精品解析：山西省晋中市山西现代双语学校南校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

山西省晋中市山西现代双语学校南校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：集合与常用逻辑用语+等式与不等式. 5.难度系数：0.65. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求. 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ） A. B. C. D. 4. 集合满足，则集合的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 5. 若不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ） A. B. C. D. 7. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 11. 非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集，集合，，则_________． 13. 已知实数、满足，，则的取值范围为______． 14. 定义集合的“长度”是，其中a，R．已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是_____；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合.求： （1）； （2）； （3）. 16. 已知集合，非空集合． （1）若，求的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求的取值范围． 17. 如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物. （1）若每个长方形区域的面积为，要使围成四个 区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值； （2）若每个长方形区域的长为m（），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长的取值范围. 18. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 19. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省晋中市山西现代双语学校南校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：集合与常用逻辑用语+等式与不等式. 5.难度系数：0.65. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求. 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见数集可判断BC的正误，根据元素与集合的关系可判断A的正误，根据集合的关系可判断D的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，为的一个元素，故不正确，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故成立，故D正确， 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断可得； 【详解】解：命题，为全称量词命题，其否定为，； 故选：C 3. 已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，即， 而，，则，， 故阴影部分表示的集合为. 故选：C. 4. 集合满足，则集合的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，列举出集合所有可能的情况即可. 【详解】因为， 则集合可以为共7个， 故选：C. 5. 若不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由不等式的解集为可得，，，代入化简即可求解. 【详解】不等式的解集为， ，且是方程的两根， ，即，， 则化为， ，，解得或. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解集与系数的关系，考查一元二次不等式的求解，属于基础题. 6. 下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出关于x的不等式对恒成立的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】若关于x的不等式对恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，故满足要求， 当时，原不等式恒成立当且仅当，解得， 综上所述，若关于x的不等式对恒成立，则当且仅当， 而选项中只有是的充分不必要条件. 故选：B. 7. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 8. 记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，得，两次应用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件即可． 【详解】设，则，，， ∴，当且仅当时取等号， 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以的最小值是2， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，，相加后基本不等式求得最小值． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论. 【详解】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确； 同理：，故BC正确. 如，，但不成立，故D错误. 故选：ABC 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式求最值判断A，直接由基本不等式判断BC，消元后利用二次函数求最值判断D. 【详解】，当且仅当时等号成立，故A对； ，则，当且仅当，即时等号成立，故B对C错； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错. 故选：AB 11. 非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，假设，则令，则， 令，则， 令，不存在，即，矛盾， ∴，故A对； 对于B，由题，，则 ∴，故B对； 对于C，∵，，， ∵故C对； 对于D，∵，，若，则，故D错误． 故选：ABC． 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集，集合，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由全集，可得，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 【详解】，， ， ， ， 故答案为：． 13. 已知实数、满足，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：设，则，解得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 故答案为：. 14. 定义集合的“长度”是，其中a，R．已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是_____；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合.求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据交并补的运算，结合二次不等式的运算求解即可 【小问1详解】 ，，故 【小问2详解】 ， 故， 【小问3详解】 ，故 16. 已知集合，非空集合． （1）若，求的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据交集结果且，列不等式求参数范围； （2）由题设集合是集合的真子集，结合，求参数范围. 【小问1详解】 由题意，知， 又，且， 所以或，解得， 故的取值范围为． 【小问2详解】 命题是命题的必要不充分条件， 集合是集合的真子集，且， ∴（等号不能同时成立），解得， 综上，的取值范围为． 17. 如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物. （1）若每个长方形区域的面积为，要使围成四个 区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值； （2）若每个长方形区域的长为m（），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长的取值范围. 【答案】（1）每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可求得栅栏总长度的最小值； （2）根据题意可知总费用，解不等式即可求得的取值范围. 【小问1详解】 设每个长方形区域的长为m（），则宽为， 则栅栏总长为. 当且仅当，即时等号成立， 所以每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m； 【小问2详解】 由题可知每个长方形区域的长为m，宽为m，， 则长方形区域的面积为，栅栏总长为， 总费用，又总费用不超过180元， ，解得：, 又，, 故当时，总费用不超过180元. 18. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2） 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【小问1详解】 由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. 【小问2详解】 当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 19. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）不等式的解集为. （2）的最小值为； （3）的最小值为. 【解析】 【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集； （2）由已知可得，结合基本不等式求结论； （3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值. 【小问1详解】 由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； 【小问3详解】 因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $