精品解析：黑龙江省鸡西市第十九中学2025届高三上学期10月月考数学试题

2024—2025年度第一学期高三学年 第二阶段阶段检测数学试题 （试题总分：150分 答题时间：120分钟） 命题人：赵素洁 审核人： 王玉柱 　　校对：高三数学组 温馨提示：沉着应对，冷静作答，成功属于自信的你! 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 已知集合，则 A. B. C. D. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 在各项均为正数的等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 某班同学利用课外实践课，测量两地之间的距离，在处测得两地之间的距离是4千米，两地之间的距离是6千米，且，则两地之间的距离是（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 7. 两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 在等比数列中，，，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得2分或3分，有选错的得0分） 9. 已知数列均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等差数列 10. 下列幂函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于点中心对称 C. 的最大值为 D. 在有三个零点 二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上) 12. 已知等差数列的前项和为，若（向量、不平行），、、共线，则_________． 13. 在三角形中，若，则向量在向量上的投影向量为__________. 14. 已知数列的前项和，则数列的通项公式是______. 三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的极大值． 16. 在三棱锥中，已知为正三角形，. （1）求证：； （2）若，求二面角的正弦值. 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 18. 数列满足，． （1）证明数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 19. 对某校900名学生每周的运动时间进行调查，其中有男生540名，女生360名，根据性别利用分层抽样的方法，从这900名学生中选取60名学生进行分析，统计数据如下表（运动时间单位：小时） 男生运动时间统计： 运动时间（小时） 人数 9 8 12 4 女生运动时间统计： 运动时间（小时） 人数 10 5 2 1 （1）计算，的值；若每周运动时间不低于6小时的同学称为“运动爱好者”，每周运动时间低于6小时的同学称为“非运动爱好者”，根据以上统计数据填写下面的列联表，则是否可以认为在犯错误的概率不超过的前提下认为“运动爱好者与性别有关”？ 男生 女生 合计 运动爱好者 非运动爱好者 合计 附：， 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （2）在抽取的60名学生样本中，从每周运动时间在的同学中任取3人，记抽到的男生人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025年度第一学期高三学年 第二阶段阶段检测数学试题 （试题总分：150分 答题时间：120分钟） 命题人：赵素洁 审核人： 王玉柱 　　校对：高三数学组 温馨提示：沉着应对，冷静作答，成功属于自信的你! 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 2. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的定义域与指数不等式求解，再求交集即可 【详解】因为，所以，，故. 故选：D 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4. 在各项均为正数的等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求出，又，则，根据等比数列的通项公式即可求得. 【详解】各项均为正数的等比数列中，，即，则， 又，则， ，即，又，解得. 故选：A. 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由得，所以，再由可求出的值 【详解】解：因为，所以， 由得， 所以， 故选：A. 6. 某班同学利用课外实践课，测量两地之间的距离，在处测得两地之间的距离是4千米，两地之间的距离是6千米，且，则两地之间的距离是（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：A 7. 两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合题意计算即可求解. 【详解】. 故选：D. 8. 在等比数列中，，，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等比数列的通项公式列式求出，可得，再根据对数知识可得，最后根据等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，. ∵，即，∴.又，∴. ∴， ∴. ∴数列的前项和为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据等比数列的通项公式求解是解题关键. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得2分或3分，有选错的得0分） 9. 已知数列均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列与等比数列的定义通项公式及其对数的运算分析判断即可 【详解】设等比数列的公比分别为， 对于A，因为，所以数列是以为公比的等比数列，所以A正确， 对于B，若，则，此时数列不是等比数列，所以B错误， 对于C，因为为常数，所以数列是等差数列，所以C正确， 对于D，若，则，此时无意义，所以数列不是等差数列，所以D错误， 故选：AC 10. 下列幂函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再根据函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据幂函数的性质判断单调性即得. 【详解】对于A，函数，因，故函数在上单调递减，不合题意； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称且满足，故函数为奇函数， 且，故函数在上单调递增，故B符合题意； 对于C，因函数的定义域是，关于原点不对称，即函数没有奇偶性，不合题意； 对于D，函数的定义域为，关于原点对称且满足，故函数为奇函数， 且，故函数在上单调递增，故D符合题意. 故选：BD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于点中心对称 C. 的最大值为 D. 在有三个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，可判断C选项的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；在时解方程，可判断D选项. 【详解】因为 . 对于A选项，的最小正周期为为，A对； 对于B选项，，所以，关于点中心对称，B对； 对于C选项，的最大值为，C错； 对于D选项，当时，， 由可得或，解得或， 所以，函数在有两个零点，D错. 故选：AB. 二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上) 12. 已知等差数列的前项和为，若（向量、不平行），、、共线，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明当、、共线且，则，根据题意可求得的值，然后利用等差数列求和公式可求得的值. 【详解】当、、共线时，则、共线，可设， 所以，，， 又，则， 由于（向量、不平行），、、共线，则， 由等差数列的求和公式可得. 故答案为：. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题. 13. 在三角形中，若，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得为线段的中点，，则为等腰三角形，然后根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以为线段的中点， 因为，所以，所以, 所以， 所以为等腰三角形， 所以向量在向量上的投影向量为 , 故答案为：. 14. 已知数列的前项和，则数列的通项公式是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据求出首项、第二项，从而得出公比，从而求出数列的通项公式. 【详解】解：当时，，所以， 当时，，即得到， 因为①，所以当时，②，①②得， 当时，不满足， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，注意验证的情况，属于中档题. 三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的极大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点代入切线方程得出，利用导数的几何意义得出，于此列方程组求解出实数、的值； （Ⅱ）求出函数的定义域，然后对函数求导，利用导数求出函数的单调区间，分析出该函数的极大值点并求出该函数的极大值． 【详解】（Ⅰ）由，得． 由曲线在点处的切线方程为， 得，， 解得． （Ⅱ），． ，解得； ，解得； 所以函数的增区间：；减区间：， 时，函数取得极大值，函数的极大值为． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值，求解时要熟练应用导数求函数极值的基本步骤，另外在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两个要点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率； （2）切点是切线与函数图象的公共点． 16. 在三棱锥中，已知为正三角形，. （1）求证：； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； （2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面和的法向量，由二面角的向量公式代入求解即可得出答案. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 为正三角形，， ，又平面平面平面， 又平面. 【小问2详解】 为正三角形，， 又，又， ，又两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 平面的法向量为，又， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则， 设二面角的大小为， 则， ， 二面角的正弦值为. 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得. （2）由面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周长. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，即， 化简得，又，所以. 【小问2详解】 由（1）及三角形面积公式，得，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为. 18. 数列满足，． （1）证明数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 证明：因为，所以， 又因为，所以， 数列是首项为，公比为的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立； （2）求得，利用分组求和法可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以. 19. 对某校900名学生每周的运动时间进行调查，其中有男生540名，女生360名，根据性别利用分层抽样的方法，从这900名学生中选取60名学生进行分析，统计数据如下表（运动时间单位：小时） 男生运动时间统计： 运动时间（小时） 人数 9 8 12 4 女生运动时间统计： 运动时间（小时） 人数 10 5 2 1 （1）计算，的值；若每周运动时间不低于6小时的同学称为“运动爱好者”，每周运动时间低于6小时的同学称为“非运动爱好者”，根据以上统计数据填写下面的列联表，则是否可以认为在犯错误的概率不超过的前提下认为“运动爱好者与性别有关”？ 男生 女生 合计 运动爱好者 非运动爱好者 合计 附：， 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （2）在抽取的60名学生样本中，从每周运动时间在的同学中任取3人，记抽到的男生人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】（1），，列联表见解析，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“运动爱好者与性别有关” （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）按照分层抽样求出男生、女生应该选取的人数，从而，，求出列联表，计算出卡方，即可判断． （2）每周运动时间在的同学中，男生有人，女生有人，从而得到随机变量可取，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和． 【小问1详解】 依题意，男生应该选取名，女生应该选取名， 所以，， 可得列联表： 　男生 　女生 　合计 运动爱好者 24 8 32 非运动爱好者 12 16 28 　合计 36 24 60 ， 能在犯错误的概率不超过的前提下认为“运动爱好者与性别有关”． 【小问2详解】 每周运动时间在的同学中，男生有人，女生有人， 则随机变量可取，，，， 所以，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $