精品解析：山东省威海市乳山市银滩高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

高二数学9月月考 一、单选题 1. 复数满足：（其中是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数对应的点在第一象限，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A. B. C. D. 7. 已知，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 8. 在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角 D. 平面经过棱的三等分点 11. 如图，是正三角形的一条中位线，将沿折起，构成四棱锥，为的中点，则（ ） A 平面 B. 平面 C. 若平面平面，则在某个特定的坐标系下，的一个方向向量可以为 D. 若，则在某个特定的坐标系下，平面的一个法向量可以为 三、填空题 12. 若，则= _______. 13. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是________________________ 14. 已知梯形如图1所示，其中，A为线段中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为________． 四、解答题 15. 如图，已知单位正方体，E，F分别是棱和的中点，试求AF与平面所成角的正弦值． 16. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是中点，设，，． （1）求的长； （2）求和夹角余弦值． 17. 在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，，求点到平面的距离. 18. 如图，在长方体中，，点在棱上移动. （1）当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值； （2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学9月月考 一、单选题 1. 复数满足：（其中是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先由求出复数，再求出其共轭复数，从而可判断其在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】由， 得， 则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D. 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简复数，进而可求虚部. 【详解】， 故的虚部为， 故选：B 3. 在复平面内，复数对应的点在第一象限，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可设，且，由乘方运算可得，即可得出结论. 【详解】依题意设，且，由复数z对应的点在第一象限可得； 所以， 易知复数对应的点坐标为，又， 所以复数对应的点在第三象限. 故选：C 4. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据复数的除法运算化简复数，再代入模的公式，即可求解. 【详解】由题知，，所以. 故选：D. 5. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断. 【详解】对于A，设，即，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：B. 6. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可. 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 7. 已知，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用投影的概念，结合数量积和求模公式求解即可. 【详解】在方向上的投影数量为. 故选：C. 8. 在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解. 【详解】连接交于点O， 由题意，得，， ， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取， 则， 设顶点B到平面距离为d， 则， 当时， 当时，， 所以当即时点B到平面距离最大为. 故选：A. 二、多选题 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则四点共面 D. 若分别表示空间两向量有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断A，利用空间向量共面定理判断B，利用空间向量的线性运算判断C，利用空间向量的平移性质判断D即可. 【详解】对于A，当，的夹角为时，，故A错误， 对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确， 对于C，因为， 所以， 所以四点共面，故C正确， 对于D，由向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故D错误 故选：BC 10. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角为 D. 平面经过棱的三等分点 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法和夹角公式判断ABC，在棱上取一点，利用空间向量求出平面和平面共面时的值判断D. 【详解】在正方体中，分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为， 则，，，，，，， 所以， 设平面的一个法向量， 因为，所以平面，A说法正确； 因为，，所以，B说法正确； 因为正方体中平面， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则，所以，C说法错误； 在棱上取一点， 则，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， ，解得平面的一个法向量， 因为平面平面， 所以当时，共面，此时， 即，解得， 所以平面经过棱的三等分点，D说法正确； 故选：ABD 11. 如图，是正三角形的一条中位线，将沿折起，构成四棱锥，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 若平面平面，则在某个特定的坐标系下，的一个方向向量可以为 D. 若，则在某个特定的坐标系下，平面的一个法向量可以为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合面面平行的判定及性质，利用反证法判断A，根据线面垂直的判定定理判断B，建立空间坐标系，求出向量坐标判断C，求出平面的法向量判断D. 【详解】对于A，若平面，因为，平面，平面， 所以平面，又因为，所以平面平面， 但平面与平面相交，所以假设不成立，所以不平行平面，不正确； 对于B，因为，，所以，， 又因为，所以平面，正确； 对于C，将沿折起，使到，且平面平面， 以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设三角形的边长为2， 则，，，，， ，正确； 对于D，设，因为，， 所以， 所以，，， 因为，所以， 所以，， 设平面， 所以， 故，正确． 故选：BCD． 三、填空题 12. 若，则= _______. 【答案】 【解析】 【分析】可假设，然后根据复数的模以及共轭复数，进行计算，可得结果. 【详解】设，则，. 由，所以， 则， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题考查复数的求解，属基础题. 13. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是________________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据点的对称直接求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是. 故答案为：. 14. 已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用空间向量法计算已知面面垂直即法向量垂直即可求参. 【详解】如图，以A坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴ 则， 若是平面的一个法向量， 则 可得， 若是平面的一个法向量， 则可得 由平面平面，得， 即， 解得． 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，已知单位正方体，E，F分别是棱和的中点，试求AF与平面所成角的正弦值． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与所成角的余弦值，利用AF与平面所成角与平面的法向量与所成角互余，即可求出AF与平面所成角的正弦值. 【详解】以为原点,分别以、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系， 则，，,,, 即，,, 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设与所成的角为，则 ， 则与平面所成角,即, 故与平面所成角的正弦值为． 16. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． （1）求的长； （2）求和夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； 【小问2详解】 ， 则. 17. 在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）点到平面的距离为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，结合线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解点到平面的距离即可． 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 又因为正方形中，， 因为，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,0,，,0,，,2,，,2,，,2, 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，得到，，所以， 则点到平面的距离为. 18. 如图，在长方体中，，点在棱上移动. （1）当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值； （2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 【答案】（1） （2）当时，直线与平面所成角的正弦值最小，最小值为 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成的夹角的余弦值； （2）设，可求得平面的一个法向量，直线的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 当点在棱的中点时，则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成的夹角的余弦值为； 【小问2详解】 设， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 令， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知四边形矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值； （3）设，求，利用向量方法求直线与平面所成的角的正弦值，列方程求. 【小问1详解】 因为，因为，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， ，， 且平面平面，平面 平面平面， 平面； 【小问2详解】 以原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取. 设平面的法向量为，， 由，取， . 二面角是钝角， 二面角的正弦值为. 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为， 解得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$