2.2基本不等式题型专练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式—题型专练 题型一 直接法求最值 1. 设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 2. 已知，，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．36 3. 已知，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 4. 设，则取最小值时的值为 ． 5. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6. 已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8. 已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型二 配凑法求最值 1. 若，则的最小值为 . 2. 当时，（ ） A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值 3. 已知函数，则函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4. 已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 5. 函数 的最大值为________. 6. 当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 7. 函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 8. 函数的最小值为_________． 9. 已知，则函数的最小值是______． 10. 若，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 11. 的最小值是______. 题型三 乘“1”法求最值 1. 已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 2. 已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3. 若，且，则的最小值为 ． 4. 若，且，则的最小值为 ． 5. 已知，，，若的最小值为3，则（    ） A． B．1 C． D．3 6. 已知，则的最小值为 ． 7. 已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8. 已知正数a，b满足，则最小值为（    ） A．25 B． C．26 D．19 9. 已知正数，满足，则的最小值为__________. 10. 已知，，，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 11. 已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 12. 正实数，满足，则的最小值是________ 13. 正实数a，b满足，则的最小值为______. 14. 已知实数，且，则的最小值是 ． 题型四 消元法求最值 1. 设，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 2. 已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 3. 已知，，若，则的最小值为______. 4. 已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 5. 已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 6. 已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 题型五 基本不等式解决恒成立问题 1. 对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. 若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 若正数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 5. 设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6. 已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A．25 B．6 C．4 D．5 题型六 基本不等式的实际应用 1. 某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（    ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 2. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，池底面积为.如果池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，若总造价不能超过90万元，则该贮水池的最大深度为 m.    3. 若直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为（　　） A． B．1 C．2 D．6 4. 小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（    ）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中分别为左右盘中物体质量，分别为左右横梁臂长）. A．等于 B．小于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 5. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本． (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 6. 为积极响应国家绿色可持续发展的战略方针，某公司花费8万元引进了一批污水处理设备，由于设备的长期使用会导致设备的寿命降低，为延长设备的使用年限，公司决定每年对设备进行维修．若维修年，，则每年的维修费用为万元．那么从引进该污水处理设备起算，要使此批设备年平均费用最少，应使用该批设备 年． 题型七 基本不等式证明不等式 1. 已知，，，且．求证：． 2. 已知正数满足．求证： (1)； (2)． 3. （1）已知、都是正数，求证：； （2） 已知，，，求证：． 4. 设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 一、单选题 1．已知，，，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 2．若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 3．已知，，且，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 4．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知都是正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．已知实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 8．的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知，当时，取得最小值为b，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 10．已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 11．若正实数x，y满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 二、多选题 13．下列命题为真命题的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．若，则 D．若，且，则的最小值为9 14．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 15．已知实数a，b是方程的两个根，且，，则（    ） A．ab的最小值为9 B．的最小值为18 C．的最小值为 D．的最小值为12 16．设正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 17．若，则的最小值为 . 18．若命题“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 19．已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 20．为积极响应国家绿色可持续发展的战略方针，某公司花费8万元引进了一批污水处理设备，由于设备的长期使用会导致设备的寿命降低，为延长设备的使用年限，公司决定每年对设备进行维修．若维修年，，则每年的维修费用为万元．那么从引进该污水处理设备起算，要使此批设备年平均费用最少，应使用该批设备 年． 四、解答题 21．求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值； (3)已知，求的最大值． 22.（1）已知，，求证：； （2）已知，试比较M与N的大小． 23．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 24．运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元. (1)求这次行车总费用关于的表达式; (2)当为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元? 25．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载:“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门十五里有木，问出南门几何步而见木?”若一小城，如图中长方形所示，出东门1 200步有树，出南门750步能见到此树(注:1里=300步)，则该小城的周长最小值为多少里？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式—题型专练 题型一 直接法求最值 1. 设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 【答案】A 【解析】因为所以即所以 当且仅当且，即时等号成立. 2. 已知，，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】B 【解析】因为，且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为.故选：B. 3. 已知，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A. 4. 设，则取最小值时的值为 ． 【答案】2 【详解】由，可得，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：2 5. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若则， 若，只有当时才可推出，则， 故是的充要条件. 6. 已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 反之，，，，取，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】，当且仅当“”时取等.故的最小值为.故选：D. 8. 已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为.故选：C. 题型二 配凑法求最值 1. 若，则的最小值为 . 【答案】0 【解析】由，得， 所以， 当且仅当即时等号成立. 2. 当时，（ ） A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值 【答案】A 【解析】当时，，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以有最大值1，没有最小值，故选：A. 3. 已知函数，则函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即，即时取等号． 故选：B 4. 已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【解题思路】4（x﹣3）12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值． 【解答过程】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0， 4（x﹣3）12≥12+224， 当且仅当4x﹣12时，取得最小值24． 5. 函数 的最大值为________. 【答案】 【解析】因为，则， 所以≤， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：. 6. 当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．故选：B． 7. 函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 8. 函数的最小值为_________． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为.故答案为： 9. 已知，则函数的最小值是______． 【答案】 【解析】因为， 当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值是故答案为:. 10. 若，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】由题意得. 由，得，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为14. 故选：C. 11. 的最小值是______. 【答案】 【详解】，当且仅当时，即时取等号 题型三 乘“1”法求最值 1. 已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 2. 已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 3. 若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 4. 若，且，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】因为，且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5．故答案为：5． 5. 已知，，，若的最小值为3，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【详解】， 当且仅当时等号成立，依题意，即． 故选:D 6. 已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 7. 已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得，，则， 所以， 当且仅当，即时，取得等号，故选:C. 8. 已知正数a，b满足，则最小值为（    ） A．25 B． C．26 D．19 【答案】A 【解析】因为正数a，b满足， 所以 ，当且仅当，联立， 即时等号成立，故选：A. 9. 已知正数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】由正数，满足，可得， 所以， 当且仅当，，即时取等号， 所以的最小值为.故答案为：. 10. 已知，，，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【解析】由 （当且仅当时取等号）， 又由（当且仅当a＝4，b＝2时取等号），有， 可得的最小值为32．故选：D． 11. 已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 12. 正实数，满足，则的最小值是________ 【答案】 【解析】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是 13. 正实数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】1 【分析】将变为，即可将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数满足，所以， 则 ， 当且仅当,即时取等号， 所以的最小值为1， 14. 已知实数，且，则的最小值是 ． 【答案】24 【解析】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立 题型四 消元法求最值 1. 设，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【解析】由题意，所以，所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 2. 已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【解析】已知，且xy+2x+y=6，y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号，故2x+y的最小值为4. 故选:A 3. 已知，，若，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】因为，，，所以，即； 因为，当且仅当时取到等号，所以， 解得或（舍）所以当时，有最小值3.故答案为：3 4. 已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为， 5. 已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 6. 已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【详解】由题意得，所以， 所以（当且仅当时取等号）， 所以的最小值为． 又因为，且，所以的最小值是，故D正确. 故选：D. 题型五 基本不等式解决恒成立问题 1. 对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 2. 若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 当且仅当时取等号，所以，故选：D． 3. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，且，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，因为恒成立，则.故选：A. 4. 若正数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，， ， ∴ 当且仅当，即时等号成立，解得，时等号成立， 因为不等式恒成立， 所以，即 所以，实数的最大值为. 故选：D． 5. 设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 6. 已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A．25 B．6 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5， 故选：D． 题型六 基本不等式的实际应用 1. 某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（    ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 【答案】C 【解析】设米,， 则种植花卉区域的面积． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则，即当米，米时， 种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米, 故选：C 2. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，池底面积为.如果池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，若总造价不能超过90万元，则该贮水池的最大深度为 m.    【答案】15 【详解】设该贮水池的高为，池底的长为， 则， 即，当且仅当时，等号成立， 所以该贮水池的最大深度为15m. 故答案为：15 3. 若直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为（　　） A． B．1 C．2 D．6 【答案】C 【详解】如图所示：    在中，， 而直角三角形周长， 由勾股定理可知， 若要使最大， 只需即最大即可， 又，等号成立当且仅当， 所以，，， 等号成立当且仅当， 此时，其面积为. 故选：C. 4. 小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（    ）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中分别为左右盘中物体质量，分别为左右横梁臂长）. A．等于 B．小于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即. 因此，小明两次称得的黄金总重量大于. 故选：C 5. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本． (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 【答案】(1) (2)6万元 【解析】（1） ． 因为，所以 （2）因为 ． 又因为，所以， 所以（当且仅当时取“”） 所以 即当万元时，取最大值30万元． 6. 为积极响应国家绿色可持续发展的战略方针，某公司花费8万元引进了一批污水处理设备，由于设备的长期使用会导致设备的寿命降低，为延长设备的使用年限，公司决定每年对设备进行维修．若维修年，，则每年的维修费用为万元．那么从引进该污水处理设备起算，要使此批设备年平均费用最少，应使用该批设备 年． 【答案】6 【详解】设此批设备年平均费用为万元， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使此批设备年平均花费最少，应使用该批设备6年． 故答案为：6 题型七 基本不等式证明不等式 1. 已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 2. 已知正数满足．求证： (1)； (2)． 【分析】（1）根据，结合基本不等式，即可得证； （2）由，结合基本不等式，即可得证. 【详解】（1）证明：因为正数满足， 由，当且仅当时，等号成立， 可得， 即，所以，当且仅当时，等号成立. （2）证明：由 ， 当且仅当，即，等号成立. 所以. 3. （1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 4. 设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）由，得， 又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，， 当且仅当时，上述不等式等号均成立， 所以， 即， 所以，当且仅当时等号成立； （2）因为，，均为正数， 则，，，当且仅当时，不等式等号均成立， 则， 即，当且仅当时等号成立. 所以. 一、单选题 1．已知，，，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】利用基本不等式可知 因为，所以，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为. 故选：D 2．若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，换元令，．则原问题转化为任意，恒成立.变形，结合基本不等式求最值可解. 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 3．已知，，且，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当且，即时取等号． 故选：D． 4．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质可得必要性，举反例可说明不充分性，即可求解. 【详解】当时，，故， 故“”是“”的必要条件， 当时，比如，但是，故“”是“”的不充分条件， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】化简，根据基本不等式求出的最小值. 【详解】， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，即的最小值是5. 故选：C. 6．已知都是正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意可知当时，可取，显然不能推出； 当时，且，所以，即，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 7．已知实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值为27. 故选：C. 8．的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】确定x的范围，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】要使根式有意义，则，解得，则， 又，当且仅当时取等号， 则的最大值为1． 故选：B 9．已知，当时，取得最小值为b，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 【答案】C 【分析】变形后根据基本不等式求出，并得到等号成立的条件，得到答案. 【详解】因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故，. 故选：C 10．已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据条件对变形，利用均值不等式求解即得. 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 11．若正实数x，y满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式得到，求出答案. 【详解】正实数x，y满足，则，当且仅当时取等号， 所以，即，即，两边平方, 结合，解的. 故选：D. 12．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】C 【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误． 故选：C． 二、多选题 13．下列命题为真命题的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．若，则 D．若，且，则的最小值为9 【答案】AD 【分析】首先可通过也有可能是负数得出A；通过全称命题的否定是特称命题判断出B；后通过判断出C；利用基本不等式可判断出D． 【详解】解：A．若，则；若，则也有可能是负数， 故“”是“”的充分不必要条件，正确，符合题意； B．命题“”的否定是“”，错误，不符合题意； C．若，，则，错误，不符合题意； D．若，且，则， 当且仅当时，即时，取等号，故最小值为9，正确，符合题意； 故选：AD． 14．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】AB选项直接利用基本不等式求最值；CD选项通过代入得到积是定值，然后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，则A错误； 因为，所以，当且仅当时等号成立，则B正确； 因为，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，则C正确； 因为，所以，所以，同理可得， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 15．已知实数a，b是方程的两个根，且，，则（    ） A．ab的最小值为9 B．的最小值为18 C．的最小值为 D．的最小值为12 【答案】ABC 【分析】利用韦达定理求出的范围，然后可得关系，然后结合基本不等式逐项判断即可． 【详解】因为实数a，b是方程的两个根， 所以，所以或， 由根与系数的关系得，，， 又，，所以，且，综上得． 消去k，得， 由基本不等式得，即， 令，则，解得或（舍去）， 当时，，解得，当时，ab的最小值为9，故A正确； 因为，当时取等号，的最小值为18，故B正确； ， 当，即，时取等号， 所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， ， 当，即，时等号成立，此时的最小值为13，故D错误． 故选：ABC 16．设正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】A选项，由为正实数，列不等式求的范围；B选项，直接利用基本不等式求积的最大值；C选项，消元后利用二次函数的性质求最小值；D选项，利用1的代换结合基本不等式求最小值. 【详解】对于A，正实数，满足， 则有，解得，即，A选项正确； 对于B，，有，当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，B选项错误； 对于C，， 由，则时，的最小值为，C选项正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，D选项错误. 故选：AC 三、填空题 17．若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 18．若命题“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，，利用基本不等式求出的最小值得解. 【详解】由，，当且仅当，即时等号成立， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 19．已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】因为，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 20．为积极响应国家绿色可持续发展的战略方针，某公司花费8万元引进了一批污水处理设备，由于设备的长期使用会导致设备的寿命降低，为延长设备的使用年限，公司决定每年对设备进行维修．若维修年，，则每年的维修费用为万元．那么从引进该污水处理设备起算，要使此批设备年平均费用最少，应使用该批设备 年． 【答案】6 【分析】由题意列出函数关系，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】设此批设备年平均费用为万元， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使此批设备年平均花费最少，应使用该批设备6年． 故答案为：6 四、解答题 21．求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值； (3)已知，求的最大值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）将函数变形为，然后利用均值不等式可得结果. （2）将函数变形为，然后利用均值不等式可得结果. （3）将函数变形为，然后利用均值不等式可得结果. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴当且仅当，即时取等号，所以． （2）∵，， 而， 当且仅当，即时取等号，所以． （3）∵，∴， 则， 当且仅当，即时取等号，所以． 22．（1）已知，，求证：； （2）已知，试比较M与N的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）由题意可得，利用基本不等式计算即可证明； （2）利用作差法可得，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 当且仅当时取等号．即证. （2）∵， ∴， ∴ ， ∴ 23．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果； 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 24．运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元. (1)求这次行车总费用关于的表达式; (2)当为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元? 【答案】(1) (2)，最低费用为元 【分析】（1）求出运货卡车行驶的时间，然后根据题意求出行车总运费即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）运货卡车行驶的时间为， 则有 ，， 即. （2）由（1）得， 由双勾函数的性质可得函数在上为增函数， 即当时，这次行车总费用最低为元. 25．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载:“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门十五里有木，问出南门几何步而见木?”若一小城，如图中长方形所示，出东门1 200步有树，出南门750步能见到此树(注:1里=300步)，则该小城的周长最小值为多少里？ 【答案】 【分析】设步，步，根据，求得，得到该小城的周长为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设步，步， 由，可得，即，可得， 所以该小城的周长为（步）， 因为1里300步，所以（步）（里）， 所以该小城的周长最小值为里. 26．已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式等价变形，利用常值代换法构造基本不等式即可求其最小值，检验等号成立条件是否满足； （2）将左式利用条件凑项再重组，由基本不等式求其最小值即得. 【详解】（1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$