25.4（3）解直角三角形的应用（坡度、坡角）（3大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

25.4（3）解直角三角形的应用（坡度、坡角） 知识点一 坡度与坡角 ★1、坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 （3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 题型一 已知坡度（比）求长（高）度 解题技巧提炼 先确定坡度（比）所对应的直角三角形，若没有直角三角形需要构造直角三角形，结合坡度（比）与正切关系，求出对应长（高）度. 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 2．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为∶，即∶∶，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 4．小杰沿坡比为的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 5．如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高，坡面的坡度，则至少需要红地毯 m．    6．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73） A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米 7．（2024·四川自贡·模拟预测）如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（   ）米．    A．17 B．18 C．19 D．20 8．（2023·上海杨浦·二模）如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道AB的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D到AB的距离的值为 米． 9．（2022·上海浦东新·二模）如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点距地面的高度为 米． 10．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 11．学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园高度为米，则旗杆的高度约为（    ）（参考数据：，，） A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米 题型二 用三角比表示长（高）度 解题技巧提炼： 表示斜边时，我们一般选用正弦或余弦；表示对边时，我们一般选用正弦和正切；表示邻边时，我们一般选用余弦和余切. 12．（2023·广西贺州·二模）如图，一个供轮椅行走的斜坡通道的长为6米，斜坡角，则斜坡的垂直高度的长可以表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 13．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米 A． B． C． D． 14．如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．米 15．如图所示，某村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为（m），那么这两棵树在坡面上的距离AB为（      ） A．mcos（m） B．（m） C．msin（m） D．（m） 16．（2024·上海徐汇·三模）一斜坡的坡角为，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为 （用的锐角三角比表示）． 题型三 根据线段长度求坡度（比） 解题技巧提炼： 根据线段长度求坡度（比）时，我们一般先求出对边和邻边，再用正切求出线段的比值，最后化简成前项是1的坡度（比）. 17．如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（　　） A．1：2.6 B．1: C．1：2.4 D．1: 18．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，某人沿着斜坡方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡的坡比 ． 19．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为 ． 20．（23-24九年级上·上海松江·期中）某人沿着一个斜坡往上走动了20米，他的垂直高度上升了10米，则这个坡的坡比为 ． 21．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为 ． 22．一个斜坡的坡角为度，它的坡比 ． 23．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）已知一斜坡的坡角为，则它坡度 ． 题型四 已知坡度（比）求坡角 解题技巧提炼： 已知坡度（比）求坡角，往往转换成正切值是特殊角，即30°、45°或60°. 24．如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 25．已知一坡面的坡比为1∶，则坡角α为(　 　) A．15° B．20° C．30° D．45° 26．（2024·贵州·模拟预测）某坡面的坡度为，则坡角为 度． 27．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为 ． 题型五 求水平距离、铅锤高度的综合应用 解题技巧提炼： 两点注意：(1)当图形中没有直角三角形时，要通过作垂线(或高)构造直角三角形; (2)因为坡度i和坡角的正切值相对应，所以求解水平距离、铅锤高度时可根据条件灵活进行转化. 28．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 29．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 30．（2024·四川成都·一模）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    31．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为45°，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为74°． (1)求坡顶到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）． （参考数据：，，，） 32．（2022·上海杨浦·一模）如图，高压电线杆垂直地面，测得电线杆的底部A到斜坡C的水平距离长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为．已知斜坡的坡比，求该电线杆的高．（参考数据：）      题型六 探究型综合应用 解题技巧提炼： 探究型问题要结合图表，找到重要信息（坡度、坡脚、长度等），读懂题目意思，定好所求问题是什么，将实际问题转化到解直角三角形数学模型的问题中去. 33．（2024·上海虹口·二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 34．（2024·浙江·一模）根据以下素材，探索完成任务： 测算雷锋塔的高度 素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡，长为10米，坡度为，高为      素材2 利用测角仪在斜坡底的点处测得塔尖点的仰角为，在斜坡顶的点处测得塔尖点的仰角为（其中点，，在同一直线上，如图2）    素材3 查阅锐角三角函数表 ，， 任务1 获取数据 计算斜坡的高度 任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数） 35．（2024九年级下·上海·专题练习）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示． 设备名称 红外线体温检测仪 测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面； ②竖直墙面； ③设备安装位置； ④的长是设备安装高度； ⑤的长是测温区域的宽度． 技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角． 探测最小角： 探测最大角： (1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到） (2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到） （参考数据：，，，，， 36．（2024·山西长治·模拟预测）下表是在综合与实践课上，刘老师指导学生测量建筑物的高度测量数据： 课题：测量建筑物的高度 ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 求建筑物的高度．（参考数据：，） 请根据以上数据求出建筑物的高度． 37．（2024·上海普陀·一模）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：    第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 题型七 求斜坡的综合应用 解题技巧提炼： 斜坡一般跟正弦、正切有关，找到斜坡对应的直角三角形，或构造直角三角形，利用正弦或正切求出斜坡长度. 38．（2024·山东青岛·一模）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 39．（2023·上海崇明·一模）如图，一根灯杆上有一盏路灯，路灯离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方点15.5米处有一坡度为的斜坡，如果高为3米的标尺竖立地面上，垂足为，它的影子的长度为4米． (1)当影子全在水平地面上（图1），求标尺与路灯间的距离； (2)当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？ 40．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 41．（2023·上海长宁·二模）为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，建筑物底端B的俯角为，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据：）    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.4（3）解直角三角形的应用（坡度、坡角） 知识点一 坡度与坡角 ★1、坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 （3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 题型一 已知坡度（比）求长（高）度 解题技巧提炼 先确定坡度（比）所对应的直角三角形，若没有直角三角形需要构造直角三角形，结合坡度（比）与正切关系，求出对应长（高）度. 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，米 ∴ ， ∴米， 在中，， 由勾股定理得米 ， 故选：D．    2．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为∶，即∶∶，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：坡面的坡度为：， ，即， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故斜坡的水平宽度的长为米． 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度的概念是解答本题的关键． 根据山坡的坡度比，即可作答． 【详解】解：∵山坡的坡度为，米． ∴解得：(米)， 则小明上升的高度是100米， 故选：A． 4．小杰沿坡比为的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 【答案】50 【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设他沿着垂直方向升高了x米， ∵坡比为， ∴他行走的水平宽度为米， 由勾股定理得，， 解得，，即他沿着垂直方向升高了50米， 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用）——坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 5．如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高，坡面的坡度，则至少需要红地毯 m．    【答案】14 【分析】根据坡面的坡度，求出的长度，从而利用平移的知识可得红地毯的长度为，进而得出答案． 【详解】解：∵，坡面的坡度， ∴， ∴红地毯的长度为， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用坡度求出的长度是解答本题的关键，另外要掌握平移性质的运用． 6．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73） A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米 【答案】A 【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，再求出EF即BG的长；在Rt△CBG中求出CG的长，根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度． 【详解】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G． Rt△ABF中，i=tan∠BAF=＝，AB=26米， ∴BF=10（米），AF=24（米）， ∴BG=AF+AE=54（米）， Rt△BGC中，∠CBG=43°， ∴CG=BG•tan43°≈54×0.93=50.22（米）， Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米， ∴DE=AE=30（米）， ∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-30≈8.3（米）． 故选：A． 【点睛】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 7．（2024·四川自贡·模拟预测）如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（   ）米．    A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，则四边形是矩形，可得米，米，再分别解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵背水坡的坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 故选：D．    8．（2023·上海杨浦·二模）如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道AB的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D到AB的距离的值为 米． 【答案】2.4/ 【分析】由题意延长交于E，并根据坡度和坡角可得过点D作于H，根据锐角三角函数即可求出    的长． 【详解】解：如图： 延长交于E， ， ∴， ， ， 过点D作于H， ， ， （米）． 答：点D到的距离的值为2.4米． 故答案为：2.4． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 9．（2022·上海浦东新·二模）如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点距地面的高度为 米． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数值，求出相关角度，从而进行求解即可. 【详解】解：设、交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． 10．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米， 这棵木棉树的高度约为20米， 故选：C． 11．学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园高度为米，则旗杆的高度约为（    ）（参考数据：，，） A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角与俯角问题以及坡度问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 延长、交于点G，作于H，于M，则是等腰直角三角形，得，由的坡度得，设米，则米，米，米，在中，由三角函数定义得出，解得，进而得出答案． 【详解】解：如图，延长、交于点G，作于H，于M， 则，米，米，，，∠， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的坡度， ∴, ∴， 设米，则米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米； 故选：B． 题型二 用三角比表示长（高）度 解题技巧提炼： 表示斜边时，我们一般选用正弦或余弦；表示对边时，我们一般选用正弦和正切；表示邻边时，我们一般选用余弦和余切. 12．（2023·广西贺州·二模）如图，一个供轮椅行走的斜坡通道的长为6米，斜坡角，则斜坡的垂直高度的长可以表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在中，利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴． 故选：A． 13．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：， 米， 故选：A． 14．如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可． 【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E， ∵BE平行于地面， ∴∠ABE＝∠α， ∵BE＝5米， ∴AB＝＝． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形． 15．如图所示，某村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为（m），那么这两棵树在坡面上的距离AB为（      ） A．mcos（m） B．（m） C．msin（m） D．（m） 【答案】B 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】由题意可得：， 则AB=． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键． 16．（2024·上海徐汇·三模）一斜坡的坡角为，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为 （用的锐角三角比表示）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦函数的应用．利用所给角的正弦函数求解． 【详解】解：如图所示．由题意得， ∵，， ∴， 整理得， ∴斜坡的高为米． 故答案为：． 题型三 根据线段长度求坡度（比） 解题技巧提炼： 根据线段长度求坡度（比）时，我们一般先求出对边和邻边，再用正切求出线段的比值，最后化简成前项是1的坡度（比）. 17．如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（　　） A．1：2.6 B．1: C．1：2.4 D．1: 【答案】C 【分析】根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决． 【详解】如图 据题意得;AB=13、AC=5， 则BC=, ∴斜坡的坡度i=tan∠ABC==1∶2.4, 故选C. 18．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，某人沿着斜坡方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡的坡比 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求正切值，解题的关键是掌握坡比等于坡角的正切值，先根据勾股定理求出前进的水平距离，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， 根据勾股定理可得：， ∴， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为 ． 【答案】 【分析】本题考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距离，然后利用公式计算是解题的关键． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴斜坡的坡度为， 故答案为：． 20．（23-24九年级上·上海松江·期中）某人沿着一个斜坡往上走动了20米，他的垂直高度上升了10米，则这个坡的坡比为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坡角的定义，勾股定理．先根据勾股定理求出水平距离，再利用坡比的定义即可．熟记“坡面的铅直高度和水平宽度的比，叫做坡比”是解题关键． 【详解】解：某人沿着一个斜坡往上走动了20米，他的垂直高度上升了10米， 则此人行驶的水平距离为：， 这个坡的坡比为：． 故答案为：． 21．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为 ． 【答案】 【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据坡比斜坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整理为的形式即可． 【详解】如图所示：   米，米，则米，则坡比， 故答案为． 【点睛】本题考查解直角三角形，正确理解坡比的定义是解题的关键． 22．一个斜坡的坡角为度，它的坡比 ． 【答案】 【分析】坡比，即坡面的垂直高度和水平宽度的比，即坡角的正切值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，，，，    ∴设，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查坡比的概念及计算方法，掌握其概念和计算方法是解题的关键． 23．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）已知一斜坡的坡角为，则它坡度 ． 【答案】 【分析】由于斜坡的坡角为，而坡度为坡角的正切，由此即可确定个斜坡的坡度i. 【详解】解：∵斜坡的坡角为， ∴这个斜坡的坡度 故答案为： 【点睛】此题主要考查了解直角三角形应用-坡度的问题，解题的关键是根据题意正确画出图形，然后利用三角函数即可解决问题． 题型四 已知坡度（比）求坡角 解题技巧提炼： 已知坡度（比）求坡角，往往转换成正切值是特殊角，即30°、45°或60°. 24．如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果． 【详解】设这个斜坡的坡角为α， 由题意得：tanα=1:.=， ∴α=30°； 故选A. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 25．已知一坡面的坡比为1∶，则坡角α为(　 　) A．15° B．20° C．30° D．45° 【答案】C 【详解】分析： 由斜坡的坡比为可得tan，由此结合特殊角的三角函数值即可求得坡角的度数. 详解： ∵斜坡的坡比为，坡角为， ∴tan， ∴. 故选C. 点睛：知道：“斜坡的坡比等于坡角的正切函数值”是解答本题的关键. 26．（2024·贵州·模拟预测）某坡面的坡度为，则坡角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，通过坡度等于坡角的正切值，根据特殊角的三角函数值即可求解，掌握坡度坡角问题是解题的关键． 【详解】解：设坡角为， ∵坡面的坡度为， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据坡角的正切坡度，列式可得结果． 【详解】解：设这个斜坡的坡角为， 由题意得：， ． 故答案为：30． 题型五 求水平距离、铅锤高度的综合应用 解题技巧提炼： 两点注意：(1)当图形中没有直角三角形时，要通过作垂线(或高)构造直角三角形; (2)因为坡度i和坡角的正切值相对应，所以求解水平距离、铅锤高度时可根据条件灵活进行转化. 28．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 29．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)电线塔的高度． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 30．（2024·四川成都·一模）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    【答案】塔高约为米 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，设米，在，中，分别求得，根据，建立方程，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，    由题意得：米，，， 斜坡的坡度：，米， ， 米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 31．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为45°，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为74°． (1)求坡顶到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)15米 (2)古搭的高度约为30米． 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）根据坡度得到，设设，则，勾股定理求出的值即可； （2）延长交于点，得到，四边形为矩形，在中，得到，列出算式，求解即可． 解题的关键是构造直角三角形，掌握锐角三角函数的定义． 【详解】（1）由题意，得， ， 图8 设，则      （米） 答：坡顶到地面的距离的长为15米 （2）延长交于点，则，四边形为矩形． ∴，， ， ，   ，   ， ； 在中，，   ， ，， ， ，   （米）．   答：古搭的高度约为30米． 32．（2022·上海杨浦·一模）如图，高压电线杆垂直地面，测得电线杆的底部A到斜坡C的水平距离长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为．已知斜坡的坡比，求该电线杆的高．（参考数据：）      【答案】该电线杆的高为17米 【分析】过点作垂直的延长线于点，于点，根据斜坡的坡比，米，求出的长度，然后求出和的长度，在中，求出的长度，即可求出的长度． 【详解】解：如图，过点作垂直的延长线于点，于点，    则四边形为矩形， ， ∵斜坡的坡比，米， ∴设米，则米， ， 解得， 则米，米， 米， 米， 在中，， 设米，则米， ， 解得， （米）， 米， 答：该电线杆的高为17米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般． 题型六 探究型综合应用 解题技巧提炼： 探究型问题要结合图表，找到重要信息（坡度、坡脚、长度等），读懂题目意思，定好所求问题是什么，将实际问题转化到解直角三角形数学模型的问题中去. 33．（2024·上海虹口·二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 【答案】任务一：斜坡的坡比；任务二：米 【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作交延长线于点O，作于点Q，交于点R，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可． 【详解】解：任务一：如图①， 由题意得：在中，为25米，斜坡长为65米， （米）， 斜坡的坡比； 任务二：如图③，作交延长线于点O，作于点Q，交于点R， 则四边形为矩形，四边形为矩形， 米， 米， ，为米， ， 解得：米， 米， 米，米， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 米． 34．（2024·浙江·一模）根据以下素材，探索完成任务： 测算雷锋塔的高度 素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡，长为10米，坡度为，高为      素材2 利用测角仪在斜坡底的点处测得塔尖点的仰角为，在斜坡顶的点处测得塔尖点的仰角为（其中点，，在同一直线上，如图2）    素材3 查阅锐角三角函数表 ，， 任务1 获取数据 计算斜坡的高度 任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数） 【答案】任务一：斜坡的高为6．任务二：雷峰塔的高度为米． 【分析】本题考查的知识点是坡度坡比问题，仰角俯角问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长，解题关键是熟练掌握坡度坡比问题的解法． （1）根据坡度可得，再根据勾股定理即可求解； （2）如图，过作于，设，根据正切值求边长得，，再根据可求得的值，最后由即可求解． 【详解】任务一： 解：斜坡的坡度是， ，设，则， 又在中，， ， ∴， 解得：， ∴， 斜坡的高为6． 任务二： 如图，过作于，结合题意可得： 四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ， ∴，， 在斜坡顶的点处测得楼顶的仰角为， ∴， ∴， 解得：， 米， 米， 故雷峰塔的高度为米． 35．（2024九年级下·上海·专题练习）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示． 设备名称 红外线体温检测仪 测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面； ②竖直墙面； ③设备安装位置； ④的长是设备安装高度； ⑤的长是测温区域的宽度． 技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角． 探测最小角： 探测最大角： (1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到） (2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到） （参考数据：，，，，， 【答案】(1)3.3米 (2)2.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据正切的定义求出； （2）设的长为，根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 答：线段的长度约为； （2）解：设的长为， 在中，， 则 在中，， 则                                                                   由题意得：， 解得：， 答：该设备的安装高度约为． 36．（2024·山西长治·模拟预测）下表是在综合与实践课上，刘老师指导学生测量建筑物的高度测量数据： 课题：测量建筑物的高度 ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 求建筑物的高度．（参考数据：，） 请根据以上数据求出建筑物的高度． 【答案】36米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，过点B作于点，于点F，则四边形是矩形，设，，再利用三角函数求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于点，于点F，则四边形是矩形， ，． 在中，的坡度， ． 设，， 在中，由勾股定理得：． ，解得：． ， 在中，， ， ． 在中，， ， ． 即：，解得：．经检验，符合题意； ． 答：建筑物的高度约为36米． 37．（2024·上海普陀·一模）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：    第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 【答案】山坡AB的坡度 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作，交的延长线于点H，根据正切的定义用表示出，进而出去，再求出，根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，    在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴， ∴山坡的坡度为：． 题型七 求斜坡的综合应用 解题技巧提炼： 斜坡一般跟正弦、正切有关，找到斜坡对应的直角三角形，或构造直角三角形，利用正弦或正切求出斜坡长度. 38．（2024·山东青岛·一模）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米 (2)货物需要搬走，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题． （1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可； （2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； （2）解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 39．（2023·上海崇明·一模）如图，一根灯杆上有一盏路灯，路灯离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方点15.5米处有一坡度为的斜坡，如果高为3米的标尺竖立地面上，垂足为，它的影子的长度为4米． (1)当影子全在水平地面上（图1），求标尺与路灯间的距离； (2)当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？ 【答案】(1)标尺与路灯间的距离为8米； (2)此时标尺与路灯间的距离为米． 【分析】（1）由题意可知，得到，则，把数值代入即可得到答案； （2）连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H，设米，则米，可证明，得到，求出米，米，米，，代入比例式得到关于x的一元二次方程，解方程求得x的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 由题意可知，, ∴， ∴， ∴ 由题意可知，， ∴， 解得, 即标尺与路灯间的距离为8米； （2）如图，连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H， ∵影子长为4米， ∴米， 设米， ∴米， ∵米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵米，， ∴米，， ∴米， ∴米，米，米，， ∴， ∴，   ∴， 解得（不合题意，舍去），， 经检验是方程的解且符合题意， ∴米， ∴米， ∴此时标尺与路灯间的距离为米． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解分式方程、解直角三角形的坡度问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 40．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】(1) (2)树的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等角对等边等等： （1）如图所示，延长交于G，过点C作于H，先得到，进而推出，再求出，则可推出，得到； （2）先解得到，再解得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，延长交于G，过点C作于H， ∵， ∴， ∵小山的斜坡的坡度， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；    （2）解：中，， 在中，， ∴， ∴树的高度约为． 41．（2023·上海长宁·二模）为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，建筑物底端B的俯角为，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据：）    【答案】建筑物的高度为136.6米，的长为130米 【分析】如图，过点C、D分别作的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形，，由题意可得米，，，，则，，米，米，则米，米，根据计算求解可得的值，由坡比可得，即，解得米，在中，由勾股定理可得：，计算求解即可． 【详解】解：如图，过点C、D分别作的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形，，    由题意可得：米，，，， ∴，， ∴米， ∴米，则米， ∴米， ∴米， ∵斜坡的坡比为， ∴，即，解得米， 在中，由勾股定理可得：米， 答：建筑物的高度为136.6米，的长为130米． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的外角性质，等角对等边，解直角三角形的应用，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$