2024-2025学年苏科版数学八年级上册10月考复习专题1（一线三等角模型）

2024-2025学年苏科版数学八年级上册 10月考复习专题1 （一线三等角模型） （题型巩固练习） 【知识梳理】 题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90° 图1 图2 图3 解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS或ASA） 延申模型： 图4 图5 【典型例题】 【例1】已知：如图，，，，则不正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2 ． （1）求证：≌； （2）若CD＝10，求的面积． 【例4】如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为． （1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______； （2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积． 【举一反三】 【变式1】如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 【变式2】如图，，，于点，于点，，，则的长是（    ）    A．5 B．3 C．7 D．2 【变式3】如图，，于点A，D是线段AB上的点，，． （1）判断与的数量关系为 　 ，位置关系为 　 ． （2）如图2，若点D在线段的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 【变式4】如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF． （1） 若∠AED＝30°，则∠ADB＝　°． （2）求证：△BED≌△CDF． （3）点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为　　． A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【巩固练习】 1.已知：如图，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C． D． 2.如图，已知，，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3.如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（    ） A．50 B．62 C．65 D．68 4.如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为　　． 5.如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是____ cm． 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ACF与△BDE的面积之和为　　． 7.已知，如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC． （1）求证:△ABP≌△PDC （2）若AB=3，CD=4，连接AC，求AC的长． 8.已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE． （1）如图①，若，，，求证； （2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 9.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1　 　S2（填“＞、＝、＜”） 10.模型的发现： 如图 （1）如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂直分别为点，请直接写出和的数量关系； （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$