第五章 二元一次方程组（压轴专练）（六大题型）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第五章 二元一次方程组（压轴专练）（六大题型） 题型1：含参数的二元一次方程组 1．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可． 【解析】解：将变形为, 设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：， 因为方程组的解是， 所以，解得：， 所以方程组的解是， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键． 2．已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（    ）． A．不论k取什么实数，的值始终不变 B．存在实数k，使得 C．当时， D．当，方程组的解也是方程的解 【答案】D 【分析】把k看成常数，解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可． 【解析】解：，解得：，然后根据选项分析： A选项，不论k取何值，，值始终不变，成立； B选项，，解得，存在这样的实数k，成立； C选项，，解得，成立； D选项，当时，，则，不成立； 故选D． 【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组（解中含有参数）是解决本题的关键． 3．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确． 【解析】解：将代入原方程组得， 解得， 将代入方程左右两边， 左边，右边， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； 方程组得， 若，则，解得，故②正确； ∵，， ∴两方程相加得， ∴， ∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确； ∵， ∴x，y都为自然数的解有共5对， 故④正确． 故选：D 【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键． 4．阅读以下内容： 已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值； 丙同学：先解方程组，再求k的值． （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题； （2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值． 【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5． 【分析】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可； （2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可． 【解析】解：（1）选择甲，， ①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8， 解得：m＝， ②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k， 解得：n＝， 代入m+n＝3得：＝3， 去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15， 移项合并得：7k＝21， 解得：k＝3； 选择乙， ， ①+②得：5m+5n＝7k﹣6， 解得：m+n＝， 代入m+n＝3得：＝3， 去分母得：7k﹣6＝15， 解得：k＝3； 选择丙， 联立得：， ①×3﹣②得：m＝11， 把m＝11代入①得：n＝﹣8， 代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4， 解得：k＝3； （2）根据题意得：， 解得：， 检验符合题意， 则a和b的值分别为2，5． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 题型2：新定义题 5．对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对． (1)若，则 ， ；（用含m的式子表示） (2)已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，； (2)时，存在正格数对，满足条件． 【分析】（1）直接根据新定义进行求解即可得到答案； （2）先根据定义求出c的值，然后根据广芙蓉正格数对的定义进行求解即可． 【解析】（1）解：根据题中的新定义得： ； ， 故答案为：3；； （2）解：存在，，理由如下： 根据题中的新定义化简，得：， 解得：， ∴， 化简，得：， ∴， 依题意，x，y都为正整数，k是整数， 是奇数， ，3，9， 解得：，0，3， 当时，，，舍去； 当时，，，舍去； 当时，，， 综上，时，存在正格数对，满足条件． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，解题的关键在于能够准确地读懂题意． 6．定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点． (1)在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号） (2)已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积． (3)若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)①③； (2)； (3)． 【分析】（1）将①；②；③三点，分别代入方程，利用图象的关联点定义即可解决问题； （2）根据图象的关联点定义，解方程组求出点，，三点坐标，进而可以利用割补法求四边形的面积； （3）将，，三点分别代入二元一次方程即可求得与的大小关系． 【解析】（1）解：将①；②；③三点，分别代入方程， ①， ②， ③， 在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有①③， 故答案为：①③； （2）∵，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点， ， 解得， ， 点在轴上， 当时，， ， ， 点在轴上， 当时，， ， ，， 四边形的面积； （3），，三点是二元一次方程图象的关联点， 将，代入 得 整理，得①， 将代入 得②， ①②得， 解得 将代入 得 即 解得， 将代入 得 即 解得， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题． 7．在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于，的方程称为点的“照耀方程”．若是方程的解，则称点“照耀”了点 例如，点的“照耀方程”是，且是该方程的解，则点“照耀”了点． (1)下列点中被点“照耀”的点为____________． ，， (2)若点同时被点和点“照耀”，请求出， (3)若个不同的点，，…，，每个点都“照耀”了其后所有的点， 如“照耀”了，，…，， “照耀”了，，…，，…… “照耀”了， 请写出的最大值，并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)的最大值为3；理由见解析 【分析】（1）根据题目中给出的定义进行解答即可； （2）根据题意列出方程组，求解即可； （3）根据二元一次方程组只有一个解解答即可． 【解析】（1）解：点的照耀方程为：， 把点代入得：， ∴点不是被点“照耀”的点； 把点代入得：， ∴点不是被点“照耀”的点； 把点代入得：， ∴点是被点“照耀”的点； 故答案为：． （2）解：点的照耀方程为：，点的照耀方程为：， 解方程组得：， ∴点C为， 即，． （3）解：的最大值为3；理由如下： 设点，则关于点的照耀方程为， 设点，则关于点的照耀方程为， 设点是被和的“照耀”的点， ∴是方程组， ∵方程组为关于x、y的二元一次方程组， 又∵二元一次方程组只有一个解， ∴被和“照耀”的点只有一个， ∴不可能再写出第4个点， ∴的最大值为3． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握解二元一次方程组的方法，及二元一次方程组解的定义． 8．当都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． （1）判断点、哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点、是“爱心点”，请判断、两点的中点在第几象限？并说明理由； （3）已知、为有理数，且关于、的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求、的值． 【答案】（1）为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3），= 【分析】（1）分别把A、B点坐标，代入（m﹣1，）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可； （2）把点A（a，﹣4）、B（4，b）各自代入（m﹣1，）中，分别用a、b表示出m、n，再代入2m＝8+n中可求出a、b的值，则可得A和B点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C点坐标，然后即可判断点C所在象限； （3）解方程组，用q和p表示x和y，然后代入2m＝8+n可得关于p和q的等式，再根据p，q为有理数，即可求出p、q的值． 【解析】解：（1）A点为“爱心点”，理由如下： 当A（5，3）时，m﹣1＝5，＝3， 解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12， 所以2m＝8+n， 所以A（5，3）是“爱心点”； 当B（4，8）时，m﹣1＝4，＝8， 解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n， 所以B点不是“爱心点”； （2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下： ∵点A（a，﹣4）是“爱心点”， ∴m﹣1＝a，＝﹣4， 解得：m＝a+1，n＝﹣10． 代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2， 所以A点坐标为（﹣2，﹣4）； ∵点B（4，b）是“爱心点”， 同理可得m＝5，n＝2b﹣2， 代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2． 所以点B坐标为（4，2）． ∴A、B两点的中点C坐标为（），即（1，﹣1），在第四象限． （3）解关于x，y的方程组，得：． ∵点B（x，y）是“爱心点”， ∴m﹣1＝p﹣q，＝2q， 解得：m＝p﹣q+1，n＝4q﹣2． 代入2m＝8+n，得：2p﹣2q+2＝8+4q﹣2， 整理得2p﹣6q＝4． ∵p，q为有理数，若使2p﹣6q结果为有理数4， 则p＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣． 所以p＝0，q＝﹣． 【点睛】本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 9．规定：对于平面直角坐标系中任意一点，若，即此点的纵坐标是横坐标的两倍，此时我们称点为“雅赞点”．例如：对于点，它的纵坐标2是横坐标1的2倍，所以点是“雅赞点”． (1)以下各点：①②③中“雅赞点”是________（填序号即可）； (2)若点是“雅赞点”，且A点向右平移3个单位后得到B点，B点到坐标轴的距离相等，求此时“雅赞点”A点的坐标； (3)已知“雅赞点”，，关于x，y的方程组与有相同的解． ①用含的式子表示和； ②若对于任意k，等式恒成立，求此时的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)①；② 【分析】（1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据题意得出，平移后的坐标为，根据B点到坐标轴的距离相等，列出方程，解方程即可求解； （3）①根据同解方程组得出，根据新定义得出，代入方程组，解方程组即可求解； ②根据等式恒成立，得出，得出，与代入代数式，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴①②③中“雅赞点”是①③， 故答案为：①③． （2）点是“雅赞点” 向右平移个单位后得到 ； （3）①由题意得与有相同的解 ； “雅赞点” ， ， ，           ②， ， ， 对于任意恒成立， ， ， 又， ， 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解二元一次方程组，代数式求值，整式加减中无关类型，理解新定义熟练掌握是解题的关键． 10．定义：对任意一个三位数，如果满足百位数字与十位数字相同，个位数字与十位数字不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“追全数”．将一个“追全数”的各个数位上的数字交换后得到新的三位数，把所有的新三位数的和与111的商记为．例如：，为“追全数”，将各个数位上的数字交换后得到新的三位数有121、211、112，所有新三位数的和为，和与111的商为，所以．根据以上定义，数是两个三位数，它们都是“追全数”，的个位数是1，的个位数字是3，．规定，当的和是13的倍数时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设p百位数字为x，q百位数字为y，分别计算出，，根据的和是13的倍数，结合题中限制条件，，，确定x、y的值，进而求得p、q、k，比较大小可求解． 【解析】解：设p百位数字为x，q百位数字为y， 则，， 将p各个数位上的数字交换后得到新的三位数为，，， ∴， 将q各个数位上的数字交换后得到新的三位数为，，， ∴， ∴， ∵的和是13的倍数时，， ∴当时，，与x、y为整数矛盾，舍去； 当时，， 根据题意，，，， ∴当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则， 当时，与x、y为整数矛盾，舍去， 综上，k的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查数与式新定义问题，理解题中定义及运算法则，借助二元一次方程求解第（2）问是解答的关键． 题型3：二元一次方程组的实际应用 11．为了同学们的身体健康，学校初、高中部分别购买了A、B、C三种健身器材．已知初中部购买A、B、C的数量之比为，A、B、C的单价之比为；高中部购买A种器材比初中部购买A种器材多出的费用占高中部购买三种器材总费用的，高中部购买A种工具的单价比初中部少，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用与高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用之比为；高中部购买A种工具的费用与购买B种工具的费用之比为；那么初中部购买A种工具的数量与高中部购买的A种工具的数量之比为 ． 【答案】 【分析】设初中部购买A、B、C的数量分别为、、，A、B、C的单价分别为、y、y，则初中部购买A、B、C的费用分别为、、，设高中部购买三种工具的总费用为a元，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用与高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用分别为，，根据高中部购买A种工具的费用与购买B种工具的费用之比为列出方程，解方程得出，求出高中部购买的A种工具的数量为：，最后求出比值即可． 【解析】解：设初中部购买A、B、C的数量分别为、、，A、B、C的单价分别为、y、y，则初中部购买A、B、C的费用分别为、、，高中部购买三种工具的总费用为a元，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用，高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用分别为，，根据题意得： ， 解得：， 高中部购买的A种工具的数量为：， ∴初中部购买A种工具的数量与高中部购买的A种工具的数量之比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了方程组的应用，解题的关键是设出未知数，根据等量关系列出方程． 12．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种搭配方式装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中A、B、C三种水果成本之和，箱子成本忽略不计，甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg，甲种方式每箱的总成本是每千克A水果成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后打八折销售，获利为每千克A水果成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：1：6时，销售的总利润率为 ． 【答案】17.2% 【分析】分别设每千克A、B、C三种水果的成本为x、y、z，设丙每箱成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种方式的每箱成本和利润用x表示出来即可求解． 【解析】解：设每千克A、B、C三种水果的成本分别为为x、y、z，依题意得： 6x+3y+z＝12.5x， ∴3y+z＝6.5x， ∴每箱甲的销售利润＝12.5x•20%＝2.5x， 乙种方式每箱成本＝2x+6y+2z＝2x+13x＝15x， 乙种方式每箱售价＝12.5x•（1+20%）÷（1﹣25%）＝20x， ∴每箱乙的销售利润＝20x﹣15x＝5x， 设丙每箱成本为m，依题意得：m（1+40%）•0.8﹣m＝1.2x， 解得m＝10x． ∴当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：1：6时， 总成本为：12.5x•2+15x•1+10x•6＝100x， 总利润为：2.5x•2+5x+1.2x•6＝17.2x， 销售的总利润率为×100%=17.2%． 故答案为17.2%． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意设出未知数，列出方程，用含x的式子表示各量是解题关键，本题数量关系较为复杂，需要反复读题，理解题意． 13．某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 (1)直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为______万元．（用含的代数式表示） (2)当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ (3)小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案． 【答案】(1)； (2)甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只； (3)该同学共有2种购买方案，方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩；方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩． 【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可； （2）设该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩万只，乙种型号的防疫口罩万只，根据该公司三月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只且全部售出后获得的总利润为8.8万元，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【解析】（1）由题意可得：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为（万元）， 故答案为：； （2）设甲型号口罩生产x万只，乙型口罩生产了y万只， 由题意可得： ， 解得：， 答：甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只； （3）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 该同学共有2种购买方案， 方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩； 方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 14．杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元． ①求这两种大米各购进多少袋； ②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (2)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案．甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 【答案】(1)①A种大米30袋，B种大米40袋；②600元 (2)方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋；方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋 【分析】（1）①分别设A、B种大米为a袋、b袋，根据大米总袋数和金额列方程进行计算； ②列出方程后利用总货款数与总袋数呈倍数关系，将总袋数的代数式整体代入货款的方程中计算； （2）设购进A种大米袋，B种大米袋，可得购进C种大米为袋，根据金额列出方程，利用袋数为整数的条件求出x、y的值，再根据x、y的值算出各种大米数量． 【解析】（1）①设购进A种大米a袋，B种大米b袋，则题意列方程得 ， 解得 所以购进A种大米30袋，B种大米40袋； ②设售出A种大米m袋，B种大米n袋， 则， 化简得， 所以进货款（元） （2）设购进A种大米袋，购进B种大米袋，则购进C种大米为袋． 由题意得：． 解得， 为正整数， ∴或， 则有① ， ② ∴有两种购买方案： 方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋； 方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键． 15．五一期间，商场为吸引顾客，每半小时进行一次现金抽奖活动，顾客只需要花a元即可购买一张奖券，奖券面值有a元，b元，c元三种（且皆为整数）．甲、乙、丙三人从下午两点至下午六点，一共参加了轮活动，每轮每人只能购买一张，且每轮三人刚好获得a元，b元，c元奖券各一张．晚饭时，甲说：我今天赚了430元；乙说：我一次也没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的，只赚了120元；丙说：我三种都抽到了，一共有360元奖券，赚了220元！则甲抽到了 次c元奖券． 【答案】5 【分析】根据题意，求得每张奖券所赚钱数，设甲抽了次奖券，次奖券，列二元一次方程求解即可． 【解析】解：每半小时进行一次现金抽奖活动，从下午两点至下午六点，共进行了轮游戏， ∴， ∵乙抽到3次最小面值，且赚了钱， ∴， ∵丙一共有360元奖券，赚了220元，即成本为元， ∴是的倍数，即或， 当时，（元） ∵乙没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的， ∴乙抽到过3次奖券，次奖券， 则（元） ∵甲赚了430元，乙赚了120元，丙赚了220元，共赚了770元， ∴每轮赚了110元， ∴（元）， ∴每次抽到赚了元， 设甲抽了次奖券，次奖券，则，即 ∵为整数 ∴，，即甲抽到了次奖券； 当时，（元） ∵乙没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的， ∴乙抽到过3次奖券，次奖券， 则（元） ∵甲赚了430元，乙赚了120元，丙赚了220元，共赚了770元， ∴每轮赚了154元， ∴（元）， ∴每次抽到赚了元， 设甲抽了次奖券，次奖券，则， ∵为整数，∴无解，舍去； 综上，甲抽到了次奖券， 故答案为：5 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据量之间的关系正确求得每张奖券所赚钱数． 16．我市某包装生产企业承接了一批大型会议的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材，如图1所示，（单位：） （1）列出方程（组），求出图中与的值． （2）在试生产阶段，若将40张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生型板材________张，型板材________张； ②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖纸盒（个） 横式无盖纸盒（个） 型（张） 型（张） ________ ③若做成图2所示的竖式与横式两种无盖礼品盒将裁得的型板材恰好用完，求裁得的型板材最少剩几张？ 【答案】（1）a=60、b=40；（2）①84，48；②见解析；③2张 【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解． （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②同样由图示完成表格； ③根据A型板材恰好用完，得到4x+3y=84，求出整数解，再比较计算即可． 【解析】解：（1）由题意得： ， 解得：， 答：图甲中a与b的值分别为：60、40． （2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×40=80，裁法二产生A型板材为：1×4=4，所以两种裁法共产生A型板材为80+4=84（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：1×40=40，裁法二产生A型板材为，2×4=8，所以两种裁法共产生B型板材为40+8=48（张）， 故答案为：84，48． ②由已知和图示得：横式无盖礼品盒的y个，每个礼品盒用2张B型板材，所以用B型板材2y张． 礼品盒板材 竖式无盖纸盒（个） 横式无盖纸盒（个） 型（张） 型（张） 2y ③由上表可知横式无盖款式共5y个面，用A型3y张，则B型需要2y张． 则做两款盒子共需要A型（4x+3y）张，B型（x+2y）张． 要使A型板材恰好用完， 则4x+3y=84， ∴x=21-y， 当y=20时，x=6，则x+2y=46， 当y=24时，x=3，则x+2y=51＞48， 当y=16时，x=9，则x+2y=41， ∴48-46=2张， ∴B型板材最少剩2张． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程（组）的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，再根据图示解答． 题型4：二元一次方程组有关的图表素材题 17．根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 【答案】任务一：6；880；任务二：型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；任务三：使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用； 任务一：根据消费券规则求解； 任务一：根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解； 任务一：先分类讨论，列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解． 【解析】解：任务一：用型的消费券数量为：， 满减前至少消费（元）， 实际消费最少为（元）． 故答案为：6；880； 任务二：设型的消费券张，则型的消费券张，型的消费券张， 由题意可得， 解得． 型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张； 任务三：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，， ①、型：． ， ，都是正整数，，， 无解； ②、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； ③、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； 综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小 18．综合与实践 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 【答案】任务一：4，1；任务二：最多能制作成600把学生椅；任务三：需要购买该型号板材块，裁切方案为：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【分析】任务一：根据板材长为列式计算即可； 任务二：由板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅，可知方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套，此时共用11块板材，能制作成60把学生椅，然后可得答案； 任务三：先计算出还需要多少椅座和椅背，再计算一共需要的总长度，除以300即为需要该型号板材的数量， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数），由题意列出方程组，求解即可． 【解析】解：任务一：由题意得：（个），（个）， 故方法二：裁切椅背8个和椅座4个；方法三：裁切椅背1个和椅座8个； 故答案为：4，1； 任务二：因为方法二可以裁切出椅背8个和椅座4个，方法三可以裁切出椅背1个和椅座8个， 所以方法二和方法三各裁一块时，能得到椅背9个和椅座12个， 又因为当板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅， 所以方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套， 此时共用11块板材，裁出60个椅背和60个椅座，即能制作成60把学生椅， 所以若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成600把学生椅； 任务三：由题意得：需裁出个椅座，个椅背， ∵（块）， ∴恰好全部用完时，需要购买该型号板材块， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数）， 由题意得：， 整理可得：， 当时，则，， 答：需要购买该型号板材块，裁切方案可以是：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和三元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 题型5：整体思想与换元法 19．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【解析】（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 20．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为 ． (1)学以致用 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ___________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为则有，求解即可． 【解析】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． 题型6：二元一次方程组与一次函数 21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在x轴上，点C在第一象限，直线AC与y轴交于点D，且直线AC上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线BC上所有点的坐标都是二元一次方程的解． (1)求点C的坐标时，小聪是这样想的：先设点C的坐标为，因为点C在直线AC上，所以是方程的解；又因为点C在直线BC上，所以是方程的解，从而m，n满足据此可求出点C的坐标为______，再求出点A的坐标为______，点B的坐标为 ； (2)求四边形BODC的面积； (3)点是线段BC上一点，若点E的纵坐标，则点E的横坐标x的取值范围是 ； (4)在y轴上是否存在点P，使三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点，， (2) (3) (4)或 【分析】（1）解方程组可求出点坐标，解方程可求出和点坐标； （2）连接OC，计算出点D坐标，根据，即可计算出四边形BODC的面积； （3）因为点是线段BC上一点，把代入，根据和点坐标，确定点E的横坐标x的取值范围； （4）画图分析（小问4详解），设点，分两种情况：点P在直线AC上方时；点P在直线AC下方时，讨论计算得到相应点P的坐标． 【解析】（1），满足， ， 点， 点在轴上，又在直线上， 令，则， ， 同理，令，则， ， ； 故答案为：，，； （2）直线AC与y轴交于点D， 点， 连接OC， 即． （3）点是线段BC上一点， ， ， ， ， ， 点E是线段BC上一点且， ． 故答案为：； （4）存在 ， 设点，如下图， 点P在直线AC上方时，，则有， 解得； 点P在直线AC下方时，，则有， 解得； 符合条件的点P存在，其坐标为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了二元一次方程组的解法，坐标与图形，三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形是解题的关键． 22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，其中b、c是二元一次方程组的解．    (1)求点B、C的坐标； (2)如图，直线轴于点，点的坐标为，为线段的中点，直线交于x轴点A，动点P从点G出发以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动．设的面积为S，运动时间为t秒，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，动点Q同时从点A出发以每秒3个单位的速度沿线段匀速运动，分别过点O、B作直线的垂线，垂足分别为点E、点F，当时，求出t的值． 【答案】(1)， (2)； (3)或 【分析】（1）解方程组即可求解； （2）利用可得等式，求得，分①当在上、在上时，两种情况讨论，据此求解即可； （3）分①当在上时，②当在上时，两种情况讨论，据此求解即可． 【解析】（1）解：解方程组得，， ∴，； （2）解：由已知可得， ， ， ， 由可得等式， 解得， ∴，    ①当在上时，； ②当在上时，； （3）解：①当在上时，如图（1），连接，    ， ， ∴， 解得； ②当在上时，如图（2），连接，    ， ， ∴，解得； 综上值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，解方程组，坐标与图形式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 23．我们对平面直角坐标系中的三角形给出新的定义：三角形的“横长”和三角形的“纵长”. 我们假设点，是三角形边上的任意两点．如果的最大值为，那么三角形的“横长”；如果的最大值为，那么三角形的“纵长”．如右图，该三角形的“横长”；“纵长”． 当时，我们管这样的三角形叫做“方三角形”． （1）如图1所示，已知点，． ① 在点，，中，可以和点，点构成“方三角形”的点是 ； ②若点在函数上，且为“方三角形”，求点的坐标； （2）如图2所示，已知点，，点为平面直角坐标系中任意一点．若为“方三角形”，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）① C,E; ②; (2) ，，， .    【解析】（1）①，； ②据题意，当，时 ∵为“方三角形” ∴当时，点位于直线与直线上 当时，点位于直线与直线上 当时，点位于直线与直线上 又∵点在函数上 ∴当 ∴ ∴当 ∴ （2），，， 理由： 据题意，当，时 ∵为“方三角形” ∴当时，点位于直线与直线上 当时，点位于直线与直线上 以及端点为，的线段与端点为，的线段 又∵ ∴点位于直线与直线上 ∴当 ∴ ∴当 ∴ ∴当 ∴ ∴当 ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二元一次方程组（压轴专练）（六大题型） 题型1：含参数的二元一次方程组 1．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（    ）． A．不论k取什么实数，的值始终不变 B．存在实数k，使得 C．当时， D．当，方程组的解也是方程的解 3．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．阅读以下内容： 已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值； 丙同学：先解方程组，再求k的值． （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题； （2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值． 题型2：新定义题 5．对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对． (1)若，则 ， ；（用含m的式子表示） (2)已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由． 6．定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点． (1)在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号） (2)已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积． (3)若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论． 7．在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于，的方程称为点的“照耀方程”．若是方程的解，则称点“照耀”了点 例如，点的“照耀方程”是，且是该方程的解，则点“照耀”了点． (1)下列点中被点“照耀”的点为____________． ，， (2)若点同时被点和点“照耀”，请求出， (3)若个不同的点，，…，，每个点都“照耀”了其后所有的点， 如“照耀”了，，…，， “照耀”了，，…，，…… “照耀”了， 请写出的最大值，并说明理由． 8．当都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． （1）判断点、哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点、是“爱心点”，请判断、两点的中点在第几象限？并说明理由； （3）已知、为有理数，且关于、的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求、的值． 9．规定：对于平面直角坐标系中任意一点，若，即此点的纵坐标是横坐标的两倍，此时我们称点为“雅赞点”．例如：对于点，它的纵坐标2是横坐标1的2倍，所以点是“雅赞点”． (1)以下各点：①②③中“雅赞点”是________（填序号即可）； (2)若点是“雅赞点”，且A点向右平移3个单位后得到B点，B点到坐标轴的距离相等，求此时“雅赞点”A点的坐标； (3)已知“雅赞点”，，关于x，y的方程组与有相同的解． ①用含的式子表示和； ②若对于任意k，等式恒成立，求此时的值． 10．定义：对任意一个三位数，如果满足百位数字与十位数字相同，个位数字与十位数字不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“追全数”．将一个“追全数”的各个数位上的数字交换后得到新的三位数，把所有的新三位数的和与111的商记为．例如：，为“追全数”，将各个数位上的数字交换后得到新的三位数有121、211、112，所有新三位数的和为，和与111的商为，所以．根据以上定义，数是两个三位数，它们都是“追全数”，的个位数是1，的个位数字是3，．规定，当的和是13的倍数时，则的最小值为 ． 题型3：二元一次方程组的实际应用 11．为了同学们的身体健康，学校初、高中部分别购买了A、B、C三种健身器材．已知初中部购买A、B、C的数量之比为，A、B、C的单价之比为；高中部购买A种器材比初中部购买A种器材多出的费用占高中部购买三种器材总费用的，高中部购买A种工具的单价比初中部少，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用与高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用之比为；高中部购买A种工具的费用与购买B种工具的费用之比为；那么初中部购买A种工具的数量与高中部购买的A种工具的数量之比为 ． 12．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种搭配方式装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中A、B、C三种水果成本之和，箱子成本忽略不计，甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg，甲种方式每箱的总成本是每千克A水果成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后打八折销售，获利为每千克A水果成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：1：6时，销售的总利润率为 ． 13．某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 (1)直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为______万元．（用含的代数式表示） (2)当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ (3)小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案． 14．杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元． ①求这两种大米各购进多少袋； ②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (2)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案．甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 15．五一期间，商场为吸引顾客，每半小时进行一次现金抽奖活动，顾客只需要花a元即可购买一张奖券，奖券面值有a元，b元，c元三种（且皆为整数）．甲、乙、丙三人从下午两点至下午六点，一共参加了轮活动，每轮每人只能购买一张，且每轮三人刚好获得a元，b元，c元奖券各一张．晚饭时，甲说：我今天赚了430元；乙说：我一次也没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的，只赚了120元；丙说：我三种都抽到了，一共有360元奖券，赚了220元！则甲抽到了 次c元奖券． 16．我市某包装生产企业承接了一批大型会议的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材，如图1所示，（单位：） （1）列出方程（组），求出图中与的值． （2）在试生产阶段，若将40张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生型板材________张，型板材________张； ②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖纸盒（个） 横式无盖纸盒（个） 型（张） 型（张） ________ ③若做成图2所示的竖式与横式两种无盖礼品盒将裁得的型板材恰好用完，求裁得的型板材最少剩几张？ 题型4：二元一次方程组有关的图表素材题 17．根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 18．综合与实践 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 题型5：整体思想与换元法 19．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 20．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为 ． (1)学以致用 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ___________． 题型6：二元一次方程组与一次函数 21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在x轴上，点C在第一象限，直线AC与y轴交于点D，且直线AC上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线BC上所有点的坐标都是二元一次方程的解． (1)求点C的坐标时，小聪是这样想的：先设点C的坐标为，因为点C在直线AC上，所以是方程的解；又因为点C在直线BC上，所以是方程的解，从而m，n满足据此可求出点C的坐标为______，再求出点A的坐标为______，点B的坐标为 ； (2)求四边形BODC的面积； (3)点是线段BC上一点，若点E的纵坐标，则点E的横坐标x的取值范围是 ； (4)在y轴上是否存在点P，使三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，其中b、c是二元一次方程组的解．    (1)求点B、C的坐标； (2)如图，直线轴于点，点的坐标为，为线段的中点，直线交于x轴点A，动点P从点G出发以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动．设的面积为S，运动时间为t秒，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，动点Q同时从点A出发以每秒3个单位的速度沿线段匀速运动，分别过点O、B作直线的垂线，垂足分别为点E、点F，当时，求出t的值． 23．我们对平面直角坐标系中的三角形给出新的定义：三角形的“横长”和三角形的“纵长”. 我们假设点，是三角形边上的任意两点．如果的最大值为，那么三角形的“横长”；如果的最大值为，那么三角形的“纵长”．如右图，该三角形的“横长”；“纵长”． 当时，我们管这样的三角形叫做“方三角形”． （1）如图1所示，已知点，． ① 在点，，中，可以和点，点构成“方三角形”的点是 ； ②若点在函数上，且为“方三角形”，求点的坐标； （2）如图2所示，已知点，，点为平面直角坐标系中任意一点．若为“方三角形”，且，请直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$