第13章 统计（压轴专练）（五大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）

第13章 统计（压轴专练）（五大题型） 题型1：估计总体的数字特征 1．互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为 . 2．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为 . 3．设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是 ． 4．已知样本数据，，，，，的平均数为16，方差为9，则另一组数据，，，，，，12的方差为（    ）． A． B． C． D．7 5．下列结论中正确的是（    ） A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数 B．一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变 C．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60 D．数据的方差为，则数据的方差为 6．已知一组数据，，，的平均值为，，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大4，则这组数据的个数 ． 题型2：实际问题中估计总体的数字特征 7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，方差为1.6 C．中位数为3，众数为2 D．平均数为3，中位数为2 8．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 9．为了提高学生锻炼身体的积极性，某班以组为单位组织学生进行了花样跳绳比赛，每组6人，现抽取了两组数据，其中甲组数据的平均数为8，方差为4，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是（    ） A．若乙组数据的平均数为8，则新的一组数据的平均数一定为8 B．若乙组数据的方差为4，则新的一组数据的方差一定为4 C．若乙组数据的平均数为8，方差为4，则新的一组数据的方差一定为4 D．若乙组数据的平均数为4，方差为8，则新的一组数据的方差一定为10 10．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于人数的统计特征数中，以下结论中能判定该公司没有发生群体性发热的个数为 ． ①中位数为3，众数为2；    ②均值小于1，中位数为1； ③均值为3，众数为4；    ④均值为2，标准差为． 11．针对某市A，B两个小区进行居民每月用电量调查，拟采用分层随机抽样的方法，抽取A小区1号楼12户每月用电量数据，其平均数和方差分别为198.5和10.22；2号楼15户每月用电量数据，其平均数和方差分别为210.0和20.22；3号楼13户每月用电量数据，其平均数和方差分别为168.0和28.56.抽取B小区1号楼10户每月用电量数据，其平均数和方差分别为170.6和27.15；2号楼20户每月用电量数据，其平均数和方差分别为200.2和14.55；3号楼20户每月用电量数据，其平均数和方差分别为180.5和19.56，可以推测A，B两个小区每月用电量更稳定的是 小区． 12．厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为 ． 13．湖北省中药材研发中心整合省农业科技创新中心、省创新联盟相关资源和力量，为全省中药材产业链延链、补链、强链提供科技支撑，某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x（单位：g与药物功效y（单位：药物单位）之间满足，检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量x的平均值为5g，标准差为g，则估计这批中医药的药物功效y的平均值为 药物单位． 14．某单位举办演讲比赛，最终来自四个部门共12人进入决赛，把四个部门进入决赛的人数作为样本数据.已知样本方差为2.5，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 . 题型3：统计与函数、不等式、集合等结合 15．已知a，b，c是正整数，且，，，当a，b，c方差最小时，写出满足条件的一组a，b，c的值 ． 16．设是正整数，且，当数据的方差最小时，的值为 ． 17．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2，设第列的所有数的和为为中的最小值，则的最大值为 . 18．设一组样本的统计数据为：，，…，，其中，，，…，.已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，.则下列命题①.设，则，，…，的平均数为②.设，则，，…，的方差为③.当时，函数有最小值④.正确的是 . 19．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ． 题型4：统计解答题 20．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“”模式．“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表： 等级 A B C D E 人数比例 赋分区间 将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续分布，其频率分布直方图如下：    (1)求实数a的值； (2)根据频率分布直方图，估计原始成绩分数的分位数X（不取整）； (3)用估计的结果近似代替原始分区间，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间，并按照等级分赋分规则，把（2）中估计的原始分X转化为对应的等级分； 21．《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）： (1)从质量指标值在的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率. (2)经估计知这组样本的平均数为，方差为.检验标准中，，，其中表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？ 22．某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图． 序号 分组（岁） 本组中“低碳族”人数 “低碳族”人数在本组所占的比例 1 [25, 30) 120 0.6 2 [30, 35) 195 p 3 [35, 40) 100 0.5 4 [40, 45) a 0.4 5 [45, 50) 30 0.3 6 [55, 60) 15 0.3 （一）人数统计表               （二）各年龄段人数频率分布直方图 (1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值； (2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率． 23．机器模型预测常常用于只有正确与错误两种结果的问题.表1为根据模型预测结果与真实情况的差距的情形表格，定义真正例率，假正例率.概率阈值为自行设定的用于判别正(反)例的值，若分类器(分类模型)对该样例的预测正例概率大于等于设定的概率阈值，则记分类器预测为正例，反之预测为反例. 总例 预测结果 正例 反例 真实 情况 正例 真正例 假反例 反例 假正例 真反例 表1分类结果样例划分 利用这些指标绘制出的ROC曲线可衡量模型的评价效果：将各样例的预测正例概率与从大到小排序并依次作为概率阈值，分别计算相应概率阈值下的与.以为横坐标，为纵坐标，得到标记点.依次连接各标记点得到的折线就是ROC曲线.图1为甲分类器对于8个样例的ROC曲线，表2为甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据. 样例数据 甲分 类器 乙分 类器 样例 标号 样例 属性 预测正 例概率 预测正 例概率 1 正例 0.23 0.34 2 正例 0.58 0.53 3 反例 0.15 0.13 4 反例 0.62 0.39 5 正例 0.47 0.87 6 反例 0.47 0.53 7 反例 0.33 0.11 8 正例 0.77 0.63 表2甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据    (1)当概率阈值为0.47时，求甲分类器的ROC曲线中的对应点； (2)在图2中绘制乙分类器对应的ROC曲线(无需说明绘图过程)，并直接写出甲，乙两分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积； (3)按照上述思路，比较甲，乙两分类器的预测效果，并直接写出理想分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积为1的充要条件. 题型5：新定义题 24．将2024表示成7个正整数之和，得到方程①，称七元有序数组为方程①的解，对于上述的七元有序数组，当时，若），则称是密集的一组解． (1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数? 若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 25．给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求满足的的个数； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由． （注：实数满足：，当且仅当时取“”号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 统计（压轴专练）（五大题型） 题型1：估计总体的数字特征 1．互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为 . 【答案】2 【分析】根据中位数、极差的概念求出这四个正整数，再由百分位数的定义求解. 【解析】这组数据的极差，中位数为， 据题意得， 即， 又它们的和为12，所以，解得，. 因为a1，a2，a3为正整数且互不相等， 所以. 因为， 所以这4个数据的第40百分位数为. 故答案为：2 2．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为 . 【答案】11 【分析】样本数据的平均数结合方差公式可得，于是，结合平均数的性质分析可得答案． 【解析】根据题意，设样本数据、、、、的平均数为， 其方差 ， 又， 则有，解得， 则样本数据、、、、的平均数为； 故答案为：11． 3．设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出． 【解析】数据，，，的平均数为，方差为， 所以，，即， 则， 因为，所以， 因函数在上单调递减， 故当时，的最大值是． 故答案为：． 4．已知样本数据，，，，，的平均数为16，方差为9，则另一组数据，，，，，，12的方差为（    ）． A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】由均值、方差性质求数据，，，，，的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差. 【解析】设数据，，，，，的平均数为，方差为， 由，，得，， 则，，，，，，12的平均数为， 方差为 ． 故选：C 5．下列结论中正确的是（    ） A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数 B．一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变 C．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60 D．数据的方差为，则数据的方差为 【答案】C 【分析】根据平均数、中位数、方差的计算公式和性质逐项分析即可. 【解析】对于A，直方图大体如下图：    由于是“右拖”，最高峰偏左，则中位数靠近高峰处，平均数则靠近中点处，所以平均数大于中位数，故A选线错误； 对于B，设这组数据为，则平均数为，方差为， 则减后，平均数为，方差为， 所以是平均数改变，方差不变，故B选项错误； 对于C，由题意，可知平均数为，所以总和，故C选项正确； 对于D，设数据的平均数为，则有，方差为， 设数据的平均数为，则，方差为，故D选项错误. 故选：C. 6．已知一组数据，，，的平均值为，，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大4，则这组数据的个数 ． 【答案】9 【分析】因删除一个数平均值没有改变，所以删除的数为均值5，根据方差公式可以求. 【解析】由题意删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5， 由题意，得， 删除一个数后的方差为： 得，即， 故答案为：9 题型2：实际问题中估计总体的数字特征 7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，方差为1.6 C．中位数为3，众数为2 D．平均数为3，中位数为2 【答案】A 【分析】A选项，有平均数与方差间关系，可判断选项正误；BCD选项，通过举反例可判断选项正误. 【解析】A选项，若5次结果中有6，因平均数为2， 则方差，因， 则当平均数为2，方差为2.4时一定不会出现点数6，故A正确； B选项，取5个点数为3,3,3,5,6，则此时满足中位数为3，平均数为4， 则方差，故B错误； C选项，取5个点数为2,2,3,5,6，满足中位数为3，众数为2，故C错误； D选项，取5个点数为1,1,2,5,6，满足中位数为2，平均数为3，故D错误. 故选：A 8．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均数与方差的定义判断． 【解析】因为，因此平均数不变，即， 设其他48个数据依次为， 因此， ， ，∴， 故选：D． 9．为了提高学生锻炼身体的积极性，某班以组为单位组织学生进行了花样跳绳比赛，每组6人，现抽取了两组数据，其中甲组数据的平均数为8，方差为4，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是（    ） A．若乙组数据的平均数为8，则新的一组数据的平均数一定为8 B．若乙组数据的方差为4，则新的一组数据的方差一定为4 C．若乙组数据的平均数为8，方差为4，则新的一组数据的方差一定为4 D．若乙组数据的平均数为4，方差为8，则新的一组数据的方差一定为10 【答案】B 【分析】根据分层样本的平均数公式和方差公式分别计算两组数据的总体的平均数或方差即可判断. 【解析】设甲组数据的平均数为，方差为， 乙组数据的平均数为，方差为， 混合后的新数据的平均数为，方差为，则， 对于，新的一组数据平均数，故A正确； 对于，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式， 可知无法确定新的一组数据方差，故B错误； 对于C，因为乙组数据的平均数为8，方差为4，即， 所以，所以，故C正确； 对于D，因为乙组数据的平均数为4，方差为8，即， 所以， 所以10，故D正确. 故选：B. 10．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于人数的统计特征数中，以下结论中能判定该公司没有发生群体性发热的个数为 ． ①中位数为3，众数为2；    ②均值小于1，中位数为1； ③均值为3，众数为4；    ④均值为2，标准差为． 【答案】2 【分析】对于①，③，可以通过举反例进行判断；对于②，④，可以假设，即该公司发生了群体性发热，再由所给均值、中位数、标准差得出矛盾，即可判断. 【解析】将连续7天体温高于人数由小到大依次记为、、、、、、， 对于①，反例：设连续7天体温高于人数为2、2、2、3、3、4、6， 满足中位数为3，众数为2，与题意矛盾，故①不合乎要求； 对于②，假设，即该公司发生了群体性发热，因中位数为1， 则，平均数为，矛盾， 故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，故②合乎要求； 对于③，反例：设连续7天体温高于人数为0、1、2、4、4、4、6， 满足众数为4，均值为3，与题意矛盾，故③不合乎要求； 对于④，假设，即该公司发生群体性发热， 若均值为2，则方差为， 即，与④矛盾，故假设不成立， 即该公司没有发生群体性发热，故④合乎要求. 故答案为：2. 11．针对某市A，B两个小区进行居民每月用电量调查，拟采用分层随机抽样的方法，抽取A小区1号楼12户每月用电量数据，其平均数和方差分别为198.5和10.22；2号楼15户每月用电量数据，其平均数和方差分别为210.0和20.22；3号楼13户每月用电量数据，其平均数和方差分别为168.0和28.56.抽取B小区1号楼10户每月用电量数据，其平均数和方差分别为170.6和27.15；2号楼20户每月用电量数据，其平均数和方差分别为200.2和14.55；3号楼20户每月用电量数据，其平均数和方差分别为180.5和19.56，可以推测A，B两个小区每月用电量更稳定的是 小区． 【答案】 【分析】分别代入分层抽样的平均数和方差公式，再比较后，即判断. 【解析】设A小区全部居民每月用电量平均数和方差分别为和，B小区全部居民每月用电量平均数和方差分别为和，用样本估计总体，则估计， 所以, , 因为，所以推测B小区每月用电量更稳定． 故答案为：. 12．厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为 ． 【答案】160 【分析】假设在样本中，学生、教师的人数分别为，利用平均数公式可得出，利用方差公式结合已知条件可得出，令得，由结合已知条件可求得的取值范围，从而可得答案. 【解析】假设在样本中，学生、教师的人数分别为， 记样本中所有学生的评分为，所有教师的评分为， 由得， 所以 ， 所以，即， 令，则，， 即，解得或， 因为且，得，所以. 所以总样本中学生样本的个数至少为160. 故答案为：160. 13．湖北省中药材研发中心整合省农业科技创新中心、省创新联盟相关资源和力量，为全省中药材产业链延链、补链、强链提供科技支撑，某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x（单位：g与药物功效y（单位：药物单位）之间满足，检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量x的平均值为5g，标准差为g，则估计这批中医药的药物功效y的平均值为 药物单位． 【答案】 【分析】设6个样本中药物成分甲的含量分别为.由成分甲的含量x的平均值为5g，标准差为g，可得，又由此可得，后可得答案. 【解析】设6个样本中药物成分甲的含量分别为， 因为成分甲的含量的平均值为5g，所以， 标准差为g，所以，可得 又由，所以， 所以这批中医药的药物功效的平均值为 故答案为：. 14．某单位举办演讲比赛，最终来自四个部门共12人进入决赛，把四个部门进入决赛的人数作为样本数据.已知样本方差为2.5，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 . 【答案】5 【分析】设样本数据为，由样本方差列出等式，根据数据特征分类讨论满足条件的解. 【解析】设样本数据为， ，且. 样本平均数为3，样本方差为， 则，所以，解得. 当时，，因为样本数据互不相同，所以不存在使得等式成立. 当时，，存在，使得等式成立. 当时，因为样本数据互不相同，所以不存在使得等式成立. 所以样本数据中的最大值为5. 故答案为：5. 题型3：统计与函数、不等式、集合等结合 15．已知a，b，c是正整数，且，，，当a，b，c方差最小时，写出满足条件的一组a，b，c的值 ． 【答案】或（其中一组即可） 【分析】根据方差定义计算方差，再由方差最小，确定后转化为关于的二次函数，利用二次函数求最小值即可得解. 【解析】设， 则 ， 要使方差最小，三个数据应尽量靠近，故，， 则， 关于的二次函数的对称轴为，又且为正整数， 所以当或时，方差最小，最小值为. 故满足条件的为或. 故答案为：或（其中一组即可） 16．设是正整数，且，当数据的方差最小时，的值为 ． 【答案】253或254 【分析】设，根据数据的方差为可化简为，推出要取到最小值，需最小且最小值为11，即可结合二次函数性质确定此时的值，求得答案. 【解析】设，则数据的方差为 ， 显然且， 故要取到最小值，需最小，最小值为， 设，则， 则， 当或时，取到最小值， 即或时，取到最小值， 故当数据的方差最小时，即或， 的值为253或254， 故答案为：253或254 17．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2，设第列的所有数的和为为中的最小值，则的最大值为 . 【答案】10 【分析】依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论，确定的最大值. 【解析】依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论， （1）若5个1分布在同一列，则； （2）若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3， 故，故； （3）若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3， 故，故； （4）若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，； 另一方面，如下表的例子说明可以取到10. 1 1 1 4 5 1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 2 4 5 3 3 3 4 5 故答案为：10 18．设一组样本的统计数据为：，，…，，其中，，，…，.已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，.则下列命题①.设，则，，…，的平均数为②.设，则，，…，的方差为③.当时，函数有最小值④.正确的是 . 【答案】①③ 【分析】 由样本的数字特征逐项判断即可. 【解析】因为，，…，.已知该样本的统计数据的平均数为，方差为， 所以，，…，的平均数为，故①正确； ，，…，的方差为，故②错误； ， 又，故， 故， 故当时，函数有最小值.故③正确； 由上可知：， 故.故④错误. 故答案为：①③ 19．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】就是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为；若不为整数，则5个数分别为，就的范围分类计算后可得m的所有可能值组成的集合. 【解析】不妨设，因为不在这组数据，故为正整数， 若为正整数，故，其中为正整数， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当时，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 若为不是整数，故，其中为正奇数， 设，其中为正整数， 则，且，故， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 综上，符合条件的为，， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与不等式有关的整数解问题，可先根据区间中含有的整数的个数初步确定参数的范围，再逐个讨论后舍去矛盾的情况即可. 题型4：统计解答题 20．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“”模式．“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表： 等级 A B C D E 人数比例 赋分区间 将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续分布，其频率分布直方图如下：    (1)求实数a的值； (2)根据频率分布直方图，估计原始成绩分数的分位数X（不取整）； (3)用估计的结果近似代替原始分区间，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间，并按照等级分赋分规则，把（2）中估计的原始分X转化为对应的等级分； 【答案】(1) (2) (3)89分 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求解； （2）利用百分位数的概念求解； （3）利用频率分布直方图求出此次考试化学成绩A等级的原始分区间，再利用给定转换公式求出等级分作答. 【解析】（1）由，可得. （2）原始分成绩位于区间的占比为， 位于区间的占比为， 则原始成绩分数的90%分位数X在区间， 由，解得. （3）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为， 估计等级A的原始分区间的最低分为， 所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为， 由，解得， 则该学生的等级分为89分. 21．《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）： (1)从质量指标值在的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率. (2)经估计知这组样本的平均数为，方差为.检验标准中，，，其中表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？ 【答案】(1)； (2)详见解析； 【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可； （2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论. 【解析】（1）由题意可知， 所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：; （2）因为，知 则 该抽样数据落在内的频率约为， 又 该抽样数据落在内的频率约为， 所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功． 22．某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图． 序号 分组（岁） 本组中“低碳族”人数 “低碳族”人数在本组所占的比例 1 [25, 30) 120 0.6 2 [30, 35) 195 p 3 [35, 40) 100 0.5 4 [40, 45) a 0.4 5 [45, 50) 30 0.3 6 [55, 60) 15 0.3 （一）人数统计表               （二）各年龄段人数频率分布直方图 (1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值； (2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率． 【答案】(1)频率分布直方图见解析；，，； (2) 【分析】（1）先根据频率分布直方图中所有小长方形面积和为1得第二组的频率，除以组距得高，再补全直方图，根据频率等于频数除以总数求得、、 （2）先根据分层抽样确定两区间抽取人数，利用列举法确定总的基本事件数，以及岁中被抽取的人恰好又分在同一组的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【解析】（1）结合频率分布直方图可知，第二组的频率为， 所以第二组高为．故补全频率分布直方图如下： 结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为，频率为，所以； 因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以； 因为第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以． （2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为， 所以采用分层抽样法抽取6人，则在岁中抽取4人，在岁中抽取2人． 设年龄在中被抽取的4个人分别为：； 年龄在岁中被抽取的2个人分别为：； 则总的基本事件有：,,,,,……，共20个； 记“岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件C，而事件C包含的基本事件有8个； 所以. 【点睛】频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比. 23．机器模型预测常常用于只有正确与错误两种结果的问题.表1为根据模型预测结果与真实情况的差距的情形表格，定义真正例率，假正例率.概率阈值为自行设定的用于判别正(反)例的值，若分类器(分类模型)对该样例的预测正例概率大于等于设定的概率阈值，则记分类器预测为正例，反之预测为反例. 总例 预测结果 正例 反例 真实 情况 正例 真正例 假反例 反例 假正例 真反例 表1分类结果样例划分 利用这些指标绘制出的ROC曲线可衡量模型的评价效果：将各样例的预测正例概率与从大到小排序并依次作为概率阈值，分别计算相应概率阈值下的与.以为横坐标，为纵坐标，得到标记点.依次连接各标记点得到的折线就是ROC曲线.图1为甲分类器对于8个样例的ROC曲线，表2为甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据. 样例数据 甲分 类器 乙分 类器 样例 标号 样例 属性 预测正 例概率 预测正 例概率 1 正例 0.23 0.34 2 正例 0.58 0.53 3 反例 0.15 0.13 4 反例 0.62 0.39 5 正例 0.47 0.87 6 反例 0.47 0.53 7 反例 0.33 0.11 8 正例 0.77 0.63 表2甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据    (1)当概率阈值为0.47时，求甲分类器的ROC曲线中的对应点； (2)在图2中绘制乙分类器对应的ROC曲线(无需说明绘图过程)，并直接写出甲，乙两分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积； (3)按照上述思路，比较甲，乙两分类器的预测效果，并直接写出理想分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积为1的充要条件. 【答案】(1) (2)答案见解析，， (3)乙分类器的预测效果更好，答案见解析 【分析】（1）由已知数据得真正例、假反例、假正例、真反例的个数，再由已知公式计算可得； （2）由已知数据分别计算概率阈值为时的真正例、假反例、假正例、真反例个数，并求出相应值，描点作图；再根据已知甲曲线与乙曲线分别求出所围面积即可； （3）先比较面积大小分析预测结果；再根据面积为，转化为标记点横坐标为或纵坐标为即或可得充要条件. 【解析】（1）概率阈值为0.47时， 真正例为，假反例为，假正例为，真反例为， 则. 所以横坐标，纵坐标， 故当概率阈值为0.47时，求甲分类器的ROC曲线中的对应点对应点为. （2）乙分类器对应的ROC曲线如下图所示.    由已知题意可得，甲、乙分类器的ROC曲线都经过， 作如下图所示的辅助线，每个小直角三角形的面积都等于， 大直角三角形的面积都等于，故所求面积为. 所以，甲分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积为.    作如下图所示的辅助线，同理可得所求面积为.    所以，乙分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积为. （3）乙分类器的预测效果更好. 由（2）分析可知， 乙分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积较甲的大些， 故可认为乙分类器的预测效果更好. 充要条件：所有真实属性为正例的样例的预测正例概率的最小值大于所有真实属性为反例的样例的预测正例概率的最大值. 题型5：新定义题 24．将2024表示成7个正整数之和，得到方程①，称七元有序数组为方程①的解，对于上述的七元有序数组，当时，若），则称是密集的一组解． (1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数? 若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3)存在，最小值为 【分析】（1）若等于同一常数，则构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到，推出矛盾即可得解； （2）依题意时，即当时，，则，，即可求出中有个，个，从而得解； （3）由方差公式得到（为方差），从而得到当方差取最小值时取最小值，从而推出是密集，即可求出的最小值. 【解析】（1）若等于同一常数， 根据等差数列的定义可得构成等差数列， 所以， 解得，与矛盾， 所以不存在一组解， 使得等于同一常数； （2）因为平均数， 依题意时，即当时，， 所以，， 设有个，则有个， 由，解得， 所以中有个，个， 所以方程①的解共有组； （3）因为平均数， 又方差，即， 所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值， 又当时，， 即，方程无正整数解，故舍去； 当时，即是密集时，取得最小值， 且. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用. 25．给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求满足的的个数； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由． （注：实数满足：，当且仅当时取“”号） 【答案】(1)0，2，4 (2)12 (3)不可能，理由见详解 【分析】（1）利用列举法求的所有可能性结果，结合的定义运算求解； （2）分析可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解； （3）由题意可得：，，结合绝对值不等式的运算求解. 【解析】（1）若时，则，且， 可得， 所以的所有可能取值为0，2，4. （2）若对调两个位置的序号之差大于2，则， 可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有，共有3种可能； 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组， 由（1）可知：每组均有3种可能满足，可得共有种可能； 所以的个数为. （3）不可能，理由如下： 设专家甲的排序为，记； 专家乙的排序为，记； 由题意可得：，， 因为， 结合的任意性可得， 所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为. 【点睛】方法点睛：1，对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论； 2，对于（3）：结合绝对值不等式分析证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$