第五章 一元一次方程知识归纳与题型突破（单元复习 8类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（人教版2024）

第五章 一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、基本概念 1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子 2、方程的概念：含有未知数的等式 3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数； （2）未知数的最高次数为1次； （3）等式两边都是整式． 二、等式的性质 若，则、、、． 特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数． 三、解一元一次方程 1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号） 2、去括号（带着符号计算，不要漏乘） 3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要） 4、合并同类项 5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论） 四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 五、一元一次方程的应用 一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润=售价-进价，； （4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）； （5）行程问题（路程=速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． 03 题型归纳 题型一　判断是否是一元一次方程 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程① ，② ，③ ，④ 中，一元一次方程共有（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中一元一次方程的个数是（    ） A． B． C． D． 题型二　根据一元一次方程的定义求参数的值 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若是关于的一元一次方程，则 ． 2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 题型三　已知一元一次方程的解求参数的值 例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知是方程的解，则 ． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x的方程的解为，则方程的解为 ． 题型四　列一元一次方程 例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程 ． 3．（2023·吉林长春·模拟预测）算法统宗是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住人，则余下人无房可住：若每间住人，则余下一间无人住，设店中共有间房，可列方程为 ． 题型五　等式的基本性质 例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 巩固训练 1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（       ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型六　解一元一次方程 例题1：解方程： (1)； (2). 例题2：解方程： (1)； (2)． 例题3：解下列方程： (1)； (2)． 巩固训练 1．解方程： (1)； (2)． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七　解一元一次方程中的错解复原问题 例题：（2024上·河北邯郸·七年级校考期末）关于方程，嘉嘉的解法如下． 解：去分母，得，…① 去括号，得，…② 合并同类项，得， ，…③ 两边同时除以，得3=0．…④ 所以方程无解． (1)嘉嘉从第_________步开始出错（填序号），理由是___________________； (2)请正确求解该方程． 巩固训练 1．（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）下面是小董同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ．……第四步 (1)①以上求解过程中，第______步进行的是移项，移项的依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (2)求该一元一次方程的解； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议（一条即可）． 2．（2023上·山东威海·六年级统考期末）计算： (1)下面是解方程的主要过程 解：原方程化为______， 去分母，得 ②， 去括号，得______， 移项，得______， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得______． 请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上； (2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依据） 题型八　用一元一次方程解决实际问题 例题：（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同． (1)求具体应先安排多少人工作？ (2)在增加人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产个螺钉或个螺母，个螺钉需要配个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)若该车间有台型和台型机器可以生产这种产品，每台型机器比型机器一天多生产个产品．已知台型机器一天的产品装满箱后还剩个，台型机器一天的产品装满箱后还剩个，且每箱装的产品数相同．某天有台型机器和台型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满箱．若能，请计算出的值；若不能，请说明理由． 巩固训练 1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折． (1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用； (2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？ (3)若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？ 2．（2024上·浙江嘉兴·七年级校联考期末）某超市第一次用10500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 40 60 售价（元/件） 50 80 (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少600元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 3．（2023上·湖南邵阳·七年级校考阶段练习）为落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下表： 某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 供水类型 阶梯 户年用水量（立方米） 水价 自来水 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 若某户居民去年用水量为立方米，则其应缴纳水费为元． (1)小明家一年用水立方米，这一年应缴纳水费 元； (2)小亮家—年缴纳水费元，则小亮家这一年用水多少立方米？ (3)小红家去年和今年共用水立方米，共缴纳水费元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小红家今年和去年各用水多少立方米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、基本概念 1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子 2、方程的概念：含有未知数的等式 3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数； （2）未知数的最高次数为1次； （3）等式两边都是整式． 二、等式的性质 若，则、、、． 特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数． 三、解一元一次方程 1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号） 2、去括号（带着符号计算，不要漏乘） 3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要） 4、合并同类项 5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论） 四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 五、一元一次方程的应用 一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润=售价-进价，； （4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）； （5）行程问题（路程=速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． 03 题型归纳 题型一　判断是否是一元一次方程 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定． 【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意； ②是一元二次方程，不符合题意； ③是一元一次方程，符合题意； ④是分式方程，不符合题意； ⑤是代数式，不是方程，不符合题意． 故选：A． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义的应用，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、未知数次数为2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、整理方程得，是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程① ，② ，③ ，④ 中，一元一次方程共有（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式”即可求解． 【详解】解：①，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； ②，含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，符合题意； ③，含有两个未知数，未知数的最高次数是1次，不是一元一次方程，不符合题意； ④，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 综上所述，一元一次方程的共有1个， 故选：A ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中一元一次方程的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③未知数不能在分母里，这三个条件缺一不可．据此逐个分析即可． 【详解】解：① 的分母含有未知数，故不是一元一次方程； ② 不是等式，故不是一元一次方程； ③ 中未知数的最高次数是2，故不是一元一次方程； ④ 是一元一次方程；； ⑤ 是一元一次方程； ⑥ 含2个未知数，故不是一元一次方程； 故选A． 题型二　根据一元一次方程的定义求参数的值 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义得到，求出m即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，象这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键根据未知数的次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【知识点】一元一次方程的定义、绝对值方程 【分析】此题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是掌握一元一次方程的概念，只含有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程． 根据一元一次方程的概念，可得且，求解即可． 【详解】解：由题意可得且， 由可得， 由可得或 综上： 故答案为： 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 可考虑三种情况， ①当且时， 即且， 则，解得：， 此时，故排除； ②当且时， 即且， ，符合条件； ③当即时， ，符合条件； 综上：的值为或， 故答案为：或． 题型三　已知一元一次方程的解求参数的值 例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次项的系数不等于零．根据一元一次方程有解，可得一次项的系数不等于零． 【详解】解：由，可得， 关于的一元一次方程有解， ， 解得：． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值． 【详解】解：将代入原方程得， 解得：， ∴a的值为2． 故答案为：2． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】此题考查了方程的解，根据表格中的数据求解即可． 【详解】根据题意可得， 当时， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x的方程的解为，则方程的解为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型四　列一元一次方程 例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x的2倍为，相反数为，据此根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列一元一次方程；的倍与的和可以表示为，的与的差可以表示为，由两个代数式相等，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得， 故答案为：． 2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据人数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 3．（2023·吉林长春·模拟预测）算法统宗是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住人，则余下人无房可住：若每间住人，则余下一间无人住，设店中共有间房，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可． 【详解】解：每间住人，则余下人无房可住：若每间住人，则余下一间无人住， 客人可表示为个，也可表示为个， ， 故答案为：． 题型五　等式的基本性质 例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质进行解题． 根据等式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B错误； C、若，则，故C正确； D、，当时，不成立，故D错误； 故选：C． 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（       ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、如果，则或，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，当时，则，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，当时，则，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，则，原选项变形正确，符合题意； 故选：． 3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：变形得，选项A错误，不符合题意； 变形得，选项B错误，不符合题意； 变形得，选项C错误，不符合题意； 变形得，选项D正确，符合题意； 故选D． 4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． 题型六　解一元一次方程 例题1：解方程： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】方程移项合并，把系数化为，即可求解； 方程移项合并，把系数化为，即可求解． 【详解】（1）移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 例题2：解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本步骤． 例题3：解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算． 巩固训练 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：合并同类项，得， 系数化为1，得． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，正确的计算，是解题的关键． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． （2）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． （3）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． （4）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． （5）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． （6）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （3） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （4）， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （5）， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （6）， 去括号得：， 移项得：． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键． 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：去分母，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． （2）去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． （3）去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． （4）去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算． 题型七　解一元一次方程中的错解复原问题 例题：（2024上·河北邯郸·七年级校考期末）关于方程，嘉嘉的解法如下． 解：去分母，得，…① 去括号，得，…② 合并同类项，得， ，…③ 两边同时除以，得3=0．…④ 所以方程无解． (1)嘉嘉从第_________步开始出错（填序号），理由是___________________； (2)请正确求解该方程． 【答案】(1)④，两边同时除以时，未考虑的情况 (2)见详解． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）按照解一元一次方程的步骤分析判断即可得出答案． （2）按照解一元一次方程的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：嘉嘉从第④步开始出错，理由是方程两边同时除以时，未考虑的情况． 故答案为：④，两边同时除以时，未考虑的情况 （2） 去分母得：， 去括号，得， 移项合并同类项得：， 化系数为1∶， 巩固训练 1．（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）下面是小董同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ．……第四步 (1)①以上求解过程中，第______步进行的是移项，移项的依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (2)求该一元一次方程的解； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议（一条即可）． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）①根据移项的基本方法即可求解；②根据解方程的步骤即可判断； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （3）解一元一次方程，去分母时，不要漏乘；去括号时，括号外的数要与括号里的每一项相乘，移项需要变号． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，第三步进行的是移项，移项的依据是等式性质1； ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是等式右边括号里的第二项没有变号； 故答案为：①第三步，等式性质1；②第二步，去括号后，等式右边括号里的第二项没有变号； （2）解：， ， ， ， ； （3）解一元一次方程，去分母时，不要漏乘；去括号时，括号外的数要与括号里的每一项相乘，移项需要变号等（答案不唯一）． 2．（2023上·山东威海·六年级统考期末）计算： (1)下面是解方程的主要过程 解：原方程化为______， 去分母，得 ②， 去括号，得______， 移项，得______， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得______． 请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上； (2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依据） 【答案】(1)③④①② (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程的步骤：“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤结合各依据填空即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：解：原方程化为③， 去分母，得 ②， 去括号，得④， 移项，得①， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得②． 故答案为：③④①②； （2）解：原方程化为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 把未知数x的系数化为1，得：． 题型八　用一元一次方程解决实际问题 例题：（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同． (1)求具体应先安排多少人工作？ (2)在增加人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产个螺钉或个螺母，个螺钉需要配个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)若该车间有台型和台型机器可以生产这种产品，每台型机器比型机器一天多生产个产品．已知台型机器一天的产品装满箱后还剩个，台型机器一天的产品装满箱后还剩个，且每箱装的产品数相同．某天有台型机器和台型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满箱．若能，请计算出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)具体应先安排人工作 (2)应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母 (3)一天不能恰好装满箱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设应先安排人工作，根据题意得，即可求解； （2）设应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母，根据题意得，即可求解； （3）先求出每箱装的产品个数，再分别求出、型机器一天的产量，最后列出关于的一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：设应先安排人工作， 根据题意得，， 解得：， 应先安排人工作； （2）设应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母， 根据题意得，， 解得：， ， 应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母， （3）设每箱装个产品， 根据题意得，， 解得：， 型机器一天生产的产品个数：， 型机器一天生产的产品个数：， 根据题意列方程得：， 解得：， ， 一天不能恰好装满箱． 巩固训练 1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折． (1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用； (2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？ (3)若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？ 【答案】(1)； (2)到甲店购买更合算，见解析 (3)购买150本笔记本时，两家店的费用一样 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）求出分别需要的费用，比较大小即可得到答案； （3）设购买x本笔记本，根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ． （2）解：到甲店购买所需费用为（元）， 到乙店购买所需费用为（元）， ， 到甲店购买更合算； （3）解：（本）． 设购买x本笔记本时，两家店的费用一样， 依题意，得：， 解得：． 答：购买本笔记本时，两家店的费用一样． 2．（2024上·浙江嘉兴·七年级校联考期末）某超市第一次用10500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 40 60 售价（元/件） 50 80 (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少600元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)第一次购进甲商品150件，乙商品75件； (2)打8折销售． 【分析】本题考查一元一次方程实际问题． （1）根据题意设超市第一次购进乙商品件，甲商品件，再根据题干信息即可求出本题答案； （2）根据题干及第（1）问结果可列出方程即为本题答案． 【详解】（1）解：设超市第一次购进乙商品件，甲商品件， ∵第一次用10500元购进甲、乙两种商品，再根据表中进价信息可列方程为： ，解得：， ∴甲商品进（件）， 综上所述：甲商品购进件，乙商品购进件； （2）解：设第二次乙商品按原价打折销售， ∵第一次获利为：（元）， 由题意得：， 解得： 答：第二次乙商品按原价打8折销售． 3．（2023上·湖南邵阳·七年级校考阶段练习）为落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下表： 某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 供水类型 阶梯 户年用水量（立方米） 水价 自来水 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 若某户居民去年用水量为立方米，则其应缴纳水费为元． (1)小明家一年用水立方米，这一年应缴纳水费 元； (2)小亮家—年缴纳水费元，则小亮家这一年用水多少立方米？ (3)小红家去年和今年共用水立方米，共缴纳水费元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小红家今年和去年各用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)小亮家这一年用水立方米 (3)小红家去年和今年用水分别为立方米、立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用的水费电费问题． （1）根据题意列式计算即可求解； （2）先求得小亮家这一年的用水阶梯，再列式计算即可求解； （3）设小红家去年用水立方米，则今年用水立方米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得元 故答案为：； （2）解：设小明家共用水立方米， 因为， 所以． 则， 解得． 答：小亮家这一年用水立方米； （3）解：设小红家去年用水立方米，则今年用水立方米． 当，则时， ， 解得（舍去）； 当，则时， ， 解得，． 答：小红家去年和今年用水分别为立方米、立方米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$