专题03 轴对称【知识梳理+解题方法+专题过关】-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题03 轴对称 一．轴对称图形 1．定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 注意： ①对称轴是一条直线，而不是线段或射线． ②一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． 二．轴对称 1．概念 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区 别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条对称轴 不一定只有一条对称轴 联系 ①沿对称轴折叠，两个图形重合； ②如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 ①沿对称轴折叠，图形的两部分重合； ②如果把轴对称图形的两部分当作两个图形，那么这两个图形成轴对称 三．线段垂直平分线的定义及其性质 1．线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2．线段垂直平分线的判定：如果有两个点到线段两端的距离相等，那么这两点确定的直线是线段的垂直平分线． 3．线段垂直平分线的结论： ①性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． ②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 四．轴对称和轴对称图形的性质 性质 内容 性质1 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 性质2 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 ①轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． ②成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 五．画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴． 根据轴对称图形的这一性质可以得出轴对称图形对称轴的画法，步骤如下： ①找出轴对称图形的任意一对对应点； ②连接这对对应点； ③画出对应点所连线段的垂直平分线． 这条垂直平分线就是该轴对称图形的对称轴． 注意： 对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据． 六．画轴对称图形 1．关于某直线成轴对称的两个图形之间的关系 ①由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． ③连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 注意： 第③条是画轴对称图形的重要依据． 2．画轴对称图形的方法 ①找——在原图形上找特殊点； ②画——画各个特殊点关于对称轴的对称点； ③连——依次连接各对称点． 注意： ①找特殊点对画轴对称图形极为重要，除线段的端点外，线与线的交点也是画图过程中的特殊点； ②对称轴上任一点的对称点是它本身． 七．用坐标表示轴对称 1．关于坐标轴对称的点的坐标特点 点关于x轴对称的点的坐标是； 点关于y轴对称的点的坐标是． 2．关于坐标轴对称的点的坐标的特点：关于谁对称谁不变，即关于x轴对称，则横坐标x的值不变；关于y轴对称，则横坐标y的值不变． ①点关于直线（与x轴垂直且垂足为的直线）对称的点的坐标是； ②点关于直线（与y轴垂直且垂足为的直线）对称的点的坐标是； ③点关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是； ④点关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标是． 3．在坐标系中画轴对称图形的方法： ①计算——计算对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——依次连接所描各点得到轴对称图形． 八．等腰三角形 1．概念 有两边相等的三角形是等腰三角形． 2．相关概念 在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，剩余的一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 如图，在中，，是腰，是底边，是顶角，，是底角． 注意： ①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是，两边之和大于第三边等； ②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点，又是研究它的重要方法； ③对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和产生错误的地方； ④等腰三角形的顶角可以是直角、钝角、锐角，而底角只能是锐角． 九．等腰三角形的性质 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 应用模式： 在中， ∵， ∴． 注意： ①这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法．它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便； ②应用这个性质时，必须在一个三角形中． 2．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 应用模式：如图，在中， ①∵，平分， ∴，； ②∵，， ∴，； ③∵，， ∴，． 注意： ①应用“三线合一”性质的前提条件必须是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，若是一腰上的高与中线就不一定重合； ②等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴． 十．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法有两个： ①定义法：有两条边相等； ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 注意： “等角对等边”也是我们今后证明两条线段相等常用的方法． 十一．等边三角形及其性质 1．等边三角形的概念 三边都相等的三角形是等边三角形． 2．等边三角形的性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于； ②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ③等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 十二．等边三角形的判定 判定等边三角形的方法有三种： ①定义法：三条边都相等； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 注意： 若已知三边关系，一般选用①；若已知三角关系，一般选用②；若已知该三角形是等腰三角形，则选用③． 十三．含角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 应用模式： 在中， ∵，， ∴． 注意： ①该性质是含有角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用； ②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系； ③该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切； ④在有些题目中，若给出的角是角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将的角转化为的角后，再利用这个性质解决问题． 十四．最短路径问题 1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． 如图，点A、点B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C，使最小，这时点C是直线l与的交点． 2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 如图，点A、点B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C，使最小．这时先作点A关于直线l的对称点，则点C是直线l与的交点；或先作点B关于直线l的对称点，则点C是直线l与的交点． 【专题过关】 一．轴对称图形的判定及相关概念（共3小题） 1．如图是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 2．如图，五角星是非常美丽的图案，它有 　 　条对称轴． 【答案】5． 【解析】解：五角星是非常美丽的图案，它有5条对称轴． 故答案为：5． 3．在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个 小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形． 【答案】见解析． 【解析】解：如图所示： ． 二．轴对称的性质运用（共5小题） 4．如图，与关于直线l对称，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵与关于直线l对称，，， ∴． ∴． 故选：A． 5．如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：根据轴对称的性质，阴影部分的面积等于正方形面积的一半， ∵正方形的面积， ∴阴影部分的面积． 故选：B． 6．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：由图分析可得题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故选：A． 7．折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图， 小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则　 　． 【答案】． 【解析】解：由题意可知， ∵， ∴， 故答案为：． 8．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹 时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第 n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是　 　，点的坐标是　 　． 【答案】，． 【解析】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点，点的坐标是， 当点P第1次碰到矩形的边时，点的坐标为：； ∵， ∴当点P第2017次碰到矩形的边时为第337个循环组的第1次反弹，回到出发点， 此时点的坐标为． 故答案为：，． 三．尺规作图（共4小题） 9．如图，用尺规作图作出，则作图痕迹弧是（　　） A．以点B为圆心，以长为半径的弧 B．以点B为圆心，以长为半径的弧 C．以点E为圆心，以长为半径的弧 D．以点E为圆心，以长为半径的弧 【答案】D． 【解析】解：作的作法： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线，于点C，D； ②以点B为圆心，以为半径画，交射线于点E； ③以点E为圆心，以为半径画，交于点N，连接即可得出， 则． 故选：D． 10．如图，依据尺规作图的痕迹，计算的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 由作法可知，是的平分线， ∴． 由作法可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 11．如图是“作已知角的角平分线”的尺规作图，该作图的依据是 　 　． 【答案】． 【解析】解：连接，， 由作图可知，，， ∵， ∴， ∴， 即为的平分线， ∴该作图的依据是． 12．如图，已知，根据几何作图的痕迹，解决下列问题： （1）　 　； （2）若，则　 　°． 【答案】（1）；（2）44． 【解析】解：（1）由作图痕迹可知是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：． （2）由作图痕迹可知是的角平分线， ∴， ∵中，，， ∴， ∴， 故答案为：44． 四．垂直平分线的性质（共6小题） 13．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在 他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点 【答案】C． 【解析】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， ∴凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：C． 14．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，连接， 则的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A． 【解析】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为：． 故选：A． 15．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的 度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵， ∴， ∵、分别是线段、的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 16．如图，在中，，．的周长为6，则的周长是 　 　． 【答案】8． 【解析】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长， ∴的周长． 故答案为：8． 17．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆 心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，， 则的周长为 　 　． 【答案】16． 【解析】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 18．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D， 连接． （1）若的周长为23，的周长为9，求的长； （2）若，，求度数． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为23，的周长为9， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 五．画轴对称图形（共2小题） 19．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其东格点上，请 以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形． 【答案】见解析． 【解析】解：如图，即为所求； 20．如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为， ． （1）画出关于y轴成轴对称的图，并写出的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）作图见解析，；（2）． 【解析】解：（1）如图所示，即为所求， ∴的坐标为； （2）∵点A、B的坐标分别是，， ∴． 六．点坐标的对称规律（共13小题） 21．点关于x轴的对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵点P坐标为， ∴点P关于x轴的对称点的坐标为：． 故选：A． 22．已知，，则下面结论中正确的是（　　） A．A，B两点关于y轴对称 B．点A到y轴距离是3 C．点B到x轴距离是1 D．轴 【答案】D． 【解析】解：A．A，B两点关于x轴对称，故此选项不合题意； B．点A到y轴距离是1，故此选项不合题意； C．点B到x轴距离是3，故此选项不合题意； D．轴，故此选项符合题意． 故选：D． 23．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点B，则与点B关于y轴对称的点的 坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：将点向右平移3个单位长度得到点， ∴与点B关于y轴对称的点的坐标为， 故选：A． 24．剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴 蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为， ，，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：∵与对称， ∴对称轴为直线， ∵与点D关于直线对称， ∴点D的坐标为． 故选：B． 25．如果点和点关于直线对称，则的值是（　　） A． B．1 C． D．5 【答案】A． 【解析】解：∵点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 26．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到x轴距离的最大值， 叫做线段的“轴距”，记作.例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3， 记作．已知点，，线段关于直线的对称线段为．若， 则m的值为（　　） A．1或7 B．5或 C．7或 D．1或5 【答案】D． 【解析】解：∵点，， ∴E，F关于直线的对称点，， 当时，， ∴， ∴或7， 当时，， ∴， ∴或5， 综上所述或5， 故选：D． 27．若点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是　 　． 【答案】． 【解析】解：∵点与点Q关于y轴对称， ∴点Q的坐标是． 故答案为：． 28．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为 　 　． 【答案】． 【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 29．若点与关于点C对称，则点C的坐标是 　 　． 【答案】． 【解析】解：因为点A坐标为，点B坐标为，且点A与点B关于点C对称， 所以点C是的中点， 所以，， 则点C的坐标为． 故答案为：． 30．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半 轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得 到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标 为 　 　． 【答案】． 【解析】解：如图，由题意，，，，， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 31．在平面直角坐标系中，有点，． （1）当点A在第二象限的角平分线上时，求a的值； （2）当点A和点B关于y轴对称时，求点B所在的象限位置． 【答案】（1）；（2）点B在第一象限． 【解析】解：（1）由题意可得：， 解得：； （2）由题意可得：， 解得：， ∴，故点B在第一象限． 32．在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点Q在y轴上，请直接写出点Q关于x轴的对称点P的坐标； （2）若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标． 【答案】（1）点Q关于x轴的对称点P的坐标为；（2）或． 【解析】解：（1）∵点Q在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点Q关于x轴的对称点P的坐标为； （2）∵点Q到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 33．在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线记作直线．给出如下定义：①把一 个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称， 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条 线段②将点关于y轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点 为点关于y轴和直线的“青一对称点”．例如：点关于y轴和直线的“青一对 称点”为点． （1）点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是 　 　； （2）点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是，求m和n的值； （3）若点关于y轴和直线的“青一对称点”在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】解：（1）关于y轴的对称点，关于直线的对称点， ∵， ∴点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是， 故答案为：； （2）∵点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是， ∴， 解得； （3）点关于y轴和直线的“青一对称点”为， ∵在第二象限， ∴，， ∴，， ∵满足条件的x的整数解有且只有一个， ∴， 解得． 七．等腰三角形的性质与判定（共7小题） 34．如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 35．已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C． 【解析】解：设两内角的度数为x、； 当等腰三角形的顶角为x时，，； 当等腰三角形的顶角为时，，，； 因此等腰三角形的顶角度数为或． 故选：C． 36．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm 【答案】D． 【解析】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm； ②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去． ∴其周长是12cm． 故选：D． 37．如图，平分，，的延长线交于点E，若， 则　 　度． 【答案】35． 【解析】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：35． 38．在中，，、分别是和的平分线，且交于D， 交于E，则的周长是 　 　cm． 【答案】10． 【解析】解：∵、分别是和的角平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长， 故答案为：10． 39．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）作的平分线交于点G，若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 八．等边三角形的性质与判定（共8小题） 41．在中，若，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C． 【解析】解：∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 42．如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的中线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 43．如图，在等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：在等边三角形中，，， ∵， ∴点D是的中点， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 44．在中，，添加下列一个条件后不能判断是等边三角形的是（　　） A． B． C．的补角等于的补角 D．边上的高也是边上的中线 【答案】C． 【解析】解：∵， ∴是等腰三角形， 当时，是等边三角形，故A不符合题意， 当时，是等边三角形，故B不符合题意， 当的补角等于的补角时，即，不一定是等边三角形，故C符合题意， 当边上的高也是边上的中线时，得到，是等边三角形，故D不符合题意． 故选：C． 45．如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设 点P运动的时间为t秒，则当t＝　 　秒时，是等边三角形． 【答案】3． 【解析】解：∵， ∴当时，是等边三角形， ∵动点P以每秒1个单位长度的速度沿射线运动， ∴（秒）， ∴当秒时，是等边三角形． 故答案为：3． 46．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点， 点O是线段上一点，，下面的结论： ①；②；③是等边三角形．其中正确的是 　 　．（填序号） 【答案】①③． 【解析】解：①连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故①选项正确； ②由①可知，，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， 故②选项不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③选项正确， 故答案为：①③． 47．证明题：如图：是等边三角形，点D、E、F分别在、、的延长线上，且． 求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 48．如图，在四边形中，，，，点E为上一点，连接， 交于点F，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，则的长为 　 　． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析；（2）2． 【解析】解：（1）是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； （2）连接交于点O，如图， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：2． 九．含角的直角三角形（共5小题） 49．如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于E，交于 D，且，则的长是（　　） A．13cm B．6.5cm C．30cm D．6cm 【答案】B． 【解析】解；∵边的垂直平分线交于E，交于D（已知） ∴（线段垂直平分线的性质） ∴且（等腰三角形的性质） ∴（外角性质） ∴． 故选：B． 50．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若， 则线段的长度等于 　 　． 【答案】16． 【解析】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：16． 51．如图，，，B点在的垂直平分线上，若，则为 　 　． 【答案】8． 【解析】解：∵B点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8． 52．如图，中，，，于D，平分，交于E，交于F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】证明：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）∵，， ∴， ∴， 由（1）知是等边三角形， ∴， ∴． 53．如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速 度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）B处到灯塔C的距离为30海里；（2）这条船继续由西向东航行会有触礁的危险，理由见解析． 【解析】解：（1）根据题意得，，（海里）， ∴， ∴， ∴（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为30海里； （2）过C作交的延长线于点D， ∵，（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 十．最短路径问题（共4小题） 54．如图，在中，，，面积是14，的垂直平分线分别交，边于 E、F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（　　） A．21 B．7 C．6 D．3.5 【答案】B． 【解析】解：连接，， ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 当点M在上时，最小，最小值为， ∴的最小值为7． 故选：B． 55．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是边上一点，若 ，当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解： 过E作，交于N， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 连接交于F，连接， 则此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 56．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N， 使的周长最小，则　 　°． 【答案】150． 【解析】解：作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值． ∵， ∴， ∵，，且，， ∴， 故答案为：150． 57．如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格点上． （1）已知和关于直线l对称，请在图上把和补充完整： （2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为 　 　； （3）在直线l上画出点P，使得最短． 【答案】（1）作图见解析；（2）；（3）作图见解析． 【解析】解：（1）如图，和即为所求； （2）由题意可得，点的坐标为． 故答案为：； （3）如图，点P即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称 一．轴对称图形 1．定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 注意： ①对称轴是一条直线，而不是线段或射线． ②一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． 二．轴对称 1．概念 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区 别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条对称轴 不一定只有一条对称轴 联系 ①沿对称轴折叠，两个图形重合； ②如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 ①沿对称轴折叠，图形的两部分重合； ②如果把轴对称图形的两部分当作两个图形，那么这两个图形成轴对称 三．线段垂直平分线的定义及其性质 1．线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2．线段垂直平分线的判定：如果有两个点到线段两端的距离相等，那么这两点确定的直线是线段的垂直平分线． 3．线段垂直平分线的结论： ①性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． ②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 四．轴对称和轴对称图形的性质 性质 内容 性质1 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 性质2 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 ①轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． ②成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 五．画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴． 根据轴对称图形的这一性质可以得出轴对称图形对称轴的画法，步骤如下： ①找出轴对称图形的任意一对对应点； ②连接这对对应点； ③画出对应点所连线段的垂直平分线． 这条垂直平分线就是该轴对称图形的对称轴． 注意： 对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据． 六．画轴对称图形 1．关于某直线成轴对称的两个图形之间的关系 ①由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． ③连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 注意： 第③条是画轴对称图形的重要依据． 2．画轴对称图形的方法 ①找——在原图形上找特殊点； ②画——画各个特殊点关于对称轴的对称点； ③连——依次连接各对称点． 注意： ①找特殊点对画轴对称图形极为重要，除线段的端点外，线与线的交点也是画图过程中的特殊点； ②对称轴上任一点的对称点是它本身． 七．用坐标表示轴对称 1．关于坐标轴对称的点的坐标特点 点关于x轴对称的点的坐标是； 点关于y轴对称的点的坐标是． 2．关于坐标轴对称的点的坐标的特点：关于谁对称谁不变，即关于x轴对称，则横坐标x的值不变；关于y轴对称，则横坐标y的值不变． ①点关于直线（与x轴垂直且垂足为的直线）对称的点的坐标是； ②点关于直线（与y轴垂直且垂足为的直线）对称的点的坐标是； ③点关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是； ④点关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标是． 3．在坐标系中画轴对称图形的方法： ①计算——计算对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——依次连接所描各点得到轴对称图形． 八．等腰三角形 1．概念 有两边相等的三角形是等腰三角形． 2．相关概念 在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，剩余的一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 如图，在中，，是腰，是底边，是顶角，，是底角． 注意： ①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是，两边之和大于第三边等； ②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点，又是研究它的重要方法； ③对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和产生错误的地方； ④等腰三角形的顶角可以是直角、钝角、锐角，而底角只能是锐角． 九．等腰三角形的性质 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 应用模式： 在中， ∵， ∴． 注意： ①这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法．它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便； ②应用这个性质时，必须在一个三角形中． 2．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 应用模式：如图，在中， ①∵，平分， ∴，； ②∵，， ∴，； ③∵，， ∴，． 注意： ①应用“三线合一”性质的前提条件必须是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，若是一腰上的高与中线就不一定重合； ②等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴． 十．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法有两个： ①定义法：有两条边相等； ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 注意： “等角对等边”也是我们今后证明两条线段相等常用的方法． 十一．等边三角形及其性质 1．等边三角形的概念 三边都相等的三角形是等边三角形． 2．等边三角形的性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于； ②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ③等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 十二．等边三角形的判定 判定等边三角形的方法有三种： ①定义法：三条边都相等； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 注意： 若已知三边关系，一般选用①；若已知三角关系，一般选用②；若已知该三角形是等腰三角形，则选用③． 十三．含角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 应用模式： 在中， ∵，， ∴． 注意： ①该性质是含有角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用； ②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系； ③该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切； ④在有些题目中，若给出的角是角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将的角转化为的角后，再利用这个性质解决问题． 十四．最短路径问题 1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． 如图，点A、点B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C，使最小，这时点C是直线l与的交点． 2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 如图，点A、点B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C，使最小．这时先作点A关于直线l的对称点，则点C是直线l与的交点；或先作点B关于直线l的对称点，则点C是直线l与的交点． 【专题过关】 一．轴对称图形的判定及相关概念（共3小题） 1．如图是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，五角星是非常美丽的图案，它有 　 　条对称轴． 3．在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个 小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形． 二．轴对称的性质运用（共5小题） 4．如图，与关于直线l对称，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A． B． C． D． 7．折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图， 小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则　 　． 8．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹 时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第 n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是　 　，点的坐标是　 　． 三．尺规作图（共4小题） 9．如图，用尺规作图作出，则作图痕迹弧是（　　） A．以点B为圆心，以长为半径的弧 B．以点B为圆心，以长为半径的弧 C．以点E为圆心，以长为半径的弧 D．以点E为圆心，以长为半径的弧 10．如图，依据尺规作图的痕迹，计算的度数为（　　） A． B． C． D． 11．如图是“作已知角的角平分线”的尺规作图，该作图的依据是 　 　． 12．如图，已知，根据几何作图的痕迹，解决下列问题： （1）　 　； （2）若，则　 　°． 四．垂直平分线的性质（共6小题） 13．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在 他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点 14．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，连接， 则的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 15．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的 度数是（　　） A． B． C． D． 16．如图，在中，，．的周长为6，则的周长是 　 　． 17．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆 心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，， 则的周长为 　 　． 18．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D， 连接． （1）若的周长为23，的周长为9，求的长； （2）若，，求度数． 五．画轴对称图形（共2小题） 19．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其东格点上，请 以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形． 20．如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为， ． （1）画出关于y轴成轴对称的图，并写出的坐标； （2）求的面积． 六．点坐标的对称规律（共13小题） 21．点关于x轴的对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 22．已知，，则下面结论中正确的是（　　） A．A，B两点关于y轴对称 B．点A到y轴距离是3 C．点B到x轴距离是1 D．轴 23．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点B，则与点B关于y轴对称的点的 坐标为（　　） A． B． C． D． 24．剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴 蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为， ，，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 25．如果点和点关于直线对称，则的值是（　　） A． B．1 C． D．5 26．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到x轴距离的最大值， 叫做线段的“轴距”，记作.例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3， 记作．已知点，，线段关于直线的对称线段为．若， 则m的值为（　　） A．1或7 B．5或 C．7或 D．1或5 27．若点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是　 　． 28．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为 　 　． 29．若点与关于点C对称，则点C的坐标是 　 　． 30．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半 轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得 到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标 为 　 　． 31．在平面直角坐标系中，有点，． （1）当点A在第二象限的角平分线上时，求a的值； （2）当点A和点B关于y轴对称时，求点B所在的象限位置． 32．在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点Q在y轴上，请直接写出点Q关于x轴的对称点P的坐标； （2）若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标． 33．在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线记作直线．给出如下定义：①把一 个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称， 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条 线段②将点关于y轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点 为点关于y轴和直线的“青一对称点”．例如：点关于y轴和直线的“青一对 称点”为点． （1）点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是 　 　； （2）点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是，求m和n的值； （3）若点关于y轴和直线的“青一对称点”在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围． 七．等腰三角形的性质与判定（共7小题） 34．如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 35．已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D． 36．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm 37．如图，平分，，的延长线交于点E，若， 则　 　度． 38．在中，，、分别是和的平分线，且交于D， 交于E，则的周长是 　 　cm． 39．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 40．如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）作的平分线交于点G，若，求的度数． 八．等边三角形的性质与判定（共8小题） 41．在中，若，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 42．如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（　　） A． B． C． D． 43．如图，在等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，，则 等于（　　） A． B． C． D． 44．在中，，添加下列一个条件后不能判断是等边三角形的是（　　） A． B． C．的补角等于的补角 D．边上的高也是边上的中线 45．如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设 点P运动的时间为t秒，则当t＝　 　秒时，是等边三角形． 46．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点， 点O是线段上一点，，下面的结论： ①；②；③是等边三角形．其中正确的是 　 　．（填序号） 47．证明题：如图：是等边三角形，点D、E、F分别在、、的延长线上，且． 求证：是等边三角形． 48．如图，在四边形中，，，，点E为上一点，连接， 交于点F，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，则的长为 　 　． 九．含角的直角三角形（共5小题） 49．如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于E，交于 D，且，则的长是（　　） A．13cm B．6.5cm C．30cm D．6cm 50．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若， 则线段的长度等于 　 　． 51．如图，，，B点在的垂直平分线上，若，则为 　 　． 52．如图，中，，，于D，平分，交于E， 交于F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 53．如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速 度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 十．最短路径问题（共4小题） 54．如图，在中，，，面积是14，的垂直平分线分别交，边于 E、F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（　　） A．21 B．7 C．6 D．3.5 55．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是边上一点，若 ，当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 56．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N， 使的周长最小，则　 　°． 57．如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格点上． （1）已知和关于直线l对称，请在图上把和补充完整： （2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为 　 　； （3）在直线l上画出点P，使得最短． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$