚硬币，落下后正面朝上”是随机事件 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全面调查与抽样调查，样本容量的定义，概率的意义，随机事件、必然事件、不可能事件的定义，根据全面调查与抽样调查，样本容量的定义，概率的意义，随机事件、必然事件、不可能事件的定义，逐一判断即可． 【规范解答】解：A、为了解一批花炮的燃放质量，宜采用抽样调查，故A不符合题意； B、从1000名学生中随机抽取100名学生的体育成绩组成一个样本，样本容量是100，故B不符合题意； C、天气预报显示“明天的降水概率为”，表示降雨的可能性是，故C不符合题意； D、“掷一枚硬币，落下后正面朝上”是随机事件，故D符合题意； 故选：D． 【举一反三练2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列说法正确的是（    ） A．郑州明天降雨的概率为，表示郑州明天有一半的时间在下雨 B．掷一枚质地均匀的硬币次，恰好有次正面朝上 C．随着试验次数的增加，频率会稳定在一个常数附近 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数是必然事件 【答案】C 【思路点拨】本题考查了概率的意义以及随机事件，根据概率的意义、随机事件的概念解答即可． 【规范解答】解： A．郑州明天的降水概率为，只能说明郑州明天有的机会降雨，说法错误，故本选项不符合题意； B．投掷硬币是随机事件，每次正面的概率是，但任意掷一枚质地均匀的硬币100次，不一定有50次正面向上，说法错误，故本选项不符合题意； C．随着试验次数的增加，频率会稳定在一个常数附近，说法正确，故本选项符合题意； D．“任意购买一张电影票，座位号是2的倍数”为随机事件，说法错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 考点讲练3：判断几个事件概率的大小关系 【精讲题】（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【答案】C 【思路点拨】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【规范解答】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∵ ∴其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 【举一反三练1】（22-23七年级下·山东青岛·期末）如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么 ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【思路点拨】根据事件发生的可能性大小作出判断即可． 【规范解答】解：事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”， 则事件A发生的可能性小于事件B发生的可能性，即, 故答案为：< 【举一反三练2】（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【思路点拨】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【规范解答】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 考点讲练4：根据概率公式计算概率 【精讲题】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）从，，，，这五个数中任意取出一个数记作，则既能使函数的图象经过第二、第四象限，又能使关于的一元二次方程的根的判别式小于零的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查概率的应用，确定使函数的图像经过第二、四象限的的取值范围，然后确定使方程根的判别式小于零的的取值范围，找到同时满足两个条件的的值，解题的关键是掌握：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件概率为． 【规范解答】解：∵函数的图像经过第二、四象限， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程的根的判别式小于零， ∴， ∴， ∴使函数的图像经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的的值有为、， ∴此事件的概率为． 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河北保定·期中）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见详解 【思路点拨】本题考查了概率及利用列表法求概率判断游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握概率的求法是解题关键，即如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率是． （1）列举出所有可能数，再利用概率公式即可求出概率； （2）利用列表法列举所有可能的结果，再利用概率公式求出两人的获胜概率即可得出答案． 【规范解答】（1）解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种， ∴第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是； （2）解：列表如下： 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 4 由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结果， 所以小亮获胜的概率，小明获胜的概率， ∴此游戏不公平． 【举一反三练2】（2024·江苏徐州·中考真题）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别． (1)甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______； (2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了列表法与树状图法，熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）根据概率公式即可得到结论； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到相同颜色的小球的情况数，即可求出所求的概率． 【规范解答】（1）解：摸到红球的概率为：； （2）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况， ∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：． 答：两人摸到相同颜色球的概率为． 考点讲练5：根据概率作判断 【精讲题】（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【答案】(1) (2)停止掷，理由见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关键． （1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率； （2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题； （3）根据已掷出的点数和前面掷的人的结果综合考虑来决定是否继续掷即可． 【规范解答】（1）解：由题可知：小颖已掷出的点数和为， 再掷一次，只有掷出点时，其点数和才会超过， 小颖继续掷，点数和不超过的概率是， 故答案为：； （2）解：停止掷； 理由如下： 小明前两次掷出的点数和是，若再掷一次，点数为，时，得分为 或 （小明得分或）； 点数为，，，时．得分为， （小明得分）． ， 停止掷． （3）解：一般来说，当前面掷出的点数和不超过时，应该继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择停止掷； 当前面掷出的点数和为时，应该停止掷． 当然，如果你在后面掷，还要视前面掷的人的结果来决定是否继续掷． 【举一反三练1】（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图所示的转盘被分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． (1)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是0”发生的概率是________． (2)写出此情境下一个不可能发生的事件． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查了概率公式，不可能事件，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据不可能事件发生的概率为0进行解答即可． 【规范解答】（1）∵转盘被分成三个相同的扇形，转动转盘，可得到三种等可能结果， ∴转动一次转盘，得到的数恰好是0发生的概率是， 故答案为：； （2）转动一次转盘，得到的数恰好是2，是不可能事件． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）小明同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分)的数据，统计如下： 公交车 用时/分 A线路 59 151 166 124 B线路 43 57 149 251 (1)据此估计，早高峰期间，乘坐B线路用时不超过35分钟的概率是多少？ (2)若要在40分钟内到达学校，应尽量选择乘坐哪条公交线路？ 【答案】(1) (2)选择A线路 【思路点拨】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先求出A线路不超过40分钟的有个，B线路不超过40分钟的有249个，然后进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵乘坐B线路用时不超过35分钟的有（个）， ∴乘坐B线路用时不超过35分钟的概率为； （2）解：∵A线路不超过40分钟的有（个），B线路不超过40分钟的有（个）， 又∵， ∴选择A线路． 考点讲练6：已知概率求数量 【精讲题】（2024·贵州遵义·模拟预测）一个不透明的口袋中有2个红球，1个黄球，个白球（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，摸出白球的概率大于，写出一个符合条件的的值为 ． 【答案】4（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了概率公式计算概率，解题关键是熟练运用概率公式计算．根据概率公式得出不等式，求出的范围即可． 【规范解答】解：由题意可得：，是正整数， 解得：， 则取； 故答案为：4（答案不唯一）． 【举一反三练1】（2024·湖北·模拟预测）盒中有x枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，是黑棋的概率是 (1)直接写出x的值； (2)从盒中一次性随机摸出2枚棋子，请用列表或画树状图法求两枚棋子颜色相同的概率． 【答案】(1)2 (2) 【思路点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． （1）“摸出两枚棋子的颜色都是白色”是不可能事件知白球的数量不足2个，据此可得答案； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】（1）∵盒中有x枚黑棋和3枚白棋，从盒中随机取出一枚棋子，是黑棋的概率是， ∴黑棋有枚． （2）列表如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中“摸出两枚棋子的颜色相同”的有8种结果， 所以“摸出两枚棋子的颜色相同”的概率为． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）一个不透明袋子中装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)分别求红球和绿球的个数． (2)求从袋中随机摸出一球是绿球的概率． (3)从袋中拿出12个黄球，将剩余的球搅拌均匀，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 【答案】(1)红球有20个，绿球有8个 (2) (3) 【思路点拨】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）根据红、黄、绿三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可求得红球的个数，设绿球有x个，则黄球有个，根据球的总个数列出方程求出x的值即可得； （2）用绿球的个数除以总的球数即可； （3）先求出从袋中拿出12个黄球还剩的球数，再根据黄球的个数，除以还剩的球数即可． 【规范解答】（1）解：红球个数：（个）， 设绿球有x个，则黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， ∴红球有20个，绿球有8个． （2）解：从袋中随机摸出一球，共有60种等可能的结果，其中摸出绿球的结果有8种， ∴从袋中随机摸出一球是绿球的概率为； （3）解：拿出12个黄球以后，从袋中随机摸出一球，共有种等可能的结果，其中摸出黄球的结果有（种）， ∴从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 考点讲练7：几何概率 【精讲题】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【规范解答】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级上·北京·阶段练习）如果飞镖随意的投向下图所示的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查可能性的大小，分数的认识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．求出阴影部分的面积与大正方形的面积比即可． 【规范解答】解：大正方形的面积，阴影部分的面积， 飞镖落在木板上阴影部分的可能性． 故答案为：． 【举一反三练2】（2024·福建莆田·模拟预测）用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 根据几何概率的求法即可得出答案． 【规范解答】解：设①的面积为， 则一副七巧板的面积为，正方形纸板的边长为， 则矩形区域面积为， ∴若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为． 故选：A． 考点讲练8：列举法求概率 【精讲题】（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有： ，，，，，， 共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故选：D 【举一反三练1】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）产品质量是企业的生命，也是企业发展长远的根本，做好产品质量检测是一件非常重要的事情．某零件厂生产了5件规格一样的产品，因某道工序的不合理产生了2件次品，现从中不分先后一次性任意抽取3件进行检验．（记3件正品分别为，，，2件次品分别为，） (1)列出“从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件产品”的所有等可能结果； (2)求抽得的3件产品中至少含1件次品的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】此题考查了列举法求概率． （1）根据题意列举出所有等可能结果即可； （2）利用概率公式进行解答即可． 【规范解答】（1）解：从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件的所有等可能的结果有，，，，，，，，，． （2）解：由（1）得基本事件的总数为， 其中抽取的3件产品中没有次品的结果有种． ∴抽得的3件产品中至少含1件次品的概率为． 【举一反三练2】（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知开关已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列举法求概率．根据题意列举出所有等可能的结果是解题的关键． 由题意知，随机闭合3个开关中的两个开关，共有，三种等可能的结果，其中能够使小灯泡L发光的共有，两种等可能的结果，然后求概率即可． 【规范解答】解：由题意知，随机闭合3个开关中的两个开关，共有，三种等可能的结果，其中能够使小灯泡L发光的共有，两种等可能的结果， ∴使小灯泡L发光的概率是， 故答案为：． 考点讲练9：列表法或树状图法求概率 【精讲题】（23-24九年级上·河北保定·期中）甲、乙、丙、丁4名同学参加读书日志愿服务活动，甲同学是男生，乙、丙、丁同学都是女生，从这4名同学中随机抽取2名同学，则抽到的2名同学都是女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意，画树状图如下： ∴一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种， ∴， 故选：B． 【举一反三练1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）我校计划在9月第二周的星期五至星期日开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．请用树状图或列表法求小明同学随机选择两天，其中一天是星期五的概率是多少？ 【答案】 【思路点拨】本题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．由树状图得出共有6个等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有4个，由概率公式即可得出结果． 【规范解答】解：根据题意画图如下： 由树状图可知，共有6个等可能的结果，小明同学随机选择两天，其中有一天是星期五的结果有4个， ∴小明同学随机选择两天，其中有一天是星期五的概率为． 【举一反三练2】（2024·山东德州·中考真题）衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列表法或树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能结果，其中它们取自同一套的有3种可能，再由概率公式求解即可． 【规范解答】解：令3件上衣分别为A、B、C，对应的裤子分别为a、b、c，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能， ∴它们取自同一套的概率为， 故答案为：． 考点讲练10：游戏的公平性 【精讲题】（2024·青海西宁·一模）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． (1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为__________； (2)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案； （2）首先画出树状图，分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4， ∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：， 故答案为：； （2）解：画树状图得： ∴共有12种等可能的结果， ∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有共6种情况， ∴， ∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平． 【举一反三练1】（24-25九年级下·全国·单元测试）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张牌． (1)请用列表或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； (2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；否则乙获胜，这个游戏公平吗？ 【答案】(1) (2)不公平 【思路点拨】本题考查列表法求概率，某个事件的概率可以通过事件发生次数除以总次数来计算． （1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可． 【规范解答】（1）解：列表如下： 乙 甲 2 3 6 2 3 6 由表可知共有9种等可能的结果，其中两人抽取相同数字的结果有3种， 所以两人抽取相同数字的概率为． （2）解：由（1）中所列表格可知两人抽取的数字和为2的倍数的结果有5种， 所以甲获胜的概率为， 所以乙获胜的概率为． 因为， 所以这个游戏不公平． 【举一反三练2】（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【思路点拨】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 考点讲练11：概率在转盘抽奖中的应用 【精讲题】（23-24七年级下·河南周口·期末）某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查了概率公式，解题的关键是： （1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算； （2）根据可能性的大小，保证“护眼灯”有3张即可，设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 【规范解答】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：， 故答案为：； （2）解：设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 如图： 【举一反三练1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，小亮和小芳玩转盘游戏，将一个材质均匀的转盘平均分成个扇形并标上数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线则重新转动转盘）．小芳提议：若转出的数字是的倍数，则小芳获胜；若转出的数字是的倍数，则小亮获胜． (1)你认为小芳的提议对游戏双方是否公平?为什么? (2)请你利用这个转盘设计一种对两人都公平的游戏规则． 【答案】(1)不公平，理由见详解 (2)游戏规则见详解 【思路点拨】本题考查的是概率，熟练掌握如何计算概率是解题的关键． （1）分别求出小芳和小亮的胜率，再进行比较即可． （2）设计出两者胜算相等的方案即可． 【规范解答】（1）不公平， ∵转出的数字是的倍数，有三种情况，即为、、，总共会出现九种情况， ∴小芳获胜的概率为， 又∵转出的数字是的倍数，有两种情况，即为、，总共会出现九种情况 ∴小亮获胜的概率为， ∴这样的游戏规则不公平． （2）我设计的方法是：转出数字大于小亮胜，转出数字小于小芳胜（方法不唯一，合理即可）， ∵转出数字大于的情况有四种，转出数字小于的情况也有四种， ∴双方获胜的概率都是， 故这样的游戏方法就公平了． 【举一反三练2】（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）把其中3个扇形标A即可． 【规范解答】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同， ∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是； （2）∵每个展馆都有被选中的机会， ∴先将每个展馆都填在一个区域内， 又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大， ∴剩下的两个区域都填上即可， 如图所示： 指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 考点讲练12：概率的其他应用 【精讲题】（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【思路点拨】本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案； 【规范解答】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 【举一反三练1】（2023·浙江宁波·模拟预测）为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 【答案】(1)①8；8；；②给九年级颁奖，分析见解析 (2)九年级的获奖率高，计算过程见解析 【思路点拨】本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． （1）①根据中位数、众数和方差的定义即可解答；②根据两个年级众数和方差解答即可； （2）先根据概率列式计算，然后再比较即可解答． 【规范解答】（1）解：①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数分； 八年级竞赛成绩中第25、26位的分数都是8分，故中位数分； 九年级竞赛成绩的方差为： ， 故； 故答案为：8；8；； ②如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖， 故如果方差角度来分析，应该给九年级颁奖； （2）解：八年级的获奖率为：， 九年级的获奖率为：， ， 九年级的获奖率高． 【举一反三练2】（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【思路点拨】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【规范解答】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 中等题真题汇编练 1．（2024·辽宁·模拟预测）下列结论错误的是（   ） A．关于x的不等式，其解集是 B．若，则 C．老师在班级随机抽取一个学号，这个学号对应的同学是男同学是必然事件 D．小宇某次练习射击中，其10次射击的成绩（环）为8，9，8，8，9，7，7，6，8，6，则8环的频数是4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了解不等式，负整数指数幂，事件的分类，频数等知识，利用解不等式的知识判定选项A；利用负整数指数幂的意义，平方根的定义判定选项B；利用事件的分类判定选项C；利用频数的定义判定选项D． 【规范解答】A．关于x的不等式，其解集是，原结论正确，但不符合题意； B．若，则，原结论正确，但不符合题意； C．老师在班级随机抽取一个学号，这个学号对应的同学是男同学是随机事件，原结论错误，符合题意； D．小宇某次练习射击中，其10次射击的成绩（环）为8，9，8，8，9，7，7，6，8，6，则8环的频数是4，原结论正确，但不符合题意； 故选：C． 2．（2023·内蒙古·中考真题）下列命题正确的是（    ） A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 B．精确到十分位 C．点关于轴的对称点坐标是 D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则甲成绩比乙的稳定 【答案】C 【思路点拨】A、根据必然事件和随机事件的定义即可判断该命题是否正确；B、根据小数精确度的定义即可判断该命题是否正确；C、根据轴对称图形的性质即可判断该命题是否正确；D、方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小． 【规范解答】A、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，命题错误，该选项不符合题意； B、精确到百分位，命题错误，该选项不符合题意； C、点关于轴的对称点坐标是，命题正确，该选项符合题意； D、甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙成绩比甲的稳定，命题错误，该选项不符合题意． 故选：C 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列说法中正确的是（  ） A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 B．天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半的时间在下雪 C．彩票中奖的机会是，买张一定会中奖 D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件 【答案】A 【思路点拨】本题考查随机事件、概率的意义，掌握随机事件和概率的意义是正确判断的前提． 根据随机事件和概率的意义依次判断即可． 【规范解答】解：A. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近，说法正确； B. 天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半可能下雪，原说法错误； C. 彩票中奖的机会是，买张不一定会中奖，原说法错误； D. “从一个只有红球的袋子里摸出白球”是不可能事件，原说法错误； 故选：A． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为，则下列说法正确的是（     ） A．连续摸奖两次，都不会中奖 B．连续摸奖两次，不会都中奖 C．只摸奖一次，也有可能中奖 D．摸奖三次，至少中奖一次 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．直接利用概率的意义分析得出答案． 【规范解答】某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为， A、连续摸奖两次，可能会中奖，故此选项错误； B、连续摸奖两次，有可能都会中奖，故此选项错误； C、只摸奖一次，也有可能中奖，正确； D、摸奖三次，有可能都不中奖，故此选项错误． 故选C． 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）有四张卡片的正面分别写有“最”“美”“天”“津”，四张卡片洗匀后将其反面朝上放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“天津”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了列表法与树状图法，画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的两张卡片恰好是“天津”的结果数，然后根据概率公式计算． 【规范解答】解：“最”“美”“天”“津”分别用字母表示，画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片恰好是“天津”的结果数为2， 所以小江抽取的两张卡片恰好是“天津”的概率=， 故选：A． 6．（2024·山东·模拟预测）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根的情况，解题的关键是理解题意，利用列表法与树状图法以及概率公式解决问题． 画表，共有36种等可能的结果，其中使关于x的一元二次方程有实数解（即）的结果有17种，再由概率公式求解即可． 【规范解答】解：列表得： 共有36种等可能的结果， 关于x的一元二次方程有实数解， 当方程有实数根，， ， ， 方程有实数根的有17种情况， ∴使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ， 故答案为：． 7．（2024·山西长治·模拟预测）在两个不透明的袋子中分别装有一些除颜色外完全相同的球．甲袋中装有个白球、个黄球，乙袋中装有个白球、个黄球，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从两个袋子中各随机摸出一个球，摸出的两个球的颜色都是白色的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查概率的知识。解题的关键是掌握列举法求概率，根据题意，列出所有等结果的可能性，即可． 【规范解答】解：树状图如下：    ∴两个袋子中各随机摸出一个球的概率为：（白，白）；（白，黄）；（白，黄）；（白，白）；（白，黄）；（白，黄）；（黄，白）；（黄，黄）；（黄，黄）共中结果，其中两个球的颜色都是白色的结果为； ∴摸出的两个球的颜色都是白色的概率为：． 故答案为：． 8．（2024九年级下·辽宁·学业考试）将点沿水平方向平移一个单位长度得到，点在上的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查坐标与平移，用概率公式求概率，理解水平方向平移需要考虑水平向左和水平向右，是解题的关键． 根据平移与坐标的关系求出点的坐标，再根据概率的公式求解即可． 【规范解答】∵点沿水平方向平移一个单位长度得到， ∴或， ∵点在上，点不在上， ∴点在上的概率为， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都 ，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率 ．特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，． 【答案】 相等 【思路点拨】此题考查了概率的定义，根据概率的定义求解即可． 【规范解答】解：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率． 故答案为：相等，． 10．（2023·湖北孝感·三模）把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有 种不同的分法． 【答案】4 【思路点拨】首先把10拆成3个数，因为每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一一列举即可． 【规范解答】解：首先把10拆成3个数，，，，， 共有4种分法， 故答案为：4． 11．（2022·湖南长沙·模拟预测）理想人士的幸福生活就是“劈柴，喂马，周游世界”．将劈、柴、喂、马4个字书写在四张材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱内摇匀后先后随机抽取两张，则两张卡片上的汉字恰为“喂”，“马”二字的概率是． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列表法或树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，最后利用概率公式计算即可． 【规范解答】根据题意画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中符合题意的有2种， 概率， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球和1个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球．放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】 【思路点拨】本题考查画树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图法或列表法以及概率公式是解答的关键．先画树状图得到所有等可能的结果数，再从中找出一个白球和一个黑球的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【规范解答】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球的的有4种， ∴两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率． 13．（2024·湖北·模拟预测）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1，2，3，6，随机抽取1张卡片后放回并混在一起，再随机抽取一张卡片． (1)直接写出抽取的两张卡片上的数字相同的概率； (2)请用列表或画树状图法求第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了求概率，列表法或树状图法求概率，正确理解题意是解题的关键； （1），列出表格可得所有可以出现的结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可； （2），列出表格可知所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果数，进而得出答案． 【规范解答】（1） 二          一 1 2 3 6 1 2 3 6 一共有16种可能出现的结果，符合条件的有4种，所以抽取两张卡片上的数字相同的概率是． （2）解：列表如下： 二          一 1 2 3 6 1 2 3 6 一共有16种可能出现的结果，符合条件的有9种，所以第一次取出的数字是第二次取出数字的整数倍的概率为． 14．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位、、、．小双和小萌一同报名参加了这项桌游． (1)小双抽中座位的概率为______； (2)若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小双和小萌成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小张成为盟友的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，小双抽中座位的概率为． （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中小明和小张成为盟友的结果有：，，，，共4种结果， ∴小双和小萌成为盟友的概率为． 培优题真题汇编练 15．（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：画树状图如下，    一共有种可能，其中经过第二象限的共有种可能，分别为，；，；，；，； ∴经过第二象限的概率是， 故选：． 16．（2024·广东·模拟预测）第届深圳国际导热散热材料及设备展览会将于年月日在深圳国际会展中心举办，若小张随机从三个入口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了画树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图法或列表法是解题的关键． 【规范解答】解：画树状图如下：    由树状图可知，共有种等结果，其中小张从口进入，口离开的结果只有种， ∴小张从口进入，口离开的概率是， 故选：． 17．（2024·湖南岳阳·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式 B．五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则一定有张中奖 C．甲、乙两组数据的平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定 D．“外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件 【答案】B 【思路点拨】本题考查数据的收集、整理与分析的应用，根据概率的意义、全面调查与抽样调查的概念、方差的意义、随机事件的定义进行解题即可．熟练掌握概率意义、方差的运用、随机事件、全面调查与抽样调查的定义是解题关键． 【规范解答】解：A．年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式，原说法正确，故此选项不符合题意； B．五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则不一定会中奖，原说法不正确，故此选项符合题意； C．甲、乙两组数据的平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定，原说法正确，故此选项不符合题意； D．设该多边形的边数为， 依题意，得：， 解得：， ∴此多边形一定是四边形， ∴“外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知一个正六边形，甲同学在A，B，C三个顶点中任选两个顶点，乙同学在D，E，F三个顶点中任选一个顶点，顺次连接这三个顶点，得到一个三角形，则三角形是直角三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了列举法求概率，正六边形的性质等知识．熟练掌握列举法求概率是解题的关键． 由题意，画树状图如图①，可得三角形共有9种等可能的结果，如图②，可得，，，，，是直角三角形，共6个，进而可求三角形是直角三角形的概率． 【规范解答】解：由题意，画树状图如图①， 三角形共有9种等可能的结果， 如图②， ，，，，，是直角三角形，共6个， ∴三角形是直角三角形的概率为， 故选：A． 19．（2024·山东济南·模拟预测）甲、乙两名同学玩“石头、剪刀、布”游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及甲获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中甲获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种， 随机出手一次，甲获胜的概率是． 故选：A． 20．（2024·福建三明·二模）在一个不透明的袋子中装有3张完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3．从中随机抽取两张，组成的两位数是3的倍数的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是3的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】解：列表如下： 1 2 3 1 12 13 2 21 23 3 31 32 共有6种等可能的结果，其中组成的两位数是3的倍数的结果有：12，21，共2种， 组成的两位数是3的倍数的概率为 ． 故答案为： 21．（2023·河北唐山·模拟预测）四位同学同时到达宿舍，发现有A、B、C、D 共4 张床位，决定用抽签的方式来决定床位的选择，佳琪同学第 3 个去抽签，那么他抽中A 号床位的概率是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查的是列树状图求概率和概率公式，熟知随机事件A的概率事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 列树状图根据概率公式即可得出结论． 【规范解答】解：列树状图如下： 则总共有24种情况，其中佳琪抽中A 号床位的情况有6种， ∴他抽中A 号床位的概率． 故答案为：． 22．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙两位同学轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是6，甲先填， （1）请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果 ； （2）满足条件的填法有 种． 6 【答案】 【思路点拨】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【规范解答】解：甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，表中第一个数字是，甲先填， 第二个数字为，第四个数字为， 乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． 第三个数字可以为，，，，，第五个数字可以为，，，，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有种选法，第五个数字有种选法， 满足条件的填法有种，表中空白处可以为． 故答案为：， 23．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）某校将举行田径运动会，某班的“体育达人”小健特别擅长“米”、“米”、“跳远”三个项目，但运动会规则要求每位运动员最多能参加两个项目，小明只能从这三个项目中随机选择两项，则他参加“米”与“跳远”两个项目的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了画树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【规范解答】解：用分别表示“米”、“米”、“跳远”三个项目，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中参加“米”与“跳远”两个项目的结果有种， ∴参加“米”与“跳远”两个项目的概率是， 故答案为：． 24．（2024·河北·模拟预测）如下所示，将A，B，C，D四种农作物随机种在甲、乙、丙、丁四块田地里，每块田地只能种一种农作物． 甲 乙 丙 丁 （1）A种农作物种在甲位置的概率是 ； （2）B，C这两种农作物位置相邻的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了简单概率求法，画树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）设将B种农作物种在甲地里，画树状图共有6种等可能的结果，其中B，C两种农作物位置相邻的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【规范解答】解：（1）根据题意A种农作物种在甲位置的概率是， 故答案为：； （2）设将B种农作物种在甲地里， 画树状图如下：    共有6种等可能的结果，其中B，C两种农作物位置相邻的结果有4种， ∴B，C两种农作物位置相邻的概率是． 故答案为：． 25．（2024·江苏镇江·中考真题）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上． (1)洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________； (2)洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样， 洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率， 故答案为：； （2）解：把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为、、， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种， 抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为． 26．（2023·四川资阳·中考真题）第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； (2)求A所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】(1)500，补全图形见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． （1）用的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，用调查总人数减去A（非常关注）、C（很少关注）、D（没有关注）三个选项的人数即可得到B（比较关注）选项的人数，即可补全条形图； （2）用乘以的人数所占比例即可解答； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； 【规范解答】（1）解：本次调查共抽取了（名）． 选项B的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）解：A所在扇形的圆心角度数为； （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙同时被选中的概率为． 27．（2024·山东日照·中考真题）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： ．甲、乙两班五个单项得分折线图： ．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 根据以上信息，回答下列问题： (1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分； (2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”） (3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率 【答案】(1)； (2)乙； (3)． 【思路点拨】本题主要考查数据统计与整理的相关知识，掌握平均数，方差的计算方法、概率的计算方法等知识的运用是解题的关键． （）根据平均数的计算方法即可求解； （）根据方差的计算即可求解； （）列表或或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分， 则； （2）解：甲班平均分：， 则， 乙班平均分：， 则， 丙班平均分：， 则， ∵ ∴乙整体发挥稳定性最好， 故答案为：乙； （3）列表如下．              第二名 第一名 由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种， ∴（选择同一套图书）． 28．（2024·江苏扬州·三模）近期，园艺艺术火爆全网．小王和小美准备一起在家体验园艺之美，可供她们选择的盆栽，一共有五种：多肉，绿萝，水仙花，郁金香，玫瑰． (1)小王选择郁金香的概率为______． (2)求小王和小美一起选择种植郁金香的概率为多少．（请用树状图或列表法表示） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出答案； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一共有五种：多肉，绿萝，水仙花，郁金香，玫瑰， ∴小王选择郁金香的概率为； （2）解：列表得： 小王小美 多肉 绿萝 水仙花 郁金香 玫瑰 多肉 多肉，多肉 绿萝，多肉 水仙花，多肉 郁金香，多肉 玫瑰，多肉 绿萝 多肉，绿萝 绿萝，绿萝 水仙花，绿萝 郁金香，绿萝 玫瑰，绿萝 水仙花 多肉，水仙花 绿萝，水仙花 水仙花，水仙花 郁金香，水仙花 玫瑰，水仙花 郁金香 多肉，郁金香 绿萝，郁金香 水仙花，郁金香 郁金香，郁金香 玫瑰，郁金香 玫瑰 多肉，玫瑰 绿萝，玫瑰 水仙花，玫瑰 郁金香，玫瑰 玫瑰，玫瑰 由表格可得，共有25种等可能出现的结果，其中小王和小美一起选择种植郁金香的情况有1种， 故小王和小美一起选择种植郁金香的概率为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$