专题14 抛物线的标准方程与性质四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题14 抛物线的标准方程与性质四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、抛物线的定义………………………………………………………………2 类型二、抛物线标准方程 3 类型三、抛物线的几何性质 5 类型四、与其他章节融合…………………………………………………………. 8 压轴能力测评（10题） 11 1.抛物线的定义 抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上． 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 类型一、抛物线的定义 例．在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练1】若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（       ） A． B． C．6 D． 【变式训练2】已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______． 类型二、抛物线标准方程 例．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为 . 【变式训练1】已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（       ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是 _____________ 类型三、抛物线的几何性质 例．（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（       ） A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【变式训练1】已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（       ） A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【变式训练2】用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（       ）    A．C的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上 【变式训练3】在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（        ） A． 3        B． 2        C． 1        D． 类型四、与其他章节融合 例．是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________． 【变式训练1】已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________. 【变式训练2】已知抛物线的焦点为，为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切（切点为）且交轴于点，过点作圆的另一条（切点为）交轴于点，若，则的最小值为 ． 1．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ） A． B． C． D． 2．已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D．4 3．已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（       ） A．4 B．5 C． D． 4．已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（       ） A．5 B． C．2 D．3 5．（多选）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（       ） A． B．是等边三角形 C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为 6．（多选）已知抛物线C：与圆F：，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点，则（       ） A．的最小值为 B．最大值为45° C．的最小值是 D．当最大时，四边形的面积为 7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为 . 8．已知点P为抛物线上的动点，A，B为圆上的两个动点，则的最小值为____________. 9．已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为 . 10.设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.    (1)求抛物线的标准方程. (2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 抛物线的标准方程与性质四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、抛物线的定义………………………………………………………………2 类型二、抛物线标准方程 3 类型三、抛物线的几何性质 5 类型四、与其他章节融合…………………………………………………………. 8 压轴能力测评（10题） 11 1.抛物线的定义 抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上． 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 类型一、抛物线的定义 例．在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设，则PE的中点坐标为，代入，可得， 故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：为准线的抛物线， 由于，故在抛物线内部， 过点P作，垂足为Q，则，（抛物线的定义）， 故当且仅当M，P，Q三点共线时，最小，即最小， 最小值为点M到直线l的距离，所以， 故选：B． 【变式训练1】若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（       ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【解析】由题可知抛物线的准线方程为，所以，即，所以，∴ ，所以. 故选：D. 【变式训练2】已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】抛物线的焦点，准线方程为． 过点作抛物线准线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得， 则， 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 类型二、抛物线标准方程 例．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，推出为正三角形，求出，记准线与轴交于点，根据即可求出结果. 【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，又， 所以为正三角形，所以， 记准线与轴交于点，则， 所以， 所以该抛物线方程为：. 故答案为：. 【变式训练1】已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形是正三角形，结合已知条件求出，结合在上的射影是是中点，然后求解抛物线方程． 【详解】由题意如图，过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限）， 可知，， ，垂足为，直线交轴于点，准线与轴的交点为， 所以，则三角形是正三角形， 因为是的中点，，所以是的中点， 所以，， ，所以，则， 由三角形是正三角形可知在上的射影是是中点， 所以，则， 可得， 所以抛物线方程为：． 故选：． 【变式训练2】已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是 _____________ 【答案】 【解析】由题意，抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离， 可得，解得 故答案为： 类型三、抛物线的几何性质 例．（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（       ） A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设，由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 【变式训练1】已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（       ） A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【解析】如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 【变式训练2】用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（       ）    A．C的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上 【答案】AD 【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A正确；设直线，联立方程组，结合韦达定理，可判定B错误；根据，求得，可判定C错误；由，联立方程组得到，结合，可判定D正确. 【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确； 由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0， 设直线，联立方程组，整理得， 可得，所以，所以B错误； 若点，则，所以，所以，， 所以，所以C错误； 又由直线，联立方程组，解得， 由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确. 故选：AD. 【变式训练3】在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（        ） A． 3        B． 2        C． 1        D． 【答案】A 【解析】设准线与轴交于点，则，，∴， 连接，则，又，所以是正三角形， ∴，准线的方程是，∴点纵坐标为3. 故选：A 类型四、与其他章节融合 例．是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径， 抛物线的焦点， 因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为， 所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小， 连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离， 即， 所以的最小值为， 故答案为： 【变式训练1】已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________. 【答案】3 【解析】由题意得：,抛物线焦点为，准线为， 则 ,当A,F,C三点共线时取等号， 而，故的最小值为， 故答案为：3 【变式训练2】已知抛物线的焦点为，为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切（切点为）且交轴于点，过点作圆的另一条（切点为）交轴于点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】 由题：设，， 所以，， 设，，， 抛物线第一象限的函数解析式为， 所以， 中，由正弦定理： ，令， 当时，取得等号. 故答案为： 1．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线的定义可知，，所以． 故选：C. 2．已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【详解】设的坐标为，则，抛物线的焦点，准线方程为， 当点在直线及右侧，即时，，当且仅当是与直线的交点时取等号， 此时，当且仅时取等号， 当点在直线左侧，即时，点关于的对称点是，则， ， 当且仅当是与直线的交点，且时取等号，而， 所以的最小值为. 故选：C 3．已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（       ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】设、、，由可得， 由，为的中点， 则有，即， 即，故， ， 又，故，此时点在原点. 故选：B. 4．已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（       ） A．5 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先利用配方法求得到圆心的最小距离，从而求得到的最小距离. 【详解】由题意知，，设，则， 所以，    故当时，， 所以. 故选：B. 5．（多选）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（       ） A． B．是等边三角形 C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为 【答案】BC 【解析】根据题意，作出示意图, 因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交于B，D两点，∠ABD＝90°， 由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|， 所以是等边三角形，故B正确； 所以∠FBD＝30°. 因为的面积为|BF|2＝9， 所以|BF|＝6.故A错误； 又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，故C正确； 则该抛物线的方程为y2＝6x.故D错误. 故选：BC. 6．（多选）已知抛物线C：与圆F：，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点，则（       ） A．的最小值为 B．最大值为45° C．的最小值是 D．当最大时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】利用几何关系可得的最小值即为的最小值；建立的三角函数值与之间的关系，讨论范围即可确定的最大角；利用基本不等式讨论的最值；根据四边形的面积等于讨论解最大值. 【详解】对于A, 的最小值为的最小值, 因为的最小值为,所以的最小值为,故A正确； 对于B，设是圆的切线，切点为，则, 所以 因为，所以， 所以，所以，所以最大值为， 故B错误； 对于C，设，， 所以 ， 当且仅当时取得等号，所以的最小值是，故C正确； 对于D，当在轴异侧，且与抛物线相切于点,与圆相切于点, 取得最大值， 不妨设在第一象限，则点在第四象限， 设直线代入整理得， 所以，则，因为，所以. 所以，解得，所以，即, 此时 当与圆相切于点时，, , 所以当最大时，四边形APFQ的面积为，故D正确. 故选:ACD. 7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，推出为正三角形，求出，记准线与轴交于点，根据即可求出结果. 【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，又， 所以为正三角形，所以， 记准线与轴交于点，则， 所以， 所以该抛物线方程为：. 故答案为：. 8．已知点P为抛物线上的动点，A，B为圆上的两个动点，则的最小值为____________. 【答案】 【详解】因为，要使最小， 则当最大时，此时与圆相切，则， 所以， 要求的最小值，则需最大，即需最小． 设，则， 所以当时，，此时， 即的最小值为. 故答案为： 9．已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为 . 【答案】10 【分析】设直线方程为，，联立抛物线方程得出韦达定理，再利用导数的几何意义求解方程，联立可得，再代入根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】的焦点为，设直线方程为，. 联立直线与抛物线方程有，则. 又求导可得，故直线方程为. 又，故，同理. 联立可得，解得，代入可得，代入韦达定理可得，故. 故，当且仅当，即时取等号. 故答案为：10 10.设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.    (1)求抛物线的标准方程. (2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程； （2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点； （ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线. （2）（i）设，，直线， 与抛物线联立，得，因此，. 设直线，与抛物线联立，得， 因此，，则.同理可得. 所以. 因此直线，由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以直线过定点. （ii）因为， ， 所以， 当且仅当时取到最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$