第6章 一次函数压轴训练（单元复习 7类压轴）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第6章 一次函数压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　两个一次函数图象共存问题 1 压轴题型二　一次函数中的规律探究问题 3 压轴题型三　动点问题的函数图象 7 压轴题型四　一次函数与三角形的综合问题 11 压轴题型五　一次函数中折叠问题 19 压轴题型六　一次函数——分段函数 27 压轴题型七　新定义型一次函数 32 03 压轴题型 压轴题型一　两个一次函数图象共存问题 例题：（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（    ） A．  B．  C．D．   【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的图象和性质，分m、n同正，同负，一正一负，分别判断出正比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得出答案． 【详解】解：①当时，m、n同号，过一、三象限， m，n同正时，经过一、二、三象限；同负时，过二、三、四象限； ②当时，m、n异号，过二、四象限， ，时，经过一、三、四象限；，时，过一、二、四象限； 结合各选项可知D正确， 故选：D． 巩固训练 1．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象； 分和，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：当时，函数过二、四象限，函数过一、二、三象限，选项B中函数图象符合； 当时，函数过一、三象限，函数过一、三、四象限，均不符合； 故选：B． 2．（23-24八年级上·河南焦作·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和（k为常数，）的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数的图象确定两个函数经过的象限及升降，即可作出判断． 【详解】解：∵和（k为常数，）， ∴函数过原点，且经过二、四象限，图象是下降的；一次函数的图象经过一，三、四，且图象是上升的， 故A、B、C不合题意， D选项符合题意； 故选：D． 3．（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）正比例函数和一次函数在同一个直角坐标系内的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图像与一次函数图像，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题．分和两种情况讨论：当时，分析两函数图像经过的象限；时，再分析两函数图像经过的象限，即可获得答案． 【详解】解：分两种情况： ①当时，正比例函数的图像过原点，且过第一、三象限， 而一次函数的图像经过第一、三、四象限，无选项符合； ②当时，正比例函数的图像过原点、且过第二、四象限， 而一次函数的图像经过第一、二、三象限，选项D符合． 故选：D． 压轴题型二　一次函数中的规律探究问题 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．先求出直线解析式，再根据题意分别求出，，，……的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐标，即可得到答案． 【详解】解：平面直角坐标系中的直线过点，， 函数表达式为． ，，，，……都是等腰直角三角形，且， ∴的纵坐标为1， 的纵坐标为， 的纵坐标为， …… 的纵坐标为， 把的纵坐标为代入中， 解得， 点的坐标是． 故答案为： 巩固训练 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）平面直角坐标系中，点在直线上，点在轴上，是等腰直角三角形．，如果点，那么的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，设，，分别求出点的坐标为，点的坐标为，由点在直线上得出该直线的表达式为：，由点在直线上，得出，再由点在直线上，得出，代入求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ， 设，， 点， ， 为等腰直角三角形，且， ， 同理可得：，，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 该直线的表达式为：， 点在直线上， ， 解得：， 点在直线上， ， 整理得：， 将代入得：， 点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数图象上的点，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的图象，等腰直角三角形的性质，理解一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形正方形，使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点的坐标，同理可得出、…的坐标，进而得到、…的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 同理，可得出：，，，…， ∴的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，…， ∴的横坐标为（n为正整数）， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 压轴题型三　动点问题的函数图象 例题：动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点H的运动时间为秒．    (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； (2)______，______，______； (3)当的面积为时，求点F的运动时间的值． 【答案】(1)H的运动时间，的面积 (2)4，14，10 (3)或 【分析】（1）根据图象可以知道横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可以得到答案； （2）由题意可知，点在上运动时的面积不变，在结合图象即可求得答案； （3）分两种情况，由三角形面积可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，自变量为：H的运动时间，因变量为：的面积， 故答案为：H的运动时间，的面积； （2）∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点在上运动时的面积不变， ∴，，则， ∴，， 故答案为：4，14，10； （3）当在上时，的面积为：， 当的面积为时，可分两种情况： 当在上时，，则， ∴， 当在上时，，则， ∴， 综上，当的面积为时，求点F的运动时间为或． 【点睛】本题考查了动点问题的图象，三角形的面积，坐标与图形的关系等知识，解决问题的关键是深刻理解动点的图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从图象中获取相关的信息进行计算． 巩固训练 1．如图1，，点P以每秒1cm的速度从B点出发，沿B－C－D路线运动，到D停止．如图2，反映的是的面积S（）与点P运动时间x（秒）两个变量之间的关系．    (1)指出的长度，并求m的值； (2)当点P在线段上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系． 【答案】(1) (2)（） 【分析】（1）根据图2可得：点P在上运动了6秒，在上运动了2秒，进而求出，再根据求解即可； （2）根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）根据图2可得：点P在上运动了6秒，在上运动了2秒， ∵点P以每秒1cm的速度从B点出发的， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）当点P在线段上运动时，即当时，． 【点睛】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系，正确理解题意是关键． 2．如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．    (1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； (2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； (3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】（1）根据图象可知点从点出发，到终点的路程为，点的路程为，即可求得答案； （2）由题意可知，，利用时间路程速度即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可 【详解】（1）解：由图象可知，点从点出发，到终点的路程为，点的路程为， ∴， 故答案为：10； （2）∵四边形是长方形， ∴， ∴， 则点由点运动到点的总时间为； （3）由（2）可知，， 则，， 若走完全程，点运动的总时间为，点运动的总时间为， 点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 当时，此时点在上，点在上，不符合题意， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 ， 综上，． 【点睛】本题主要考查了动点问题的图象，在解题时要能根据图象求出，，，并表示出相应线段的长度是解决问题的关键． 压轴题型四　一次函数与三角形的综合问题 例题：（23-24八年级下·北京西城·开学考试）如图，直线与轴交于点A，与直线交于点B，且直线与轴交于点C，求的面积．    【答案】的面积为4 【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方程组与一次函数的关系是解题的关键．先根据函数解析式分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据的面积的面积的面积求出答案． 【详解】解：令中，得， 解得：， ∴， 令中，得， ∴， 解方程组，得：， ∴， 过点B作轴，则， 令中，得，解得：， ∴， ∴，, ∴ ．    巩固训练 1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点， 的图象与轴，轴分别交于点，且两个函数图象相交于点． (1)填空：______； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为50 (3)存在点M，且 【分析】（1）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是将代入一次函数与； （2）本题考查了一次函数的性质、三角形的面积，解题的关键是掌握一次函数的性质，求出点A、B、D的坐标； （3）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是求出 【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点， ，解得， ，解得； （2）一次函数中，当时，；当时，， ， 一次函数中，当时，， ， ， 的面积为； （3）的面积与四边形的面积比为，， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 存在点M，且． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上有一点P，且，求点P的坐标； (3)直线上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点或 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式、两点之间的距离和全等三角形的性质， （1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的函数表达式． （2）先求出点坐标，再结合，利用几何关系分别求得点P的纵坐标，即可求得点P； （3）分情况：当，则点M即为点A；当，求得过点A与直线平行的直线l的表达式，设点，根据全等得性质和两点之间的距离即可求得a，进一步求得点． 【详解】（1）解：一次函数的图象与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， 又 设直线的函数表达式为：， 把代入， 解得：， ∴直线的函数表达式为：． （2）一次函数的图象与x轴交于点A， ∴当时，， ∴， 设上有一点使得， 如图， ，得，解得，则点； ，得，解得，则点； 综上所述，点或． （3）①当，则点M即为点A，此时点 ②当， 设过点A与直线平行的直线l∶， 代入， 解得l∶， 设点， ∵，，， ∴，（舍去）， 则点， 故点或． 3．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分 (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：    ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：    ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 压轴题型五　一次函数中折叠问题 例题：以长方形的边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知，，将长方形沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处．    (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【分析】（）利用勾股定理求的长可得的坐标； （）先根据折叠设未知数，利用勾股定理列方程可求的长，得的坐标，利用待定系数法求直线的解析式； （）根据轴对称的最短路径，作关于点的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，利用待定系数法求直线的解析式，令代入可得的坐标． 【详解】（1）由折叠得：， ∵，， 由勾股定理得： ∴； （2）， 设，则，， 中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∵， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式，得： ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； （3）存在，作关于点的对称点， 连接交轴于，此时的周长最小，    设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； 当时，， ∴． 【点睛】此题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、轴对称最短路线问题、利用待定系数法求直线的解析式，熟练掌握折叠的性质是关键． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线与轴，轴分别交于点和点，为线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．      (1)求，两点的坐标． (2)求直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)直线的解析式为． 【分析】（1）本题考查一次函数与坐标轴的交点，根据轴上的点，轴上的点，代入求解即可． （2）本题根据勾股定理得出的长，设，利用折叠的性质，推出，，又，在中通过勾股定理求得，给出的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】（1）解：当时，有，解得，即， 当时，有，解得，即． （2）解：设，则， 将沿折叠，点恰好落在轴上的点处． ，， ，， ， ， 在中，，解得， ， 设直线的解析式为， 将代入解析式，有，解得， 直线的解析式为． 【点睛】此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，解答本题的关键是求出的长度． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求的函数表达式； (3)求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质求出，得到即可； （2）在中，利用勾股定理求出，进而得到，可得点E、F的坐标，然后利用待定系数法求的函数解析式即可； （3）利用两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，即为等腰三角形； （2）解：∵， ∴，， 由折叠得：， 在中，，即， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 代入、得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）∵，， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法的应用，坐标与图形性质，熟练掌握折叠的性质，求出点E、F的坐标是解题的关键． 3．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知：有一张纸片，，．如图，将其放在平面直角坐标系中，点在线段上，点在线段上，将沿折叠得到（点与点重合）．    (1)求直线的表达式； (2)如图1，当点恰好落在点时，求的长； (3)当点固定在点时，交轴于点，设点为，当为直角三角形时，求满足的条件． 【答案】(1)； (2)的长为； (3)或或5或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）设，由由折叠的性质得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）分四种情况讨论，当点C在线段上，；当点C在线段上，；当点C在延长线上，；当点C在延长线上，；利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 设直线的表达式为，则， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：设， ∵点恰好落在点， ∴，由折叠的性质得， 在中，，即， 解得， ∴的长为； （3）解：∵点固定在点，则， ∴， 作于点G， ∴，，， 当点C在线段上，即时，    由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴； 当点C在线段上，即时，    由折叠的性质得，， ∴，， 在中，，即， 解得； 当点C在延长线上，即时，    同理证得是等腰直角三角形， ∴，则， ∴； 当点C在延长线上，即时，    由折叠的性质得，， ∴，， 在中，，即， 解得； 综上，或或5或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，考查了勾股定理，二次根式的混合运算，坐标与图形，折叠的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． 压轴题型六　一次函数——分段函数 例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： （1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： x … -1 0 1 2 3 4 5 6 … y …  ﹣2  ﹣1  0      2  2  2 … （2）根据函数图象，以下判断该函数 性质的说法，正确的有　 　． ①函数图象关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变． （3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝　 　． 【答案】（1）见解析；（2）②③；（3） 【分析】（1）根据所给的函数解析式填表，然后描点连线即可得到答案； （2）根据函数图像进行逐一判断即可； （3）根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意，由此求解即可． 【详解】解：（1）列表如下： x … -1 0 1 2 3 4 5 6 … y … ﹣2 ﹣1 0 1 2 2 2 2 … 函数图像如下图所示： （2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于y轴对称，故①错误； 观察函数图像可知，此函数没有最小值，故②正确； 观察图像可知当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变，故③正确； 故答案为：②③； （3）∵直线与函数只有一个交点， ∴根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质． 巩固训练 1．我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质． （1）我们知道，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）通过观察图象，写出该函数的一条性质：　　； （3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象． 【答案】（1）见解析；（2）当x＞0时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（3）由函数y＝|x|向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，见解析． 【分析】（1）通过列表、描点、画图，在平面直角坐标系中画出函数的图象： （2）根据图象得出结论； （3）根据平移的性质即可求得． 【详解】解：（1）列表： 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 描点、连线画出函数的图象如图： （2）由图象可知，当时，随的增大而增大（答案不唯一）， 故答案为当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）函数是由函数向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的， 利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数图象如图所示． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换平移，能根据图象得出正确信息是解此题的关键． 2．有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是x与y的几组对应值． x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为 ； (3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质． 【答案】(1)任意实数 (2)1 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围； （2）根据函数解析式可以得到m的值； （3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象可以写出该函数的性质． （1） 解：在函数y=|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：任意实数； （2） 解：当x=-2时，m=|-2+1|=1， 故答案为：1； （3） 解：描点、连线，画出函数的图象如图： ； （4） 解：由函数图象可知， ①函数有最小值为0； ②当x＞-1时，y随x的增大而增大； ③图象关于过点（-1，0）且垂直于x轴的直线对称．（任写两条即可） 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 压轴题型七　新定义型一次函数 例题：定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． (1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______； (2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值． 【答案】(1)；4 (2)2或 【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型： （1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可； （2）利用分类讨论的方法和“7阶和点”的定义求得“7阶和点”，再利用待定系数法解答即可； 【详解】（1）解：把点代入，得： ，解得：； ∵点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”， ∴点到两坐标轴的距离之和等于， ∴点是y关于x的正比例函数的“4阶和点”， 即． 故答案为：；4； （2）解：设一次函数图象的“7阶和点”为，则，， ∵一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ∴； ∴一次函数图象的“7阶和点”为； 把代入得： ，解得：； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ∴； ∴一次函数图象的“7阶和点”为， 把代入得： ，解得：； 综上，k的值为2或． 巩固训练 1.（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义： 在平面直角坐标系中，对于任意两点 ，，如果点满足， ，那么称点 M 是点A、B的“麓外点”．例如：，、当点满足 = −1， = 3，则称点是点A 、B的“麓外点”． (1)写出点，的“麓外点”C的坐标； (2)若点， ，点是点A 、B的“麓外点”．求y 与 x 之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，y 与x之间的函数图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点，若点E在y轴上，点F在平面直角坐标系内， 是否存在点 E 使以C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出E点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点的坐标为或或或时，以、、、为顶点的四边形为菱形 【分析】本题考查了新定义下点坐标的运算，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理．解题的关键在于熟练掌握菱形的性质． （1）设，根据“麓外点”的定义求解即可； （2）根据“麓外点”的定义求解可得表示的，，消元求解即可； （3）由y与x之间的函数关系式求出，，得，再根据菱形的性质分三种情况：①当、是菱形的邻边时，，②当、是菱形的邻边时，，③当、是菱形的邻边时，，分别进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设 由题意知， ∴． （2）由题意得， 解得 将代入中得 整理得y与x之间的函数关系式为． （3）存在，理由如下： ∵ ∴当时，，， 当时，，， 在中，由勾股定理得， ①当、是菱形的邻边时，， ∴或； ②当、是菱形的邻边时，， 由菱形的性质可知，， ∴； ③当、是菱形的邻边时，， 由勾股定理可知，，即：， 可得：， ∴； 综上，存在点的坐标为或或或时，以、、、为顶点的四边形为菱形． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”． (1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象； (2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）； (3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【分析】（1）依据题意，设一次函数的解析式为，从而，即可求得一次函数的解析式为，故可得该一次函数的“相反函数”为的解析式，从而可以作图； （2）依据题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质，进而判断得解； （3）依据题意，根据图形先可得平分的角平分线与对边的交点坐标为，再求出当平分时，的坐标，最后由对称性可得另外一点，进而得解． 【详解】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为， ， ． 一次函数的解析式为． 该一次函数的“相反函数”为． 作图如下． ； （2）解：由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质： ①两个函数的图象关于轴对称； ②两个函数的图象都过点．（答案不唯一） （3）解：由题意，作图如下． 由题意，是等腰三角形． 平分． 此时角平分线与对边的交点坐标为． 当平分时，作于， 又， ． ． ． ． 设， ． 又在中，， ． ． ． 直线为：． 又为， ． 过的角平分线与对边交点坐标为． 又根据对称性， 过的角平分线与对边交点坐标为． 综上，的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，“相反函数”的定义．解题时要熟练掌握并能读懂题意是关键． 3．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，我们将点M的横、纵坐标都乘以，得到点，同时给出如下定义：对于直线，若满足点N在直线上，则称点M为直线的“反炫点”． (1)已知直线， ①判断点是不是直线的“反炫点”，并说明理由； ②若点B是直线上一点，同时也是直线的“反炫点”，求出点B的坐标； (2)点是直线的反炫点，当时，求a的取值范围． 【答案】(1)①点是直线的“反炫点”；②； (2)当，；当，． 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征． （1）①先判断点在直线上，即可求得点是直线的“反炫点”；②设点，由题意得，，据此求解即可； （2）根据定义求得，由，得到，再分和，两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴点在直线上，点是直线的“反炫点”； ②设点， ∵点是直线上一点， ∴， ∵点也是直线的“反炫点”， ∴，∴， 解得，， ∴； （2）解：∵点是直线的反炫点， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴当，； 当，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 一次函数压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　两个一次函数图象共存问题 1 压轴题型二　一次函数中的规律探究问题 3 压轴题型三　动点问题的函数图象 7 压轴题型四　一次函数与三角形的综合问题 11 压轴题型五　一次函数中折叠问题 19 压轴题型六　一次函数——分段函数 27 压轴题型七　新定义型一次函数 32 03 压轴题型 压轴题型一　两个一次函数图象共存问题 例题：（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（    ） A．  B．  C．D．   巩固训练 1．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南焦作·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和（k为常数，）的图象可能是（　　） A．B．C．D． 3．（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）正比例函数和一次函数在同一个直角坐标系内的图像大致是（    ） A．B．C．D． 压轴题型二　一次函数中的规律探究问题 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）平面直角坐标系中，点在直线上，点在轴上，是等腰直角三角形．，如果点，那么的纵坐标是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形正方形，使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 压轴题型三　动点问题的函数图象 例题：动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点H的运动时间为秒．    (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； (2)______，______，______； (3)当的面积为时，求点F的运动时间的值． 巩固训练 1．如图1，，点P以每秒1cm的速度从B点出发，沿B－C－D路线运动，到D停止．如图2，反映的是的面积S（）与点P运动时间x（秒）两个变量之间的关系．    (1)指出的长度，并求m的值； (2)当点P在线段上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系． 2．如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．    (1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； (2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； (3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 压轴题型四　一次函数与三角形的综合问题 例题：（23-24八年级下·北京西城·开学考试）如图，直线与轴交于点A，与直线交于点B，且直线与轴交于点C，求的面积．    巩固训练 1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点， 的图象与轴，轴分别交于点，且两个函数图象相交于点． (1)填空：______； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上有一点P，且，求点P的坐标； (3)直线上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 压轴题型五　一次函数中折叠问题 例题：以长方形的边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知，，将长方形沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处．    (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线与轴，轴分别交于点和点，为线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．      (1)求，两点的坐标． (2)求直线的函数表达式． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求的函数表达式； (3)求折痕的长． 3．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知：有一张纸片，，．如图，将其放在平面直角坐标系中，点在线段上，点在线段上，将沿折叠得到（点与点重合）．    (1)求直线的表达式； (2)如图1，当点恰好落在点时，求的长； (3)当点固定在点时，交轴于点，设点为，当为直角三角形时，求满足的条件． 压轴题型六　一次函数——分段函数 例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： （1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： x … -1 0 1 2 3 4 5 6 … y …  ﹣2  ﹣1  0      2  2  2 … （2）根据函数图象，以下判断该函数 性质的说法，正确的有　 　． ①函数图象关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变． （3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝　 　． 巩固训练 1．我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质． （1）我们知道，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）通过观察图象，写出该函数的一条性质：　　； （3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象． 2．有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是x与y的几组对应值． x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为 ； (3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质． 压轴题型七　新定义型一次函数 例题：定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． (1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______； (2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值． 巩固训练 1.（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义： 在平面直角坐标系中，对于任意两点 ，，如果点满足， ，那么称点 M 是点A、B的“麓外点”．例如：，、当点满足 = −1， = 3，则称点是点A 、B的“麓外点”． (1)写出点，的“麓外点”C的坐标； (2)若点， ，点是点A 、B的“麓外点”．求y 与 x 之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，y 与x之间的函数图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点，若点E在y轴上，点F在平面直角坐标系内， 是否存在点 E 使以C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出E点的坐标； 若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”． (1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象； (2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）； (3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标． 3．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，我们将点M的横、纵坐标都乘以，得到点，同时给出如下定义：对于直线，若满足点N在直线上，则称点M为直线的“反炫点”． (1)已知直线， ①判断点是不是直线的“反炫点”，并说明理由； ②若点B是直线上一点，同时也是直线的“反炫点”，求出点B的坐标； (2)点是直线的反炫点，当时，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$