特训06 解直角三角形（续）—与平行线分线段成比例、相似三角形结合（重点练+难点练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训06 解直角三角形（续）—与平行线分线段成比例、相似三角形结合 Ⅰ、重点练 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，，点D是边上一点，且． (1)求的长； (2)求的余切值． 【答案】(1)6 (2)2 【分析】本题考查解直角三角形，熟知三角函数的定义并构造出合适的直角三角形是解题的关键． （1）根据的正弦值，求出的长，再利用勾股定理求出即可解决问题． （2）过点作的垂线，在所构造的直角三角形中，求出的邻边和对边即可解决问题． 【解析】（1）解：∵在中，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）过点作的垂线，垂足为，由得，． ∵， ∴， ∴， 即， 得， 在中， ∴的余切值为2． 2．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，垂足为点． (1)求的值； (2)交于点，如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形： （1）根据，得证明，结合相似三角形的性质，得的值； （2）根据相似三角形的性质且，得，，再证明，列式代数计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 则 （2）解：如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， 得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得． 3．（2022·上海虹口·二模）如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)7 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解； （2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ， ∴． （2）解：过点A作于点F，如图所示． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 4．（2020·上海浦东新·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可． 【解析】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝30°， 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°， ∠DAC＝30°，AC＝6， ∴CD＝， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6， ∴BC＝， ∴BD＝BC－CD＝， ∵DE∥CA， ∴， ∴DE＝4； （2）解：如图． ∵点M是线段AD的中点， ∴DM＝AM， ∵DE∥CA， ∴＝． ∴DF＝AG． ∵DE∥CA， ∴＝，＝． ∴＝． ∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG， ∴． 【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系． 5．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据三线合一定理得到，再证明，得到，即可证明； （2）先根据三线合一定理和勾股定理求出，再根据相似三角形的性质得到，则． 【解析】（1）证明：∵在中，，为边上的中线， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解；在中，，为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三线合一定理，余弦，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． 6．（2024·上海·模拟预测）在中，，，，的垂直平分线交于E，则 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质，作于，作的垂直平分线交于E，交于，解直角三角形得出，由勾股定理得出，解直角三角形得出，由线段垂直平分线的性质得出，从而得出，再由平行线分线段成比例定理计算即可得出答案． 【解析】解：如图：作于，作的垂直平分线交于E，交于， ， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求的正弦值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查解直角三角形 （1）可过点作的平行线，借助于相似三角形的性质求出边上的高即可解决问题． （2）过点作边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题． 【解析】（1）解：过点作的平行线，分别与，交于点，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，． ， ， ， 又， ，， ． （2）解：在中， ． 过点作的垂线，垂足为，过点作垂线，垂足为， 在中， ． ， ． 在中， ． 8．（21-22九年级上·上海虹口·期末）如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证； （2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解． 【解析】（1）证明：∵ ， ∴△EAD∽△ECB， ∴ ，即， ∵，∠AEB=∠DEF， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵， ，， ∴ ，即AC=9， ∴ ， ∵， ∴AD=3， ∵， ∴∠BAD=90°， ∴ ， ∵△EAD∽△ECB， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，， ∴EC=6， ， ∵， ∴ ， ∴EF=4， ∴FC=EC-EF=6-4=2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键． 9．（21-22九年级上·上海金山·期中）如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD． （1）求证：； （2）若，S△AOD＝4，求S△BOC的值． 【答案】（1）见解析；  （2）9． 【分析】（1）可证明，可得到，从而，即可求证； （2）利用，可得，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【解析】（1）证明： AB⊥AC，CD⊥BD， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：在 中，， ， ， ， S△AOD＝4， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，解题的关键是要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用． 10．（20-21九年级上·上海宝山·期中）已知中，，，，，点是的重心，延长线交于点． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）在Rt△ABD中利用正切的定义得到AD＝2BD，然后利用勾股定理计算出BD＝1，则AD＝2，然后利用等腰直角三角形的性质得到CD＝AD＝2，从而得到BC的长； （2）利用三角形重心的性质得到AG＝2GE，BE＝CE＝BC＝，则计算出DE的长，则，于是可判断△EDG∽△EBA，所以∠EDG＝∠B，然后根据平行线的判定得到结论． 【解析】（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，∵tanB＝＝2， ∴AD＝2BD， ∵BD2＋AD2＝AB2， ∴BD2＋4BD2＝（）2，解得BD＝1， ∴AD＝2， 在Rt△ADC中，∵∠C＝45°， ∴CD＝AD＝2， ∴BC＝BD＋CD＝1＋2＝3； （2）解：∵点G是△ABC的重心， ∴AG＝2GE，BE＝CE＝BC＝， ∴DE＝BE−BD＝−1＝， ∵，， ∴， 而∠DEG＝∠BEA， ∴△EDG∽△EBA， ∴∠EDG＝∠B， ∴DG∥AB． 【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了解直角三角形和平行线的判定． 11．（2024·上海长宁·三模）如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定： （1）过作于，得出四边形为矩形，得到，，再根据勾股定理得出，进而可求梯形的面积； （2）连接，过点作于点，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据正切的定义计算即可．． 【解析】（1）解：过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积； （2）解：如图，连接，过点作于点， 则， 在中，，， 则， ， ， ， ，即， 解得：， 由勾股定理得：， ． 12．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点. (1)求的值； (2)如果，，，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的判定与性质得到，根据比例的性质求解即可； （2）根据平行四边形的性质得出，则，根据锐角三角函数定义求出，则，根据勾股定理求出，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【解析】（1）， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平行四边形的面积． 13．（2024·上海虹口·二模）如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)连接交于点，连接交于点．如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法． （1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论； （2）设，算出，证明，求出 ，进而证出结论； 【解析】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，点D在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ； （2）解：如图，   四边形是平行四边形， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ． 14．（21-22九年级上·上海静安·期末）如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E． (1)求证：； (2)当∠QED等于60°时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠CAD=∠BDC=45°，∠OBP+∠OPB=90°，再由，可得∠OBP=∠OPE，即可求证； （2）设OE=a，根据∠QED等于60°，可得∠BEP=60°，然后利用锐角三角函数，可得BD=2OB=6a， ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【解析】（1）证明：在正方形ABCD中， ∠CAD=∠BDC=45°，BD⊥AC， ∴∠BOC=90°， ∴∠OBP+∠OPB=90°， ∵， ∴∠BPQ=90°， ∴∠OPE+∠OPB=90°， ∴∠OBP=∠OPE， ∴； （2）解：设OE=a， 在正方形ABCD中，∠POE=90°，OA=OB=OD， ∵∠QED等于60°， ∴∠BEP=60°， 在 中， ，， ∵，∠BEP=60°， ∴∠PBE=30°， ∴， ， ∴OA=OB=BE-OE=3a， ∴BD=2OB=6a， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 15．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的重心，连接、，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】延长交于M，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、，根据重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形的性质可推出，，，，得到，判定，推出，再证明，推出，得到，再用勾股定理求出，即可得解． 【解析】解：延长交于M，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、， ∵点、分别是与的重心， ∴、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点； 、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点， ∴，； ，，，， ∴，；，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 设，则， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的重心，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是由三角形重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形判定和性质推出． 16．（2022·山东济南·二模）如图，在矩形中，，在边上且，若点在边上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的处，过点作于点，与交于点，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，由翻折可得，，由矩形的性质得出，，求出，证明，由相似三角形的性质得出，，再证明，最后由正切的定义即可得出答案． 【解析】解：由翻折可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知为等边三角形，于点，点为边上一点，点为线段上一点，连接，且点在线段的中垂线上． (1)如图1，若，连接，为的中点，连接，求：线段的长； (2)如图2，将绕点逆时针方向旋转一定的角度得到，连接，点为的中点，连接，求：的值； (3)如图3，在（2）问的条件下，线段与线段交于点，连接，交线段于点，当时，求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点过点作垂直于点，利用等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，求得和的长度，利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质求解； （2）作出如图的辅助线，证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明结论； （3）作出如图的辅助线，证明再解直角三角形即可求解． 【解析】（1）三角形是等边三角形，, ， ， 过点作垂直于点， 点在线段的中垂线上， 根据等腰三角形三线合一可知：， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ； （2）取的中点，取的中点，连接， 点是的中点，点是的中点，点是的中点， ， ， , 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）由（2） 可知，， ， ， ， ， 作且，连接， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握等边三角形的性质，活用勾股定理、特殊角的三角函数等是解题的关键． Ⅱ、难点练 一、填空题 1．（2024·上海杨浦·一模）如图，已知与相似，，，，，连接，交边于点，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质与判定，三角函数和勾股定理，过作于点，构造相似三角形，再通过性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【解析】如图，过作于点， 在中，由勾股定理得： ∵与相似，，， ∴，即， ∴， 在中，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（21-22九年级上·上海杨浦·期末）如图， 已知在 Rt 中， ， 将 绕点 逆时针旋转 后得 ， 点 落在点 处， 点 落在点 处， 联结 ， 作 的平分线 ， 交线段 于点 ， 交线 段 于点 ， 那么 的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q，由可设，，，由旋转可得，，，则，，写出点坐标，由角平分线的性质得，即可得出，即可得，故可推出，求出点P坐标，由得，推出，故得，由相似三角形的性质即可得解． 【解析】 如图，以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q， ∵， ∴设，，， 由旋转可得：，，， ∴，， ∴，，， ∵AN是平分线， ∴， ∴，即可得， ∴， 设直线BE的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、正切值、角平分线的性质以、用待定系数法求一次函数及相似三角形的判定与性质，根据题意建立出适当的坐标找线段长度是解题的关键． 二、解答题 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，平分交边于点D，在边上取点E，使得，连接． (1)如图1，当时，求：的正切值 (2)如图2，过点C作于点F，当时，请：的值 (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，当时，若四边形内部的点Q到四边形四条边的距离相等，求：的值 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）设，则，，根据，即可求解，再根据60度角的正切值为即可得到答案； （2）取中点，连接；由三线合一得为中位线，根据，即可证明； （3）根据，平分可得，设，则，，，根据可得，进而得是三个内角分别为，，的“黄金三角形”，作的平分线交于点，证明得出，证明得出平分，再证明即可求解； 【解析】（1）解： 设，则， ∴， 又，， ∴； （2）解：如图所示，取中点，连接； ∵， ∴， ∵， ∴点F为的中点，， 为中位线， ，且 ， ， ， ， ∴； （3）解：存在点，使得点到四边形四条边的距离相等，且，理由如下： ，平分， ， 设，则，， ， ， ， ， 是三个内角分别为，， 如图，作的平分线交于点， 设，则， ， ， ， ， ，平分 ， 平分 当点为角平分线与交点时，点到四边形四条边的距离相等， ，， ，， 平分 平分 在中， 在中，， ， 由对称性可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 4．（2024九年级下·上海·专题练习）已知平行四边形中，，，，点是对角线上一动点，作，射线交射线于点，连接．    (1)如图1，当点与点重合时，证明：； (2)如图2，点在的延长线上，当时，求的长； (3)当是以为底的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由平行线边形的性质得，而，所以，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）作交的延长线于点，由，得，则，由勾股定理得，则，，即可由勾股定理求得，因为，且，所以，则； （3）分两种情况，一是点在线段的延长线上，由，得，则；二是点在线段上，由，得，则． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 点与点重合， ， ， ，， ， ． （2）解：如图，作交的延长线于点，则，   ， ， ， ，且， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的长是． （3）解：是以为底的等腰三角形， ， 如图，点在线段的延长线上，   ， ， ， 解得； 如图，点在线段上，   ， ， ， 解得， 综上所述，的长是或． 【点睛】本题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理、锐角三角函数、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 5．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点D、E边上（点E在点D右侧，点D不与点B重合），，过点B作，交的延长线于点F． (1)当时，求线段的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)连接，如果，求的长． 【答案】(1)线段的长为 (2)， (3)的长为4或8 【分析】（1）根据，得出，在中，求得，在中， 求得，由即可得出答案； （2）证明，得出，求出，再证明，得出，求得，根据点D、E边上，点E在点D右侧，点D不与点B重合，得出，求出即可； （3）分两种情况，当时或当时，分别画出图形，求出结果即可． 【解析】（1）解：如图所示： ， ， 在中， ， 在中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 即， 解得， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 根据点D、E边上，点E在点D右侧，点D不与点B重合， ， ， ， ； （3）当时，如图： ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； 当时，如图： ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当与相似时，的长为4或8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解题的关键是数形结合，作出相应的图形，并注意分类讨论． 6．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 【答案】(1)4 (2) (3)的长为5或 【分析】（1）过点作于点，利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用勾股定理求得，利用角平分线的定义和平行线的性质得到，则； （2）过点作于点，利用(1)的结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得，再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可； （3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点在上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；②当点在上时，连接，延长交于点，利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用全等三角形的判定与性质解答即可． 【解析】（1）解：过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，如图， 由（1）知：， ， ， ∵， 为等腰直角三角形， （3）①当点在上时，如图， 由（1）知：， ∵是中点， 在和中， ， ， ∴， ∴； ②当点在上时，连接，延长，交于点，如图， 由（1）知：， ∵是中点， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为5或． 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 解直角三角形（续）—与平行线分线段成比例、相似三角形结合 Ⅰ、重点练 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，，点D是边上一点，且． (1)求的长； (2)求的余切值． 2．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，垂足为点． (1)求的值； (2)交于点，如果，求的长． 3．（2022·上海虹口·二模）如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 4．（2020·上海浦东新·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 5．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 6．（2024·上海·模拟预测）在中，，，，的垂直平分线交于E，则 7．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求的正弦值． 8．（21-22九年级上·上海虹口·期末）如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 9．（21-22九年级上·上海金山·期中）如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD． （1）求证：； （2）若，S△AOD＝4，求S△BOC的值． 10．（20-21九年级上·上海宝山·期中）已知中，，，，，点是的重心，延长线交于点． （1）求的长； （2）求证：． 11．（2024·上海长宁·三模）如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 12．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点. (1)求的值； (2)如果，，，求四边形的面积. 13．（2024·上海虹口·二模）如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)连接交于点，连接交于点．如果，求证：． 14．（21-22九年级上·上海静安·期末）如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E． (1)求证：； (2)当∠QED等于60°时，求的值． 15．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的重心，连接、，如果，那么 ． 16．（2022·山东济南·二模）如图，在矩形中，，在边上且，若点在边上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的处，过点作于点，与交于点，则的值为 ． 17．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知为等边三角形，于点，点为边上一点，点为线段上一点，连接，且点在线段的中垂线上． (1)如图1，若，连接，为的中点，连接，求：线段的长； (2)如图2，将绕点逆时针方向旋转一定的角度得到，连接，点为的中点，连接，求：的值； (3)如图3，在（2）问的条件下，线段与线段交于点，连接，交线段于点，当时，求：的值． Ⅱ、难点练 一、填空题 1．（2024·上海杨浦·一模）如图，已知与相似，，，，，连接，交边于点，那么线段的长是 ． 2．（21-22九年级上·上海杨浦·期末）如图， 已知在 Rt 中， ， 将 绕点 逆时针旋转 后得 ， 点 落在点 处， 点 落在点 处， 联结 ， 作 的平分线 ， 交线段 于点 ， 交线 段 于点 ， 那么 的值为 ． 二、解答题 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，平分交边于点D，在边上取点E，使得，连接． (1)如图1，当时，求：的正切值 (2)如图2，过点C作于点F，当时，请：的值 (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，当时，若四边形内部的点Q到四边形四条边的距离相等，求：的值 4．（2024九年级下·上海·专题练习）已知平行四边形中，，，，点是对角线上一动点，作，射线交射线于点，连接．    (1)如图1，当点与点重合时，证明：； (2)如图2，点在的延长线上，当时，求的长； (3)当是以为底的等腰三角形时，求的长． 5．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点D、E边上（点E在点D右侧，点D不与点B重合），，过点B作，交的延长线于点F． (1)当时，求线段的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)连接，如果，求的长． 6．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$