期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程中的整数解 1．已知关于的一元一次方程的解为整数，且关于的多项式为六次多项式，则所有满足条件的整数的和为（    ） A．9 B．16 C．24 D．48 2．若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 3．已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 4．设k为整数，且关于x的方程的解为自然数，则k的值为 ． 5．已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 6．若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 类型二、不含某项、与某项无关 1．若多项式的值与的值无关，则等于（    ） A．0 B．2 C． D． 2．若关于的代数式的值与无关，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．关于的多项式，它的值与的取值无关，则 ． 4．已知关于，的多项式与多项式的差中不含有关于，的一次项，则 ． 5．已知代数式． (1)求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 6．设，． (1)当，时，求的值． (2)当时，实数，使得代数式的值与的取值无关，求，满足的关系式． 类型三、绝对值中的分类讨论 1．若，，且，则的值是（   ） A．1或7 B．1或 C．或7 D．或 2．已知，且，则的值为（    ） A．8 B．或5 C． D． 3．若，且的值是 ． 4．已知，，且，则的值为 5．已知，， (1)当时，求的值； (2)若，求值． 6．已知，，且，求的值． 类型四、代数式中的图形 1．如图，在长方形ABCD中，，，其内部有边长为a的正方形EFCG与边长为b的正方形HKJP，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为3，图中阴影部分面积分别为，，若，则正方形EFCG与正方形HKJP的面积之和为（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 2．如图所示，长方形中放置两个正方形，分别是正方形与和正方形，边长分别为5和2，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知，则长方形的周长为（    ） A．27 B．26 C．25 D．24 3．如图，大长方形是由一个长方形①，两个完全相同的长方形②及三个正方形，，无缝拼接组成，若长方形①，②的周长之比为，则正方形，的面积之比为 ． 4．如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 5．为响应“创建全国文明城市”的号召，林州市不断美化环境，拟在一块长为，宽为的长方形空地上修建如图所示的十字形花圃（空白部分），在花圃内种花，其余部分（阴影部分）种草． (1)求花圃的面积（用含x的式子表示）； (2)若在花圃内种花的费用为每平方米90元，在阴影部分种草的费用为每平方米40元，当时，求美化这块空地共需要多少元？ 6．如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成个大小不同的正方形，其中标注、的正方形边长分别为、，请你解答下列问题： (1)用含、的代数式填空： 第个正方形的边长 ；第个正方形的边长 ；第个正方形的边长 ． (2)当时，第个正方形的面积 ． (3)当、均为正整数时，求这个完美长方形的最小周长． 类型五、一元一次方程的应用 1．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长几尺？如果设木条长尺，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．元旦期间，某商场进行打折促销，某种品牌的衬衫原价每件210元，现在按原价的八折出售，每件衬衫仍可获利，那么这批衬衫每件的成本价是 元． 4．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为 ． 5．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给春节回家的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购： 超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有8名学生乘客买票，则总票款为______元； (2)若20名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为______元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数则按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 6．年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 类型六、代数式中的规律 1．如图，是某同学在沙滩上用石子摆成的“纸杯蛋糕”，其中第①个图案用了5个石子，其中第②个图案用了11个石子，其中第③个图案用了18个石子，其中第④个图案用了26个石子，，按此规律排列下去，则第⑦个图案中石子的个数为（    ） A．45 B．56 C．58 D．60 2．在求的值时，发现：，，…，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则（    ）．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 3．已知一列数：1，，3，，5，，7，，将这列数排成下列形式： 第1行1 第2行  3 第3行  5   第4行7    9   第5行11    13    15 …… 按照上述规律排下去，那么第10行从右边数第5个数为 ． 4．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，，按此规律排列，则第⑨个图形中的个数为 ； 5．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 根据上述规律解答下列问题： (1)任意写出一个有相同规律的等式 ； (2)① 直接写出第n个 （，且n是整数） 等式 ； ② 请证明你在①中所写的等式成立． 6．观察下列各式，回答问题： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： (1)猜想并写出：第n个等式为__________________（n为正整数）； (2)请直接写出下列各式的计算结果： ①________________； ②__________________； (3)探究并计算：的值． 类型七、绝对值中的最小值 1．已知x是有理数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．式子的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．当 时，的值最小，最小值为 ． 4．下列说法： ①若互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，则的值为-2或0． 其中一定正确的结论是 ．（只填序号）． 5．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 6．数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______． (5)若，求的值． 类型八、绝对值中的1与-1化简 1．若m、n为有理数，且，则的值是（　　） A． B．2 C．2或0 D．2或 2．有理数满足且，那么的值为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．0或 3．若a，b，c为有理数，且，求的值为 ． 4．若，则 ． 5．阅读下列材料：， 即当时，；当时，． 根据以上结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 6．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 ； (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 类型九、数轴动点求t 1．已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．点，是数轴上两点，位置如图所示，点，是数轴上两动点，点由点出发，以1 个单位长度/秒的速度在数轴上运动，点由点出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．两点同时开始和结束运动，设运动时间为秒． 下面是四位同学的判断： ①小康同学：当时，点和点重合．    ②小柔同学：当时，点和点重合． ③小议同学：当时，点，两点间的距离为8． ④小科同学：当时，点，两点间的距离为18． 以上判断可能正确的是（      ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 3．如图，数轴上点和点表示的数分别是和，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为秒，当动点到点的距离等于动点到点的距离时，的值为 ． 4．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，O为原点，动点P从A出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，动点Q从B出发以每秒1个单位长度向左匀速运动，设运动时间为秒，当t= 秒时，P、Q之间的距离为3个单位长度；当t= 秒时，点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小． 5．已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． (3)在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 6．【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 类型十、收费与方案问题 1．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过立方米时，按元/立方米计费；月用水量超过立方米时，其中的立方米仍按元/立方米收费，超过部分按元/立方米计费，设每户家庭用水量为立方米． (1)当时，应收水费为______（用的代数式表示）；当时，应收水费为______（用的代数式表示）． (2)小明家第二季度交纳水费的情况如下： 月份 四月份 五月份 六月份 用水量（立方米） 小明家这个季度共用水多少元？ 2．某出租车服务有限责任公司位于徽丰路，出租车驾驶员小华从该公司出发，在南北向的徽丰路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，驾驶员小华在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费7元，超过的部分按每千米加2元收费(不足1千米的按1千米计算) ． ①若出租车行驶的路程为千米（为正整数），当小于或等于3时，车费为 元；当大于3时，车费为 元（用含的最简代数式表示．） ②在这过程中驾驶员小华共收到车费多少元？ 3．为增强居民节约用水意识，某市在2022年开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如表： 一户居民一个月用水量即为立方米 水费 单价（单位：元立方米） 超出22立方米的部分 某户居民四月份用水10立方米时，缴纳水费23元． (1)求的值； (2)若该户居民六月份的用水量为20立方米，七月份的用水量为25立方米，求该户居民六、七月份的用水费用和； (3)若该户居民五月份的用水量为立方米，用含的代数式表示该户居民五月份的用水费用． 4．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，跳绳x条（）． (1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 5．某文具店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，售价为每支12元．每天的销售数量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负．该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如下表所示． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 每天售出的数量（支） (1)在这5天中，第一天售出该种钢笔____支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔_______支； (2)求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润； (3)该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案： 方案一：若购买数量不超过5支，每支12元；若超过5支，则超过部分每支降价4元； 方案二：每支均打七五折销售． 在促销期间，若购买支钢笔，请用含x的式子表示两种方案的花费，若王老师在该文具店购买10支该种钢笔作为奖品，通过计算说明应选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 6．某电器商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价500元，电磁炉每台定价200元．“11/11”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉台（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款_______元．（用含的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款______元．（用含的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程中的整数解 1．已知关于的一元一次方程的解为整数，且关于的多项式为六次多项式，则所有满足条件的整数的和为（    ） A．9 B．16 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，多项式的项数和次数．解方程得出，根据解为整数得出a值，再根据多项式的项数和次数，进一步求出a值，再计算整数的和． 【详解】解：， 解得：， ∵关于的一元一次方程的解是整数， ∴或， 解得：或或或， ∵关于的多项式为六次多项式， ∴，解得：， ∴满足条件的整数的值为5或7或4， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故选：B． 2．若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】表示出方程的解，由方程的解为负整数解，确定出整数的值即可．此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：方程去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程有负整数解，得到整数，，之和为， 故选：B． 3．已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出x，根据题意可得是5的约数，得出满足题意的所有k值，算出和即可． 【详解】解：先求解方程， 解得：， ∵x为整数，且k是正整数， ∴或者 ∴k的值为1或3， ∴所有k值的和为， 故选：A． 4．设k为整数，且关于x的方程的解为自然数，则k的值为 ． 【答案】或0或2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟知方程的解的定义是解题的关键． 先求出一元一次方程的解，再根据其解为自然数即可求出整数k的值． 【详解】解：， ， ， ∵k为整数，且关于x的方程的解为自然数， ∴或或， 解得或0或2， 故答案为：或0或2． 5．已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程的解，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴ ∵关于的方程的解为偶数， ∴为偶数， ∵为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有可能的取值的和为， 故答案为：． 6．若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 【答案】，0和1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 要为的倍数， 或或． 故答案为：，0和1． 类型二、不含某项、与某项无关 1．若多项式的值与的值无关，则等于（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，先把多项式去括号，然后合并同类项，再根据多项式的值与的值无关，则含x的项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式的值与的值无关， ∴， ∴， 故选D． 2．若关于的代数式的值与无关，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键， 由代数式的值与x取值无关，求出a与b的值即可． 【详解】解：原式 ∵代数式的值与x取值无关， ∴， 解得：； 故选：D． 3．关于的多项式，它的值与的取值无关，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，先把原多项式合并同类项得到，再由多项式的值与的取值无关得到，据此求出，则． 【详解】解：∵多项式的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 4．已知关于，的多项式与多项式的差中不含有关于，的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，掌握整式加减的运算法则是解题关键．与多项式的差，再根据其差中不含有关于，的一次项，即，的一次项系数为0，从而可求出m和n的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ． 因为多项式与多项式的差中不含有关于，的一次项， 所以，， 解得：，， 所以． 故答案为：． 5．已知代数式． (1)求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键． （1）根据整式的运算法则即可求出答案； （2）根据题意将化简，然后令含y的项的系数为即可求出x的值． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：∵， 又∵的值与y的取值无关， ∴， 解得：． 6．设，． (1)当，时，求的值． (2)当时，实数，使得代数式的值与的取值无关，求，满足的关系式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式化简求值，代数式的值与某个字母无关； （1）将、代入，去括号，合并同类项，代值计算，即可求解； （2）将、代入，去括号，合并同类项，使得含有的项系数为，即可求解； 理解代数式的值与某个字母无关的就是使得含有该字母的项系数为；掌握运算法则，括号前是“”时，去括号时要变号是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 当，时 原式 ； （2）解：原式 ， 代数式的值与的取值无关， ， ． 类型三、绝对值中的分类讨论 1．若，，且，则的值是（   ） A．1或7 B．1或 C．或7 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加法法则，代数式求值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加法法则．先根据已知条件和绝对值的性质，求出的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， 时，，即或， 或， 故选：A． 2．已知，且，则的值为（    ） A．8 B．或5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，根据绝对值意义，有理数幂的运算，求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 则 ， 故选：C． 3．若，且的值是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了有理数的符号判断以及绝对值的意义，熟记相关结论即可求解．首先根据绝对值的定义可得，再根据确定a、b的值，然后再计算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：13． 4．已知，，且，则的值为 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，根据绝对值的意义及求出的值，再分情况进行计算即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 故答案为：或． 5．已知，， (1)当时，求的值； (2)若，求值． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】本题考查代数式求值，绝对值的意义；掌握有理数的运算法则，能够正确分类是解题的关键． （1）由已知分别求出，，结合，可得m、n的值，再代入求解即可； （2）根据，求出m、n的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或； （2）∵，，， ∴或， ∴或． 6．已知，，且，求的值． 【答案】7或3． 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的减法和有理数的加法，正确得到是解题的关键． 先根据绝对值的意义得到，，再由推出，由此讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； 综上所述，的值为7或3． 类型四、代数式中的图形 1．如图，在长方形ABCD中，，，其内部有边长为a的正方形EFCG与边长为b的正方形HKJP，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为3，图中阴影部分面积分别为，，若，则正方形EFCG与正方形HKJP的面积之和为（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的面积转化和求解，根据题干得，，则，有，，可得，，延长交于Q点，则和，结合，可求得，，利用即可求得答案． 【详解】解：记点M和点N， ∵两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为3， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 延长交于Q点，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图所示，长方形中放置两个正方形，分别是正方形与和正方形，边长分别为5和2，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知，则长方形的周长为（    ） A．27 B．26 C．25 D．24 【答案】B 【分析】设，，可得，，，，从而可得，，再由，求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得，四边形、四边形、四边形是长方形， 设，， 则，，，， ∴， ， ∵， ∴， 整理得，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查整式的混合运算、长方形的面积和周长的计算，求出是解题的关键． 3．如图，大长方形是由一个长方形①，两个完全相同的长方形②及三个正方形，，无缝拼接组成，若长方形①，②的周长之比为，则正方形，的面积之比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比的应用，整式的加减法，列代数式，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据图形分别得出长方形①、②的长和宽，再根据长方形①、②的周长之比，得到，即可求出正方形、的面积之比． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 长方形②的宽为，长为 ，正方形的边长为； 长方形①的长为，宽为 ， 长方形①、②的周长之比为， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【答案】 24 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用： （1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可； （2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 5．为响应“创建全国文明城市”的号召，林州市不断美化环境，拟在一块长为，宽为的长方形空地上修建如图所示的十字形花圃（空白部分），在花圃内种花，其余部分（阴影部分）种草． (1)求花圃的面积（用含x的式子表示）； (2)若在花圃内种花的费用为每平方米90元，在阴影部分种草的费用为每平方米40元，当时，求美化这块空地共需要多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查列代数式，整式四则运算的实际应用及代数式求值． （1）根据图形列代数式，根据整式四则运算法则计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：由图可得，空白部分为：， 即花圃的面积为； （2）解：当时，种花的面积为：， 种草的面积为：， （元）， 即美化这块空地共需要元． 6．如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成个大小不同的正方形，其中标注、的正方形边长分别为、，请你解答下列问题： (1)用含、的代数式填空： 第个正方形的边长 ；第个正方形的边长 ；第个正方形的边长 ． (2)当时，第个正方形的面积 ． (3)当、均为正整数时，求这个完美长方形的最小周长． 【答案】(1)；； (2)144 (3)224 【分析】本题考查了列代数式、整式的化简求值等知识点在几何图形中的应用，能从几何图形中找到各边之间的关系是解题的关键． （1）根据各个正方形的边的和差关系即可分别表示出其边长； （2）在（1）基础上，先求得第个正方形的边长，进而求得其面积； （3）在（1）基础上，利用第个正方形的边长的两种不同表示方法求得、的关系式，再根据已知条件确定、的取值，然后用含、的代数式表示出完美长方形的周长，最后代数求值即可得解． 【详解】（1）解：∵第、的正方形边长分别为、 ∴结合图形依次可以求得， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长既可以表示为， 又可以表示为． 第个正方形的边长为； 故答案为：，，； （2）∵第个正方形的边长为， 当时， ∴第个正方形的面积为， 故答案为：； （3）∵第个正方形的边长既可以表示为 又可以表示为 ∴ ∴ ∵、均为正整数，且取最小值 ∴， ∵这个完美长方形的周长可表示为 ∴这个完美长方形的最小周长为． 类型五、一元一次方程的应用 1．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．熟练掌握工作总量与单位时间的工作量和时间的关系列式，列方程，是解题的关键． 根据“每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．”列出方程，解出即可求解． 【详解】设原计划每小时生产 x 个零件，实际生产每小时生产 个零件， 12小时的零件数量是件， 原计划13小时生产的零件数量是件， 由此得到方程 ， 故答案为：B． 2．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长几尺？如果设木条长尺，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、明确量之间的关系成为解题的关键． 设木条长尺，根据绳子比木条长尺可得绳子长为；再根据将绳子对折再量木条，木条剩余1尺可得，最后根据绳子的长度不变列出方程即可． 【详解】解：设木条长尺， 根据题意可得：． 故选：D． 3．元旦期间，某商场进行打折促销，某种品牌的衬衫原价每件210元，现在按原价的八折出售，每件衬衫仍可获利，那么这批衬衫每件的成本价是 元． 【答案】140 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设衬衫的成本价是x元，等量关系为：原价×折扣-进价=利润，列出方程可得答案． 【详解】解：设衬衫的成本价是x元，依题意得： ， 解得， 即：这批衬衫每件的成本价是140元， 故答案为：140． 4．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列方程是解题的关键． 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数即可求解． 【详解】解：∵，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2， ∴， ∴， ∴内圈上空缺的数为：， 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 即的值为或． 故答案为：或． 5．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给春节回家的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购： 超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有8名学生乘客买票，则总票款为______元； (2)若20名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为______元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数则按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)360 (2)1350 (3)车上有学生乘客10人，非学生乘客40人 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用． （1）根据题目所给优惠方案进行计算即可； （2）根据题意所给优惠方案进行计算即可； （3）设车上有学生乘客x人，非学生乘客人，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： （元）， 故答案为：360． （2）解：（元）， 故答案为：1350． （3）解：设车上有学生乘客x人，非学生乘客人， ， 整理得：， 解得：， ∴， 答：车上有学生乘客10人，非学生乘客40人． 6．年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：乙工程队单独完成需要天； （2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，， 解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 类型六、代数式中的规律 1．如图，是某同学在沙滩上用石子摆成的“纸杯蛋糕”，其中第①个图案用了5个石子，其中第②个图案用了11个石子，其中第③个图案用了18个石子，其中第④个图案用了26个石子，，按此规律排列下去，则第⑦个图案中石子的个数为（    ） A．45 B．56 C．58 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化类．解决本题的关键是根据前四个图形的变化寻找规律． 根据图形的变化分别写出前四个图形中石子的个数，即可解答第7个图形中的石子数． 【详解】解：观察图形的变化，可知， 第1个图案要用的石子数为；； 第2个图案要用的石子数为；； 第3个图案要用的石子数为；； 第4个图案要用的石子数为；； …； 第7个（n为正整数）图案要用的石子数为，． 故选：B． 2．在求的值时，发现：，，…，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则（    ）．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形类变化规律、列代数式，根据所给图形，2表示出图形中三角形的个数，发现规律即可得出答案． 【详解】解：由所给图形可得： ， ， ， …， ∴（为正整数）， ∴ ， 故选：A． 3．已知一列数：1，，3，，5，，7，，将这列数排成下列形式： 第1行1 第2行  3 第3行  5   第4行7    9   第5行11    13    15 …… 按照上述规律排下去，那么第10行从右边数第5个数为 ． 【答案】51 【分析】本题考查了规律型中得数字的变化类，设第行的第1个数的绝对值为，根据数列排列方式找出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“”，第行有个数，依此规律再结合数列中所有奇数为正，偶数为负即可得出结论． 【详解】解：设第行的第1个数的绝对值为， 观察，发现规律：，，，，，， ． ． 当时，， 第10行有10个数， 第10行从右边数第5个数即为第10行从左边数第6个数，则其的绝对值为：． 又该数列中奇数为正，偶数为负， 第10行从右边数第5个数为51． 故答案为：51． 4．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，，按此规律排列，则第⑨个图形中的个数为 ； 【答案】117 【详解】写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键． 解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第个图形中三角形个数一共是：（个）， 所以，第⑨个图形中三角形个数一共是：（个）． 故答案为：117 5．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 根据上述规律解答下列问题： (1)任意写出一个有相同规律的等式 ； (2)① 直接写出第n个 （，且n是整数） 等式 ； ② 请证明你在①中所写的等式成立． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①  ②见解析 【分析】（1）根据题意找规律即可解答； （2）①将原题中的规律用含有字母n的等式表示出来即可 ②运用完全平方公式展开，然后利用提取公因数解题即可． 【详解】（1）解：第4个等式： ； （2）①第n个 （，且n是整数） 等式为：； ② ． 6．观察下列各式，回答问题： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： (1)猜想并写出：第n个等式为__________________（n为正整数）； (2)请直接写出下列各式的计算结果： ①________________； ②__________________； (3)探究并计算：的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了数字的变化类： （1）根据题中的拆项规则求解； （2）先把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解； （3）先把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解． 【详解】（1）解：根据题意得：第n个等式为； 故答案为： （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 类型七、绝对值中的最小值 1．已知x是有理数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的意义，可得表示数轴上一点与到与到之间的距离的和，进而即可求解． 【详解】解：表示数轴上一点与到与到之间的距离的和， ∴当x在和2之间时距离的和最小，是3． 即的最小值为3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解表示数轴上表示与两点之间的距离，是解决本题的关键． 2．式子的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据绝对值化简计算，当时，取得最小值，熟练掌握绝对值的性质和化简是解题的关键． 【详解】当时，， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， 故有最小值8， 故选D． 3．当 时，的值最小，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，化简绝对值，表示到各个点的距离之和，最中间的点为，进而得到当，的值最小，进行求解即可．掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：表示到的距离之和，最中间的点为， ∴当时，的值最小为： ； 故答案为：． 4．下列说法： ①若互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，则的值为-2或0． 其中一定正确的结论是 ．（只填序号）． 【答案】②③④ 【分析】利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：的相反数是0， 当为0时，相反数的商为0，就不成立， ①的说法错误； 当同号或中至少一个为0时，， 如果则， ②的说法正确； 当时，根据绝对值的几何意义可得的最小值为7，③的说法正确； 若，则中可能两个正数一个负数或两个负数一个正数，当有两个正数一个负数时，设， ④的说法正确； 综上，正确的说法有：②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了相反数，绝对值的意义，对于错误的说法举出反例是解题的关键． 5．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 6．数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______． (5)若，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) (5)或 【分析】本题考查了数轴，绝对值，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据绝对值几何意义求出最小值即可； （4）将 变形为的形式再求最值即可； （5）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等，因此到和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等，因此到和距离相等的点表示的数为， 故答案为：，； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示和两点的距离之和为，可得，因此x的最大值为，最小值为；故答案为：，； （3）表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3， 由（2）可知， ∴当取最小值时，， 故答案为：； （4） 根据绝对值几何意义，当时，有最小值，最小值为 故 的最小值为：； 故答案为:； （5）当 时， ，去绝对值为： ， 当 时，去绝对值为：9(不成立)， 当 时，去绝对值为：， ， 综上，或． 类型八、绝对值中的1与-1化简 1．若m、n为有理数，且，则的值是（　　） A． B．2 C．2或0 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除法与加法、绝对值，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．分两种情况：①和②，再化简绝对值，计算除法与加法即可得． 【详解】解：∵为有理数，且， 或， ①当时，则； ②当时，则； 综上，的值是2或， 故选：D． 2．有理数满足且，那么的值为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．0或 【答案】A 【分析】由题意得，中有两个负数，一个正数，再分当时，，当时，两种情况讨论即可． 【详解】解：且， ，中有两个负数，一个正数， 当时，，， ， 当时，，， ． 综上所述：的值为． 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，能够分类讨论解题是关键． 3．若a，b，c为有理数，且，求的值为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义得到，，，由于，则、、的值中只有一个，即a、b、c中只有一个负数，即a、b、c中只有一个负数，则，然后根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴、、的值中只有一个，即a、b、c中只有一个负数， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，若，则；若，则；若，则． 4．若，则 ． 【答案】或/或 【分析】根据绝对值的性质分情况讨论再计算即可得出答案． 【详解】 ①当，时，则； ②当，时，则； ③当，时，则； ④当，时，则 综上所述，或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 5．阅读下列材料：， 即当时，；当时，． 根据以上结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)当时， (2)时，的值为3或 (3)的值为 【分析】（1）根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出a、b、c中有3个正数或一正两负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，，求出，根据，，得出a、b、c中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，； （2）解：∵， ∴a、b、c中有3个正数或一正两负， 当a、b、c都是正数时，； 当a、b、c中有一正两负时，； ∴时，的值为3或； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，并注意进行分类讨论． 6．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 ； (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为或． 【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解； （2）由可得，由根据进而可求解； （3）分四种情况讨论：①当都是正数时；②当有一个为正数，另两个为负数时；③当有两个为正数，一个为负数时；④当三个数都为负数时，分别去绝对值即可求解． 【详解】（1）解：当时，则， 当，则， 故答案为：，； （2）解：已知是有理数，， 所以，且中两正一负， 所以； （3）解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当都是正数，即时， 则：， ②当有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：， ③当有两个为正数，一个为负数时， 设， 则：， ④当三个数都为负数时， 则：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它相反数是解题的关键． 类型九、数轴动点求t 1．已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，列式计算即可． 【详解】根据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2， ∴8-7t=4-2t或7t-8=4-2t， 解得t=或， 故选C． 【点睛】本题考查了数轴上两动点间的距离，用定数，运动距离表示动点表示的数是解题的关键． 2．点，是数轴上两点，位置如图所示，点，是数轴上两动点，点由点出发，以1 个单位长度/秒的速度在数轴上运动，点由点出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．两点同时开始和结束运动，设运动时间为秒． 下面是四位同学的判断： ①小康同学：当时，点和点重合．    ②小柔同学：当时，点和点重合． ③小议同学：当时，点，两点间的距离为8． ④小科同学：当时，点，两点间的距离为18． 以上判断可能正确的是（      ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据路程=速度×时间，结合的长度进行分析解答即可． 【详解】解：， ①小康同学：当时，点P和点Q相对而行，，点P和点Q重合． ②小柔同学：当时，点P和点Q向左边行驶，，点P和点Q重合． ③小议同学：当时，点P和点Q向右边行驶，． ④小科同学：当时，P，Q先背向运动5秒，再相向运动1秒，． 故说法可能正确的是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，行程问题，关键是熟悉路程=速度×时间的知识点． 3．如图，数轴上点和点表示的数分别是和，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为秒，当动点到点的距离等于动点到点的距离时，的值为 ． 【答案】或/9或3 【分析】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解数轴上两点之间的距离是解题的关键．点表示的数为，点表示的数为，可得点到点的距离为，点到点的距离为，列方程即可解答． 【详解】解：根据题意，点表示的数为，点表示的数为， 表示的数是， 点到点的距离为，点到点的距离为， ， 解得：或， 故答案为：或． 4．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，O为原点，动点P从A出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，动点Q从B出发以每秒1个单位长度向左匀速运动，设运动时间为秒，当t= 秒时，P、Q之间的距离为3个单位长度；当t= 秒时，点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小． 【答案】 或 【分析】分相遇前和相遇后两种情况，根据路程速度=时间，计算可得当秒或时，P、Q之间的距离为3个单位长度，当点P和点Q相遇时，点P到点Q的距离是0，点P到点A，B的距离为线段的长度，此时，点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小，即可得答案． 【详解】解：点A表示的数为，点B表示的数为8， 的长度为20， 相遇前P、Q之间的距离为3个单位长度，，相遇后P、Q之间的距离为3个单位长度，， 当秒或时，P、Q之间的距离为3个单位长度； 当点P和点Q相遇时，点P到点Q的距离是0，点P到点A，B的距离为线段的长度20，所以点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小， ， 当秒时，点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小， 故答案为：①，②． 【点睛】本题考查了数轴上的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是理解当点P和点Q相遇时，点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小． 5．已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． (3)在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， (2)当时，；当时， (3)不变，2 【分析】（1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负性求解； （2）根据点所在的位置结合绝对值的意义进行化简，然后按照整式加减运算法则进行计算； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出点，，在运动过程中所表示的数，然后利用数轴上两点间的距离公式列式计算． 【详解】（1）解：由于是最小的正整数， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）因为点在到之间运动时，且点所对应的数为，所以， 当时，，，， 所以 ； 当时，，，， 所以 ； （3）不变，由题意，得 秒钟过后点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， 所以，， 所以． 所以的值是不随着时间的变化而改变的，其值为2． 解：（1）因为是最小的正整数，所以， 因为，所以，， 所以，，所以的值为，的值为1，的值为5， 故答案为：，，； 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查整式加减的应用，非负数的性质、理解数轴上点所对应数的表示，应用数形结合思想解题是关键． 6．【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 【答案】问题解决：（1）点与点之间的距离；（2）；关联运用：（1）；（2）；（3）或；（4）的值是一个定值时，的值为． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 问题解决：（1）的几何意义是点与点之间的距离； （2）根据距离公式可得； 关联运用：（1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值，已知，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）运用四：时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案． 【详解】问题解决： 解：（1）的几何意义是点与点之间的距离， 故答案为：点与点之间的距离； （2）由题意得： 表示的数为，点在数轴上表示的数为， 则与之间的距离， 故答案为：； 关联运用： （1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为， 故答案为：； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，； 当时， 此时； 当时，； 综上所述：当时，代数式取最大值为； 故答案为：； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值， 时，或， 故当时，则， 解得：， 当时，， 解得：， 故答案为：或； （4）运用四：点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故 而， 当的值是一个定值时， 则为定值， 当时，即时， ， ， 解得， 此时定值为； 当时，即时， ， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． 类型十、收费与方案问题 1．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过立方米时，按元/立方米计费；月用水量超过立方米时，其中的立方米仍按元/立方米收费，超过部分按元/立方米计费，设每户家庭用水量为立方米． (1)当时，应收水费为______（用的代数式表示）；当时，应收水费为______（用的代数式表示）． (2)小明家第二季度交纳水费的情况如下： 月份 四月份 五月份 六月份 用水量（立方米） 小明家这个季度共用水多少元？ 【答案】(1)元；元 (2)元 【分析】（1）分类讨论：方式一：当月用水量不超过立方米时，即：当时的收费标准是：按元/立方米计费；方式二：当月用水量超过立方米时，即：当时的收费标准是：其中的立方米仍按元/立方米收费，超过部分按元/立方米计费，分别列出代数式即可； （2）由（1）得到四月份的用水量按方式一计费、五月份和六月份的用水量按方式二计费，然后把三个月的水费相加即可． 【详解】（1）解：方式一：当月用水量不超过立方米时，按元/立方米计费， ∴当时，水费为：； 方式二：当月用水量超过立方米时，其中的立方米仍按元/立方米收费，超过部分按元/立方米计费， ∴当时，水费为：． 故答案为：元；元． （2）∵，，， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴（元）． 答：小明家这个季度共用水元． 【点睛】本题考查列代数式，求代数式的值，有理数的混合运算的实际应用等知识点，运用了分类讨论的解题方法．把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．读懂图表信息并理解分段收费标准是解题的关键． 2．某出租车服务有限责任公司位于徽丰路，出租车驾驶员小华从该公司出发，在南北向的徽丰路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，驾驶员小华在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费7元，超过的部分按每千米加2元收费(不足1千米的按1千米计算) ． ①若出租车行驶的路程为千米（为正整数），当小于或等于3时，车费为 元；当大于3时，车费为 元（用含的最简代数式表示．） ②在这过程中驾驶员小华共收到车费多少元？ 【答案】(1)接送完第五批客人后，驾驶员小华在公司的南边千米处 (2)在这过程中共耗油升 (3)①，；②在这个过程中驾驶员小华共收到车费元 【分析】（1）把行驶路程相加即可，根据结果的符号可知道方向，结果的绝对值可知道距离公司的远近； （2）把各数的绝对值相加得总路程，由出租车每千米的耗油量即可求得总油耗； （3）①由题意知，车费为7元；车费分为两部分的和：前的车费；超过的车费，两者之和便是所求的代数式． ②5次的起步价与其中超过的部分的和的车费，即是小华收到的全部车费． 【详解】（1）解：（千米） 答：接送完第5批客人后，驾驶员小华在公司的南边千米处． （2）解：（升） 答：在这过程中共耗油升. （3）解：①当小于或等于3时，车费为7元； 当大于3时，车费为：元； 故答案为：7 ； ②（元）， 答：在这个过程中驾驶员小华共收到车费元. 【点睛】本题考查了正数、负数与有理数四则混合运算的应用，绝对值的计算，列代数式等知识，正确理解题意，并能正确进行运算是关键． 3．为增强居民节约用水意识，某市在2022年开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如表： 一户居民一个月用水量即为立方米 水费 单价（单位：元立方米） 超出22立方米的部分 某户居民四月份用水10立方米时，缴纳水费23元． (1)求的值； (2)若该户居民六月份的用水量为20立方米，七月份的用水量为25立方米，求该户居民六、七月份的用水费用和； (3)若该户居民五月份的用水量为立方米，用含的代数式表示该户居民五月份的用水费用． 【答案】(1) (2) (3)元或元 【分析】（1）根据“某户居民四月份用水10立方米时，缴纳水费23元”求解即可； （2）根据水费计算规则，分别求得六、七月份的用水费，即可求解； （3）分两种情况和，分别求解． 【详解】（1）四月份用水10立方米时，缴纳水费23元， ； （2）由（1）知，则， 六月份的用水量为20立方米，需缴纳水费（元， 七月份的用水量为25立方米，需缴纳水费（元， 该户居民六、七月份的用水费用和是（元 （3）当时，用水费用为元， 当时，用水费用为元， 五月份的用水费用为：元或元． 【点睛】此题考查了有理数运算的应用和列代数式，解题的关键是理解题意，掌握有理数运算法则． 4．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，跳绳x条（）． (1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1) (2)购买150根跳绳时，A种方案所需要的钱数为8000元，B种方案所需要的钱数为8100元 (3)按A方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按B方案购买，付款7800元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键： （1）由题意按A方案购买可列式：，在按B方案购买可列式：； （2）把代入（1）中的结果计算AB两种方案所需要的钱数即可； （3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可． 【详解】（1）解：A方案购买可列式：元； 按B方案购买可列式：元； 故答案为：； （2）由（1）可知， 当，A种方案所需要的钱数为（元）， 当，B种方案所需要的钱数为（元）， 答：购买150根跳绳时，A种方案所需要的钱数为8000元，B种方案所需要的钱数为8100元． （3）按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买150个跳绳合计需付款： （元）； ∵， ∴省钱的购买方案是： 按A方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按B方案购买，付款7800元． 5．某文具店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，售价为每支12元．每天的销售数量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负．该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如下表所示． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 每天售出的数量（支） (1)在这5天中，第一天售出该种钢笔____支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔_______支； (2)求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润； (3)该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案： 方案一：若购买数量不超过5支，每支12元；若超过5支，则超过部分每支降价4元； 方案二：每支均打七五折销售． 在促销期间，若购买支钢笔，请用含x的式子表示两种方案的花费，若王老师在该文具店购买10支该种钢笔作为奖品，通过计算说明应选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)18；12 (2)该文具店这5天出售这种钢笔的总利润为624元； (3)方案一的花费元；方案二元；应选择方案二购买更省钱． 【分析】题目主要考查正负数的应用及有理数混合运算的应用，列代数式及求代数式的值． （1）根据题意直接得出第一天的销售量；再由最多的一天减去最少了一天即可得出结果； （2）利用每支钢笔的利润乘以一周卖出的钢笔数即可； （3）①根据题意分别列出代数式；②将代入①中结果，然后比较即可． 【详解】（1）解：第一天售出该种钢笔支； 最多的一天为第5天，最少的一天为第4天， ∴， 故答案为：18；12； （2）解：（元）， 即该文具店这5天出售这种钢笔的总利润为624元； （3）解：①方案一：（元）． 方案二：元； ②当时，（元）， （元）． 因为， 所以应选择方案二购买更省钱． 6．某电器商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价500元，电磁炉每台定价200元．“11/11”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉台（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款_______元．（用含的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款______元．（用含的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1) (2)方案一 【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值的应用， （1）根据题意列出代数式即可； （2）将代入（1）中结果计算比较即可； 理解题意，列出相应的代数式的解题关键． 【详解】（1）解：若该客户按方案一购买， 需付款元． 若该客户按方案二购买．需付款元． 故答案为：； （2）方案一：当时，原式（元） 方案二：当时，原式（元） ∵ ∴按方案一购买较为合算． 1 学科网（北京）股份有限公司 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