第6章 一次函数 知识归纳与题型突破（单元复习 18类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第6章 一次函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、变量与函数 1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量． 2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量． 注：自变量的取值范围的确定方法：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 4）函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 注：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 二、函数的图象 1）函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 2）函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 注：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 三、一次函数与正比例函数的概念 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。 四、一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 五、一次函数的平移与位置关系 1）一次函数与的位置关系： 两直线平行且 两直线垂直 2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。 六、一次函数中的实际问题 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 七、一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 八、一次不等式与一次函数的关系 1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0） 2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为的图像上面部分x的取值范围. 03 题型归纳 题型一　对函数概念的理解 例题：下列图象中，y不是x的函数图象的是（　　） A．B．C．D． 巩固训练 1．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 2．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A．  B．  C．D．   题型二　用表格表示变量之间的关系 例题：（2024下·全国·七年级假期作业）将一个温度计从一杯热水中取出之后，立即放入一杯凉水中，下面是用表格表示的温度计的读数与时间之间的关系． 时间/s 5 10 15 20 25 30 读数 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0 (1)上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？ (2)根据表格中的数据，大致估计时温度计的读数． 巩固训练 1.（2024下·全国·八年级假期作业）已知弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间有如下关系，则（　　） x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8 A．y随x的增大而增大 B．质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm C．不挂物体时，弹簧的长度为6cm D．质量为6kg时，弹簧的长度为8.5cm 2．（2024下·全国·八年级假期作业）父亲告诉小明“在一定范围内，距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格： 距离地面的高度 0 1 2 3 4 5 温度 20 14 8 2 根据表格回答下列问题： (1)距离地面，的温度分别是多少？ (2)在这个变化过程中变量是什么？ (3)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么在一定范围内，随着的变化，是怎么变化的？ 题型三　用表达式表示变量之间的关系 例题：某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟元）两种，设A套餐每月话费为（元），B套餐每月话费（元），月通话时间为x分钟． (1)直接写出与x，与x的函数关系式； (2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？ (3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？ 巩固训练 1．（2024下·全国·八年级假期作业）小明和父母一起开车到离家200km的景点旅游，出发前，轿车油箱内储油45L，当行驶了150km时，发现油箱剩余油量为30L（假设行驶过程中该轿车的耗油量是均匀的）． (1)这个变化过程中哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)写出行驶路程与剩余油量的关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)当时，求剩余油量Q的值． 2．东明一中门口有甲乙两个图书超市，他们都经营同一种练习本，两个超市的标价都是1元． 甲超市的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖； 乙超市的优惠条件是：从第1本开始就按标价的折卖． (1)请分别求出购买的数量x（本）与所花的钱数（元），（元）之间的函数表达式； (2)小明要买22的练习本，到哪家超市购买较省钱？ 题型四　用图象表示变量之间的关系 例题：某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y与生产时间t(时)的关系如图所示．    (1)根据图象填空： ①甲、乙两人中， 先完成一天的生产任务；在生产过程中， 因机器故障停止生产 小时； ②当 时，甲、乙生产的零件个数相等； (2)试求出甲在时内每小时生产零件的个数． 巩固训练 1．已知张强家、体育场、文具店在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．    根据图象回答下列问题： (1)体育场离张强家_______km，张强从家到体育场用了________min； (2)体育场离文具店__________km； (3)张强在体育场锻炼了________min，在文具店停留了________min； (4)求张强从文具店回家的平均速度是多少？ 2．如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分钟）的变化示意图，请根据图象回答下列问题：    (1)汽车匀速行驶了______分钟，时速是______千米/时； (2)汽车在行驶途中在哪段时间停车休息？休息了多长时间？ (3)若司机从第28分钟开始先匀速行驶8分钟后，立即减速行驶2分钟，至停止．请你按照以上叙述在途中补画出从第28分钟以后汽车的速度与行驶时间的关系图． 题型五　判别是否一次函数 例题：（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列关于x的函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式①；②；③；④；⑤，是一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六　根据一次函数的定义求参数的值 例题：（23-24八年级·全国·假期作业）已知函数是关于的一次函数，则 ，若该函数是正比例函数，则 ， ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东威海·期末）已知函数是关于的一次函数，则 ． 2．已知函数是关于x的一次函数，则 ． 题型七　由点一次函数直线上求代数式的值 例题：（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）点在函数的图象上，则代数式的值为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·山西运城·期末）若一次函数的图象过点，则 ． 2．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）点在直线上，则代数式的值是 ． 题型八　一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级上·安徽安庆·期末）关于函数，下列结论成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为 C．图象不经过第二象限 D．若两点在该函数图象上，则 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）关于一次函数的图像与性质，下列说法中不正确的是 （      ） A．y随x的增大而增大 B．当时，该图像与函数的图像是两条平行线 C．若图像不经过第四象限，则 D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限 题型九　根据一次函数经过的象限求参数问题 例题：若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 巩固训练 1．（2024八年级·全国·竞赛）若直线不经过第一象限，则m的范围是 ． 2．若一次函数（k为常数且）的图象过点，且经过第二、三、四象限． （1） ．（请用含k的代数式表示） （2）若，则m的取值范围是 ． 题型十　根据一次函数的增减性求参数问题 例题：若一次函数的函数值随着自变量值的增大而增大，则 （写出一个满足条件的值）． 巩固训练 1．已知在一次函数中，y值随x值的增大而减少，则常数k的取值范围是 ． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知点，在一次函数的图象上，若，则实数的取值范围是 ． 题型十一　一次函数的图象与坐标轴的交点问题 例题：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）函数的图象与y轴的交点坐标为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）一次函数与轴的交点坐标为 ． 2．已知一次函数与坐标轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 题型十二　已知直线与坐标轴交点求方程的解 例题：（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则一元一次方程的解为 ． 巩固训练 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，若一次函数的图象经过A、B两点．则方程的解为 ． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是 ． 题型十三　由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 题型十四　由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例题：如图，一次函数的图像经过两点，则关于的不等式的解集是 ． 巩固训练 1．如果一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，点在一次函数的图像上，则不等式的解集是 ． 题型十五　根据两条直线的交点求不等式的解集 例题：（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    巩固训练 1．如图，直线经过点和点，直线经过点A，则不等式的解集为 ．    2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的有 （填序号）． 题型十六　两条直线的交点求二元一次方程组的解 例题：若一次函数、的图象相交于，则关于、的方程组的解为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）若方程组的解是，则直线与交点的坐标为 ． 2．（23-24八年级下·陕西西安·开学考试）一次函数的图象和的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解为 ． 题型十七　利用图象法解一元一次方程或二元一次方程组 例题1：（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 例题2：（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 3．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 4．一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为 ， ． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 题型十八　利用一次函数解决分配方案问题 例题1：已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好被住满． （1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ （2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式； （3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用． 例题2：某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销售价如表： 类别 A款自拍杆 B款自拍杆 进货价（元/个） 30 25 销售价（元/个） 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？ (2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多少？ 巩固训练 1．为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个型篮球和1个型篮球共需要210元． （1）求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？ （2）若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？ 2．某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共需190元；2副羽毛球拍和3个足球共需300元． （1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？ （2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足球一共50件，设购买足球个，总费用为元，写出关于的函数关系式； （3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 3．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． (1)求甲、乙两种水果的进价； (2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 4．夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题： (1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？ (2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； (3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 一次函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、变量与函数 1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量． 2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量． 注：自变量的取值范围的确定方法：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 4）函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 注：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 二、函数的图象 1）函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 2）函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 注：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 三、一次函数与正比例函数的概念 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。 四、一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 五、一次函数的平移与位置关系 1）一次函数与的位置关系： 两直线平行且 两直线垂直 2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。 六、一次函数中的实际问题 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 七、一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 八、一次不等式与一次函数的关系 1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0） 2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为的图像上面部分x的取值范围. 03 题型归纳 题型一　对函数概念的理解 例题：下列图象中，y不是x的函数图象的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数的定义．对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，据此逐一判断即可求出答案．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，正确理解定义是解题关键． 【详解】解：A．对于自变量的任何值，有时有两个值与之相对应，故不是的函数，不符合题意， B．对于自变量的任何值，有时有两个值与之相对应，故不是的函数，不符合题意， C．对于自变量的任何值，有时有两个值与之相对应，故不是的函数，不符合题意， D．对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，故是的函数，符合题意， 故选：D． 2．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A．  B．  C．D．   【答案】B 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【详解】解：A、  表示y不是x的函数，该选项不符合题意的； B、  表示y是x的函数，该选项是符合题意的； C、  表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的； D、  表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的； 故选：B． 【点睛】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 题型二　用表格表示变量之间的关系 例题：（2024下·全国·七年级假期作业）将一个温度计从一杯热水中取出之后，立即放入一杯凉水中，下面是用表格表示的温度计的读数与时间之间的关系． 时间/s 5 10 15 20 25 30 读数 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0 (1)上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？ (2)根据表格中的数据，大致估计时温度计的读数． 【答案】(1)温度计的读数和时间在发生变化．自变量和因变量分别是时间、温度计的读数 (2)可取 【详解】1．解：（1）温度计的读数和时间在发生变化．自变量和因变量分别是时间、温度计的读数． （2）由表格可看出：随着时间的增加，温度计的读数越来越小，因此时温度计的读数应小于；每隔，温度差分别为，即温度差越来越小，因此时的温度应大于，所以时温度计的读数应大于且小于，时的温度可取这个范围内的任意值，比如可取等． 巩固训练 1.（2024下·全国·八年级假期作业）已知弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间有如下关系，则（　　） x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8 A．y随x的增大而增大 B．质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm C．不挂物体时，弹簧的长度为6cm D．质量为6kg时，弹簧的长度为8.5cm 【答案】C 【解析】略 2．（2024下·全国·八年级假期作业）父亲告诉小明“在一定范围内，距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格： 距离地面的高度 0 1 2 3 4 5 温度 20 14 8 2 根据表格回答下列问题： (1)距离地面，的温度分别是多少？ (2)在这个变化过程中变量是什么？ (3)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么在一定范围内，随着的变化，是怎么变化的？ 【答案】(1)距离地面的温度是，距离地面的温度是 (2)在这个变化过程中，变量是距离地面的高度与温度 (3)随着的增大，在逐渐减小 【解析】略 题型三　用表达式表示变量之间的关系 例题：某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟元）两种，设A套餐每月话费为（元），B套餐每月话费（元），月通话时间为x分钟． (1)直接写出与x，与x的函数关系式； (2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？ (3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？ 【答案】(1)， (2)他本月的通话时间为分钟 (3)通话时间为280分钟时，选择套餐更划算 【分析】本题主要考查了列函数关系和求函数值和自变量的值，根据题意正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意可知，，求出的值即可； （3）分别求出时，和的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：A套餐：月租费15元，通话费每分钟元， ， B套餐：月租费0元，通话费每分钟元， ； （2）解：该手机用户使用A套餐且本月缴费50元， ， 解得：， 他本月的通话时间为分钟； （3）解：当时，，， ， ∴通话时间为280分钟时，选择套餐更划算． 巩固训练 1．（2024下·全国·八年级假期作业）小明和父母一起开车到离家200km的景点旅游，出发前，轿车油箱内储油45L，当行驶了150km时，发现油箱剩余油量为30L（假设行驶过程中该轿车的耗油量是均匀的）． (1)这个变化过程中哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)写出行驶路程与剩余油量的关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)当时，求剩余油量Q的值． 【答案】(1)行驶路程是自变量，剩余油量是因变量． (2) (3)17 【详解】解：（1）行驶路程是自变量，剩余油量是因变量． （2）∵该轿车平均每千米的耗油量为， ∴行驶路程与剩余油量的关系式为 ． （3）当时，． 2．东明一中门口有甲乙两个图书超市，他们都经营同一种练习本，两个超市的标价都是1元． 甲超市的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖； 乙超市的优惠条件是：从第1本开始就按标价的折卖． (1)请分别求出购买的数量x（本）与所花的钱数（元），（元）之间的函数表达式； (2)小明要买22的练习本，到哪家超市购买较省钱？ 【答案】(1)在甲超市中，不超过10本时，，当超过10本时，， (2)到甲超市购买较省钱 【分析】本题主要考查了列函数关系式和求函数值，正确理解题意列出对应的关系式是解题的关键． （1）在甲超市中分不超过10本时，超过10本时两种情况求解，在乙超市直接用单价乘以数量乘以折扣即可； （2）根据（1）所求代入，求出，，然后比较即可得到答案． 【详解】（1）解：在甲超市中，不超过10本时，则，当超过10本时，则，； （2）解：当时，（元），（元）， 到甲超市购买较省钱． 题型四　用图象表示变量之间的关系 例题：某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y与生产时间t(时)的关系如图所示．    (1)根据图象填空： ①甲、乙两人中， 先完成一天的生产任务；在生产过程中， 因机器故障停止生产 小时； ②当 时，甲、乙生产的零件个数相等； (2)试求出甲在时内每小时生产零件的个数． 【答案】(1)①甲，甲，2；②3或5.5 (2)甲在时内每小时生产零件的个数为10个 【分析】（1）①根据图象可直接得出的结论； ②根据图象的交点可以得解； （2）根据图象可知时内的工作量，从而得解． 【详解】（1）解：由题意得： ①甲、乙两人中，甲先完成一天的生产任务； 在生产过程中，甲因机器故障停止生产：(小时)； ②由图象可得，当或5.5时，甲、乙生产的零件个数相等． （2）解：(个/时)， 即甲在时内每小时生产零件的个数为10个． 【点睛】本题主要考查了用图象表达变量之间的关系，解答时理解清楚图象的意义是解答此题的关键． 巩固训练 1．已知张强家、体育场、文具店在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．    根据图象回答下列问题： (1)体育场离张强家_______km，张强从家到体育场用了________min； (2)体育场离文具店__________km； (3)张强在体育场锻炼了________min，在文具店停留了________min； (4)求张强从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)，15； (2)1； (3)15，20； (4)． 【分析】（1）根据图像直接作答即可． （2）根据图像可知体育场离张强家的距离和文具店离张强家的距离，由此可算出体育场离文具店的距离． （3）根据图像直接作答即可． （4）根据图像可知文具店离张强家的距离和张强从文具店到家所用的时间，由此可计算出张强从文具店回家的平均速度． 【详解】（1）解：根据图像可知体育场离张强家2.5km，张强从家到体育场用了15min． 故答案为：，15． （2）解：根据图像可知体育场离张强家的距离为2.5km， 文具店离张强家的距离为， ∴体育场离文具店的距离． 故答案为：1． （3）解：根据图像可知张强在体育场锻炼的时间为， 在文具店停留的时间为． 故答案为：15，20． （4）解：根据图像可知文具店离张强家的距离， 张强从文具店到家所用的时间为， ∴张强从文具店回家的平均速度为． 答：张强从文具店回家的平均速度是km/min． 【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，正确读懂图像信息，熟练掌握路程、速度、时间的关系是解题的关键． 2．如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分钟）的变化示意图，请根据图象回答下列问题：    (1)汽车匀速行驶了______分钟，时速是______千米/时； (2)汽车在行驶途中在哪段时间停车休息？休息了多长时间？ (3)若司机从第28分钟开始先匀速行驶8分钟后，立即减速行驶2分钟，至停止．请你按照以上叙述在途中补画出从第28分钟以后汽车的速度与行驶时间的关系图． 【答案】(1)4，45 (2)汽车在行驶途中，在分钟这个时间段停车休息，休息了6分钟 (3)见解析 【分析】（1）直接由图象知汽车在段匀速行驶，进而可得结论； （2）直接由图知，汽车在段的速度为0，进而可求解； （3）根据题中描述补画图象即可． 【详解】（1）解：由图知，汽车匀速行驶了（分钟），时速是45千米/时， 故答案为：4，45； （2）解：由图可知，汽车在段的速度为0，所以汽车在行驶途中，在分钟这个时间段停车休息，休息了（分钟）． （3）解：如图所示：    【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，理解题意，从图象上获取所需信息是解答的关键． 题型五　判别是否一次函数 例题：（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列关于x的函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数．根据定义判断即可；解题的关键是熟知一次函数的定义． 【详解】解：A、自变量次数不为1，故不是一次函数，本选项不符合题意； B、、不符合一次函数的一般形式，本选项不符合题意； C、当时，才是一次函数．本选项不符合题意； D、符合一次函数的一般形式，符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的甄别，根据一次函数的定义，判断即可． 【详解】一次函数的是：①；②；④，不是一次函数的是③； 故选C． 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式①；②；③；④；⑤，是一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数．根据定义分析即可． 【详解】解：①的右边不是整式，不是一次函数； ②的右边不是整式，不是一次函数；； ③是一次函数； ④的自变量的次数是2，不是一次函数； ⑤是一次函数． 故选B． 题型六　根据一次函数的定义求参数的值 例题：（23-24八年级·全国·假期作业）已知函数是关于的一次函数，则 ，若该函数是正比例函数，则 ， ． 【答案】 0 【分析】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．根据一次函数的定义，正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：当函数是关于x的一次函数时，，且，解得； 当函数是关于x的正比例函数时，，，且，解得，． 故答案为：，，0． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东威海·期末）已知函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 由题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 2．已知函数是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，解答的关键是熟悉一次函数的定义； 根据函数是一次函数，得出，进行解答即可； 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 题型七　由点一次函数直线上求代数式的值 例题：（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）点在函数的图象上，则代数式的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了图象过点，把坐标代入解析式，转化为代数式的值的问题解答即可． 【详解】∵点在函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：15． 巩固训练 1．（23-24八年级上·山西运城·期末）若一次函数的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特点，代数式求值，将代入一次函数，可得，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：一次函数的图象过点， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查代数式求值，一次函数上的点与其解析式的关系，根据题意，将点代入直线得到，恒等变形得到，整体代入代数式即可得到答案，熟练掌握整体代入求代数式值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 将点代入直线得到， ， 故答案为：． 题型八　一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级上·安徽安庆·期末）关于函数，下列结论成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴函数图象经过一、二、四象限，随的增大而减小， 当时，， ∴当时，，当时，，图象必过点； 综上：只有选项B成立； 故选B． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为 C．图象不经过第二象限 D．若两点在该函数图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的几何变换，一次函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键． 把代入求出y的值，即可判断A；根据平移的性质即可判断B；由，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，可判断C；由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，即可判断D． 【详解】解：A、当时，， ∴图象不经过点， 故A错误，不符合题意； B、图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为， 故B错误，不符合题意； C、解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限， 故C错误，不符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵点都在该函数图象上， ∴， 故D正确，符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）关于一次函数的图像与性质，下列说法中不正确的是 （      ） A．y随x的增大而增大 B．当时，该图像与函数的图像是两条平行线 C．若图像不经过第四象限，则 D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系．两条直线的平行问题：若直线与直线平行，那么．根据一次函数的增减性判断A；根据两条直线平行时，k值相同而b值不相同判断B；根据一次函数图象与系数的关系判断C、D． 【详解】解：A、一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大，故本选项说法正确； B、当时，，一次函数与的图象是两条平行线，故本选项说法正确； C、若图象不经过第四象限，则经过第一、三象限或第一、二、三象限， ，即，故本选项说法错误； D、一次函数中， ∵， ∴不论m取何值，图象都经过第一、三象限，故本选项说法正确． 故选：C． 题型九　根据一次函数经过的象限求参数问题 例题：若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．首先根据一次函数的图像经过第一、三、四象限，得，解此不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：一次函数的图像经过第一、三、四象限， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024八年级·全国·竞赛）若直线不经过第一象限，则m的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，注意分类讨论．分两种情况讨论：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】解：当时，不经过第一象限，满足题意； 当时，， 解得， ∴． 故答案为：． 2．若一次函数（k为常数且）的图象过点，且经过第二、三、四象限． （1） ．（请用含k的代数式表示） （2）若，则m的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论； （2）根据题意列不等式，解不等式即可得到结论． 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确记忆一次函数的性质是解题关键． 【详解】解：（1）∵一次函数（k为常数且）的图象过点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵函数图形过第二、三、四象限， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， 即， 故答案为：． 题型十　根据一次函数的增减性求参数问题 例题：若一次函数的函数值随着自变量值的增大而增大，则 （写出一个满足条件的值）． 【答案】 【分析】根据，函数值随着自变量值的增大而增大，得到，写出一个正数即可，本题考查了一次函数的性质，解题的关键是：熟练掌握一次函数的性质． 【详解】解：一次函数的函数值随着自变量值的增大而增大， ， 任取一正数，（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 巩固训练 1．已知在一次函数中，y值随x值的增大而减少，则常数k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根据一次函数的增减性，求参数，由一次函数中，y值随x值的增大而减少，列出不等式，即可求得． 【详解】解：∵一次函数中，y值随x值的增大而减少， ∴， 解得：． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知点，在一次函数的图象上，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于的不等式，可求得的取值范围． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，若， ∴当时，由题意可知， ∴随的增大而减小， ∴ 解得：， 故答案为：． 题型十一　一次函数的图象与坐标轴的交点问题 例题：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）函数的图象与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数与y轴的交点为是解题关键．令，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 函数的图象与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）一次函数与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，令，代入一次函数解析式，求出自变量的值，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数来说， 当时，， 解得， ∴一次函数与轴的交点坐标为， 故答案为： 2．已知一次函数与坐标轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：次函数与坐标轴的交点分别为，， ， 解得， 故答案为：． 题型十二　已知直线与坐标轴交点求方程的解 例题：（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．根据“一次函数与一元一次方程的关系”求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴一元一次方程的解为：， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，若一次函数的图象经过A、B两点．则方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答案． 【详解】解：如图所示：不等式的解为：． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程可利用一次函数的图象求解．观察图象，时，x的值即为关于x的方程的解，据此求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴交点的纵坐标是， ∴当时，，即， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 题型十三　由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 巩固训练 1．已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于的一元一次方程的根是，即时，函数值为，所以直线过点，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标． 【详解】解：方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 ，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 题型十四　由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例题：如图，一次函数的图像经过两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数与一元一次不等式之间的内在联系是解题的关键． 由图像可知：，且当时，一次函数的图像在x轴的下方，，即可得到关于x的不等式的解集是． 【详解】解：由图像可得：一次函数中，时，图像在x轴下方，此时， 则关于x的不等式的解集是． 故答案为：． 巩固训练 1．如果一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点以及解不等式：先把代入，得，结合图象，得，则，那么，即为，系数化1，即可作答． 【详解】解：∵一次函数与轴的交点坐标为 ∴把代入，得， ∴ 结合图象，得 ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 故答案为： 2．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，点在一次函数的图像上，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 题型十五　根据两条直线的交点求不等式的解集 例题：（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查直线与不等式，先求出两直线的交点为，代入，求出，及直线与的交点坐标，结合函数图象可得结论． 【详解】解：∵直线与直线的交点的横坐标为， ∴， ∴直线与直线的交点坐标为， ∴ 解得，， ∴ 当时，， ∴与轴的交点坐标为 ∴的解集为， 故答案为： 巩固训练 1．如图，直线经过点和点，直线经过点A，则不等式的解集为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与不等式，利用图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得，    ∴不等式的解集为； 故答案为：． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴下方， ， ，故①正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是，故②错误； 当时，，故③错误； 当时，函数， 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ， ，故④正确； 故答案为：①④． 题型十六　两条直线的交点求二元一次方程组的解 例题：若一次函数、的图象相交于，则关于、的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，熟练掌握两个一次函数的交点坐标即为两个函数所组方程组的解是解题的关键． 根据一次函数、的图象相交于，因此点坐标，必为两函数解析式所组方程组的解． 【详解】解：∵一次函数、的图象相交于， ∴方程组的解为． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）若方程组的解是，则直线与交点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴直线与的交点坐标是． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·陕西西安·开学考试）一次函数的图象和的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的运用，掌握一次函数的交点与二元一次方程组的解的运用是解题的关键． 根据一次函数的交点，把点代入一次函数，可解出的值，由此即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象和的图象相交于点， ∴， 解得， ∴， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：． 题型十七　利用图象法解一元一次方程或二元一次方程组 例题1：（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 例题2：（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，本题考查了利用函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解与一次函数交点的关系． 【详解】解：把代入得：， 解得， 所以点坐标为， 所以关于、的二元一次方程组的解是：， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得，进而可得，再根据一次函数（为常数且与的图象相交于点即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：的图象经过点， ， 解得：， ， 一次函数（为常数且与的图象相交于点， 方程的解为， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解，由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为， ∴关于的方程的解为：， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 4．一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为 ， ． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 【答案】 1 3 【分析】利用表中的对应值得到时，，则可判断一次函数的图象和的图象的交点坐标为，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由表中数据得到时，， 所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为， 所以方程组的解为，． 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 题型十八　利用一次函数解决分配方案问题 例题1：已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好被住满． （1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ （2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式； （3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用． 【答案】（1）三人间客房8间，双人间客房13间；（2）y＝﹣50x+7500；（3）不是，租住3人间客房16间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元 【分析】（1）根据在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，一天一共花去住宿费6300元，可以列出相应的方程组，然后求解即可； （2）根据题意可以写出y与x的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得x为何值时，费用最低，并写出最低费用时的住宿方案． 【详解】解：（1）设租住了三人间客房a间，双人间客房b间， 根据题意得： ， 解得：， 答：租住了三人间客房8间，双人间客房13间； （2）由题意可得， y600×0.5600×0.5＝﹣50x+7500， 即y与x的函数关系式是y＝﹣50x+7500； （3）∵y＝﹣50x+7500，k＝﹣50， ∴y随x的增大而减小， ∴当x满足、为整数，且最大时，住宿费用最低， ∴当x＝48时，y取得最小值，此时y＝﹣50×48+7500＝5100，=16，=1， ∵5100＜6300，∴一天6300元的住宿费不是最低， 答：一天6300元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案为：租住3人间客房16间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答． 例题2：某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销售价如表： 类别 A款自拍杆 B款自拍杆 进货价（元/个） 30 25 销售价（元/个） 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？ (2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多少？ 【答案】(1)网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆 (2)A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m个A款自拍杆，则购进个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设再次购进A、B两款自拍杆的销售利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆， 根据题意得：， 解得：． 答：网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆； （2）解：设购进m个A款自拍杆，则购进个B款自拍杆， 根据题意得： 解得：， 设再次购进A、B两款自拍杆的销售利润为w元， 则， 即． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，， ． 答：A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元． 巩固训练 1．为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个型篮球和1个型篮球共需要210元． （1）求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？ （2）若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？ 【答案】（1）购买一个型篮球需80元，一个型篮球需50元；（2）；（3）该校至少需要投入资金元． 【分析】（1）设购买一个型篮球需元，一个型篮球需元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得； （2）根据（1）的结论可得购买型篮球的费用和购买型篮球的费用，再求和，然后根据两种型号的篮球个数均大于0求出的取值范围即可； （3）先根据“购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍”建立不等式求出的取值范围，再利用一次函数的性质即可得． 【详解】解：（1）设购买一个型篮球需元，一个型篮球需元， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：购买一个型篮球需80元，一个型篮球需50元； （2）由题意得：购买型篮球的个数为个， 则， 即， ， ， 则关于的函数关系式为； （3）购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍， ， 解得， 又， ， 对于一次函数， 在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为， 因此，在内，， 答：该校至少需要投入资金元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确建立方程组和函数关系式是解题关键． 2．某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共需190元；2副羽毛球拍和3个足球共需300元． （1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？ （2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足球一共50件，设购买足球个，总费用为元，写出关于的函数关系式； （3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元；（2）；（3）购买羽毛球拍33个，足球17个，才能使总费用最少，最少费用是2214元． 【分析】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元，再建立二元一次方程组，解方程组即可得； （2）分和两种情况，结合（1）的结论，根据促销活动列出等式即可得； （3）先求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可得． 【详解】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元， 由题意得：， 解得， 答：每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元； （2）设购买足球个，则购买羽毛球拍个， 由题意，分以下两种情况： ①当时，， ②当时，， 综上，关于的函数关系式为； （3）由题意得：， 解得， 为正整数， 的最小值为17， ， ， 由一次函数的性质可知，在内，随x的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：购买羽毛球拍33个，足球17个，才能使总费用最少，最少费用是2214元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用、二元一次方程组的应用，依据题意，正确建立一次函数和方程组是解题关键． 3．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． (1)求甲、乙两种水果的进价； (2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克 (2)购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元 【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：由题意可知： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y元， 由题意可知： 甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍， ， 解得：，即， 在中，，则y随m的增大而减小， 当时，y最大，且为（元）， 购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元． 【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式． 4．夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题： (1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？ (2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； (3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元 (2)，，且x为整数 (3)商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元 【分析】（1）设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（）元，根据“用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同”列分式方程求解即可； （2）直接根据题意列出函数关系式，再根据“从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍”求取值范围； （3）根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（）元， 由题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴， 答：甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元． （2）解：根据题意，y与x之间的函数关系式为： ， ∵乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍， ∴， 解得， 又∵， ∴自变量 x的取值范围是，且x为整数． （3）解：在中， ∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵，且x为整数 ∴时，y取得最大值，最大值为， 此时， 答：商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元． 【点睛】本题考查了列分式方程求解，列一次函数关系式，求自变量取值范围，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 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