1.4充分条件与必要条件学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4充分条件与必要条件 【学习目标】 1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念； 2.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件． 3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理 【学习重点】 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 2.掌握命题条件的充要性判断及其证明方法； 【学习过程】 ▶探究一 充分条件与必要条件 1.下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。 一般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p可以推出q，记作：__________ 并且说，p是q的_________，q是p的_________。 说明：如果q不成立，则p一定不成立。所以，q对于p成立而言是必要的。 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作__________。这时，我们就说p不是q的_____________，q不是p的_____________。 2.下列“若P，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。 【跟踪练习】 例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若，则； （5）若，则； （6）若x，y为无理数，则为无理数. 命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？ 结论：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。 例2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若，则； （5）若，则； （6）若为无理数，则x，y为无理数. 例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？ 【结论】一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。 ▶探究二 充要条件 1.下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则。 （4）若是空集，则A与B均是空集。 一般地，如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即有_________，又有________，就记作_____。 此时，p既是q的_________，也是q的必要条件，我们就说p是q的_____________，简称为__________。显然，如果p是q的的充要条件，那么q也是p的充要条件。 【跟踪练习】 例3.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； （2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； （3）p:xy>0,q:x>0,y>0; （4）p:x=1是一元二次方程的一个根，q:。 2.探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 【跟踪练习】 例4.已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d。求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件。 （说明：在处理充分和必要条件问题时，首先应分清条件和结论，然后才能进行推理和判断。） 【达标检测】 1. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则；______________________ （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；______________________ （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.______________________ 2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线；______________________ （2）若x是无理数，则也是无理数.______________________ 3. 如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件. 4. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；______________________ （2）内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等；______________________ （3）为空集，与B之一为空集. ______________________ 5. 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 6. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是. 充分条件与必要条件 充分条件 必要条件 充要条件 判定定理 性质定理 数学定义 【本节知识结构框图】 【课后作业】 ▶复习巩固 1. 举例说明: （1）p是q的充分不必要条件;___________________________________________________________________ （2）p是q的必要不充分条件;___________________________________________________________________ （3）p是q的充要条件._________________________________________________________________________ 2.在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答): （1）p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形; （2）在一元二次方程中，有实数根，q:b2-4ac≥0（a≠0） （3）; （4）; （5）. 3. 判断下列命题的真假: （1）点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件; （2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件; （3）是的必要不充分条件; （4）x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件. ▶综合运用 4.已知A={满足条件p},B={满足条件q}, （1）如果,那么p是q的_______条件； （2）如果,那么p是q的_______条件； （3）如果,那么p是q的_______条件； 5. 设证明:的充要条件是. ▶拓广探索 6.设a,b,c分别是的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$